Matematyczne Metody Chemii I
|
|
- Michał Chmielewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zwi ekszenie liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścis lych Uniwersytetu Jagiellońskiego POKL /09-00 Matematyczne Metody Chemii I Wyk lad dla III roku Chemii UJ Grzegorz Mazur, Marcin Makowski, Lukasz Pi ekoś Projekt wspó lfinansowany przez Unie Europejska w ramach Europejskiego Funduszu Spo lecznego
2 2 Every attempt to employ mathematical methods in the study of chemical questions must be considered profoundly irrational and contrary to the spirit of chemistry. If mathematical analysis should ever hold a prominent place in chemistry an aberration which is happily almost impossible it would occasion a rapid and widespread degeneration of that science. A. Comte (1830)
3 3 Wyk lad 1 Informacje o kursie. Powtórzenie wiadomości
4 4 Plan zaj eć Wst ep Literatura Powtórzenie wiadomości Liczby zespolone Macierze Permutacje
5 5 Wst ep Na kursie omawiane sa podstawy algebry liniowej i teorii reprezentacji ilustrowane przyk ladami zastosowań do zagadnień krystalografii spektroskopii chemii kwantowej To nie jest kurs matematyki waski zakres materia lu pominiete matematycznie interesujace zagadnienia aplikatywne podejście Ale nie jest to kurs spektroskopii czy mechaniki kwantowej tylko matematyczne podstawy interpretacja chemiczna i fizyczna na innych kursach
6 6 Literatura Materia ly to ilustracja do wyk ladu a nie podr ecznik Literatura: A. Herdegen, Wyk lady z algebry liniowej i geometrii A. Staruszkiewicz, Algebra i geometria A. Kowalska, Zastosowania teorii grup w fizyce F. A. Cotton, Teoria grup. Zastosowania w chemii M. T. Pawlikowski, Wst ep do teoretycznej spektroskopii molekularnej. Teoria grup
7 7 Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: Definicja Liczby zespolone I z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Powyższy zbiór z wyżej określonymi dzia laniami nazywamy cia lem liczb zespolonych i oznaczamy (C, +, ). Definicja Jeżeli z = (x, y), to liczbe rzeczywista x nazywamy cześci a rzeczywista, zaś liczbe rzeczywista y cześci a urojona liczby zespolonej z i piszemy x = Rz, y = Iz lub x =Rez, y =Imz.
8 8 Liczby zespolone II Liczby zespolone postaci (x, 0) czyli o zerowej cz eści urojonej utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Liczbe (0, 1) nazywamy jednostka urojona i oznaczamy i. Ma ona te w lasność, że i 2 = 1. Latwo sprawdzić, że z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0). Stad otrzymujemy zapis z = x + iy (postać kanoniczna liczby zespolonej). Definicja Sprz eżeniem liczby zespolonej z = (x, y) nazywamy liczb e z = z := x iy. Modu lem liczby zespolonej nazywamy liczb e z := x 2 + y 2. Zachodzi równość z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 = z 2.
9 9 Liczby zespolone III Definicja Pamietaj ac, że x = z cos ϕ i y = z sin ϕ otrzymujemy postać trygonometryczna liczby zespolonej z = z (cos ϕ + i sin ϕ) Potegowanie liczb zespolonych u latwia wzór de Moivre a z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Definicja Pierwiastkiem algebraicznym stopnia n liczby zespolonej z nazywamy zbiór (n-elementowy) postaci n z := {w C : w n = z}
10 10 Liczby zespolone IV Zachodzi nastepuj acy wzór Eulera Stad wynikaja zależności cos ϕ = eiϕ + e iϕ 2 e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ oraz sin ϕ = eiϕ e iϕ oraz postać wyk ladnicza liczby zespolonej z = z e iϕ W szczególności, dla ϕ = π i z = 1 otrzymujemy najpi ekniejszy wzór matematyki e iπ + 1 = 0 2i
11 11 Permutacje I Rozważmy zbiór skończony E := {1,..., n}, n 1 oraz zbiór S n := {σ : E E : σ bijekcja}. Definicja Elementy zbioru S n (czyli bijekcje zbioru skończonego) nazywamy permutacjami. Permutacje zapisujemy symbolem σ = ( 1... n a 1... a n ), gdzie σ(j) = a j. Zbiór S n z dzia laniem sk ladania (mnożenia) permutacji tworzy grupe (nieprzemienna dla n 3), która oznaczamy (S n, ).
12 12 Permutacje II Definicja Niech a 1, a 2,..., a k bedzie uk ladem k n liczb. Permutacje ϱ określona wzorem ϱ(a i ) = a i+1, dla i = 1,..., k 1, ϱ(a k ) = a 1 ϱ(j) = j, dla j / {a 1, a 2,..., a k } nazywamy cyklem k-elementowym i zapisujemy skrótowo ϱ = (a 1,..., a k ). Liczbe k nazywamy d lugościa cyklu ϱ. Cykl dwuelementowy nazywamy transpozycja.
13 13 Definicja Permutacje III Cykle ϱ 1 = (a 1,..., a k ) i ϱ 2 = (b 1,..., b l ) nazywamy cyklami roz l acznymi, gdy {a 1,..., a k } {b 1,..., b l } =. Twierdzenie Każda permutacja ze zbioru S n jest cyklem lub z lożeniem cykli roz l acznych. Rozk lad permutacji na cykle roz l aczne jest jednoznaczny. Każda permutacja jest iloczynem transpozycji. Rozk lad taki nie musi być jednoznaczny a transpozycje nie musza być roz l aczne. Jeżeli w pewnym rozk ladzie permutacji σ na transpozycje liczba transpozycji jest parzysta, to jest też taka w dowolnym rozk ladzie na transpozycje tej permutacji.
14 14 Permutacje IV Definicja Permutacje σ S n, w której rozk ladzie wystepuje parzysta (nieparzysta) liczba transpozycji nazywamy permutacja parzysta (nieparzysta). Liczbe sgn (σ) := ( 1) k, gdzie k jest liczba transpozycji w rozk ladzie permutacji σ nazywamy znakiem permutacji σ. Wniosek Znak permutacji jest dobrze określony (nie zależy od wyboru rozk ladu permutacji σ na transpozycje).
15 15 Macierze I Definicje Transpozycja macierzy A nazywamy macierz A T taka, że i, j : A T ij = A ji Sprzeżeniem hermitowskim macierzy A nazywamy macierz A + taka, że i, j : A + ij = A ji Macierz, której elementami sa liczby rzeczywiste nazywamy macierza rzeczywista Macierz, której elementami sa liczby zespolone nazywamy macierza zespolona
16 16 Macierze II Definicje Macierza jednostkowa oznaczana 1 nazywamy macierz taka, że i, j : 1 ij = δ ij Macierz A nazywamy diagonalna jeśli i j : A ij = 0 Macierz nazywamy odwrotna do macierzy A i oznaczamy A 1, jeśli A 1 A = AA 1 = 1
17 17 Macierze III Macierz A jest symetryczna, jeżeli A = A T antysymetryczna, jeżeli A = A T hermitowska, jeżeli A = A + unitarna, jeżeli A 1 = A + ortogonalna, jeżeli jest rzeczywista i unitarna
18 18 Wyk lad 2 Grupy
19 19 Definicja Dzia lanie wewn etrzne Dzia laniem wewn etrznym w zbiorze A nazywamy (dowolne) odwzorowanie f : A A A. Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, dzia lanie wewn etrzne cz esto określa si e jako dzia lanie. Notacja Przy zapisie dzia lań zwykle używana jest notacja infiksowa. Wtedy a f b := f (a, b). Przy zapisie infiksowym najcz eściej oznacza si e dzia lania symbolami zamiast literami, np. : A A A a b := (a, b).
