Wyk lad 3 Wyznaczniki

Transkrypt

1 1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1 powsta l a z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy A [ ] [ ] Przyk lad 31 Niech A = Wówczas A 12 = oraz A 21 = Wyznacznikiem nazywamy taka funkcje przyporzadkowuj ac a każdej macierzy kwadratowej A pewna liczbe (oznaczana przez det(a)), która spe lnia nastepuj ace warunki: (i) jeśli A = [a] jest 1 1-macierza, to det(a) = a, (ii) jeśli a A = 21 a 22 a 2n, (1) a n1 a n2 a nn gdzie n > 1, to det(a) = n ( 1) i+n a in det(a in ) (2) i=1 Wyznacznikiem macierzy A nazywa sie wartość det(a) tej funkcji dla macierzy A Funkcja-wyznacznik jest jednoznacznie wyznaczona przez warunki (i) i (ii) Wyznacznik macierzy A postaci (1) oznaczamy też nastepuj aco: a det(a) = 21 a 22 a 2n (3) a n1 a n2 a nn Powyższa definicja daje również efektywna metode obliczania wyznacznika dowolnej macierzy kwadratowej A Przyk lad 32 Z w lasności (ii) i (i) otrzymujemy wzór: a b = ad bc (4) c d a b Rzeczywiście, c d = ( 1)1+2 b det[c] + ( 1) 2+2 d det[a] = ad bc 1

2 5 2 Przyk lad 33 Ze wzoru (4) mamy, że = = = a 1 a 2 a 3 Przyk lad 34 Z w lasności (ii) i przyk ladu 32: b 1 b 2 b 3 = ( 1) 1+3 b 1 b 2 a 3 c c 1 c 2 c 3 1 c 2 + +( 1) 2+3 a 1 a 2 a 1 a 2 b 3 c 1 c 2 +( 1)3+3 c 3 b 1 b 2 = a 3(b 1 c 2 b 2 c 1 ) b 3 (a 1 c 2 a 2 c 1 )+c 3 (a 1 b 2 a 2 b 1 ) = a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 1 b 2 c 3 a 3 b 2 c 1 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 Zatem aby obliczyć wyznacznik stopnia 3 wystarczy dopisać do niego z prawej strony dwie pierwsze kolumny i nastepnie wymnożyć prawoskośnie wyrazy ze znakiem + oraz lewoskośnie ze znakiem - i dodać otrzymane wyniki Taka metoda obliczania wyznacznika stopnia 3 nazywa si e regu l a Sarrusa Istotnie: a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 3 b 2 c 1 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 Przyk lad 35 Stosujac regu l e Sarrusa obliczymy wyznaczniki: = ( ) = = 8, = ( ) = = 15, = ( ) = = 12, = ( ) = = W lasności wyznaczników Twierdzenie 36 Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez zamiane miejscami dwóch wierszy (kolumn), to det(b) = det(a) Twierdzenie 37 Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez pomnożenie pewnego wiersza (kolumny) przez dowolna liczbe a, to det(b) = a det(a) Twierdzenie 38 Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez dodanie do pewnego wiersza (kolumny) innego wiersza (innej kolumny) pomnożonego (pomnożonej) przez dowolna liczbe, to det(b) = det(a) Stosujac operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy kwadratowej A możemy ja 2

3 sprowadzić do postaci trójkatnej górnej: c 11 c 12 c 13 c 1n 0 c 22 c 23 c 2n C = 0 0 c 33 c 3n, (5) c nn gdzie c ij dla wszystkich i j sa dowolnymi liczbami Twierdzenie 39 Wyznacznik macierzy C postaci (5) jest równy iloczynowi wszystkich jej elementów na g lównej przekatnej, czyli det(c) = c 11 c 22 c nn Twierdzenia umożliwiaja nam efektywne obliczenie dowolnego wyznacznika przy pomocy operacji elementarnych Pokażemy to na nastepuj acym przyk ladzie Przyk lad 310 Obliczymy wyznacznik Po wykonaniu kolejno operacji w 2 w 1, w 3 + w 1, w w 1 uzyskujemy, że Nastepnie, stosujac operacje w 2 + w 4, uzyskamy, że Po zastosowaniu kolejno operacji w w 2, w w 2 otrzymamy, że Stosujac twierdzenie 37 do trzeciego wiersza uzyskujemy, że ( 9)

4 Po wykonaniu operacji w w 3 otrzymamy, że ( 9) Zatem z twierdzenia 39: ( 9) = 153 Z twierdzenia 37 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek 311 Jeżeli pewien wiersz (kolumna) macierzy kwadratowej A sk lada si e z samych zer, to det(a) = 0 Z twierdzenia 38 i z wniosku 311 otrzymujemy od razu nastepuj acy Wniosek 312 det(a) = 0 Jeżeli macierz kwadratowa A ma identyczne dwa wiersze (kolumny), to Twierdzenie 313 Wyznacznik macierzy transponowanej macierzy kwadratowej A jest równy wyznacznikowi macierzy A, czyli det(a T ) = det(a) Twierdzenie 314 (Cauchy ego) Jeżeli A i B sa macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to det(a B) = det(a) det(b) Twierdzenie 315 (Rozwiniecie Laplace a wzgledem i-tego wiersza) a i1 a i2 a in = 1) i+1 a i1 det(a i1 ) + + ( 1) i+n a in det(a in ) a n1 a n2 a nn Twierdzenie 316 (Rozwiniecie Laplace a wzgledem j-tej kolumny) a 11 a 1j a 1n a 21 a 2j a 2n = ( 1) 1+j a 1j det(a 1j ) + + ( 1) n+j a nj det(a nj ) a n1 a nj a nn W praktyce najszybszym sposobem obliczania wyznacznika jest stosowanie operacji elementarnych i rozwini ecia Laplace a wzgl edem takiego wiersza (kolumny), w którym wyst epuje co najwyżej jeden niezerowy wyraz Pokażemy to w nast epnym przyk ladzie Przyk lad w 4 4 w = = ( 1) = ( 1) ( 1) 3+2 4

5 2 8 ( 5) 3 2 = ( 5) ( ) = 100 Strza lkami oznaczyliśmy kolumne, wzgl edem której zastosowano rozwiniecie Laplace a Przyk lad 318 Stosujac rozwiniecie Laplace a wzgledem trzeciego wiersza obliczymy wyznacznik: 2 4 a b c d Mamy, że 2 4 = ( 1) 3+1 a +( 1) 3+2 b +( 1) 3+3 c a b c d ( 1) 3+4 d Cztery wyznaczniki stopnia trzy obliczymy stosujac regu l e Sarrusa: = ( ) = = 8, = ( ) = = 15, = ( ) = = 12, = ( ) = = Stad 8a + 15b + 12c 19d + 5