Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Transkrypt

1 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez 2 kwadrat dowolnej liczby jest większy lub równy 0. dla każdej liczby istnieje od niej większa x jest liczbą pierwszą Zadanie 2 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory: A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4 y 2x} B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4 y 2x} Zadanie 3 Niech A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}, B = {(x, y) R 2 : y x}. Zaznacz na płaszczyźnie zbiory: A B, A B, A \ B, B \ A, A c, B c. Zadanie 4 Za pomocą liczb, podstawowych działań arytmetycznych i potęgowania zapisz następujące wyrażenia: Σ 10 k=1 k, Σ 6 n=2n 2, Σ k n=1n, Π 10 k=1 k, Π 10 k=1 k3, Π n k=1 k2. Zadanie 5 Oblicz: Σ 10 k=1 k, Σ 6 n=2n 2, Π 4 k=1 k, Π 5 k=3 k2. Zadanie 6 Zapisz następujące wyrażenia używając symboli Σ, Π zamiast wielokropków: n, 1

2 n 3, k, (x + 1)(x + 2)...(x + n). Zadanie 7 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {0}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?, wyznacz te elementy w powyższych grupach. Zadanie 8 Przypomnij czym jest grupa permutacji S n podaj przykład mnożenia w grupie S 4, czy działanie w tej grupie jest przemienne? podaj element neutralny w grupie S n zaproponuj metodę wyznaczania elementu przeciwnego. Zadanie 9 Które z podanych struktur są ciałami: (N, +,, 0, 1), (Z, +,, 0, 1), (Q, +,, 0, 1), (R, +,, 0, 1) czy dodawanie i mnożenie w ciele muszą być przemienne? Zadanie 10 Przypomij podany na wykładzie przykład ciała skończonego Z p. Zadanie 11 W ciele Z 7 wyznacz elementy przeciwne i odwrotne do elementów 1, 3, 5. Lizcby zespolone. Zadanie 12 Wykonaj działania na liczbach zespolonych. 1. (3 + 4i) + (7 5i), (2 + i) (3 + 2i) 2. (1 + i) (1 i), (a + bi) (c + di) i 3+4i, 2+i, 3+8i 2 i 2i, a+bi c+di Zadanie 13 Oblicz i 2, i 3, i 4 podaj szybki sposób wyliczania wartości funkcji f(n) = i n : N C znajdź liczbę zespoloną z taką, że z 2 = i (wsk. zapisz z = a + bi). Zadanie 14 Rozwiąż równanie (2 3i)x + (1 i) = ix + 4 rozwiąż układ równań { x + iy = 1 ix + y = 1 Zadanie 15 Rozwiąż równania 1. x 2 + 2x + 3 = 0 2. x 2 + ix + 1 = 0 2

3 Zadanie 16 Dla wybranej liczby zespolonej z wyznacz i przedstaw na płaszczyźnie zespolonej: z, z, Re(z), Im(z), arg(z). Zadanie 17 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory 1. {z : Re(z) 4} 2. {z : z 3} 3. {z : 2 z 3} 4. {z : ( z 3)( z 3 3) = 0} Zadanie 18 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory 1. {z : π arg(z) 3 2 π} 2. {z : 0 arg(z) π 2 z 3} 3. {z : arg(z) = z } 1 4. {z : arg(z) = z } 10 Zadanie 19 Porównaj moduły i zrgumenty liczb zespolonych z, z, z, z Zadanie 20 Udowodnij że, dla dowolnych liczb zespolonych z, z prawdziwe są równości 1. z = z 2. z = z 3. zz = z z 4. Re(z) = 1 (z + z) 2 Zadanie 21 Przedstaw w postaci trygonometryczne liczby zespolone 4, 2i, i + 1, i 1, 2 2 3i, 3 3 3i. Zadanie 22 Przypomnij czym są funkcje arcsin(x), arccos(x), podaj ich dziedzinę i przeciwdziedzinę. Zadanie 23 Posługując się funkcjami arcsin(x), arccos(x) przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone: 3 + 4i, 3 + 5i, 2 3i. Zadanie 24 Oblicz (1 + i) 40, (1 3i) 30 Zadanie 25 Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że z 6 = 1, przedstaw rozwiązanie na płaszczyźnie zespolonej. Zadanie 26 Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że z 5 = 2 2 3i Zadanie 27 Zaproponuj geometryczny sposób potęgowania i wyciągania pierwiastków z liczb zespolonych. Zadanie 28 Przypomni wzór e ix =... 3