20 20 Dzia lanie l aczne Definicja Dzia lanie : A A A jest l aczne jeżeli a, b, c A : ( (a, b), c) = (a, (b, c)) czy też, w notacji infiksowej Przyk lad a, b, c A : (a b) c = a (b c) Sk ladanie odwzorowań jest dzia laniem l acznym Odejmowanie liczb ca lkowitych jest dzia laniem wewnetrznym, ale nie jest dzia laniem l acznym
21 21 Dzia lanie przemienne Definicja Dzia lanie : A A A jest przemienne jeżeli a, b A : (a, b) = (b, a) czy też, w notacji infiksowej a, b A : a b = b a Przyk lad Mnożenie macierzy kwadratowych nie jest dzia laniem przemiennym Odejmowanie liczb ca lkowitych jest dzia laniem wewn etrznym, ale nie jest dzia laniem przemiennym
22 22 Element neutralny I Definicja Elementem neutralnym wzgl edem dzia lania : A A A nazywamy e A jeżeli Przyk lad a A : a e = e a = a. 0 jest elementem neutralnym dla dodawania liczb 1 jest elementem neutralnym dla mnożenia liczb macierz jednostkowa jest elementem neutralnym dla mnożenia macierzy kwadratowych odwzorowanie identycznościowe jest elementem neutralnym dla sk ladania odwzorowań
23 23 Element neutralny II Twierdzenie Jeżeli element neutralny dzia lania istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie. Dowód. Za lóżmy, że istnieja dwa różne elementy neutralne e 1, e 2 A dzia lania : A A A. Wtedy e 1 = e 1 e 2 = e 2 e 1 = e 2
24 24 Element odwrotny I Definicja Elementem odwrotnym do elementu a A wzgl edem dzia lania : A A A nazywamy b A jeżeli a b = b a = e gdzie e A jest elementem neutralnym. Przyk lad Elementem odwrotnym jest (o ile istnieje) liczba przeciwna dla dodawania liczb liczba odwrotna dla mnożenia liczb macierz odwrotna dla mnożenia macierzy kwadratowych odwzorowanie odwrotne dla sk ladania odwzorowań
25 25 Twierdzenie Element odwrotny II Jeżeli dzia lanie jest l aczne, to element odwrotny (o ile istnieje) jest wyznaczony jednoznacznie. Dowód. Niech b 1, b 2 A bed a różnymi elementami odwrotnymi do elementu a A wzgledem dzia lania : A A A. Wtedy b 1 = b 1 e = b 1 (a b 2 ) = (b 1 a) b 2 = e b 2 = b 2 gdzie e jest elementem neutralnym. Notacja W przypadku dzia lań l acznych zwykle oznaczamy element odwrotny do elementu a przez a 1.
26 26 Grupa Definicja Grupa nazywamy pare uporzadkowan a (G, ) jeżeli 1 : G G G jest dzia laniem l acznym 2 istnieje w G element neutralny wzgledem dzia lania 3 każdy element zbioru G posiada element odwrotny w G Dzia lanie nazywamy dzia laniem grupowym. Definicja Grupe nazywamy przemienna lub abelowa jeżeli dzia lanie grupowe jest przemienne. Notacja Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, grup e (G, ) cz esto oznacza si e przez G. Dzia lanie grupowe zwykle nazywa si e iloczynem.
27 27 Rzad grupy Definicja Rzad grupy G, oznaczany przez G, to moc zbioru G. Ze wzgledu na rzad, grupy dzielimy na skończone nieskończone przeliczalne nieprzeliczalne
28 28 Tabela dzia lania grupowego Jeżeli grupa (G, ) jest grupa skończona, to czesto stosowanym sposobem jej definiowania jest tabela dzia lania grupowego (tabela Cayleya), majaca postać G g 1... g n g 1 g 1 g 1... g 1 g n g n g n g 1... g n g n gdzie w pierwszym wierszu i kolumnie wymienione sa (w tej samej kolejności) wszystkie elementy grupy g 1,..., g n G, a w pozosta lych komórkach wyniki dzia lania grupowego dla odpowiedniej pary elementów.
29 29 Generator grupy Definicja Zbiór S G nazywamy zbiorem generujacym grupe (G, ) jeżeli każdy element G da sie przedstawić jako iloczyn elementów zbioru S. Definicja Minimalnym zbiorem generujacym nazywamy element minimalny rodziny zbiorów generujacych.
30 30 Rzad elementu grupy Definicja Pot eg e elementu grupy definiujemy przez dla n N. Definicja g n = g g... g }{{} n-krotnie Rz edem elementu g grupy skończonej (G, ) nazywamy najmniejsze takie n N, że g n = e.
31 31 Grupa cykliczna Definicja Grupe nazywamy cykliczna, jeżeli minimalny zbiór generujacy jest jednoelementowy. Taki element nazywamy generatorem grupy. Wniosek Grupa cykliczna jest przemienna. Przyk lad { 1, 1} jest zbiorem generujacym (Z, +) obrót wzgledem osi n-krotnej jest generatorem grupy C n ; grupy te sa grupami cyklicznymi
32 32 Podgrupa Definicja Grupa (H, ) jest podgrupa grupy (G, ) jeżeli 1 H G 2 dzia lanie jest zaw eżeniem do zbioru H Notacja Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, dzia lanie grupowe podgrupy zwykle oznacza si e tym samym symbolem co dzia lanie grupowe grupy. Definicja Podgrupa H grupy G jest podgrupa w laściwa jeżeli H G.
33 33 W lasności podgrup Każda grupa jest zarazem swoja podgrupa (niew laściwa) Każda grupa zawiera podgrupe jednoelementowa, zawierajac a element neutralny
34 34 Wyk lad 3 Homomorfizmy. Grupa ilorazowa. Klasy elementów sprz eżonych
35 35 Homomorfizm Definicja Niech (G, ) i (H, ) bed a grupami. Odwzorowanie f : G H jest homomorfizmem jeżeli a, b G : f (a b) = f (a) f (b).
36 36 W lasności homomorfizmów Wniosek Niech homomorfizm h : G H a e G G i e H H oznaczaja elementy neutralne grup G i H. Wtedy h(e G ) = e H. Dowód. g G : h(g) = h(g e G ) = h(g) h(e G ) Wniosek Niech dla homomorfizmu h : G H zachodzi b = h(a). Wtedy h(a 1 ) = b 1. Dowód. h(e G ) = h(a a 1 ) = h(a) h(a 1 ) = b h(a 1 )
37 37 Izomorfizm Definicja Homomorfizm nazywamy izomorfizmem, jeżeli jest zarazem bijekcja. Grupy pomiedzy którymi istnieje izomorfizm nazywamy izomorficznymi. Wniosek Jeżeli grupy sa izomorficzne, to ich struktura algebraiczna jest taka sama.
38 38 Warstwa Definicja Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Dla dowolnego a G zbiór ah = {a h : h H} nazywamy warstwa lewostronna elementu a wzgledem podgrupy H. Analogicznie warstwe prawostronna definiujemy przez Ha = {h a : h H}
39 39 Podzia l grupy na warstwy Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Wprowadźmy relacje L H przynależności do tej samej warstwy lewostronnej a, b G : a L H b h H : a = b h Analogicznie konstruujemy relacje R H dla warst prawostronnych.
40 40 Lemat L H i R H sa relacjami równoważności. Dowód. 1 Relacja L H jest zwrotna: a = a e Podzia l grupy na warstwy 2 Relacja L H jest symetryczna: jeżeli a = b h to b = a h 1. 3 Relacja L H jest przechodnia: jeżeli a = b h 1 i b = c h 2, to a = c h 2 h 1 i h 2 h 1 H 4 Dowód dla relacji R H jest analogiczny. Wniosek Klasami równoważności relacji L H i R H sa warstwy, odpowiednio lewostronne i prawostronne. Oznacza to, że różne warstwy sa roz l aczne a ich suma jest równa ca lej grupie.
41 41 Lemat Weźmy grup e (G, ). Dla dowolnych a, b, c G takich, że a e, b c zachodzi a b a c. Dowód. Moc warstw Mnożac a b = a c lewostronnie przez a 1 otrzymujemy b = c. Twierdzenie Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Dla dowolnego a G zachodzi ah = H. Analogiczne twierdzenie zachodzi dla warst prawostronnych. Dowód. Wprost z lematu wynika możliwość skonstruowania bijekcji H ah.
42 42 Rzad podgrupy Twierdzenie (Lagrange a) Dla grup skończonych rzad podgrupy jest dzielnikiem rzedu grupy. Dowód. Wynika wprost z możliwości podzia lu grupy na warstwy i z faktu, że warstwy skonstruowane z tej samej podgrupy sa równoliczne.
