DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

Transkrypt

1 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa J Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2008 Spis treści 1 METODA ELIMINACJI GAUSSA 2 11 Teoria 2 12 Zadania 3 2 TEORIA MACIERZY 5 21 Teoria Operacje na macierzach Rząd macierzy 6 22 Zadania 7 3 WYZNACZNIK MACIERZY opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego 9 31 Teoria Definicja i podstawowe własności wyznacznika, tw Laplace a, tw Cauchy ego Wzór na macierz odwrotną Wzory Cramera Zadania 12

2 DB Algebra liniowa semestr zimowy METODA ELIMINACJI GAUSSA 11 Teoria Niech m, n N i niech K będzie dowolnym ciałem Układ równań postaci: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, (1) gdzie a ij, b i K dla dowolnych i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,, x n Następujące przekształcenia nie zmieniają zbioru rozwiązań układu: 1 zamiana miejscami dwóch dowolnych równań układu, 2 pomnożenie dowolnego równania układu przez niezerowy element ciała K, 3 dodanie do dowolnego równania układu innego równania tego układu pomnożonego przez dowolny element ciała K

3 DB Algebra liniowa semestr zimowy Zadania Zadanie 11 Rozwiązać (metodą Gaussa) następujące układy równań w ciele liczb rzeczywistych: (d) (e) (f) x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 2 2x 1 + 7x 2 + 9x 3 = 1 3x 1 + 8x 2 + 7x 3 = 7 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 1 5x 1 + 9x 2 + 7x 3 = 3 x 1 8x 2 + 7x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 4 3x 1 + 5x 2 2x 3 = 9 4x 1 + 5x 2 x 3 = 7 x 1 + 3x 2 + x 3 + 4x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 5x 1 + x 2 + 2x 3 + 8x 4 = 4 7x 1 + 3x 3 + 5x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 6 3x 1 + 4x 2 + 4x 3 = 8 5x 1 6x 2 3x 3 = 8 x 1 + 4x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 5 x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 + 5x 5 = 2 x 1 + 7x 2 + 5x 3 2x 4 3x 5 = 14 (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) { 4x 1 9x 2 + 6x 3 = 5 3x 1 4x 2 + 2x 3 = 2 7x 1 2x 2 2x 3 = 1 7x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 5 9x 1 + 6x 2 + 5x 3 = 2 3x 1 x 2 + x 3 = 6 x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 6 x 1 + 4x 2 + 7x 3 = 5 2x 1 + 5x 2 + 8x 3 = 7 2x 1 + 3x 2 + x 3 x 4 = 3 8x x 2 5x 3 + x 4 = 9 x 1 + 2x 2 4x 3 + 5x 4 = 11 x 1 + 3x 2 5x 3 + 6x 4 = 9 2x 1 2x 2 7x 3 + x 4 = 3 3x 1 8x 2 9x 3 + 4x 4 = 12 x 1 + 3x 2 + x 3 + 4x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 5x 1 + x 2 + 2x 3 + 8x 4 = 4 7x 1 + 3x 3 + 5x 4 = 0 x 1 + 4x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 5 x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 + 5x 5 = 2 x 1 + 7x 2 + 5x 3 2x 4 3x 5 = 14 Zadanie 12 (BG 1, 12/60) Na twardym dysku o pojemności 124 GB dokonano partycji w celu instalacji czterech różnych systemów operacyjnych Pliki systemowe i programy obliczeniowe zajmują 25% pierwszej, drugiej i czwartej partycji oraz 20% trzeciej partycji, łącznie 29 GB na wszystkich partycjach Katalogi z różnorodnymi edytorami tekstu zajmują 10% pierwszej, trzeciej i czwartej partycji oraz 12, 5% drugiej partycji, łącznie 13 GB na wszystkich partycjach Gry zajmują 12, 5% trzech pierwszych partycji i 10% czwartej partycji, łącznie 15 GB na wszystkich partycjach Jaki jest rozmiar każdej partycji? Zadanie 13 Znajdź wielomian f R[X] stopnia co najwyżej drugiego spełniający warunki: f (1) = 5, f (2) = 10, f (3) = 17, f ( 1) = 15, f (3) = 3, f (4) = 5 Zadanie 14 Znajdź wielomian f R[X] stopnia co najwyżej trzeciego spełniający warunki: f (1) = 7, f (2) = 1, f (3) = 1, f (4) = 13, f ( 1) = 11, f (1) = 1, f (3) = 15, f (5) = 53 Zadanie 15 Niech f R[x] Reszta z dzielenia wielomianu f przez (x 1) wynosi 1, reszta z dzielenia przez (x 2) wynosi 2, natomiast przy dzieleniu przez (x 3) otrzymujemy resztę 1 Jaką otrzymamy resztę z dzielenia wielomianu f przez wielomian (x 1)(x 2)(x 3)?