4 oblicz e iπ, 4e i π 2, e 3+iπ, e 2+3i znajdź x, y takie, że: ye ix = 1 + i, ye ix = i Zadanie 29 Oblicz 1. Przypomnij czym jest funkcja ln(x) i uzasadnij wzór a b = e bln(a) 2. przyjmując, że powyższy wzór prawdziwy jest dla liczb zespolonych oblicz: i i, (i + 1) i 1 Zadanie 30 Wyprowadź wzory 1. sin(4x) 2. cos(nx) Zadanie 31 Niech n N. Pokaż, że zbiór {z C : z n = 1}, wraz z mnożeniem liczb zespolonych stanowi grupę. Wielomiany. Zadanie Wykonaj dzielenie wielomianu x 3 + 4x 2 + 6x + 1 przez wielomian 2x Bez wykonywania dzielenia sprawdź, że welomian x 5 x 4 + x 3 x 2 + x 1 jest podzielny przez x 1 Zadanie 33 Reszta z dzielenia wielomianu f(x) przez x 1 jest równa 3, a reszta z dzielenia f(x) przez x 4 jest równa 5. wyznacz resztę z dzielenia wielomianu f(x) przez (x 1)(x 4). Zadanie 34 Wyznacz krotność pierwiastka x 0 wielomianu f(x): 1. f(x) = (x 1)(x 2)(x 1)(x 2 1), x 0 = 1 2. f(x) = 3x 5 + 2x 4 + x 3 10x 8, x 0 = 1 Zadanie 35 Wyznacz wymierne pierwiastki wielomianu 15x 4 11x x 2 11x + 2 Zadanie 36 Wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu 2x 4 + 4x 3 8x 2 20x 10 Zadanie Jaki jest najniższy stopień wielomianu o współczynnkiach zespolonych mającego podwójny pierwiastek 1 + i, oraz dwa pojedyncze pierwiastki i i 1? Podaj przykład takiego wielomianu. 2. Jaki jest najniższy stopień wielomianu o współczynnkiach rzeczywiswtych mającego podwójny pierwiastek 1 + i, oraz dwa pojedyncze pierwiastki i i 1? Podaj przykład takiego wielomianu. Zadanie 38 Wyprowadź wzory Viete a dla wielomianów stopni 3 i 4. Zadanie 39 Udowodnij, że suma pierwastków n-tego stopnia z 1 wynosi zero. 4

5 Zadanie 40 Udowodnij, że każda liczba zespolona jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach rzeczywistych. Zadanie 41 Znajdź niezerowy wielomian o współczynnikach całkowitych którego pierwiastkiem jest liczba Zadanie 42 Wyznacz wielomian f(x) taki, że f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4. Zadanie 43 Przedstaw wielomian x jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż dwa. Zadanie 44 Przedstaw wielomian x jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż dwa. Zadanie 45 Udowodnij, że dla dowolnych liczb zespolonych z 1, z 2 zachodzi z 1 + z 2 z 1 + z 2. Zadanie 46 Udowodnij, że dla dowolnych liczb zespolonych z 1, z 2 zachodzi arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ). Zadanie 47 Niech f(x) N[x]. Pokaż, że dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzi f(z) f( z ). Zadanie 48 Niech {z n } n N ciąg liczb zespolonych taki, że lim n z n = 0. Pokaż, że lim n arg(1 + z n ) = 0. Zadanie 49 Przypomnij definicję funkcji wymiernej, podaj przykłady, przedstaw funkcję f(x) = x5 +3x 3 +2x 2 +1 jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej, której licznik x 2 +x+2 ma stopień mniejszy niż stopień mianownika. Przypomnij które funkcje wymierne nazywamy ułamkami prostymi, podaj przykła- Zadanie 50 dy, przedstaw funkcję f(x) = 2 x 2 4 jako sumę ułamków prostych. Zadanie 51 Przedstaw jako sumę ułamków prostych następujące funkcje wymierne:. x + 1 x 2 3x + 2, x x 2 + 2x + 1, 1 x 3 x 2 + x 1, 2 x 4 + 2x Geometria. Zadanie 52 Przypomnij czym jest sferyczny układ współrzędnych. podaj metodę konwersji z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie podaj metodę konwersji z układu kartezjańskiego na współrzędne sferyczne Zadanie 53 Opisz podzbiory przestrzeni, których punkty we współrzędnych sferycznych są postaci: {(r, π, Θ) : r [0, ), Θ [ π, π]} {(10, α, Θ) : α [0, 2π], Θ [ π, π]} 2 2 5