43 43 Podgrupa niezmiennicza Definicja Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Jeżeli a G : ah = Ha to H nazywamy podgrupa niezmiennicza. Wniosek Każda podgrupa grupy abelowej jest niezmiennicza.
44 44 Grupa ilorazowa Niech H bedzi e podgrupa niezmiennicza grupy (G, ). Oznaczmy zbiór warstw generowanych przez podgrupe H jako G/H i wprowadźmy dzia lanie : G/H G/H G/H Ponieważ ah bh = (a b)h 1 jest to dzia lanie l aczne 2 jego elementem neutralnym jest H (czyli warstwa elementu neutralnego) 3 dla każdej warstwy ah istnieje element odwrotny a 1 H (G/H, ) stanowi grupe. Tak skonstruowana grupe nazywamy grupa ilorazowa.
45 45 Elementy sprz eżone Definicja Elementy a, b G nazywamy sprz eżonymi jeżeli g G : g 1 a g = b Twierdzenie Sprzeżenie jest relacja równoważności. Wniosek Relacja sprz eżenia dzieli grup e na klasy elementów sprz eżonych.
46 46 Wyk lad 4 Przestrzenie wektorowe
47 47 Definicja Cia lem nazywamy strukture algebraiczna (K, +,, 0, 1) jeżeli 1 (K, +) jest grupa przemienna z elementem neutralnym 0; dzia lanie grupowe nazywamy dodawaniem Cia lo 2 (K \ {0}, ) jest grupa przemienna z elementem neutralnym 1; dzia lanie grupowe nazywamy mnożeniem 3 zachodzi rozdzielność mnożenia wzgl edem dodawania + Notacja a, b, c K : (a + b) c = a c + b c Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, cia lo (K, +,, 0, 1) zwykle oznacza si e przez K. Zwykle też pomija si e w zapisie mnożenia symbol dzia lania.
48 48 Przyk lady Cia lo stanowia (R, +,, 0, 1) (C, +,, 0, 1) (Q, +,, 0, 1) Nie jest cia lem zbiór liczb ca lkowitych z dodawaniem i mnożeniem liczb jako dzia laniami
49 49 W lasności cia l Twierdzenie Weźmy cia lo (K, +,, 0, 1). Wtedy a K : 0 a = 0 Dowód. 0 a = (0 + 0)a = 0 a + 0 a
50 50 Zaw eżenie zainteresowań W pozosta lej cześci kursu interesujace dla nas bed a jedynie cia la liczb rzeczywistych i liczb zespolonych Pojawiajace sie w dalszej cześci kursu stwierdzenia o wyborze dowolnego cia la należy rozumieć jako wybór pomiedzy cia lem R i C To ograniczenie nie jest istotne dla zastosowań fizycznych Niektóre spośród przedstawionych twierdzeń zachowuja prawdziwość również dla innych cia l, ale nie jest to regu l a
51 51 Dzia lanie zewn etrzne Definicja Dzia laniem zewn etrznym nazywamy dowolne odzworowanie : A B B. Przyk lad Dzia laniem zewnetrznym jest : R C C (mnożenie liczby zespolonej przez liczbe rzeczywista).
52 52 Przestrzeń wektorowa Definicja Weźmy cia lo (K, +,, 0, 1), grupe przemienna (V, ) i dzia lanie zewnetrzne : K V V. Trójke uporzadkowan a (K, V, ) nazywamy przestrzenia wektorowa nad cia lem K jeżeli 1 α K : u, v V : α (u v) = α u α v 2 α, β K : u V : (α + β) u = α u β u 3 α, β K : u V : α (β u) = (α β) u 4 u V : 1 u = u
53 53 Liniowa niezależność Definicja Weźmy przestrzeń wektorowa V nad cia lem K. Uk lad wektorów v 1,..., v n V nazywamy liniowo niezależnym jeżeli α 1,..., α n K : n α i v i = 0 α 1 = α 2... = α n = 0 i=1
54 54 Wymiar i baza przestrzeni Definicja Przestrzeń wektorowa jest n-wymiarowa, jeżeli istnieje w niej liniowo niezależny n-elementowy zbiór wektorów, a każdy n + 1 elementowy uk lad wektorów jest liniowo zależny. Jeżeli dla każdego n istnieje liniowo niezależny n-elementowy zbiór wektorów, przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa. Definicja Baza (uporzadkowan a) przestrzeni n-wymiarowej jest dowolny n-elementowy ciag liniowo niezależnych wektorów.
55 55 Definicja Macierz zmiany bazy Weźmy bazy (e i ) i (e i ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. e 1 = A 1 1 e 1 + A 2 1 e A n 1 e n e 2 = A 1 2 e 1 + A 2 2 e A n 2 e n.. e n = A 1 ne 1 + A 2 ne A n ne n Tak określona macierz A nazywamy macierza zmiany bazy. Notacja W notacji macierzowej powyższe równanie zapiszemy (e 1, e 2,..., e n) = (e 1, e 2,..., e n )A
56 56 W lasności macierzy zmiany bazy Wniosek Macierz zmiany bazy jest nieosobliwa. Wniosek Jeżeli A jest macierza zmiany bazy z (e i ) do (e i ), to macierz zmiany bazy z (e i ) do (e i) jest macierza odwrotna do A.
57 57 Reprezentacja wektora Twierdzenie Weźmy n-wymiarowa przestrzeń wektorowa V nad cia lem K. Każdy wektor v V można w sposób jednoznaczny przedstawić jako kombinacje liniowa wektorów bazy. Dowód. Weźmy baze e 1,..., e n. Niech v 0. Ponieważ przestrzeń jest n-wymiarowa, istnieja takie skalary α 1,..., α n nie wszystkie równe zero i β 0, że n i α i e i + βv = 0. Czyli v = β 1 n i α i e i. Wektor zerowy dany jest kombinacja o wspó lczynnikach równych zero. Definicja Ciag z lożony ze wspó lczynników kombinacji liniowej wektorów bazy przedstawiajacej wektor v nazywamy reprezentacja wektora v.
58 58 W lasności transformacyjne wektorów Weźmy dwie bazy (e i ) i (e i ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Dla każdego wektora v V v = n v i e i = i=1 n v j e j j=1 Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A j i e j. Wtedy ( n n n n n ) v = v i e i = v i A j i e j = v i A j i e j i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 }{{ } v j czyli sk ladowe wektora transformuja sie przez macierz odwrotna do macierzy zmiany bazy.
59 59 Notacja macierzowa Weźmy dwie bazy (e i ) i (e i ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A j i e j. Przedstawmy reprezentacje wektora v V w bazie (e i ) w postaci macierzowej v 1 v v 2 =. v n Wtedy postać macierzowa reprezentacji wektora v w bazie (e i ) otrzymujemy jako v = Av
60 60 Wyk lad 5 Podprzestrzenie. Formy liniowe. Przestrzeń dualna
61 61 Definicja Podprzestrzeń Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Przestrzeń liniowa W nad cia lem K nazywamy podprzestrzenia przestrzeni V jeżeli W V. Definicja Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Pow loka liniowa zbioru wektorów {v 1, v 2,..., v n } takich, że v i V dla i = 1,..., n nazywamy zbiór wszystkich ich kombinacji liniowych. Wniosek Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Pow loka liniowa zbioru wektorów {v 1, v 2,..., v n } takich, że v i V dla i = 1,..., n jest przestrzenia wektorowa. Jest to najmniejsza podprzestrzeń przestrzeni V do której należa wszystkie wektory v 1,..., v n.
62 62 Suma prosta Definicja Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Niech V 1, V 2 bed a podprzestrzeniami V. Jeżeli V 1 V 2 = V i V 1 V 2 = {0}, to powiemy, że V jest suma prosta V 1 i V 2 V = V 1 V 2
63 63 Forma liniowa Definicja Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Forma liniowa nazywamy przekszta lcenie f : V K liniowe, czyli takie, że 1 α K : v V : f (αv) = αf (v) (jednorodność) 2 u, v V : f (u + v) = f (u) + f (v) (addytywność)
64 64 Reprezentacja form liniowych Definicja Weźmy forme liniowa f : V K. Niech (e i ) bedzie baza przestrzeni V. Dla dowolnego wektora v V ( n ) n f (v) = f v i e i = v i f (e i ) }{{} i=1 i=1 f i Ciag (n-elementowy) f i := f (e i ) nazywamy reprezentacja formy liniowej f w bazie (e i ).