4 DB Algebra liniowa semestr zimowy Zadanie 16 (BG 1, 2/58) Dla jakiej wartości parametru m R następujący układ równań: ma w ciele R dokładnie jedno rozwiązanie? ma w ciele R nieskończenie wiele rozwiązań? jest sprzeczny w R? 2x 1 mx 2 + x 3 = 2 x 1 + x 2 mx 3 = 1 x 1 2x 2 x 3 = 0 Zadanie 17 (BG 1, 3/58) Dla jakiej wartości parametru m R następujący układ równań: ma w ciele R nieskończenie wiele rozwiązań? jest sprzeczny w R? 2x 1 + x 2 + (9 + m)x 3 3x 4 + (10 + 3m)x 5 = 3 x 1 x 2 x 3 x 5 = 1 x 2 + 3x 3 x 4 + 2x 5 = 2 Zadanie 18 (BG 1, 8/59) Zbadać zbiór rozwiązań następującego układu równań liniowych o współczynnikach w R: (1 + a)x 1 + x 2 + x 3 = a 2 x 1 + (1 + a)x 2 + x 3 = a 2 x 1 + x 2 + (1 + a)x 3 = a 2 w zależności od parametru a R Zadanie 19 (BG 1, 5/58) Znaleźć układ dwóch równań liniowych z czterema niewiadomymi: x 1, x 2, x 3, x 4, którego zbiór rozwiązań zawiera ciągi liczb: (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (1, 0, 1, 1), (1, 2, 1, 0) Zadanie 110 (BG 1, 6/58) Znaleźć układ trzech równań liniowych z sześcioma niewiadomymi: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, którego zbiór rozwiązań zawiera ciągi liczb: (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) = (1, 0, 2, 1, 0, 1), (1, 1, 2, 1, 1, 0), (2, 5, 1, 1, 0, 0) Zadanie 111 (BG 1, 11/60) Stu studentów pierwszego roku matematyki podzielono na trzy grupy: A, B, C W celach promocyjnych firma ALGLINPOL rozdzieliła pomiędzy wszystkich studentów 229 długopisów i 395 ołówków w taki sposób, że każdy student grupy A otrzymał 3 długopisy i 5 ołówków, każdy student grupy B otrzymał 2 długopisy i 3 ołówki oraz każdy student grupy C otrzymał 2 długopisy i 4 ołówki Ilu studentów liczyła każda z grup A, B i C?

5 DB Algebra liniowa semestr zimowy TEORIA MACIERZY 21 Teoria 211 Operacje na macierzach Poniżej ciało K oznacza ciało liczb rzeczywistych R, wymiernych Q oraz każde inne, które już Państwo poznaliście (Ogólnie, teoria poniższa jest prawdziwa dla dowolnego ciała np ciała liczb zespolonych C, ciała skończonego F q, gdzie q = p m dla pewnej liczby pierwszej p) Definicja 21 Macierzą o elementach z ciała K o m wierszach i n kolumnach nazywamy każdą funkcję T : {1,, m} {1,, n} K Zbiór wszystkich macierzy o elementach z ciała K o m wierszach i n kolumnach oznaczamy symbolem M m n (K) lub M m,n (K) Dla prostoty zapisu przyjmujemy, że T ((i, j)) = a ij i wówczas zapisujemy: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn lub skrótowo A = [a ij ] M m n (K) W zbiorze M m n (K) wprowadzamy działania: dodawanie macierzy i mnożenie przez skalar z ciała K Definicje działań: [a ij ] + [b ij ] = [c ij ], gdzie c ij = a ij + b ij dla i = 1,, m, j = 1,, n, α [a ij ] = [c ij ], gdzie c ij = αa ij dla i = 1,, m, j = 1,, n Powyżej zdefiniowane działanie dodawania jest łączne, przemienne, posiada element neutralny, tj macierz zerową oraz dla każdej macierzy istnieje macierz przeciwna Zatem zbiór M m n (K) wraz z dodawaniem macierzy jest grupą abelową Definicja 22 Niech m, n, l N oraz A = [a ij ] M m n (K), B = [b ij ] M n l (K) Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz [c i j] M m l (K) zdefiniowaną następująco: c ij = Iloczyn macierzy A i B oznaczamy AB n a ik b kj, dla i = 1,, m, j = 1,, l k=1 Definicja 23 Niech A = [a ij ] M m n (K) Macierzą transponowaną do macierzy A, jest macierz A T = [a T ij ] M n m(k), zdefiniowana następująco: a T ij = a ji, dla i = 1,, m, j = 1,, l W zbiorze macierzy kwadratowych M n (K) mnożenie macierzy jest działaniem wewnętrznym Elementem neutralnym dla mnożenia jest macierz jednostkowa I = [a ij ], gdzie { 1, gdy i = j a ij = 0, gdy i j (Zbiór M n (K) wraz z dodawaniem macierzy, mnożeniem macierzy przez skalar oraz mnożeniem macierzy tworzy algebrę (nieprzemienną) z jedynką nad ciałem K) Definicja 24 Niech A = [a ij ] M n (K) Śladem macierzy A nazywamy sumę elementów na głównej przekątnej i oznaczamy symbolem tr A, tzn n tr A = a ii i=1