6 {(r, α, π ) : r [0, ), α [0, 2π]} 4 Zadanie 54 Wyprowadź parametryczne równania następujących krzywych: okręgu elipsy trajektorii rzutu ukośnego (możemy wybrać dogodne położenie krzywej w układzie współrzędnych). Zadanie 55 Wyznacz współrzędne wektora którego początek i koniec leżą w punktach A = (3, 7), B = (1, 4). Podaj przykład innego wektora o tych samych współrzędnych, oblicz jego długość. Wykonaj działanie [1, 2, 7] + 3[3, 4, 1] 2[1, 2, 1]. Wyznacz początek wektora o współrzędnych [3, 7, 1] którego koniec leży w punkcie (1, 3, 2). Oblicz [1, 2, 3] [1, 3, 2], [2, 7] [14, 4] Jaki jest związek iloczynu skalarnego z prostopadłością wektorów. Zadanie 56 Wyznacz zbiór wszystkich wektorów o początku w punkcie (1, 2) prostopadłych do wektora [3, 4]. Zadanie 57 Wyznacz rzut wektora [2, 1, 4] na wektor [1, 1, 1]. Zadanie 58 Podaj wzór łączący kąt między wektorami z iloczynem skalarnym. Podaj kąt między wektorami [2, 3, 4], [2, 1, 1]. Zadanie 59 Niech A = (2, 4), B = (7, 8). Znajdź środek odcinka AB. Znajdź punkt dzielący odcinek AB w stosunku 3 : 4. Zadanie 60 Trzy wierzchołki pewnego równoległoboku leżą w punktach o współrzędnych: (1, 1, 2), (1, 6, 1), (3, 2, 5). Oblicz współrzędne czwartego wierzchołka. Zadanie 61 Wytłumacz czym są postać normalna, parametryczna i kierunkowa prostej. Podaj przykłady. Zadanie 62 Wyznacz postać kierunkową i parametryczną prostej {(2t + 1, 3t + 2) : t R}. Zadanie 63 Wyznacz postać normalną i parametryczną prostej o równaniu y = 3x + 7. Zadanie 64 Znajdź współrzędne wektora prostopadłego do prostej o równaniu y = 2x + 4. Podaj odległość punktu (1, 2) od płaszczyzny o równaniu x + 2y + 2 = 0. Macierze. 6

7 Zadanie 65 Oblicz: , [ ] , 4 1 [ ] [ ] Zadanie 66 Napisz przykład macierzy wymiaru [a ij ] wymiaru 4 5 nad liczbami rzeczywistymi. Podaj następujące jej elementy a 1,2, a 3,3, a 4,5 Niech A R n m, B R k l. Dla jakich m, n, k, l wykonalne są działania A + B, B + A, A B, AB, BA, ra, gdzie ostatnie działanie jest mnożeniem przez skalar? Zadanie 67 Czy dodawanie macierzy jest łączne i przemienne, czy mnożenie macierzy jest łączne i przemienne? Podaj odpowiednie przykłady. Zadanie 68 Udowodnij łączność mnożenia macierzy rozmiary 2 2. Zadanie 69 n. Podaj element neutralny na mnożenie w zbiorze macierzy kwadratowych rozmiaru Zdefiniuj czym jest macierz odwrotna. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy [ ] Zadanie 70 Dla jakich rozmiarów macierzy A, B, C możliwe są obliczenia ABA+CAC, AB +BC + CA Zadanie 71 Przypomnij kiedy macierz nazywamy diagonalną, górnotrójkątną, trójkątną Wykonaj obliczenia i sformułuj odpowiednią hipotezę , , Zadanie 72 Oblicz Zadanie 73 Niech A = Przestrzenie liniowe , [ ] [ ] [ ] Oblicz A Zadanie 74 Podaj definicję przestrzeni liniowej. Podaj kilka przykładów przestrzeni liniowych. Niech v, w elementy przestrzeni nad ciałem K, oraz k, l K. Które działania w wyrażeniu (k + kl)(kv + lw) są działaniami ciała. Niech v, w elementy przestrzeni nad ciałem K, oraz k, l K. Pozbądź się nawiasów w wyrażeniu (k + l)(v + w). Czy każdy wektor przestrzeni liniowej ma wektor przeciwny? Oblicz 0v,1v, ( 1)v. 7