65 65 W lasności transformacyjne form liniowych Weźmy dwie bazy (e i ) i (e i ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A j i e j. Dla dowolnej formy liniowej f : V K n n n = f (e i ) = f A j i e j = A j i f (e j) = A j i f j f i j=1 czyli sk ladowe formy liniowej transformuja sie przez macierz zmiany bazy. j=1 j=1
66 66 Wariantność Definicje Obiekty transformujace sie przez macierz zmiany bazy (czyli zgodnie z wektorami bazy) określamy jako kowariantne (np. formy liniowe) Obiekty transformujace sie przez macierz odwrotna do macierzy zmiany bazy (czyli odwrotnie niż wektory bazy) określamy jako kontrawariantne (np. wektory) Ściślej, jeżeli reprezentacja obiektu jest wieloindeksowa, poj ecie wariantności odnosi si e do poszczególnych indeksów.
67 67 Notacja Konwencja sumacyjna Sk ladowe reprezentacji obiektów kowariantnych zwykle oznacza si e indeksem dolnym, a kontrawariantnych górnym. Czyli sk ladowe wektora v oznaczamy przez v i a formy liniowej f przez f i. Notacja W konwencji sumacyjnej Einsteina opuszcza sie znak sumy jeżeli sumowanie przebiega po parze sasiaduj acych ze soba indeksów kowariantnego i kontrawariantnego. Na przyk lad wynik dzia lania formy liniowej f na wektor v f (v) = n f i v i i=1 zapiszemy jako f (v) = f i v i
68 68 Notacja macierzowa Weźmy baze (e i ) w n-wymiarowej przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Z postaci wyrażenia opisujacego dzia lanie formy liniowej f : V K na wektor v n f (v) = f i v i i=1 i faktu, że v jest macierza kolumnowa widać, że reprezentacja formy liniowej f musi być macierza wierszowa f = (f 1, f 2,..., f n ) Wtedy f (v) = fv
69 69 Grupa form liniowych Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Zdefiniujmy dodawanie form liniowych przez (f + g)(v) := f (v) + g(v) gdzie v V a f, g sa formami liniowymi V K. Od razu widać, że tak zdefiniowane dodawanie jest dzia laniem wewnetrznym, l acznym i przemiennym elementem neutralnym jest f 0 dla każdej formy liniowej f istnieje element odwrotny f 1 = f Wniosek Zbiór wszystkich form liniowych f : V K, oznaczany przez V, z dodawaniem zdefiniowanym powyżej stanowi grupe przemienna.
70 70 Przestrzeń dualna Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Wprowadźmy naturalne mnożenie formy liniowej f : V K przez skalar α K (αf )(v) := αf (v) dla każdego v V. Od razu widać, że V stanowi przestrzeń liniowa nad cia lem K. Definicja Przestrzeń V nad cia lem K nazywamy przestrzenia dualna (sprzeżon a) do przestrzeni V. Definicja Niech (e i ) bedzie baza przestrzeni V. Ciag form liniowych (f j ) takich, że f j (e i ) = δ j i nazywamy baza dualna.
71 71 Wyk lad 6 Operatory liniowe
72 72 Operator liniowy Definicja Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Operatorem liniowym nazywamy odwzorowanie L : V V liniowe, czyli takie, że 1 α K : v V : L(αv) = αl(v) (jednorodność) 2 u, v V : L(u + v) = L(u) + L(v) (addytywność) Notacja Zapisujac dzia lanie operatora liniowego na wektor zwykle pomija sie nawiasy Lv := L(v)
73 73 Reprezentacja operatora liniowego Weźmy n-wymiarowa przestrzeń wektorowa V i baze (e i ) w tej przestrzeni. Rozpatrujac i-ta sk ladowa wyniku dzia lania operatora L : V V na dowolny wektor v V i i n n n (Lv) i = L v j e j = v j Le j = v j (Le j ) i }{{} j=1 j=1 j=1 L i j stwierdzamy, że reprezentacja operatora liniowego L jest macierz otrzymana przez dzia lanie L na wektory bazy.
74 74 W lasności transformacyjne operatorów liniowych Weźmy bazy (e i ) i (e i ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Rozważmy dzia lanie operatora liniowego L : V v u = Lv V. W notacji macierzowej u = Lv w bazie (e i ) u = L v w bazie (e i ) Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A j i e j. Wtedy u = A 1 u = A 1 Lv = A} 1 {{ LA} v L
75 75 Grupa liniowa Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Rozpatrzmy zbiór GL(V ) wszystkich odwracalnych operatorów liniowych odwzorowujacych V na V. Latwo stwierdzić, że 1 sk ladanie operatorów jest dzia laniem wewnetrznym w GL(V ) 2 sk ladanie operatorów jest l aczne 3 istnieje element neutralny (operator identycznościowy) Oznacza to, że operatory liniowe odwracalne stanowia grupe ze wzgledu na sk ladanie odwzorowań. Grupe ta oznaczamy przez GL(V ). Wniosek W przestrzeni n-wymiarowej grupa GL(V ) jest izomorficzna z grupa odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia n.
76 76 Operatory kwantowomechaniczne Wszystkie operatory kwantowomechaniczne sa operatorami liniowymi. W szczególności dotyczy to operatorów: energii (hamiltonianu) p edu momentu p edu po lożenia kreacji/anihilacji drabinkowych
77 77 Wyk lad 7 Zagadnienie w lasne
78 78 Zagadnienie w lasne Definicja Weźmy operator liniowy L określony na przestrzeni wektorowej V nad cia lem K. Mówimy, że λ K jest wartościa w lasna operatora L jeżeli istnieje wektor v V \ {0} taki, że Lv = λv Wektorem w lasnym operatora L do wartości w lasnej λ K nazywamy każdy wektor v V spe lniajacy Lv = λv, które to równanie nazywamy zagadnieniem w lasnym operatora L. Definicja Zbiór wartości w lasnych operatora nazywamy jego widmem (spektrum).
79 Wielomian charakterystyczny Rozpatrzmy zagadnienie w lasne operatora L określonego na n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Po ustaleniu bazy przyjmuje ono postać macierzowa Przekszta lcajac Lv = λv Lv λv = 0 (L λi)v = 0 otrzymujemy jednorodny uk lad n równań liniowych na n niewiadomych v i. Uk lad ten ma niezerowe rozwiazanie wtedy, gdy det(l λi) = 0 Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym, a jego lewa strone wielomianem charakterystycznym operatora L. 79
80 80 Niezmienniczość wielomianu charakterystycznego Niech A bedzie macierza zmiany bazy z (e i ) do (e i ) w skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V. Rozpatrzmy wielomian charakterystyczny operatora L : V V, którego reprezentacje macierzowa w bazie (e i ) oznaczymy przez L, a w bazie (e i ) przez L. Wtedy det(l λi) = det(a 1 LA λi) = = det(a 1 (L λi)a) = det(a 1 ) det(l λi) det(a) = czyli wielomian charakterystyczny jest niezmienniczy (inwariantny) ze wzgl edu na zmian e bazy. = det(l λi)
81 81 Liniowa niezależność wektorów w lasnych I Twierdzenie Weźmy przestrzeń wektorowa V nad cia lem K. Jeżeli v 1, v 2,..., v k V sa wektorami w lasnymi operatora liniowego L : V V do różnych wartości w lasnych λ i λ j dla i j, i, j = 1, 2,... k, to v 1, v 2,..., v k sa liniowo niezależne.
82 82 Liniowa niezależność wektorów w lasnych II Dowód. Niech v 1, v 2,..., v k 1 liniowo niezależne. Rozpatrzmy α 1 v α k v k = 0 które, po przekszta lceniach, prowadzi do L(α 1 v α k v k ) λ k (α 1 v α k v k ) = α 1 (λ 1 λ k )v α k (λ k 1 λ k )v k 1 = 0 Ponieważ wspó lczynniki λ i λ k 1 w powyższym wyrażeniu sa niezerowe, równanie jest spe lnione tylko gdy α 1 =... = α k 1 = 0, z czego wynika, że α k = 0.