6 DB Algebra liniowa semestr zimowy Rząd macierzy Definicja 25 Mówimy, że macierz A jest w postaci zredukowanej, gdy spełnione są następujące warunki: 1 (Jeśli występują w macierzy A wiersze zerowe) Począwszy od pewnego wiersza wszystkie następne wiersze macierzy składają się z samych zer Powyżej tego wiersza nie ma wierszy złożonych z samych zer 2 W każdym niezerowym wierszu pierwszy od lewej niezerowy wyraz jest równy 1 Ten niezerowy wyraz będziemy nazywać jedynką wiodącą wiersza 3 Jeśli dwa sąsiednie wiersze nie są złożone z samych zer, to wiodąca jedynka wyższego wiersza znajduje się na lewo od wiodącej jedynki niższego wiersza 4 Jeśli ponadto, każda kolumna zawierająca wiodącą jedynkę ma pozostałe wyrazy równe 0, to mówimy, że macierz A jest w postaci całkowicie zredukowanej Definicja 26 Następujące operacje wykonywane na wierszach macierzy, nazywać będziemy operacjami elementarnymi: OE1 Zamiana miejscami dwóch wierszy OE2 Pomnożenie wiersza przez niezerowy element ciała K OE3 Dodanie do danego wiersza wielokrotności innego wiersza Definicja 27 Rzędem macierzy A nazywamy liczbę wiodących jedynek w dowolnej postaci zredukowanej macierzy A Fakt 21 Operacje elementarne nie zmieniają rzędu danej macierzy Fakt 22 Dla dowolnej macierzy A M m n (K), mamy: rz A = rz A T Twierdzenie 21 Jeśli A M n (K), to następujące warunki są równoważne: 1 A jest macierzą odwracalną, 2 postać całkowicie zredukowana macierzy A jest macierzą identycznościową I n, 3 rz A = n, 4 det A 0, 5 dla każdego b K n układ równań liniowych AX = b ma dokładnie jedno rozwiązanie, 6 jednorodny układ równań liniowych AX = θ n ma tylko jedno rozwiązanie: x 1 = x 2 = = x n = 0, 7 kolumny (wiersze) macierzy A są wektorami liniowo niezależnymi w przestrzeni K n Twierdzenie 22 (Kroneckera-Capellego) Niech [A b] będzie macierzą rozszerzoną danego układu równań liniowych Wówczas ten układ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy: rz[a b] = rz A Ponadto, jeśli układ równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązanie, to jego rozwiązanie zależy od s = n rz A parametrów

7 DB Algebra liniowa semestr zimowy Zadania Zadanie 21 Wykonać następujące działania na macierzach: [ ] 1 5 4, 2 8 [ ] [ ] , [ ] [ ] Zadanie 22 (zad 112, JR) Niech: A = 2 1 0, B = 1 1, C = Wykonać następujące iloczyny: AB, AC, A 2, BB T, B T B, AA T, B T A, B T C, C T B Zadanie 23 (zad 113, 115, 116, JR) Obliczyć iloczyny: , , , [ ] 1 2 [ ] (d) Zadanie 24 (zad 117, JR) Podać przykład macierzy A, B M 2 (R) takich, że A 0, B 0 i AB = 0 Zadanie 25 (zad 120, JR) Niech n N Obliczyć: [ ] n 1 1, 0 1 [ ] n a 1, 0 a [ ] n cos α sin α sin α cos α Zadanie 26 (zad 125, JR) Obliczyć ślad macierzy Zadanie 27 (zad 126, 109, 129, JR) Udowodnić, że dla dowolnych macierzy A, B M m n (K), C M n l (K), D, F M n (K) zachodzi: tr(d + F ) = tr D + tr F, tr(df ) = tr(f D),

8 DB Algebra liniowa semestr zimowy tr(ad) = a tr D, (d) (A + B) T = A T + B T, (e) (A T ) T = A, (f) (aa) T = aa T, (g) (AC) T = C T A T Zadanie 28 (zad 127, JR) Pokazać, że nie istnieją macierze A, B M n (K), takie że AB BA = I Zadanie 29 (zad 130, JR) Wykazać, że dla każdej macierzy A M m n (K), iloczyn AA T jest macierzą symetryczną Zadanie 210 Znajdź postacie zredukowane i rzędy następujących macierzy: A = , B = 0 1, 5 3 4, , C = , (d) D = Zadanie 211 Znajdź postacie całkowicie zredukowane i rzędy następujących macierzy: A = , B = Zadanie 212 W zależności od parametru m R oblicz rząd poniższych macierzy: [ ] 3m + 7 m + 2 A = 6m 5 2m 2 1 2m + 5 m 2 + m B = 2 5m m 2 + 3m 3 6m m 2 + 2m [ ] 2m C = + 9m 5 m 2 + 6m + 5 2m 2 + 8m 10 m 2 + 5m m + 1 m m m (d) D = m m + 1 m m m 2 m m 2 m 5m m 5m m Zadanie 213 Znajdź macierze odwrotne (o ile istnieją) dla poniższych macierzy: A = 2 5 7, B = , C = 3 1 1, D =

9 DB Algebra liniowa semestr zimowy WYZNACZNIK MACIERZY opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego 31 Teoria 311 Definicja i podstawowe własności wyznacznika, tw Laplace a, tw Cauchy ego Definicja 31 Wyznacznik macierzy kwadratowej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej 1 Jeżeli A = [a] M 1,1 (K), to det A = a 2 Załóżmy, że został zdefiniowany wyznacznik macierzy kwadratowej o n 1 wierszach Niech A M n,n (K) oraz niech M i,j M n 1,n 1 (K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po wykreśleniu z A i-tego wiersza i j-tej kolumny Ponadto niech A ij = ( 1) i+j det M ij Element A ij ciała K nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A Przy tych oznaczeniach wyznacznik macierzy A definiujemy za pomocą wyrażenia det A = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n Twierdzenie 31 (Laplace a) Jeżeli A M n,n (K), to zachodzą następujące wzory: 1 det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in dla każdego 1 i n, 2 det A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj dla każdego 1 j n Definicja 32 Niech A M n,n (K) będzie macierzą o współrzędnych a ij K Wówczas mówimy, że A jest macierzą: 1 dolną trójkątną/dolnotrójkątną, gdy ma zera nad przekątną, czyli a ij = 0 dla i < j, 2 górną trójkątną/górnotrójkątną, gdy ma zera pod przekątną, czyli a ij = 0 dla i > j, 3 przekątniową (diagonalną), jeżeli a ij = 0 dla i j Własności 31 (Wyznacznika) Niech a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M n,n(k) a n1 a n2 a nn 1 Jeżeli macierz A ma wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 2 Dla każdego c K i dla każdego 1 j n mamy a 11 ca 1j a 1n a 21 ca 2j a 2n det = c det A a n1 ca n2 a nn Taka sama własność zachodzi przy mnożeniu dowolnego wiersza macierzy przez skalar

10 DB Algebra liniowa semestr zimowy Jeżeli macierze B, C M n,n (K) różnią się od macierzy A tylko j-tą kolumną i mają postać a 11 b 1j a 1n a 21 b 2j a 2n B = a n1 b n2 a nn a 11 a 1j + b 1j a 1n a 21 a 2j + b 2j a 2n C = a n1 a nj + b n2 a nn to det C = det A + det B Taka sama własność zachodzi dla wierszy macierzy 4 Jeżeli macierz A ma dwie identyczne kolumny (odpowiednio wiersze), to det A = 0 5 Zamiana miejscami dwóch kolumn (wierszy) macierzy powoduje, że znak wyznacznika zmienia się na przeciwny 6 Jeżeli jedna kolumna (wiersz) macierzy A jest wielokrotnością innej kolumny (odpowiednio - wiersza), to det A = 0 7 Jeżeli do jednej kolumny (wiersza) macierzy A dodamy wielokrotność innej kolumny (odpowiednio wiersza), to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie 8 Jeżeli A, B M n,n (K) to zachodzą następujące równości: det(ab) = det A det B = σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n gdzie S n jest grupą permutacji zbioru n-elementowego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ S n Twierdzenie 32 (Cauchy ego) Jeżeli A, B M n,n (K), to 312 Wzór na macierz odwrotną det(ab) = det A det B Definicja 33 Dla macierzy kwadratowej A M n,n (K) definiujemy jej macierz dołączoną A 11 A 21 A n1 A D A 12 A 22 A n2 = A 1n A 2n A nn tzn A D jest macierzą kwadratową, która na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczne A ji Twierdzenie 33 Jeżeli A Gl n (K), to zachodzi następujący wzór: A 1 = 1 det A AD

