Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania 5. MECHANIKA Mechania - to idee odnoszące się do zozumienia i opisu wszeliego uchu. Wpowadzone tu pojęcia i wielości dają postawy innym działom fizyi oaz mechanice technicznej. Mechania nie jest jednolitą dziedziną, i ta: Mechania lasyczna zawiea idee, tóe znajdują zastosowanie do opisu zjawis zachodzących w sali czasu i pzestzeni blisiej człowieowi, to znaczy pzebiegają w czasie zbliżonym do czasu życia człowiea, w pzestzeni zbliżonej do jego ozmiaów, (czyli co najwyżej ila zędów więcej lub mniej). Mechania wantowa zawiea idee pzydatne w opisie zjawis pzebiegających w sali badzo ótich odcinów czasu, w obębie badzo małych ozmiaów. Mechania elatywistyczna zawiea idee w obębie zjawis w sali dużych szybości i pzyśpieszeń. Pzy czym matematyczne idee mechanii elatywistycznej i mechanii wantowej nie są spzeczne z mechanią lasyczną - są od niej ogólniejsze. Dydatya mechanii lasycznej sfomułowanej pzez Newtona wyształciła tzy części: statyę, inematyę i dynamię. Statya zajmuje się ciałami pozostającymi w bezuchu, a matematycznie są to ównania wyniające z bilansu sił i momentów sił (ozdział.). Kinematya to opisywanie uchu oaz wielościami potzebnymi do analizy uchu (ozdział.). Dynamia umożliwia opisanie uchu na bazie znajomości ozładów sił i momentów sił (ozdział.). Rys... Działy mechanii. Rozłączne tatowanie inematyi i dynamii ma pzyczynę wyłącznie dydatyczną (stopniowanie tudności), jao że dynamia obejmuje swoim zaesem ównież inematyę (ys..). Matematya w inematyce to głównie óżniczowanie (częściowo taże całowanie). Natomiast matematya w dynamice to pzede wszystim całowanie oaz oeślanie stałych całowania na podstawie waunów bzegowych (ozdział.). NEWTON Isaac (64-77 W ozdziale Mechania ozważany jest jeden odzaj ciała fizycznego była sztywna. Mechania innych ciał ja: mateiały plastyczne, pzedmioty elastyczne, płyny ściśliwe i nieściśliwe, ciecze lepie, a taże media specjalne (np ciełe yształy, feosmay) może być ozważana dopieo po zapoznaniu się z mechanią były sztywnej (niniejszy podęczni tych zagadnień nie uwzględnia)... Statya Statya zajmuje się analizą waunów, pzy jaich ciała pozostają w bezuchu. Chodzi o bilans sił i momentów sił: / Suma zewnętznych sił działających w ieunu śoda masy ciała wynosi zeo (..). n i= F = 0 (..) i
6 Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania / Suma zewnętznych momentów sił działających na ciało wynosi zeo (..). n i= M = 0 (..) Reguła.. oaz eguła.. dostaczają ównań, tóych ozwiązanie zawiea infomacje o waunach pozostawania ciała (czy uładu ciał) w stanie statycznym (w bezuchu). i.. Kinematya Podstawowym zagadnieniem w inematyce jest identyfiacja położenia. W pzypadu uchu postępowego jest to weto wsazujący położenie puntu (np. śoda masy) w pzestzeni (ozdział...), natomiast w uchu obotowym jest to ąt obotu były (ozdział..). Z położenia można wyznaczyć szeeg wielości, np.: pędość, szybość, pzemieszczenie, dogę, pzyśpieszenie, szybość śednią, pędość śednią itd.... Kinematya w uchu postępowym Dział inematya w uchu postępowym uczy umiejętności wyznaczania wielości inematycznych z upzednio zidentyfiowanego położenia (diagam na ys...). Rys.... Wielości inematyczne.... Położenie Położenie (t) to wetoowa funcja czasu, opisująca uch puntu w pzestzeni. Począte położenia znajduje się w początu uładu współzędnych, oniec położenia (stzała) wsazuje miejsce, gdzie w danym momencie znajduje się punt (ys. ). Położenie (t) można ozłożyć na sładowe x, y i z. Każda z tych sładowych daje się pzedstawić jao współzędna (x(t), y(t) lub z(t)) pomnożona pzez właściwy weso (i wzdłuż osi x, j wzdłuż osi y, wzdłuż osi z): Z tego względu położenie (t) x = x(t) i ; y = y(t) j ; z = z(t) zapisuje się w postaci sumy poszczególnych sładowych: (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) (...)
Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania 7 Rys.... Położenie. Współzędne x(t), y(t), z(t) (tzy funcje czasu) - z matematycznego puntu widzenia - stanowią uład ównań paametycznych opisujący ształt zywej to uchu puntu. Położenie, chociaż opisuje uch obietu idealnego czyli tzw. puntu mateialnego, nadaje się taże do opisu uchu tanslacyjnego były sztywnej. Ruch tanslacyjny występuje wtedy, gdy wszystie punty były pouszają się po taich samych, ównoległych toach (ys....). Rys.... Ruch tanslacyjny.... Pzemieszczenie Pzemieszczenie (t t ) - weto, tóego począte dotya miejsca, gdzie punt znajduje się w momencie t, a oniec w miejscu - gdzie punt znajduje się w momencie t. Weto ów, to óżnica położenia ońcowego i położenia początowego (ys....). (t t ) = (t ) (t ) (...) Rys.... Pzemieszczenie.
8 Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania... Pędość śednia Pędość śednia (t t ) w czasie od t do t to pzemieszczenie w czasie od t do t pzez czas owego pzemieszczania....4. Pędość vś Pędość (angielsie velocity ) pochodna położenia względem czasu. v ś ( t ( t t ) t ) = t t (...) v (t) jest wetoową funcją czasu oeślającą szybość zmiany położenia, czyli v(t) d(t) = (...4.) Rys....4.. Pędość. d(t) d[x(t) i + y(t) j + z(t) ] dx(t) v(t) = = = i + = v x (t) i + v y (t)j + v z (t) dy(t) j + dz(t) = (...4.) Z definicji pędości wynia, że jej ieune i zwot są taie same ja ieune i zwot elementanego pzemieszczenia d. Zatem pędość jest wetoem w ażdej chwili stycznym do tou uchu.
Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania 9...5. Szybość Szybość v(t) (angielsie speed ) jest modułem pędości: v(t) = v (...5.) Ponao, w wypadu gdy znana jest funcja dogi s(t) w zależności od czasu, szybość może być wyliczona z pochodnej dogi. ds(t) v(t) = (...5.) Szybość w języu angielsim oeśla słowo speed, natomiast pędość velocity. Opeacyjna definicja szybości pzyjmuje postać: v(t) + dx(t) dy(t) dz(t) = ( ) + ( ) ( ) (...5.)...6. Doga Doga to długość tou, po jaim punt pousza się w oeślonym czasie. W czasie od momentu t do momentu t punt pzebywa dogę ówną całce z szybości względem czasu w ganicach od t do t. t s(t + dx(t) dy(t) dz(t) t ) = ( ) + ( ) ( (...6.) ) t Rys....6.. Doga. W matematyce istnieje pojęcie hodogaf, tóe oeśla geometyczne miejsce ońców wetoów funcji wetoowej, odmiezonych z jednego nieuchomego puntu w pzestzeni (np. z początu współzędnych). Zatem doga to hodogaf położenia. Zagadnienie dogi wato taże poównać z zagadnieniem długości łuu zywej w matematyce....7. Szybość śednia Szybość śednia v ś w czasie od t do t to doga pzez czas, w jaim została pzebyta. v ś (t s t ) = (...7.) (tt ) t t
0 Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania...8. Pzyśpieszenie Pzyśpieszenie a (t) szybość zmiany pędości (po angielsu: The acceleation vecto is the ate of change of the velocity ). a(t) dv(t) = (...8.)...9. Pzyśpieszenie styczne Uwaga! Najpiew definicja modułu pzyśpieszenia stycznego a s (t), czyli szybości (szybość to angielsie ate ) zmiany szybości v(t) (w tym pzypadu szybość to angielsie speed ; The acceleation is the ate of change of the speed ): dv(t) a s (t) = (...9.) Weso pzyśpieszenia stycznego jest tożsamy z wesoem pędości(ponieważ weto pzyśpieszenia stycznego jest ównoległy do wetoa pędości), zatem pzyśpieszenie styczne można wyazić następująco:...0. Pzyśpieszenie dośodowe a s (t) dv(t) = v (...9.) v Pzyśpieszenie dośodowe (t) jest postopadłe do tou uchu. Suma pzyspieszenia stycznego i pzyspieszenia a d dośodowego to pzyspieszenie (wypadowe). Z tego względu pzyspieszenie dośodowe oeśla następująca zależność:... Pomień zywizny a d (t) = a(t) a (t) (...0.) Wyażenie na pomień zywizny zostało ustalone w opaciu o doświadczenie nabyte podczas ozważania uchu po oęgu. s
Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania Teoia uchu po oęgu Położenie w uchu po oęgu wyaża się następująco: (t) = R cosωt i + R sinωt j (...) Rys..8. Ruch po oęgu. Pędość pochodna położenia - w uchu po oęgu pzyjmuje postać: d(t) v (t) = = Rω sin ωt i + Rω cosωt Natomiast pzyśpieszenie pochodna pędości wyaża się następująco: a(t) dv(t) j (t) ω (...) = = i + j = (...) Rω cosωt Rω sin ωt Zatem pzyśpieszenie ma ieune tai sam co położenie, ale pzeciwny zwot, i jest sieowane w ieunu do śoda oęgu. Gdyby nie był to uch jednostajny, pzyspieszenie miałoby inny ieune. W uchu po oęgu pędość jest postopadła do położenia, co można łatwo spawdzić obliczając iloczyn salany tych wetoów, i pzeonując się, że wynosi on zeo. W uchu jednostajnym po oęgu położenie jest tożsame z pomieniem zywizny. Posługując się modułami pomienia zywizny, pędości i pzyśpieszenia można sfomułować następujący związe: v a = ω = (...4) Uogólniając wyażenie (...4) na dowolny uch zywoliniowy otzymuje się: v v a = ρω = ρ = (...5) a Uwzględniając fat, że weso pomienia zywizny ma zwot pzeciwny do zwotu wesoa pzyśpieszenia, otzymujemy: v a d ρ(t) = ( ) (...6) a a d Pzyład onfiguacji pzestzennej położenia, pzyśpieszeń, pędości i pomienia zywizny w uchu zywoliniowym pzedstawiony jest na ys.... d
Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania Rys.... Położenie, pzyśpieszenia: a, a, a, pędość v, pomień zywizny ρ. d s... Kinematya w uchu obotowym Ruch obotowy opisywany jest w uładzie współzędnych biegunowych. W uładzie tym wszystie punty obacającej się były pouszają się z tą samą pędością ątową, ta ja w uchu postępowym wszystie punty pouszają się z tą samą pędością (liniową). W niniejszym ozdziale oganiczono się do uchu obotowego woół nieuchomej osi.... Położenie ątowe Położenie ątowe ϕ (t) jest wetoem o watości ównej ątowi, o jai obóciła się była względem osi biegunowej (ys....). Kieune tego wetoa jest tai sam ja oś obotu, natomiast zwot wyznacza się zgodnie z egułą śuby pawosętnej. Rys.... Położenie ątowe.... Pędość ątowa Pędość ątowa... Pzyśpieszenie ątowe Pzyśpieszenie ątowe (t) ω (t) jest szybością zmian położenia ątowego (wyażenie...). d ϕ ω(t) = (...) ε jest szybością zmian pędości ątowej (wyażenie...). dω ε(t) = (...)
Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania Pzyład w zaesie inematyi uchu postępowego Dane jest położenie v (t) = A t i + B cos(c t + D) j + E e gdzie A, B, D i E stałe. Wyznaczyć pędość, pzyśpieszenie i pędość śednią w czasie od t do t. Rozwiązanie: Definicja pędości: v(t) = d (A t d(t) v(t) = i + B cos(c t + D) = A i BC sin(ct + D) j + EF e dv(t) Definicja pzyspieszenia: a(t) = j + E e d a(t) = (A i BC sin(ct + D) j + EF e F t = i BC cos(ct + D) j + EF e Definicja pędości śedniej: v ś (t F t F t F t ) = ) = (t ) (t) t ) = t t F t v ś (t A t t A t ) = i + B cos(c t + D) t t i + B cos(c t + D) t t j + E e F t = j + E e F t = A F t F t ( t t + D) cos(ct + D) e t t ) B (cos(ct i + t t E (e j + t t ).. Dynamia... Dynamia w uchu postępowym W dynamice stosuje jest zasadę Newtona wyażającą pogląd, że ciało o masie m pousza się z pzyśpieszeniem a popocjonalnym do pzyłożonej siły F, a współczynniiem popocjonalności jest odwotność masy. Jest to teść tzw. II zasady dynamii Newtona. W zasadzie tej mieści się taże I zasada dynamii Newtona, ponieważ ja łatwo zauważyć gdy F =0 wówczas a =0, czyli ciało pousza się cały czas z pędością początową. Matematycznie wspomniana II zasada jest zapisywana następująco:
4 Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania a(t) = F(t) (..) m Bioąc pod uwagę powyższą zasadę newtonowsiej dynamii oaz definicję pzyśpieszenia otzymujemy następujące ównanie óżniczowe: v(t) = m F(t) dv(t) = m F(t) (..) d Pzeem obowiązywała tzw. mechania aystotelesowsa, w jaiej załadano, że ciało pousza się tylo wówczas, gdy pzyłożona jest do niego siła. System Aystotelesa nie był zmatematyzowany stosowano w nim lasyczną speulację logiczną. Aystoteles (84- p.n.e) W ezultacie obustonnego scałowania ównania (..) otzymujemy wyażenie na pędość (pzyład poniżej).
Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania 5 Pzyład w zaesie dynamii w uchu postępowym Na masę m działa siła F = A t, gdzie A jest stałą. Wyznaczyć zależność pędości od czasu jeżeli pędość początowa wynosi v o. Rozwiązanie: po obustonnym scałowaniu dv(t) = m A t v(t) + podstawiając C = C C otzymujemy: v(t) W chwili początowej v = v o, zatem + C = A t C m = m A t + C v(t = 0) = A 0 + C C = v m o i wyażenie na szybość pzyjmuje postać funcji: v(t) + = m A t vo Powyższe ozwiązanie jest oazją do pzypomnienia ogólnej zasady odnośnie geometycznej intepetacji funcji i ównania. Mianowicie: linia na wyesie odnosi się do funcji, natomiast punt na tej linii do ównania. W fizyce wszystie wyażenia są funcjami lub ównaniami. Wzoy wpowadza się dopieo w inżynieii poszczególnych dziedzin technicznych i pzyodniczych. (t Po wyznaczeniu 0) v (t) można ustalić położenie (t) pod wauniem, że znane jest położenie początowe = o. Jesteśmy w stanie to uczynić ozystając z definicji pędości, z tóej wynia: d(t) = v(t) (..)
6 Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania Pzyład w zaesie dynamii w uchu postępowym Na masę m działa siła F = A t, gdzie A jest stałą. Wyznaczyć zależność położenia od czasu jeżeli pędość początowa wynosi v o a współzędna początowa x o. Rozwiązanie: Najpiew wyznaczamy pędość ta ja w zadaniu.. v(t) = m A t + v o Następnie adaptujemy definicję pędości do waunów zadania, tzn. położenie zastępujemy współzędną, ponieważ mamy do czynienia z uchem jednowymiaowym wystaczy posługiwać się współzędną usytuowaną wzdłuż ieunu uchu. dx = v(t) dx = ( m A t + vo ) Po obustonnym scałowaniu: x x = m 6 o o = m 6 A 0 + v o 0 + A t + v t + C C x (t) + C = x o = x m 6 A t + vo t o Pzyład w zaesie dynamii w uchu postępowym Do masy 0 g pzyłożono siłę t F = 0 e i + 0 sin(t) j + 50 t Wyznaczyć położenie, jeżeli Rozwiązanie.: vo = i + j o = i + j a = F m t a = e i + sin(t) j + 5 t v = ( e t i + sin(t + ) j + 5 t ) t 5 v = ( e + A) i + [ cos(t) + B] j + [ t + C] A = B = C = = + A = + B = C t 5 v = ( e + ) i + [ cos(t) + ] j + [ t ] t 5 = {( e + ) i + [ cos(t) + ] j + [ t ] } t 5 4 = ( e + t + D) i + [ sin(t) + t + E] j + [ t t + F] 4 9 = 4 + D = E = t 5 4 = ( e + t + ) i + [ sin(t) + t + ] j + [ t t ] 4 4 9 F
Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania 7... Zasada zachowania pędu Zasada zachowania pędu jest inną fomą newtonowsiej zasady dynamii. Do stwiedzenia tego powadzi następujące ozumowanie polegające na pzeształcaniu zasady dynamii: a (t) m F(t) = (...) dv(t) = m F(t) (...) m dv(t) = F(t) (...) Iloczyn masy i elementanej zmiany pędości oeślono jao elementaną zmianę pędu. dp(t) = F(t) (...4) Powyższy zapis odczytuje się ta: elementana zmiana pędu jest ówna iloczynowi siły i elementanemu czasowi działania tej siły. Zapis...4 można spowadzić do fomy...5: dp(t) = F(t) (...5) Powyższe ównanie odczytuje się w sposób następujący: szybość zmiany pędu ciała lub uładu ciał jest ówna wypadowej sile zewnętznej. Jeżeli wypadowa siła zewnętzna jest ówna zeu, czyli pawa stona w ównaniu (...5) ówna jest zeu, wtedy pęd nie zmienia się (ponieważ óżniczowana wielość musi być wielością stałą, soo pochodna wynosi zeo) co stanowi teść zasady zachowania pędu.... Dynamia w uchu obotowym Newtonowsa zasada dynamii w odniesieniu do uchu obotowego pzyjmuje następującą postać: ε(t) gdzie: ε (t) = pzyśpieszenie ątowe, I = moment bezwładności, M (t) = M(t) (...) I = moment siły Pzyśpieszenie ątowe, moment bezwładności i moment siły dotyczą tej samej osi obotu.... Zasada zachowania momentu pędu Zasada zachowania momentu pędu to onsewencja pzeształcenia zasady dynamii (...) w uchu obotowym: dω = M(t) (...) I I dω = M(t) (...) Iloczyn momentu bezwładności i elementanej zmiany pędości ątowej stanowi elementaną zmianę momentu pędu. v dl = M(t) (...4) dl = M(t) (...5) Z ównania (...5) wypowadza się wniose analogiczny ja w pzypadu zasady zachowania pędu, mianowicie: z fatu M (t) = 0 wynia, że L = const co stanowi teść zasady zachowania momentu pędu. Wato
8 Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania zauważyć, że ażde wiujące ciało (wiujące czyli obdazone momentem pędu) musi zmieniać swój moment pędu w ieunu pzyłożonego zewnętznego momentu siły. Np. zabawa-bą po wpływem momentu siły ciężości nie pzewaca się, lecz oniec wetoa momentu pędu w ażdej chwili pzemieszcza się w ieunu momentu siły ciężości. W efecie, oniec ów zaeśla oąg, a cały weto momentu pędu powiezchnię boczną odwóconego do góy stoża. Efet zmiany ieunu wetoa momentu pędu pod wpływem zewnętznego momentu siły zwane jest pecesją..4. Paca Pojęcie pacy występuje we wszystich działach fizyi i pzyjmuje óżne fomy. W ażdym pzypadu jest to adaptacja ogólnej definicji pacy (ozdział.4.)..4.. Ogólna definicja pacy Paca wyonana pzez siłę podczas elementanego pzemieszczenia to iloczyn salany siły F( ) oaz elementanego pzemieszczenia d. dw = F() d (.4..) Rys..4... Gaficzny omentaz do definicji pacy. Adaptacja ogólnej definicji pacy do szczególnych pzypadów czyni ją zwyle postszą. Na pzyład, jeżeli siła działa stale w tym samym ieunu i pzemieszczenie odbywa się ównież w tym ieunu, wówczas: dw = F(x) dx (.4..) gdzie x oznacza współzędną usytuowaną w ieunu działania siły..4.. Paca w uchu obotowym Paca wyonana pzez moment siły podczas elementanego pzemieszczenia ątowego to iloczyn salany momentu siły i elementanego pzemieszczenia ątowego. dw = M( ϕ) dϕ (.4..) Należy pamiętać, że jednostą ϕ jest adian, tóy - z olei - zgodnie z definicją miay ąta jest wyażony jao m/m (met na met)..4.. Paca pądu eletycznego Definicja pacy w odniesieniu do pacy wyonywanej pzez pzemieszczającą ładuni siłę pola eletycznego pzyjmuje postać: dw = u(t) i(t) (.4..) gdzie: u(t) = napięcie eletyczne; i(t) = natężenie pądu eletycznego. Rozwinięcie zagadnienia znajduje się w ozdz. 6.
Zbigniew Otemba, Fizya cz.: Mechania 9.4.4. Paca gazu Gaz ozpężając się wyonuje pacę. Elementana paca wyonana pzez gaz podczas elementanej zmiany jego objętości wyaża się następująco: dw = p(v) dv (.4.4.) gdzie: p(v) to zależność ciśnienia od objętości; dv - elementana zmiana objętości.