83 83 Podprzestrzeń w lasna Twierdzenie Weźmy przestrzeń wektorowa V nad cia lem K. Jeżeli v 1, v 2,..., v k V sa wektorami w lasnymi operatora liniowego L : V V do wartości w lasnej λ to każda ich kombinacja liniowa v = α 1 v 1 + α 2 v α k v k jest wektorem w lasnym. Dowód. Lv = L(α 1 v 1 + α 2 v α k v k ) = = α 1 Lv 1 + α 2 Lv α k Lv k = = α 1 λv 1 + α 2 λv α k λv k = λv Definicja Podprzestrzeń rozpieta przez wektory w lasne do tej samej wartości w lasnej nazywamy podprzestrzenia w lasna do tej wartości w lasnej.
84 84 Definicja Diagonalizacja I Niech V bedzie przestrzenia o skończonym wymiarze n nad cia lem K. O operatorze liniowym L w tej przestrzeni mówimy, że jest diagonalizowalny, jeżeli istnieje baza, w której reprezentacja operatora L jest macierza diagonalna. Twierdzenie Niech L b edzie operatorem liniowym w przestrzeni V o skończonym wymiarze n nad cia lem K. Wtedy 1 widmo operatora L jest zbiorem co najwyżej n-elementowym z lożonym z pierwiastków wielomianu charakterystycznego 2 wymiar podprzestrzeni w lasnej do wartości w lasnej λ jest mniejszy badź równy krotności λ jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego 3 jeżeli wielomian charakterystyczny ma n różnych pierwiastków, to operator L jest diagonalizowalny
85 85 Diagonalizacja II Twierdzenie Operator liniowy w przestrzeni skończenie wymiarowej jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wymiary wszystkich jego podprzestrzeni w lasnych sa równe krotnościom odpowiednich pierwiastków wielomianu charakterystycznego.
86 86 Przyk lad Równanie Schrödingera Hψ = Eψ jest zagadnieniem w lasnym hamiltonianu uk ladu kwantowomechanicznego. Wtedy wektory w lasne reprezentuja stany uk ladu wartości w lasne sa energiami tych stanów
87 87 Wyk lad 8 Przestrzeń unitarna
88 88 Forma pó ltoraliniowa Weźmy przestrzeń V nad cia lem K. Forma pó ltoraliniowa nazywamy odwzorowanie f : V V K antyliniowe w pierwszym i liniowe w drugim argumencie, czyli takie, że 1 α, β K : u, v V : f (αu, βv) = αβf (u, v) 2 u, v, w V : f (u + v, w) = f (u, w) + f (v, w) 3 u, v, w V : f (u, v + w) = f (u, v) + f (u, w)
89 89 Reprezentacja form pó ltoraliniowych Definicja Weźmy forme pó ltoraliniowa f : V V K. Niech (e i ) bedzie baza przestrzeni V. Dla dowolnych wektorów u, v V n n n n f (u, v) = f u i e i, v j e j = u i v j f (e i, e j ) }{{} i=1 j=1 i=1 j=1 f ij Macierz f ij := f (e i, e j ) nazywamy reprezentacja formy pó ltoraliniowej f w bazie (e i ).
90 90 W lasności transformacyjne form pó ltoraliniowych Weźmy dwie bazy (e i ) i (e i ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A j i e j. Dla dowolnej formy pó ltoraliniowej f : V V K f ij = f (e i, e j) = f ( n A k i e k, ) n A l je l = k=1 l=1 n n n n = A k i A l jf (e k, e l ) = A k i A l if kl k=1 l=1 k=1 l=1
91 91 Notacja macierzowa Weźmy baze (e i ) w n-wymiarowej przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Z postaci wyrażenia opisujacego dzia lanie formy pó ltoraliniowej f : V V K na pare wektorów u, v f (u, v) = n i=1 j=1 n u i f ij v j i faktu, że u, v sa macierzami kolumnowymi widać, że powyższe równanie przyjmuje w notacji macierzowej postać f (u, v) = u + fv
92 92 Forma pó ltoraliniowa hermitowska Definicja Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Niech f : V V K bedzie forma pó ltoraliniowa. Jeżeli u, v V : f (u, v) = f (v, u) to forme f nazywamy hermitowska. Wniosek Reprezentacja macierzowa formy pó ltoraliniowej hermitowskiej jest macierza hermitowska.
93 93 Forma kwadratowa Definicja Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K. Każdej formie pó ltoraliniowej hermitowskiej f : V V K odpowiada forma kwadratowa ϕ : V R zdefiniowana przez dla dowolnego wektora v V. ϕ(v) := f (v, v)
94 94 Określoność formy kwadratowej Definicja Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Forma kwadratowa ϕ : V R jest dodatnio określona jeżeli v V \ {0} : ϕ(v) > 0 nieujemnie określona jeżeli v V : ϕ(v) 0 ujemnie określona jeżeli v V \ {0} : ϕ(v) < 0 niedodatnio określona jeżeli v V : ϕ(v) 0 Określoność formy kwadratowej determinuje zarazem określoność odpowiadajacej jej formy pó ltoraliniowej.
95 95 Baza kanoniczna formy pó ltoraliniowej Twierdzenie (Lagrange a) Niech V bedzie n-wymiarowa przestrzenia liniowa nad cia lem K. Dla każdej dodatnio określonej formy pó ltoraliniowej (hermitowskiej) f : V V K istnieje baza, w której u, v V : f (u, v) = n u i v i i=1 Baze ta nazywamy baza kanoniczna formy f.
96 96 W lasności macierzy formy dodatnio określonej Twierdzenie Niech V bedzie skończenie wymiarowa przestrzenia liniowa nad cia lem K. Jeżeli f jest reprezentacja dodatnio określonej hermitowskiej formy pó ltoraliniowej f : V V K, to det(f) > 0. Dowód. Oznaczmy baze reprezentacji f przez (e i ). Na mocy twierdzenia Lagrange a istnieje baza (e i ) w której reprezentacja f jest macierza jednostkowa. Oznaczajac przez A macierz zmiany bazy otrzymujemy det(f) = det(a + f A) = det(a + ) det(f ) det(a) = det(a) 2 > 0
97 97 Definicje Przestrzeń unitarna Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K. Wybierzmy pewna dodatnio określona forme pó ltoraliniowa (hermitowska) g : V V K. Strukture algebraiczna (V, K, g) nazywamy przestrzenia unitarna Reprezentacje macierzowa formy g nazywamy tensorem metrycznym Skalar u, v := g(u, v) nazywamy iloczynem skalarnym wektorów u, v V. Jeżeli dla pewnych u, v V \ {0} zachodzi u, v = 0 to mówimy, że u, v sa ortogonalne Skalar u := g(u, u) nazywamy d lugościa (norma) wektora u Wektor u taki, że u = 1 nazywamy wektorem unormowanym
98 98 Przyk lad przestrzeni unitarnej Rozpatrzmy przestrzeń nad cia lem liczb zespolonych rozpinana przez orbitale atomowe. Ustalmy jako iloczyn skalarny g(ϕ, ψ) = ϕ(r) ψ(r)d 3 r R 3 Tensorem metrycznym w bazie orbitali atomowych jest macierz ca lek nak ladania S. Warunek ortogonalności orbitali molekularnych dany jest przez C + SC = 1 gdzie C jest macierza wspó lczynników orbitali molekularnych
99 99 Zwiazek wektora z forma liniowa Niech V bedzie n-wymiarowa przestrzenia unitarna nad cia lem K. Istnienie tensora metrycznego g pozwala nam na utożsamienie wektora v i pewnej formy liniowej f poprzez zwiazek f i = n g ij v j j=1
100 100 Ortogonalizacja Niech V bedzie przestrzenia unitarna nad cia lem K. Weźmy uk lad liniowo niezależnych wektorów w tej przestrzeni (u 1,..., u n ). Możliwe jest skonstruowanie ciagu wektorów (v 1,..., v n ) takich, że 1 v i = n k=1 C ik u k 2 v i, v j = 0, dla i j dla i, j = 1,..., n. Procedure taka nazywamy ortogonalizacja uk ladu wektorów.
