Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Transkrypt

1 Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61) konsultacje: poniedziałek 15:10-16:40 Slajdy dostępne pod adresem: / 14

2 Macierz Definicja Macierz wymiaru m n to prostokątna tablica mn liczb o m wierszach i n kolumnach: a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Macierz A można też zapisywać jako [a ij ]. Przykłady macierzy: [ ] [ ] 1 + i A = B = C = D = 2i i 2 / 14

3 Rodzaje macierzy Macierz zerowa m n = Jeśli wymiar jest jasny z kontekstu, to po prostu zapisujemy 0. Macierz kwadratowa a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Wymiar n n nazywamy często stopniem n. 3 / 14

4 Rodzaje macierzy Macierz (kwadratowa) trójkątna dolna a a 21 a L = a 31 a 32 a a n1 a n2 a n3 a nn Macierz (kwadratowa) trójkątna górna a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n R = 0 0 a 33 a 3n a nn 4 / 14

5 Rodzaje macierzy Macierz diagonalna a a diag(a 1,..., a n ) = 0 0 a a n Macierz jednostkowa I n = diag(1,..., 1) = / 14

6 Rodzaje macierzy Wektor kolumnowy A = a 11 a 21. a m1 Często oznaczany a lub a. Wektor wierszowy ] A = [a 11 a a 1n Często oznaczany a lub a. 6 / 14

7 Działania na macierzach Suma i różnica macierzy Niech A = [a ij ] i B = [b ij ] będą tego samego wymiaru m n. Sumą (różnicą) macierzy A i B jest macierz C = [c ij ] dana przez: c ij = a ij ± b ij. Piszemy C = A ± B. Iloczyn macierzy przez liczbę Iloczynem macierzy A wymiaru m n przez liczbę α nazywamy macierz B wymiaru m n daną przez: b ij = αa ij Piszemy B = αa. 7 / 14

8 Własności działań na macierzach Niech A, B, C będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru oraz α, β dowolnymi liczami. Wtedy: A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A A + ( A) = 0 α(a + B) = αa + αb (α + β)a = αa + βa 1 A = A (αβ)a = α(βa) 8 / 14

9 Iloczyn macierzy Definicja Niech macierz A = [a ij ] ma wymiar m n, a macierz B = [b ij ] ma wymiar n k. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [c ij ] wymairu m k, której elementy są określone wzorem: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj Zapisujemy C = AB. Czyli iloczyn AB ma sens tylko wtedy gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. 9 / 14

10 Własności iloczynu macierzy Niech A, B, C będą dowolnymi macierzami o odpowiednim wymiarze oraz α, β dowolnymi liczami. Wtedy: A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC A(αB) = (αa)b = α(ab) (AB)C = A(BC) AI n = A I m A = A Uwaga: mnożenie macierzy nie jest przemienne! Tzn. w ogólności AB BA. Tylko jeśli A i B są diagonalne, to zawsze AB = BA. 10 / 14

11 Macierz odwrotna Definicja Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczaną przez A 1, która spełnia warunek: AA 1 = A 1 A = I n Uwaga: nie każda macierz [ ma ] macierz odwrotną! 1 0 Np. A = [0], lub A =. 0 0 Macierz, która ma macierz odwrotną nazywamy odwracalną, a jeśli nie ma, nazywamy ją osobliwą. 11 / 14

12 Macierz transponowana Definicja Niech A = [a ij ] ma wymiar m n. Macierzą transponowaną do A nazywamy macierz B = [b ij ] wymiaru n m, daną przez: b ij = a ji. Zapisujemy B = A. Własności macierzy transponowanej (A + B) = A + B ( A ) = A (αa) = αa (AB) = B A Macierz dla której A = A nazywamy symetryczną. Macierz dla której A = A nazywamy antysymetryczną. 12 / 14

13 Wyznacznik macierzy 2 2 Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n = 2: [ ] a b A =, c d nazywamy liczbę: det A = ad bc. Przykłady: [ ] [ ] det = ( 2) = 7, det = = / 14

14 Wyznacznik macierzy 3 3 Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n = 3: a b c A = d e f, g h i nazywamy liczbę: det A = aei + bfg + cdh gec hfa idb. Przykład: det = ( 1) + 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 = = / 14