8 Czy grupa S 10 może być przestrzenią liniową nad pewnym ciałem? Zadanie 75 Udowodnij, że zbiór macierzy nad ciałem K ustalonego wymiaru ze standardowym dodawaniem, jest przestrzenią liniową nad K. Zadanie 76 Udowodnij, że zbiór wielomianów o wspłóczynnikach z ciałem K z działaniem dodawania wielomianów jest przestrzenią liniową nad K. Zadanie 77 Podaj definicje podprzestrzen liniowej. Opisz geometrycznie podprzestrzenie przestrzeni liniowej R 3. Pokaż, że zbiór {(x, y, 0) : x, y R} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Pokaż, że zbiór {(x, y, z) : x + y + 2z = 0} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Czy zbiór {(x, y, z) : x + y + 2z = 1} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Czy zbiór {(x, y, z) : x, y, z > 0} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Zadanie 78 Pokaż, że wielomiany o współczynnikach z R stopnia nie więkrzego niż n są podprzestrzenią liniową przestrzeni wielomianów R[X] Zadanie 79 Pokaż, że zbiór {(x, y, z, t) R 4 : x + 2y = 0, z t = 0} jest podprzestrzenią przestrzeni R 4 Zadanie 80 Podaj otoczkę liniową zbioru {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} w przestrzeni R 3. Opisz zbiór wektorów przestrzeni R 4. generowany przez wektory (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5). Zadanie 81 Wektory [3, 2, 5], [0, 1, 1] przestrzeni liniowej R 3 wektorów: przedstaw jako kombinacje liniowe 1. [1, 2, 3], [1, 0, 1], [0, 2 1] 2. [1, 2, 3], [1, 0, 1], [ 1, 2, 1] Zadanie 82 Podaj definicje podzbioru liniowo niezależnego. Czy wektory [1, 0, 0], [0, 0, 1] są liniowo niezależne? Uzasadnij, że wektory[1, 0], [01], [3, 4] są liniowo zależne. Kiedy podzbiór liniowo niezależny jest bazą? Zadanie 83 Zbadaj liniową niezależność następujących zbiorów; 1. [1, 2, 3], [1, 0, 1], [0, 2, 1] w R x 3 + x 2 + x + 1, x 3 + x 2 + x 1, x 3 + x 2 x 1, x 3 x 2 x 1 w R[X]. Zadanie 84 Znajdź liniowo niezależny podzbiór zbioru : {[1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 2], [2, 2, 2, 5], [1, 2, 1, 2]}. Zadanie 85 Pokaż, że wektory [1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1] stanowi bazę przestrzeni R 3. Zadanie 86 Znajdź bazę i wymiar następującej podprzestrzeni liniowej, {[x, y, z] : 4x y + 2z = 0}. 8

9 Zadanie 87 Znajdź bazę i wymiar następującej podprzestrzeni liniowej, {f R[X] : f = 0}. Zadanie 88 Znajdź bazę i wymiar następującej podprzestrzeni liniowej rozpiętej na wektorach {[1, 0, 1, 0], [2, 1, 2, 1], [ Funkcje liniowe liniowe Zadanie 89 Podaj definicję funkcji liniowej. Podaj kilka przykładów funkcji liniowych. które z podanych funkcji są liniowe: f(x) = 2x, g(x) = 3x + 1, h(x) = x 2 opisz wykresy funkcji Lin(R, R) opisz wykresy funkcji Lin(R 2, R) Zadanie 90 Sprawdź, że podane funkcje są liniowe: 1. f(x, y, z, t) = x Lin(R 4, R) 2. f(x, y, z, t) = (x, y, z) Lin(R 4, R 3 ) 3. f(x, y, z, t) = (x + y + z + t) Lin(R 4, R) 4. f(x, y, z, t) = (2x + 3y + z, 4y + z t) Lin(R 4, R 2 ) Zadanie 91 Wyznacz macierze funkcji liniowych z poprzedniego zadania Zadanie 92 Wyraź wzorem funkcję liniową daną macierzą : Zadanie 93 Dla pewnej funkcji liniowej g Lin(R 2, R) zachodzi g(0, 1) = 3, g(1, 0) = 5 podaj wzór funkcji g Dla pewnej funkcji liniowej f Lin(R 3, R 2 ) zachodzi f(1, 2, 0) = (1, 2), f(2, 3, 0) = (0, 1), f(1, 2, 3) = (2, 1). Podaj macierz funkcji f Zadanie 94 podaj definicję jądra i obrazu funkcji liniowej, wyznacz jądro i obraz funkcji liniowych z zadania 2, podaj zależność między wymiarem jądra i obrazu funkcji liniowej, sprawdź jej poprawność na przykładach z zadania 2. Zadanie 95 Wyznacz jądro i obraz funkcji f Lin(Z n 2, Z 2 ) danej wzorem f(x 1, x 2,..., x n ) = x 1 + x x n. Wyznach ich wymiary i moce. Zadanie 96 Oblicz Lin(Z k 7, Z l 7). Zadanie 97 Wyznacz liczbę izomorfizmów liniowych w zbiorze Lin(Z k 7, Z k 7). Wyznaczniki 9