101 101 Ortogonalizacja Grama-Schmidta Najprostsza procedura ortogonalizacji jest ortogonalizacja Grama-Schmidta: 1 v 1 = u 1 2 v 2 = u 2 u 2,v 1 v 1 v 1 3 v 3 = u 3 u 3,v 2 v 2 v 2 u 3,v 1 v 1 v
102 102 Ortogonalizacja Löwdina Definicja Pierwiastkiem macierzy hermitowskiej dodatnio określonej S nazywamy taka macierz S 1 2, że S 1 2 S 1 2 = S. Macierz odwrotna do S 1 2 oznaczamy przez S 1 2. Zdefiniujmy macierz S przez S ij = u i, u j. Wtedy wektory v i = n j=1 ( ) S 1 2 u j ij stanowia uk lad ortogonalny. Procedura ta nosi nazwe ortogonalizacji Löwdina (symetrycznej).
103 103 Operator hermitowski Twierdzenie Niech V bedzie przestrzenia unitarna nad cia lem K. Dla każdego operatora L w tej przestrzeni istnieje dok ladnie jeden operator L + taki, że u, v V : u, Lv = L + u, v Operator L + nazywamy operatorem sprz eżonym do operatora L. Definicja Operator L nazywamy hermitowskim (samosprz eżonym) jeżeli L = L +.
104 104 W lasności operatorów hermitowskich Wniosek Reprezentacja operatora samosprzeżonego jest macierza hermitowska. Twierdzenie Operator hermitowski jest diagonalizowalny. Wniosek Wartości w lasne operatora hermitowskiego sa rzeczywiste.
105 105 Wyk lad 9 Reprezentacja grupy
106 106 Poj ecie reprezentacji Definicja Reprezentacja grupy G nazywamy dowolny homomorfizm ρ : G GL(V ) gdzie V jest n-wymiarowa przestrzenia wektorowa, a GL(V ) grupa odwracalnych przekszta lceń liniowych T : V V Wprowadzenie bazy przestrzeni V pozwala na utożsamienie reprezentacji z homomorfizmem w grup e odwracalnych macierzy stopnia n.
107 107 Zaw eżenie zainteresowań Na potrzeby tego wyk ladu ograniczymy si e do: skończonych grup operatorów symetrii reprezentacji unitarnych
108 108 Konstrukcja postaci macierzowej reprezentacji W przestrzeni wektorowej V wprowadźmy pewna baze (e i ) Zdefiniujmy dzia lanie grupy G dla operatorów z grupy G takie, że: wynikiem dzia lania dowolnego operatora na dowolny wektor bazy jest pewien wektor z przestrzeni V Re i = struktura grupy jest zachowana N e j D ji (R) j=1 SR = U D(S)D(R) = D(U) Macierz D(R) bedziemy traktować jako reprezentanta macierzowego operatora R w danej bazie, uk lad takich macierzy wyznaczonych dla wszystkich operatorów grupy G bedziemy nazywać reprezentacja macierzowa grupy G.
109 109 Reprezentacje macierzowe - przyk lad grupa: C 4 baza: kanoniczna przestrzeni kartezjańskiej dzia lanie grupowe: przekszta lcenia geometryczne E C C C
110 110 Reprezentacje równoważne Zmiana bazy przestrzeni V prowadzi do zmiany postaci macierzowej reprezentacji. Odpowiednie reprezentacje macierzowe bedziemy nazywać reprezentacjami równoważnymi. Zwiazek miedzy macierzami reprezentacji równoważnych jest zadany przez macierz zmiany bazy. Twierdzenie Jeśli dwie bazy przestrzeni wektorowej sa zwiazane nastepuj ac a zależnościa (e 1, e 2,... e N) = (e 1, e 2,... e N )A to odpowiednie reprezentanty macierzowe D (R) i D(R) spe lniaja zwiazek D (R) = A 1 D(R)A
111 111 Przywiedlność reprezentacji Definicja Niech G bedzie dzia laniem grupy G określonym na przestrzeni V. Niech W bedzie zbiorem wszystkich podprzestrzeni przestrzeni V zamknietych ze wzgledu na G. Jeśli W zawiera tylko dwa elementy: podprzestrzeń zerowa i ca l a przestrzeń V, to reprezentacje zadana przez G nazywamy reprezentacja nieprzywiedlna. W każdym innym przypadku, reprezentacja ta jest reprezentacja przywiedlna. Twierdzenie Każda reprezentacje grupy skończonej można roz lożyć na sume prosta reprezentacji nieprzywiedlnych.
112 112 Przywiedlność w obrazie macierzowym Rozk lad reprezentacji na reprezentacje nieprzywiedlne można utożsamić z podzia lem przestrzeni V na sume prosta podprzestrzeni. Wprowadzenie bazy umożliwia prze lożenie tej operacji na jezyk macierzy: jednowymiarowa reprezentacja macierzowa jest nieprzywiedlna każda grupa posiada trywialna reprezentacje nieprzywiedlna z lożona z macierzy jednostkowych stopnia 1 reprezentacja macierzowa o wymiarze wiekszym od 1 jest przywiedlna, jeżeli istnieje reprezentacja równoważna, w której wszystkie reprezentanty macierzowe sa blokowo-diagonalne i maja identyczna strukture blokowa macierze utworzone z odpowiednich diagonalnych bloków reprezentantów macierzowych tworza reprezentacje
113 113 Rozk lad reprezentacji I grupa C 4 baza kanoniczna przestrzeni kartezjańskiej Reprezentacja Γ E C C 4 C
114 114 Rozk lad reprezentacji II Macierz zmiany bazy 1 2 i 2 0 i Reprezentacja równoważna E C C 4 C 3 4 i i i i
115 115 Rozk lad reprezentacji III Γ = Γ 1 Γ 2 Γ 3 E C 4 C 2 4 C 3 4 Γ 1 (1) (-i) (-1) (i) Γ 2 (1) (i) (-1) (-i) Γ 3 (1) (1) (1) (1)
116 116 Wyk lad 10 Twierdzenia o ortogonalności
117 117 I lemat Schura Twierdzenie Jeśli D (µ) (R) i D (ν) (R) sa macierzami różnych reprezentacji nieprzywiedlnych oraz dla pewnej macierzy A zwiazek AD (µ) (R) = D (ν) (R)A jest spe lniony dla każdego operatora R w grupie, to A = 0
118 118 II lemat Schura Twierdzenie Jeśli D (µ) (R) jest macierza reprezentacji nieprzywiedlnej oraz dla pewnej macierzy A zwiazek AD (µ) (R) = D (µ) (R)A jest spe lniony dla każdego operatora R w grupie, to A = λ1, gdzie λ jest liczba rzeczywista
119 119 Wielkie twierdzenie o ortogonalności Twierdzenie Jeśli Γ µ i Γ ν sa reprezentacjami nieprzywiedlnymi grupy G skończonego rzedu g o wymiarach odpowiednio n µ i n ν, to reprezentanty macierzowe spe lniaj a zwiazek R G D (µ) il (R) D (ν) jm (R) = g δ il δ jm δ µν n µ
120 120 Charaktery Definicja Charakterem operatora R w µ-tej reprezentacji nazywamy ślad reprezentanta macierzowego operatora R w tej reprezentacji χ (µ) (R) = n µ i=1 D (µ) ii (R)
121 121 Ma le twierdzenie o ortogonalności I Twierdzenie Jeśli Γ µ i Γ ν sa reprezentacjami nieprzywiedlnymi grupy G skończonego rzedu g, to χ (µ) (R) χ (ν) (R) = gδ µν R G
122 122 Ma le twierdzenie o ortogonalności II Dowód. Na mocy wielkiego twierdzenia o ortogonalności R G ( nµ ) D (µ) ii (R) R G i=1 Stad i z definicji charakteru D (µ) ii (R) D (ν) jj (R) = g δ n ijδ 2 µν µ n ν j=1 D (ν) jj χ (µ) (R) χ (ν) (R) = g R G (R) = g n µ n µ i=1 1 n µ n ν j=1 δ 2 ijδ µν. n µ n µ δ 2 ij δ µν = g i=1 j=1
123 123 Pożyteczne w lasności Twierdzenie Suma kwadratów wymiarów reprezentacji nieprzywiedlnych grupy jest równa rz edowi tej grupy Twierdzenie Suma kwadratów charakterów dowolnej reprezentacji nieprzywiedlnej jest równa rz edowi grupy Twierdzenie Charaktery dowolnej reprezentacji sa równe dla elementów grupy należacych do tej samej klasy elementów sprzeżonych Twierdzenie Liczba reprezentacji nieprzywiedlnych danej grupy równa jest liczbie klas elementów sprz eżonych
