Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Transkrypt

1 Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro II, zdzislaw.otachel@up.lublin.pl materiały: zotachel/geo2i3 konsultacje: wtorek 10-12, środa Lublin, 2016/17

2 Przestrzeń wektorowa Niech K będzie zbiorem liczb rzeczywistych (R) (lub zespolonych - C), a X dowolnym zbiorem. Określmy dwa działania: dodawania + : X X X i mnożenia przez liczbę : K X X spełniające dla dowolnych x, y, z X i α, β K warunki: 1 x + y = y + x, 2 x + (y + z) = (x + y) + z, 3 istnieje element zerowy e X taki, że e + x = x + e = x dla dowolnego x X, 4 dla każdego x X istnieje x X taki, że x + ( x) = e, 5 α(x + y) = αx + αy, 6 (α + β)x = αx + βx, 7 α(βx) = (αβ)x, 8 1 x = x. Zbiór X z działaniami + i nazwiemy przestrzenią wektorową (liniową) rzeczywistą lub zespoloną, odpowiednio. Elementy zbioru X będziemy nazywać wektorami, a elementy zbioru liczbowego K - skalarami.

3 Podprzestrzenie Podzbiór M przestrzeni wektorowej X nazywamy podprzestrzenią, jeżeli on sam jest przestrzenią wektorową. Niech v 1,..., v r będą wektorami z przestrzeni X. Zbiór wektorów {v = α 1 v α r v r : α i K} jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni X. Będziemy go nazywać podprzestrzenią rozpiętą przez wektory v 1,..., v r i oznaczać span {v 1,..., v r }. Wyrażenie α 1 v α r v r nazywamy kombinacją liniową wektorów v 1,..., v r. Jeżeli równanie α 1 v α r v r = 0 o niewiadomych α 1,... α r ma tylko rozwiązanie zerowe α 1 = = α r = 0 to o wektorch v 1,..., v r mówi się liniowo niezależne. W przeciwnym razie jeden z wektorów jest kombinacją liniową pozostałych - to wektory liniowo zależne. Podprzestrzeń span {v 1,..., v r }, gdzie v 1,..., v r - liniowo niezależne nazywa się podprzestrzenią r wymiarową.

4 Przykład 1 Niech K będzie zbiorem liczb rzeczywistych (lub zespolonych). Przez K n oznaczymy zbiór skończonych ciągów (z 1,..., z n ), z i K. Definiujemy działania: (x 1,..., x n ) + (z 1,..., z n ) def = (x 1 + z 1,..., x n + z n ), (x 1,..., x n ), (z 1,..., z n ) K n, α(z 1,..., z n ) def = (αz 1,..., αz n ). K n z tak określonymi działaniami jest przestrzenią liniową. Przykład 2 Zbiór funkcji rzeczywistych (lub zespolonych) określonych na dowolnym zbiorze Z ze zwykłymi działaniami dodawania funkcji i mnożenia przez liczbę jest przestrzenią wektorową.

5 Iloczyn skalarny, przestrzeń unitarna Niech X bedzie przestrzenią wektorową na ciałem K liczb rzeczywistych (lub zespolonych). Niech <, >: X X K będzie działaniem spełniającym dla dowolnych x, y, z X i α K warunki: 1 < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, 2 < αx, y >= α < x, y >, 3 < x, y >= < y, x >, 4 < x, x >> 0 dla x 0. Działanie <, > nazywać będziemy iloczynem skalarnym (wewnętrznym), a parę (X, <, >) - przestrzenią unitarną. Wektory 0 x, y X takie, że < x, y >= 0 nazywamy prostopadłymi (ortogonalnymi) (ozn. x y). Wektory v 1,..., v r wzajemnie prostopadłe są liniowo niezależne.

6 Przykład 3 Na przestrzeni K n dla x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) zdefiniujmy: n < x, y > def = p i x i y i, i=1 gdzie p i, i = 1,..., n są ustalonymi liczbami dodatnimi. (K n, <, >) jest przestrzenią unitarną.

7 Rzut ortogonalny Niech V będzie podprzestrzenią przestrzeni unitarnej X. Przyporządkowanie o własności X x y = Px V < x Px, Px >= 0 nazywa się rzutem ortogonalnym przestrzeni X na podprzestrzeń V.

8 Przestrzeń unormowana Niech X będzie przestrzenią wektorową na ciałem K liczb rzeczywistych (lub zespolonych). Funkcję X x x 0, przypisującą każdemu wektorowi liczbę nieujemną, nazywać będziemy normą jeżeli dla dowolnych wektorów x i y i dowolnego skalara α spełnia ona warunki: 1 x = 0 x = 0, 2 x + y x + y (warunek trójkąta), 3 αx = α x (warunek jednorodności). Jeżeli jest normą na przestrzeni wektorowej X, to parę (X, ) nazywać będziemy rzeczywistą (zespoloną) przestrzenią unormowaną.

9 Przykład 4 Niech K bedzie zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Dla wektora x = (x 1,..., x n ) z przestrzeni K n i dowolnej liczby p 1 normę można zdefiniować następujaco: W szczególności, dla p = 2: ( n ) 1/p x p = x 1 p. x 2 = i=1 x x n 2. Tę normę nazywać będziemy normą euklidesową. Funkcja x = max x i i też jest normą na tej przestrzeni.

10 Norma w przestrzeniach unitarnych Niech (X, <, >) będzie (rzeczywistą) przestrzenią unitarną. Funkcja x = < x, x >, x X jest normą (pochodzącą od iloczynu skalarnego) o własnościach: x + y 2 = x < x, y > + y 2, x y 2 = x 2 2 < x, y > + y 2 reguła równoległoboku x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2 ; jeżeli x y, to x + y 2 = x 2 + y 2 tw. Pitagorasa < x, y > x y (nierówność Schwarza).

11 Własności rzutu ortogonalnego X x y = Px V Rzut ortogonalny jest wyznaczony jednoznacznie, P(Px) = Px, < x, Py >=< Px, Py >=< Px, y >, x, y X, x 2 = x Px 2 + Px 2, Px x, x X, x Px x v, v V, jeżeli V = span {v 1,..., v r }, gdzie v 1... v r - wzajemnie ortogonalne, to dla każdego x X Px = r i=1 < x, v i > v i 2 v i, Px 2 = r i=1 < x, v i > 2 v 2, r < x, v i > 2 v 2 x 2, nierówność Bessela. i=1