10 Zadanie 98 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując metodę Sarrusa [ ] [ ] ,, 5 5 3, Zadanie 99 Przypomnij na przykładzie metodę Laplace a obliczania wyznacznika. Dla jakiego wymiaru macierzy można ją stosować? Zadanie 100 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując metodę Laplace a , Zadanie 101 Oblicz wyznaczniki macierzy , , Zadanie 102 Oblicz wyznaczniki macierzy , Zadanie 103 Niech A = Oblicz det(a A T ) Zadanie 104 Oblicz wyznaczniki macierzy Zadanie 105 Niech A = , [ ] [ ] [ ] Oblicz det(a ) Zadanie 106 Oblicz wyznaczniki , Zadanie 107 Stosując operacje elementarne oblicz wyznaczniki macierzy: , 2 1 2,

11 Zadanie 108 Uzadadnij, że jeśli macierz kwadratowa ma dwie jednakowe kolumny (wiersze), to jej wyznacznik jest równy zero. Odwracanie macierzy, układy równań Zadanie 109 Wyjaśnij czym są operacje elementarne na wierszach macierzy. Podaj przykłady. Zadanie 110 Za pomocą operacji elementarnych na wierszach przekształć macierze do postaci górnotrójkątnej , Zadanie 111 Oblicz macierz odwrotną do macierzy: [ ] [ ] , Zadanie 112 rozwiąż układ równań za pomocą macierzy odwrotnej. { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 113 Wyjaśnij związek między wyznacznikiem macierzy a istnieniem macierzy odwrotnej. Jak nazywamy macierz kwadratową o niezerowym wyznaczniku? Zadanie 114 Wyznacz macierze odwrotne rozwiązując odpowiedni układ równań. [ ] [ ] ,, Zadanie 115 Wyznacz macierze odwrotne stosując metodę operacji elementarnych. [ ] [ ] ,, 5 5 3, Zadanie 116 Wyznacz macierze odwrotne stosując metodę dopełnień algebraicznych , Zadanie 117 Uzasadnij, że dla nieosobliwych macierzy kwadratowych A, B zachodzi (AB) 1 = B 1 A 1 Zadanie 118 Wyznacz macierz odwrotną ,

12 Zadanie 119 Uzadadnij, że jeśli macierz kwadratowa mająca dwie jednakowe kolumny (wiersze) jest nieodwracalna. Układy równań. Zadanie 120 Przypomnij metodę Cramera rozwiązywania układów równań. Podaj warunki na liczbę rozwiązań układu. Zadanie 121 Zbadaj rozwiązania układu równań w zależności od parametru a. ax + 3y + z = 5 x + y + 2z = 9 4x + 5y 3z = 9, 2x + ay 3z = 1 3x + 4y + z = 4 3x + 6y 5z = 0 Zadanie 122 Zapisz za pomocą macierzy rozszerzonej układy równań. 2x + 3y + 4z = 3 4x + 3y + 2z = 9 4x + 2y 7z = 9, x + 4y 3z = 12 3x + 6y + 5z = 11 5x + y 5z = 7 Zadanie 123 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 124 rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa. 2x + 3y + z = 5 x + y + 2z = 9 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1 3x + 4y + z = 4 3x + 6y 5z = 0 Zadanie 125 Wyznacz zbiór rozwiązań układu równań { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 Zadanie 126 rozwiąż układ równań. x + 3y + z = 5 4x + y 3z = 3 x + 2y + z = 2, x + 2y + z = 3 2x + 3y 3z = 2 3x + y 4z = 0 Zadanie 127 Zapisz macierzowo układ równań. { 7x + 2y = 15 2x 3y = 11 Zadanie 128 Jakiemu układowi równań odpowiada równanie macierzowe: [ ] [ ] [ ] 1 2 x 7 = 4 5 y 8 Krzysztof Majcher 12