124 124 Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych I Grupa D 3 E, 2C 3, 3C 2 ; rzad grupy g = 6, liczba klas: 3 liczba reprezentacji nieprzywiedlnych jest równa liczbie klas: m = 3 suma kwadratów wymiarów reprezentacji nieprzywiedlnych jest równa rzedowi grupy: rozwiazanie równania n1 2 + n2 2 + n2 3 = 6 daje informacje, że mamy do czynienia z dwiema reprezentacjami jednowymiarowymi i jedna reprezentacja dwuwymiarowa Każda grupa posiada reprezentacje nieprzywiedlna, dla której wszystkie charaktery sa równe jedności (dlaczego?) χ Γ 1 (E) = 1, χ Γ 1 (C 3 ) = 1, χ Γ 1 (C 2 ) = 1
125 125 Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych II Modu l charakteru reprezentacji jednowymiarowej musi być równy 1 (dlaczego?) Ponadto, charakter odpowiadajacy elementowi neutralnemu grupy musi być równy wymiarowi reprezentacji (dlaczego?) Z powyższych i z ma lego twierdzenia o ortogonalności możemy wywnioskować, że: zestaw charakterów dla drugiej z reprezentacji jednowymiarowych ma postać χ Γ 2 (E) = 1, χ Γ 2 (C 3 ) = 1, χ Γ 2 (C 2 ) = 1 zestaw charakterów dla reprezentacji dwuwymiarowej to χ Γ 3 (E) = 2, χ Γ 3 (C 3 ) = 1, χ Γ 3 (C 2 ) = 0
126 126 Tabele charakterów D 3 E 2C 3 3C 2 A x 2 + y 2, z 2 A z, R z E (x, y), (R x, R y ) (x 2 y 2, xy), (xz, yz) W kolejnych kolumnach symbol reprezentacji charaktery dla poszczególnych klas operacji symetrii w lasności transformacyjne sk ladowych wektorów i pseudowektorów w przestrzeni kartezjańskiej w lasności transformacyjne iloczynów sk ladowych wektorów w przestrzeni kartezjańskiej
127 127 Symbolika Mullikena I reprezentacje jednowymiarowe oznacza si e symbolem A lub B, dwuwymiarowe - symbolem E, trójwymiarowe - symbolem T reprezentacje jednowymiarowe, dla których charakter odpowiadajacy obrotowi wzgledem osi g lównej C n wynosi 1 (zwane reprezentacjami symetrycznymi wzgledem tego obrotu) oznacza sie symbolem A, reprezentacje dla których χ(c n ) = 1 (reprezentacje antysymetryczne) - symbolem B indeksy dolne 1 i 2 dopisane do symbolu A lub B oznaczaja odpowiednio symetrie i antysymetrie reprezentacji wzgledem obrotu wokó l osi C 2 prostopad lej do osi g lównej lub, jeśli taka oś nie istnieje, symetrie (antysymetrie) dla odbicia wzgledem σ v
128 128 Symbolika Mullikena II znaki i dodaje si e dla zaznaczenia odpowiednio symetrii i antysymetrii wzgl edem odbicia w p laszczyźnie σ h indeksy dolne g i u stosuje si e dla zaznaczenia odpowiednio symetrii i antysymetrii wzgl edem operacji inwersji na nasze potrzeby możemy przyjać, że stosowanie indeksów liczbowych dla reprezentacji wielowymiarowych jest dowolne i s luży jedynie ich odróżnieniu od siebie w razie konieczności
129 129 W lasności transformacyjne x, y, z I grupa D 3 baza kanoniczna przestrzeni kartezjańskiej wybieramy do rozważań obrót wzgledem osi C 2 pokrywajacej sie z osia OY E C 3 C 2 cos 2π 3 sin 2π 3 0 sin 2π 3 cos 2π
130 130 W lasności transformacyjne x, y, z II blokowa struktura macierzy reprezentacji pozwala na rozk lad ( E ) ( C 3 ) ( C 2 ) 1 0 cos 2π Γ 3 sin 2π x,y 0 1 sin 2π 3 cos 2π ( ) ( ) ( ) Γ z charaktery reprezentacji Γ x,y odpowiadaja reprezentacji nieprzywiedlnej E para wersorów w kierunkach x, y stanowi baze reprezentacji E wspó lrz edne x, y transformuja sie zgodnie z reprezentacja E wspó lrz edna z transformuje sie zgodnie z reprezentacja A 2
131 131 Wyk lad 11 Operatory rzutowe
132 132 Twierdzenie o rozk ladzie I Twierdzenie Jeżeli reprezentacje Γ przedstawimy w postaci sumy prostej reprezentacji nieprzywiedlnych, to reprezentacja Γ ν pojawi sie w takim rozk ladzie reprezentacji a ν razy, gdzie a ν jest zadane nastepuj aco a ν = 1 χ (ν) (R) χ(r) g R G
133 133 Twierdzenie o rozk ladzie II Dowód. Jeżeli reprezentacje Γ przedtawimy jako sume prosta reprezentacji nieprzywiedlnych a przez a µ oznaczymy liczbe wystapień reprezentacji Γ µ, to spe lniona jest nastepuj aca zależność: χ(r) = µ a µ χ (µ) (R). Mnożac obustronnie przez χ (ν) (R) i sumujac po wszystkich elementach grupy otrzymujemy χ (ν) (R) χ(r) = a µ χ (ν) (R) χ (µ) (R) = R G µ R G = a µ gδ µν = a ν g µ
134 134 Operatory rzutowe I Niech ψ = µ n µ i=1 ψ (µ) i gdzie ψ jest dowolna funkcja (wektorem) z przestrzeni V, a ψ (µ) i funkcja (wektorem) transformujacym sie zgodnie z i-tym wierszem reprezentacji nieprzywiedlnej Γ µ. Jak wyznaczyć poszczególne ψ (µ) i? Twierdzenie gdzie ψ (µ) P (µ) i = n µ g i = P (µ) i ψ R D (µ) ii (R) R
135 135 Operatory rzutowe II Rozważmy sume n µ funkcji transformujacych sie zgodnie z kolejnymi wierszami reprezentacji Γ µ ψ (µ) = n µ i=1 ψ (µ) i Twierdzenie ψ (µ) = P (µ) ψ gdzie P (µ) = n µ g χ (µ) (R) R R
136 136 Operatory rzutowe III pos lugiwanie sie operatorami P (µ) jest wygodniejsze niż operatorami P (µ) i w przypadku reprezentacji jednowymiarowych oba zestawy operatorów sa identyczne dla n µ > 1 operatory P (µ) gubia cześć informacji
137 137 W lasności operatorów rzutowych Operatory P sa idempotentne i ortogonalne P (µ) i P (ν) j = P (µ) i δ ij δ µν Suma wszystkich operatorów P jest operatorem identycznościowym ψ = µ n µ i=1 P (µ) i ψ
138 138 Struktura π-elektronowa etylenu I grupa: D 2h baza: walencyjne orbitale p z atomów w egla konwencja: oś x skierowana wzd luż wiazania podwójnego Reprezentacja Γ ( ) 1 0 E 0 1 C z 2 ( ) C y 2 ( ( ) ( ) ( C2 x i σ xy ( ) ( ) σ xz 1 0 σ yz ) )
139 139 Struktura π-elektronowa etylenu II Rozk lad reprezentacji Γ na reprezentacje nieprzywiedlne E C z 2 C y 2 C x 2 i σ xy σ xz σ yz A g B 1g B 2g B 3g A u B 1u B 2u B 3u Γ Γ = B 2g B 1u
140 140 Struktura π-elektronowa etylenu III Operatory rzutowe P B 2g = 1 8 ( E C z 2 + C y 2 C x 2 + i σ xy + σ xz σ yz) P B 1u = 1 8 ( E + C z 2 C y 2 C x 2 i σ xy + σ xz + σ yz)
141 141 Struktura π-elektronowa etylenu IV Rezultat dzia lania operatorów rzutowych P B 2g p z1 = 1 2 (p z 1 p z2 ) P B 2g p z2 = 1 2 (p z 2 p z1 ) P B 1u p z1 = 1 2 (p z 1 + p z2 ) P B 1u p z2 = 1 2 (p z 1 + p z2 )
142 142 Baza orbitali symetrii Struktura π-elektronowa etylenu V φ 1 = 1 2 (p z1 p z2 ) φ 2 = 1 2 (p z1 + p z2 ) Reprezentacja w bazie orbitali symetrii ( ) ( 1 0 E C z ) C y 2 ( ( ) ( ) ( C2 x i σ xy ( ) ( ) σ xz 1 0 σ yz ) )
143 143 Wyk lad 12 Iloczyn prosty reprezentacji. Regu ly wyboru.
