Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Transkrypt

1 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

2 Terminologia Macierze A M n n (R) nazywamy kwadratowymi. Oznaczenie: Niech A M n n (R). Wówczas A ij oznacza macierz powstała z A przez usunięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Zatem A ij M (n 1) (n 1) (R). Przykład Niech A = wówczas A 23 = [ ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

3 Definicja Wyznacznikiem nazywamy funkcję przyporzadkowuj ac a każdej macierzy kwadratowej A o wyrazach z R pewna liczbę rzeczywista oznaczana det A i spełniajac a: (i) Jeśli A = [a] to det A = a (ii) Jeśli a a 1n A =.... n. gdzie n > 1, to det A = ( 1) 1+j a 1j det A 1j a n1... a j=1 nn. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

4 Przykład n = 2, [ a11 a det 12 a 21 a 22 np. ] = ( 1) 1+1 a 11 a 22 + ( 1) 1+2 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21 [ 1 2 det 4 3 ] = 3 8 = 5 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

5 Przykład podobnie dla n = 3 a 11 a 12 a 13 [ det a 21 a 22 a 23 = ( 1) 1+1 a22 a a 11 det 23 a a 31 a 32 a 32 a [ ( 1) 1+2 a21 a a 12 det 23 a 31 a 33 ] + ] [ + ( 1) 1+3 a21 a a 13 det 22 a 31 a 32 ] = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. Np.: det = = (Schemat Sarrusa na tablicy) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

6 Własności wyznaczników Twierdzenie (1) Niech A, B, C M n n (R). (a) Niech k n, k 1. Jeśli macierze A, B, C maja wszystkie wiersze (kolumny), za wyjatkiem wiersza (kolumny) z numerem k równe, natomiast wiersz (kolumna) z numerem k macierzy C jest suma odpowiednich wierszy (kolumn) z numerem k macierzy A i B to det C = det A + det B. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

7 Własności wyznaczników Twierdzenie (1) Niech A, B, C M n n (R). (a) Niech k n, k 1. Jeśli macierze A, B, C maja wszystkie wiersze (kolumny), za wyjatkiem wiersza (kolumny) z numerem k równe, natomiast wiersz (kolumna) z numerem k macierzy C jest suma odpowiednich wierszy (kolumn) z numerem k macierzy A i B to det C = det A + det B. (b) Jeśli B powstała z A poprzez zamianę dwóch wierszy (kolumn) to det B = det A. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

8 Własności wyznaczników Twierdzenie (1) Niech A, B, C M n n (R). (a) Niech k n, k 1. Jeśli macierze A, B, C maja wszystkie wiersze (kolumny), za wyjatkiem wiersza (kolumny) z numerem k równe, natomiast wiersz (kolumna) z numerem k macierzy C jest suma odpowiednich wierszy (kolumn) z numerem k macierzy A i B to det C = det A + det B. (b) Jeśli B powstała z A poprzez zamianę dwóch wierszy (kolumn) to det B = det A. (c) Jeśli B powstała z A poprzez pomnożenie jednego z wierszy (jednej z kolumn) A przez liczbę c to det B = c det A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

9 Przykład (a): det det = det (1 + 2) (1 + 0) (4 + 1) det = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

10 Przykład (a): (b) det det det = det (1 + 2) (1 + 0) (4 + 1) det = det = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

11 Przykład (a): (b) (c) det det det det = det (1 + 2) (1 + 0) (4 + 1) det = det = 2 det = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

12 Definicja Niech A = [a ij ] = M m n (R). Macierz B = [b ij ] M n m (R), spełniajac a dla każdej pary indeksów i, j równość b ij = a ji nazywamy macierza transponowana do A i oznaczamy przez A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

13 Definicja Niech A = [a ij ] = M m n (R). Macierz B = [b ij ] M n m (R), spełniajac a dla każdej pary indeksów i, j równość b ij = a ji nazywamy macierza transponowana do A i oznaczamy przez A Przykład Niech A = [ ] wtedy A = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

14 Definicja Niech A = [a ij ] = M m n (R). Macierz B = [b ij ] M n m (R), spełniajac a dla każdej pary indeksów i, j równość b ij = a ji nazywamy macierza transponowana do A i oznaczamy przez A Przykład Niech A = [ ] wtedy A = Twierdzenie Dla każdej macierzy A M n n (R) zachodzi det A = det A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

15 Definicja Niech A = [a ij ] = M m n (R). Macierz B = [b ij ] M n m (R), spełniajac a dla każdej pary indeksów i, j równość b ij = a ji nazywamy macierza transponowana do A i oznaczamy przez A Przykład Niech A = [ ] wtedy A = Twierdzenie Dla każdej macierzy A M n n (R) zachodzi det A = det A Przykład [ 1 2 det 3 4 ] [ 1 3 = det 2 4 ] [ 1 2 = det 3 4 ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

16 Twierdzenie (Rozwinięcie Laplace a względem wiersza lub kolumny) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

17 Twierdzenie (Rozwinięcie Laplace a względem wiersza lub kolumny) Dla każdej macierzy A M n n (R) mamy :Jeśli a a 1n A =..... gdzie n > 1, to a n1... a nn det A = n j=1 ( 1)i+j a ij det A ij = n j=1 ( 1)i+j a ji det A ji, dla 1 i n. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

18 Twierdzenie (Rozwinięcie Laplace a względem wiersza lub kolumny) Dla każdej macierzy A M n n (R) mamy :Jeśli a a 1n A =..... gdzie n > 1, to a n1... a nn det A = n j=1 ( 1)i+j a ij det A ij = n j=1 ( 1)i+j a ji det A ji, dla 1 i n. Przykład det ( 1) det = ( 1)3+4 3 det [ ] = 6 ( 10) = 60 = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

19 Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

20 Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Wnioski 1. Jeśli macierz A ma wiersz (lub kolumnę) zerowy to det A = 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

21 Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Wnioski 1. Jeśli macierz A ma wiersz (lub kolumnę) zerowy to det A = Jeśli w macierzy A dwa wiersze (dwie kolumny) sa identyczne to det A = 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

22 Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Wnioski 1. Jeśli macierz A ma wiersz (lub kolumnę) zerowy to det A = Jeśli w macierzy A dwa wiersze (dwie kolumny) sa identyczne to det A = 0 3. a) Operacje elementarne typu 1 (dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę, analogicznie dla kolumn) nie zmieniaja wyznacznika macierzy. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

23 Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Wnioski 1. Jeśli macierz A ma wiersz (lub kolumnę) zerowy to det A = Jeśli w macierzy A dwa wiersze (dwie kolumny) sa identyczne to det A = 0 3. a) Operacje elementarne typu 1 (dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę, analogicznie dla kolumn) nie zmieniaja wyznacznika macierzy. b) Operacje elementarne typu 2 (zamiana dwu wierszy badź kolumn) zmieniaja wyznacznik na przeciwny. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

24 Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Wnioski 1. Jeśli macierz A ma wiersz (lub kolumnę) zerowy to det A = Jeśli w macierzy A dwa wiersze (dwie kolumny) sa identyczne to det A = 0 3. a) Operacje elementarne typu 1 (dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę, analogicznie dla kolumn) nie zmieniaja wyznacznika macierzy. b) Operacje elementarne typu 2 (zamiana dwu wierszy badź kolumn) zmieniaja wyznacznik na przeciwny. c) Operacje elementarne typu 3, tzn. pomnożenie wiersza badź kolumny przez liczbę c skutkuja pomnożeniem wyznacznika przez c. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

25 Jak obliczać wyznaczniki? Definicja Macierz A = [a ij ] M n n (R) nazywamy macierza trójkatn a (dokładniej: górnie trójkatn a), jeśli a ij = 0 dla każdej pary indeksów i, j, takich, że i > j (i, j {1,..., n}) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

26 Jak obliczać wyznaczniki? Definicja Macierz A = [a ij ] M n n (R) nazywamy macierza trójkatn a (dokładniej: górnie trójkatn a), jeśli a ij = 0 dla każdej pary indeksów i, j, takich, że i > j (i, j {1,..., n}) Przykład Macierz jest (górnie) trójkatna Uwaga: macierz kwadratowa w postaci schodkowej jest trójkatna. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

27 Twierdzenie (i) Jeśli A = [a ij ] M n n (R) jest trójkatna to det A = a 11 a a nn. (ii) Jeśli macierz kwadratowa B powstała z macierzy kwadratowej A przez zastosowanie operacji elementarnych 1 i 2 typu (wierszowych badź kolumnowych) to det A = ( 1) s det B, gdzie s oznacza liczbę przeprowadzonych operacji 2 typu (tzn. zamiany wierszy badź kolumn) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

28 Twierdzenie (i) Jeśli A = [a ij ] M n n (R) jest trójkatna to det A = a 11 a a nn. (ii) Jeśli macierz kwadratowa B powstała z macierzy kwadratowej A przez zastosowanie operacji elementarnych 1 i 2 typu (wierszowych badź kolumnowych) to det A = ( 1) s det B, gdzie s oznacza liczbę przeprowadzonych operacji 2 typu (tzn. zamiany wierszy badź kolumn) Metoda obliczania wyznacznika. Sprowadzamy macierz operacjami 1 i 2 rodzaju do postaci trójkatnej po czym korzystamy z powyższego twierdzenia. (Przykłady na tablicy) Wniosek Układ wektorów w 1,..., w n R n jest liniowo zależny macierz A M n n (R), której wierszami sa wektory w 1,..., w n spełnia det A = 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

30 Twierdzenie [ ] A B Niech macierz M ma postać blokowa, gdzie A i C oznaczaja 0 C podmacierze kwadratowe M, zaś 0 prostokatny blok złożony z samych 0. Wtedy det M = det A det C Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

31 Twierdzenie [ ] A B Niech macierz M ma postać blokowa, gdzie A i C oznaczaja 0 C podmacierze kwadratowe M, zaś 0 prostokatny blok złożony z samych 0. Wtedy det M = det A det C Przykład Niech M = Macierz M ma strukturę blokowa jak w powyższym twierdzeniu. Mamy 3 3 blok A = [ ] blok C =. Zatem 1 3 det M = det A det C = ( ) (2 3) = 126 oraz Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

32 Uwaga. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

33 Uwaga. Na płaszczyźnie wyznacznik ma następujac a interpretację geometryczna: pole równoległoboku rozpiętego na wektorach (a, b), (c, d) jest równe wartości bezwzględnej [ a b det c d ]. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13

34 Uwaga. Na płaszczyźnie wyznacznik ma następujac a interpretację geometryczna: pole równoległoboku rozpiętego na wektorach (a, b), (c, d) jest równe wartości bezwzględnej [ a b det c d Podobnie objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach (a, b, c), (d, e, f ), (g, h, i) R 3 jest równa det A, gdzie A = ]. a b c d e f g h i Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 13