11 DB Algebra liniowa semestr zimowy Wzory Cramera Mamy następujący układ równań: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (2) Twierdzenie 34 Jeżeli det A 0, to układ równań (2) ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest dane za pomocą wzorów x i = det A x i det A, dla 1 i n, gdzie A xi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych układu (2)

12 DB Algebra liniowa semestr zimowy Zadania Zadanie 31 Obliczyć następujące wyznaczniki: , , Zadanie 32 Wykazać, że wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej/górnotrójkątnj jest równy iloczynowi elementów na przekątnej Zadanie 33 Wykaż, że jeśli liczba zer w macierzy stopnia n jest większa od n 2 n, to jej wyznacznik równy jest 0 Zadanie 34 Wyprowadzić wzór na wyznaczniki macierzy 1 1, 2 2, 3 3 z własności 8 wyznacznika Zadanie 35 Niech c R, A M n (R) i det A = a Oblicz det ca Zadanie 36 Niech a, b, c, d, t R Stosując twierdzenie Cauchy ego do macierzy [ ] [ ] a b c d A =, B = udowodnić tożsamość (a 2 + b 2 t)(c 2 + d 2 t) = (ac bdt) 2 + (ad + bc) 2 t bt a dt c Zadanie 37 Oblicz wyznaczniki: (d) (e) (f) (g) (h) Zadanie 38 Za pomocą wzorów Cramera rozwiąż następujący układ równań nad ciałem R: { 4x1 7x 2 = 3 5x 1 6x 2 = 4 x 1 x 2 + x 3 = 1 3x 1 4x 2 + 5x 3 = 5 4x 1 5x 2 + 9x 3 = 8 x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 1 2x 1 + 4x 2 + 7x 3 = 2 4x 1 + 9x x 3 = 5 Zadanie 39 (zad 157, JR) Nie obliczając danego wyznacznika, wykazać, że dzieli się on przez 10: , , Zadanie 310 Oblicz macierze odwrotne do następujących macierzy (jeśli istnieją): [ ] 7 9 A = B = C = (d) D = cos α 0 sin α (e) E = sin α 0 cos α

13 DB Algebra liniowa semestr zimowy Zadanie 311 (zad 159, JR) Dowieść, że nie można tak dobrać elementów macierzy A M 3 (R), aby wszystkie składniki, których sumą jest wyznacznik macierzy A (wzór Sarrusa), były dodatnie Zadanie 312 (zad 160, JR) Obliczyć wyznacznik: n x a a a a x a a a a x a a a a x (d) 1 a 1 a 2 a n 1 a 1 + b 1 a 2 a n 1 a 1 a 2 + b 2 a n 1 a 1 a 2 a n + b n a 1 a a 2 a a a n a n Zadanie 313 (zad 162, JR) Obliczyć wyznacznik Vandermonde a: 1 x 1 x 2 1 x n x 2 x 2 2 x n x n x 2 n x n 1 Zadanie 314 (zad 172, JR) Niech A M m (K), B M m n (K), D M n (K) Wykazać, że: [ ] A B det = det A det D 0 D Zadanie 315 (zad 173, JR) Niech A M m (K), C M n m (K), D M n (K) Wykazać, że: [ ] A 0 det = det A det D C D Zadanie 316 (zad 174, JR) Niech A M m n (K), B M m (K), C M n (K) Wykazać, że: [ ] A B det = ( 1) mn det B det C C 0 n Zadanie 317 Rozwiąż równania: [ ] [ ] [ ] 2 5 x11 x = 1 3 x 21 x [ ] [ ] [ ] 3 8 x1 2 = x 2 x 11 x 12 x x 21 x 22 x = x 31 x 32 x