144 144 Iloczyn prosty reprezentacji Definicja ( Niech zestawy funkcji ψ (µ) ) nµ ( i i i=1 odpowiednio reprezentacji Γ µ i Γ ν Rψ (µ) i = Rψ (ν) j = ψ (ν) ) nν j n µ ψ (µ) k D (µ) ki (R) k=1 n ν l=1 ψ (ν) l bed j=1 a bazami D (ν) lj (R) Przez iloczyn prosty reprezentacji Γ µ ν = Γ µ Γ ν bedziemy rozumieć reprezentacje, dla której baza jest zbiór iloczynów ψ (µ) i ψ (ν) j
145 145 Reprezentacja macierzowa iloczynu prostego Wynik dzia lania operatora R na element zbioru ψ (µ) i ψ (ν) j ma postać R(ψ (µ) i ψ (ν) j ) = n µ n ν k=1 l=1 ψ (µ) k ψ (ν) l D (µ) ki (R)D (ν) (R) lj Stad D (µ ν) kl,ij (R) = D (µ) ki (R)D (ν) lj (R)
146 146 Charaktery reprezentacji iloczynowej Twierdzenie Dowód. χ (µ ν) (R) = χ (µ ν) (R) = χ (µ) (R)χ (ν) (R) χ (µ ν) (R) = n µ n ν i=1 j=1 D (µ) ij n µ n ν i=1 j=1 D (µ ν) ij,ij (R) (R)D (ν) (R) = χ (µ) (R)χ (ν) (R) ij
147 147 Rozk lad reprezentacji iloczynowej Z twierdzenia o rozk ladzie: D 3 E 2C 3 3C 2 A A E E A E E E A 2 = E E A 2 = A 1 A 2 E
148 148 W lasności iloczynu prostego Twierdzenie Reprezentacja Γ σ zawiera si e w iloczynie Γ µ Γ ν tyle razy, ile razy reprezentacja Γ µ zawiera si e w iloczynie Γ ν Γ σ i tyle razy, ile razy reprezentacja Γ ν zawiera si e w iloczynie Γ µ Γ σ Twierdzenie Iloczyn prosty reprezentacji nieprzywiedlnych Γ µ i Γ ν zawiera reprezentacje pe lnosymetryczna 0 lub 1 razy. Drugi z wymienionych przypadków zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy µ = ν.
149 149 Ca lki I Twierdzenie Niech Γ µ bedzie reprezentacja nieprzywiedlna grupy G różna od reprezentacji pe lnosymetrycznej. Jeśli funkcja ψ (µ) i o argumentach x 1, x 2,... x N transformuje sie zgodnie z i-tym wierszem reprezentacji Γ µ to... ψ (µ) i dx 1 dx 2... dx N = 0
150 150 Ca lki II Twierdzenie Jeśli funkcje ψ (µ) i i ψ (ν) j o argumentach x 1, x 2,... x N transformuja sie odpowiednio zgodnie z i-tym wierszem reprezentacji Γ µ i j-tym wierszem reprezentacji Γ ν, to... φ (ν) dx 1 dx 2... dx N ψ (µ) i może być różna od 0 wtedy i tylko wtedy, gdy i = j i µ = ν. j
151 151 Regu ly wyboru Kiedy ca lka... ψ 1 Ôψ 2 dx 1 dx 2... dx N może być różna od zera? Twierdzenie Jeśli jeden ze stanów, mi edzy którymi zachodzi przejście, należy do reprezentacji Γ µ, drugi do reprezentacji Γ ν, a operator Ô do reprezentacji Γ σ, to przejście indukowane przez operator Ô jest dozwolone, jeśli Γ σ Γ µ Γ ν
Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Chemii I
Zwi ekszenie liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścis lych Uniwersytetu Jagiellońskiego POKL.04.01.02-00-097/09-00 Matematyczne Metody Chemii I Wyk lad dla III roku Chemii UJ Grzegorz
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Chemii I
Zwi ekszenie liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścis lych Uniwersytetu Jagiellońskiego POKL.04.01.02-00-097/09-00 Matematyczne Metody Chemii I Wyk lad dla III roku Chemii UJ Grzegorz
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Chemii I
Zwi ekszenie liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścis lych Uniwersytetu Jagiellońskiego POKL.04.01.02-00-097/09-00 Matematyczne Metody Chemii I Wyk lad dla III roku Chemii UJ Grzegorz
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowospis treści 1 Zbiory i zdania... 5
wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Chemii I Zadania
Matematyczne Metody Chemii I Zadania Mariusz Radoń, Marcin Makowski, Grzegorz Mazur Zestaw Zadanie. Pokazać, że wyznacznik dowolnej macierzy unitarnej jest liczbą o module. Zadanie. Pokazać, że elementy
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoSzczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19
Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19 1. Zbiory, zdania i formy zdaniowe. 2. Operacje logiczne i podstawowe prawa rachunku
Bardziej szczegółowoInformacje o kursie. Historia mechaniki kwantowej. Niezb. ednik matematyczny. Wyk lad 1
Wyk lad 1 Informacje o kursie. Historia mechaniki kwantowej. Niezb ednik matematyczny Plan wyk ladów 13 X, 20 X, 27 X, 3 XI - podstawy mechaniki kwantowej: postulaty, uk lady modelowe, formalizm drugiego
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoWstęp do komputerów kwantowych
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoZadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2
Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoStruktura elektronowa czasteczek. przybliżenie Borna-Oppenheimera. równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader
Notatki do wyk ladu VII Struktura elektronowa czasteczek przybliżenie Borna-Oppenheimera rozwiazanie równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader przybliżenie jednoelektronowe metoda
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoLiteratura: Oznaczenia:
Literatura: 1. R.R.Andruszkiewicz,,,Wyk lady z algebry ogólnej I, Wydawnictwo UwB, Bia lystok 2005. 2. Cz. Bagiński,,,Wst ep do teorii grup, Wydawnictwo Script, Warszawa 2002. 3. M. Bryński i J. Jurkiewicz,,,Zbiór
Bardziej szczegółowo1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów
Wyk lad 6 Przyk lady hooorfizów Przyk lad 6.1. Dla dowolnych grup (G 1, 1, e 1 ), (G 2, 2, e 2 ) przekszta lcenie f: G 1 G 2 dane wzore f(x) = e 2 dla x G 1 jest hooorfize grup, bo f(a) 2 f(b) = e 2 2
Bardziej szczegółowoc ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoPisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8
EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja
Bardziej szczegółowoGAL, konspekt wyk ladów: Tensory
GAL, konspekt wyk ladów: Tensory 8.6.2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. [Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Iloczyn tensorowy
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo1 Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych
Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych 2. Wektory. 2.. Wektor jako n ka liczb W fizyce mamy do czynienia z pojęciami lub obiektami o różnym charakterze. Są np. wielkości,
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowo