Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Transkrypt

1 Macierze 1

2 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

3 Wiersze macierzy A: [ a11 a 12 a 1n ], [ a21 a 22 a 2n ], [ am1 a m2 a mn ] Kolumny macierzy A: a 11 a 21 a m1, a 12 a 22 a m2,, a 1n a 2n a mn 3

4 Działania na macierzach Dodawanie a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn = + b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn = 4

5 Krócej: [ aij ]m n + [ b ij ]m n = [ a ij + b ij ] m n Przykład: [ 1 2 ] [ 3 2 ] = [ ] Dodajemy tylko macierze o tych samych wymiarach m n, suma jest też macierzą m n 5

6 Własności dodawania macierzy Dla dowolnych macierzy m n zachodzą równości A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), A + 0 m n = A A + ( A) = 0 m n 6

7 Macierz zerowa: 0 m n = Macierzą przeciwną do macierzy A = [ a ij jest macierz ]m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn 7

8 Mnożenie macierzy przez liczbę c a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn = ca 11 ca 12 ca 1n ca 21 ca 22 ca 2n ca m1 ca m2 ca mn Mnożąc dowolną macierz przez liczbę otrzymujemy macierz o tych samych wymiarach 8

9 Własności mnożenia macierzy przez liczbę Dla dowolnych macierzy A, B o wymiarach m n i dowolnych liczb α, β zachodzą równości α(a + B) = αa + αb, (α + β)a = αa + βa, (αβ)a = α(βa), 1 A = A, ( 1) A = A, 0 A = 0 m n, α 0 m n = 0 m n 9

10 Mnożenie macierzy Iloczynem macierzy 1 n i macierzy n 1 jest macierz 1 1: [ a1 a 2 a n ] b 1 b 2 b n = [ a 1 b 1 + a 2 b a n b n ] Przykład: [ ] = [ 1 ( 1) ] = [ 30 ] 10

11 Iloczynem macierzy m n i macierzy n 1 jest macierz m 1: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn b 1 b 2 = b n a 11 b 1 + a 12 b a 1n b n a 21 b 1 + a 22 b a 2n b n a m1 b 1 + a m2 b a mn b n Przykład: = 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 7 =

12 Iloczynem macierzy m n i macierzy n k jest macierz m k: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn = c 11 c 12 c 1k c 21 c 22 c 2k c m1 c m2 c mk gdzie c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj b 11 b 12 b 1k b 21 b 22 b 2k b n1 b n2 b nk, = 12

13 Własności mnożenia macierzy Dla dowolnych macierzy (odpowiednich wymiarów) zachodzą równości: (AB)C = A(BC) dla A Mat m n (R), B Mat n k (R), C Mat k l (R), (A + B)C = AC + BC dla A, B Mat m n (R), C Mat n k (R), A(B + C) = AB + AC dla A Mat m n (R), B, C Mat n k (R), (ca)b = A(cB) = c(ab) dla A Mat m n (R), B Mat n k (R), c R, 13

14 Macierz zerowa A 0 n k = 0 m k, 0 k m A = 0 k n dla A Mat m n (R) Macierz jednostkowa: I n = Mat n n (R), A I n = I m A = A dla A Mat m n (R) 14

15 Macierz skalarna: c I n = c c c c Mat n n (R), c R, ca = A (ci n ) = (ci m ) A dla A Mat m n (R) 15

16 Macierz diagonalna: c 1,, c n R c c c n c n Mat n n (R), gdzie Macierz A = [ a ij ]i,j=1,,n Mat n n jest diagonalna a ij = 0 dla i j 16

17 c c c m a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn = c 1 a 11 c 1 a 12 c 1 a 1n c 2 a 21 c 2 a 22 c 2 a 2n c m a m1 c m a m2 c m a mn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn c c c n = c 1 a 11 c 2 a 12 c n a 1n c 1 a 21 c 2 a 22 c n a 2n c 1 a m1 c 2 a m2 c n a mn 17

18 Macierz o wymiarach n n nazywamy kwadratową Macierz diagonalna jest macierzą kwadratową Spośród macierzy kwadratowych wyróżniamy macierze górnotrójkątne i dolnotrójkątne Macierz górnotrójkątna: gdzie a ij R a 11 a 12 a 1,n 1 a 1n 0 a 22 a 2,n 1 a 2n 0 0 a n 1,n 1 a n 1,n a nn Macierz A = [ a ij ]i,j=1,,n Mat n n(r) jest górnotrójkątna a ij = 0 dla i > j, 18

19 Macierz dolnotrójkątna: gdzie a ij R a a 21 a a n 1,1 a n 1,2 a n 1,n 1 0 a n1 a n2 a n,n 1 a nn, Macierz A = [ a ij ]i,j=1,,n Mat n n(r) jest dolnotrójkątna a ij = 0 dla i < j 19

20 Niech A Mat m n (R) będzie dowolną macierzą: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz A T = A T Mat n m (R) a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn, 20

21 Przykłady 1 Jeśli A = [ ] 1 2 3, to A T = Macierzą transponowaną do macierzy diagonalnej jest ta sama macierz 3 Macierz transponowana do macierzy górnotrójkątnej jest macierzą dolnotrójkątną, i na odwrót 21

22 Symbolicznie możemy zapisać: A T = [ b ij ]n m, gdzie b ij = a ji dla i = 1,, n, j = 1,, m Dla dowolnych macierzy A, B i dowolnej liczby c zachodzą równości (A + B) T = A T + B T, A, B Mat m n (R), (ca) T = ca T, (AB) T = B T A T, A Mat m n (R), B Mat n k (R), (A T ) T = A 22

23 Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeśli A T = A, Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną, jeśli A T = A symetryczna, antysymetryczna, jest sy- Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A + A T metryczna, a macierz A A T jest antysymetryczna 23

24 Zadanie Przedstawić dowolną macierz kwadratową w postaci sumy macierzy symetrycznej i macierzy antysymetrycznej Uzasadnić, że takie przedstawienie jest jednoznaczne 24

25 Permutacje Permutacją zbioru nazywamy ustawienie jego elementów w dowolnej kolejności Permutację zbioru {1, 2,, n} zapisujemy w postaci tabelki: σ = ( 1 2 n 1 n σ(1) σ(2) σ(n 1) σ(n) ( ) Przykład Permutacja σ = jest określona następująco: σ(1) = 4, σ(2) = 1, σ(3) = 3, σ(4) = ) Zbiór permutacji zbioru {1, 2,, n} oznaczamy przez S n 25

26 Rozważmy permutację ( 1 2 n 1 n σ = c 1 c 2 c n 1 c n ) Parę (c k, c l ) taką, że k < l i c k > c l, nazywamy nieporządkiem Permutację nazywamy parzystą, jeśli liczba jej nieporządków jest parzysta, a nieparzystą, jeśli ta liczba jest nieparzysta Znak permutacji σ oznaczamy symbolem sgn(σ) Jeśli σ jest permutacją parzystą, to sgn(σ) = +1, a jeśli nieparzystą, to sgn(σ) = 1 26

27 Przykład σ = ( ) Nieporządki permutacji σ: (3, 2), (3, 1), (4, 2), (4, 1), (5, 2), (5, 1), (6, 2), (6, 1), (7, 2), (7, 1), (2, 1), (9, 8) Liczba nieporządków: 12, znak permutacji: sgn(σ) = +1 27

28 Wyznaczniki 28

29 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz A Mat 2 2 (R), A = [ a b c d ] Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę A = a b c d = ad bc Wyznacznik macierzy A oznaczamy też symbolem det A 29

30 Dla macierzy A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ] mamy det A = a 11 a 22 a 12 a 21 Są dwie permutacje zbioru {1, 2} Permutacja ( ) jest parzysta, ma znak +1 Permutacja ( ) jest nieparzysta, ma znak 1 30

31 Wyznacznik macierzy 3 3 Wyznacznikem macierzy A Mat 3 3 (R), A = nazywamy liczbę A = a b c d e f g h i a b c d e f g h i = aei + bfg + cdh afh bdi ceg 31

32 Dla macierzy A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 mamy det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 ( ) ( Jest 6 permutacji zbioru {1, 2, 3} Permutacje, ( ) ( ) są parzyste, mają znak +1 Permutacje, ( ) ( ) , są nieparzyste, mają znak ), 32

33 Wyznacznik macierzy (kwadratowej!) A Mat n n (R), A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn określamy następująco: det A = (sgn σ) a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) σ S n, 33

34 Wyznacznik macierzy jednostkowej: det(i n ) = = 1 Wyznacznik macierzy diagonalnej: c c c n c n = c 1 c 2 c n 34

35 Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej: a 11 a 12 a 1,n 1 a 1n 0 a 22 a 2,n 1 a 2n 0 0 a n 1,n 1 a n 1,n a nn = a 11 a 22 a nn Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej: a a 21 a a n 1,1 a n 1,2 a n 1,n 1 0 a n1 a n2 a n,n 1 a nn = a 11 a 22 a nn 35

36 Wyznacznik macierzy transponowanej: det A T = det A Wyznacznik iloczynu macierzy: dla dowolnych macierzy A, B Mat n n (R) zachodzi równość det(ab) = (det A) (det B) 36

37 Wyznacznik jako funkcja wierszy macierzy: w 1 = [ a 11 a 12 ] a 1n, w 2 = [ a 21 a 22 ] a 2n, w n = [ a n1 a n2 ] a nn Zapiszmy wyznacznik w postaci det A = w 1 w 2 w n 37

38 Dla dowolnego i {1,, n} mamy: w 1 w i + w i w n = w 1 w i w n + w 1 w i w n oraz w 1 c w i w n = c w 1 w i w n, 38

39 Dla dowolnych i, j {1,, n}, i j, mamy: w 1 w i w j w n = w 1 w j w i w n Wnioski: w 1 0 w n = w w n = 0 w 1 0 w n = 0, 39

40 w 1 w i w i w n = w 1 w i w i w n w 1 w i w i w n = 0, w 1 w i + c w j w j w n = w 1 w i w j w n + w 1 c w j w j w n = w 1 w i w j w n + c w 1 w j w j w n = w 1 w i w j w n 40

41 Kolumny macierzy A: a 11 a 21 a m1, a 12 a 22 a m2,, a 1n a 2n a mn Zapiszmy wyznacznik w postaci det A = k 1 k 2 k n 41

42 Wówczas dla dowolnego i {1,, n} mamy: k 1 k i + k i k n = k 1 k i k n + k1 k i k n oraz k 1 c k i k n = c k1 k i k n, dla dowolnych i, j {1,, n}, i j, mamy: k1 k 1 k i k j k n = k j k i k n 42

43 Wnioski: k 1 0 k n = 0, k 1 k i k i k n = 0, k 1 k i + c k j k j k n = k1 k i k j k n 43

44 Niech A Mat n n (R) Przez A ij oznaczmy macierz otrzymaną z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: A = ( 1) i+1 a i1 A i1 +( 1) i+2 a i2 A i2 + +( 1) i+n a in A in Rozwinięcie Laplace a względem j-tej kolumny: A = ( 1) 1+j a 1j A 1j +( 1) 2+j a 2j A 2j + +( 1) n+j a nj A nj 44

45 Macierz odwrotna Niech A Mat n n (R) będzie macierzą kwadratową Macierz B Mat n n (R) nazywamy odwrotną do macierzy A, jeśli AB = BA = I n Oznaczenie macierzy odwrotnej: A 1 45

46 Przykłady 1 Macierzą odwrotną do A = [ ] 1 a 0 1 jest macierz [ ] 1 a Macierz A = [ ] nie posiada macierzy odwrotnej 46

47 3 Macierzą odwrotną do macierzy diagonalnej: A = gdzie c 1,, c n 0, jest macierz A 1 = c c c n c c c 1 n, 47

48 Niech A Mat n n (R), A ij macierz otrzymana z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny Liczbę D ij = ( 1) i+j A ij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij Macierz dopełnień algebraicznych oznaczamy przez A D : A D = D 11 D 12 D 1n D 21 D 22 D 2n D n1 D n2 D nn 48

49 Twierdzenie Macierz odwrotna do macierzy A istnieje dokładnie wtedy, gdy det A 0, i wówczas A 1 = 1 det A (AD ) T Dowód Jeśli macierz A jest odwracalna, to A A 1 = I, więc skąd det A 0 det A det A 1 = det(a A 1 ) = det I = 1, Pozostaje wykazać, że jeśli det A 0, to macierz A jest odwracalna i macierz odwrotna wyraża się podanym wzorem 49

50 Rozważmy rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: det A = a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a j1 a j2 a jn a n1 a n2 a nn = a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in 50

51 Jeśli zamiast i-tego wiersza wstawimy j-ty wiersz, gdzie j i, to otrzymamy: 0 = a 11 a 12 a 1n a j1 a j2 a jn a j1 a j2 a jn a n1 a n2 a nn = a j1 D i1 + a j2 D i2 + + a jn D in 51

52 Dla dowolnego i mamy: a dla dowolnych i j: a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in = det A, Możemy to zapisać tak: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a j1 D i1 + a j2 D i2 + + a jn D in = 0 D 11 D 21 D n1 D 12 D 22 D n2 D 1n D 2n D nn = det A det A det A 52

53 Mamy zatem Analogicznie pokazujemy, że A (A D ) T = det A I (A D ) T A = det A I Jeśli det A 0, to otrzymujemy równości 1 A det A (AD ) T = 1 det A (AD ) T A = I, które oznaczają, że macierz A jest odwracalna oraz A 1 = 1 det A (AD ) T 53

54 Definicja Minorem macierzy A Mat m n (R) nazywamy wyznacznik jej podmacierzy kwadratowej: a i1 j 1 a i1 j 2 a i1 j k a i2 j 1 a i2 j 2 a i2 j k a ik j 1 a ik j 2 a ik j k gdzie 1 i 1 < i 2 < < i k m, 1 j 1 < j 2 < < j k n, Definicja Rzędem macierzy A Mat m n (R) nazywamy największy stopień jej niezerowego minora 54