Moment pędu punktu materialnego i układu punktów materialnych, moment siły Dynamika ruchu obrotowego bryły

Transkrypt

1 Moment ędu untu matealnego uładu untów matealnych, moment sły Dynama uchu obotowego były

2 x Moment ędu untu matealnego L. O L α. α α A Oeślamy go względem ustalonego untu O v L mv -weto oeślający jego ołożene względem untu O Długość wetoa momentu ędu L mv - ęd untu matealnego α mv sn mv ; V V L 0 snα L L jest wetoem ostoadłym do łaszczyzny w tóej leżą wetoy,a jego zwot ustala eguła śuby awosętnej

3 Moment ędu były (uładu untów matealnych) oeślony względem oczątu uładu wsółzędnych L L suma o wszystch untach matealnych uładu ęd -tego untu weto wodzący -tego untu moment ędu -tego untu

4 v Moment sły F F α F α Oeślamy go względem ustalonego untu O. α O. F sn F F F 0 A ( α ) F F F ; snα - sła zyłożona -weto oeślający mejsce zyłożena sły względem untu O F F F F snα jest wetoem ostoadłym do łaszczyzny w tóej leżą wetoy,a jego zwot ustala eguła śuby awosętnej F

5 Wyadowy moment sły dzałający na unt matealny Gdy na unt matealny dzała la sł to wówczas wyadowy moment sły jest ówny momentow sły wyadowej ( ) ( ) w F F F Fw - oeśla mejsce zyłożena -tej sły F - oeśla mejsce ołożena untu matealnego zy czym dla dowolnego ( dowolnej sły) Wyadowy moment sły dzałający na byłę Wyadowy moment sły ne jest ówny momentow sły wyadowej gdyż óżne sły mogą być zyłożone do óżnych untów były Gdy sła jest zyłożona do nnego untu nż sła F F to j j Wyadowy moment sły jest ówny sume momentów wszystch sł ( ) w F Wład do nego ne wnoszą sły dzałające medzy untam matealnym wchodzącym w sład były, tylo sły zewnętzne.

6 w Zwąze momentu sły z momentem ędu dl dt Szybość zmany w czase momentu ędu uładu jest ówna wyadowemu momentow sły dzałającemu na ten uład będącemu sumą wetoową momentów sł dzałających na wszyste unty uładu. Momenty ędu sły są oeślone względem tego samego untu neuchomego w uładze necjalnym. Równane owyższe ozostaje awdzwe taże gdy moment ędu uładu untów matealnych wyadowy moment sły dzałający na ten uład sły oeślmy względem śoda masy uładu untów matealnych (śoda masy były) Dowód w zyadu untu matealnego dl d d d ( ) + V mv + Fw F w w dt dt dt dt Dla uładu untów w uładze necjalnym dl dt w w dt dt Zasada zachowana momentu ędu Jeżel wyadowy moment sły jest ówny zeu to moment ędu jest zachowany dl w 0 L const d L w dl dt w

7 Zasada zachowana momentu ędu w uchu untu matealnego od wływem sły centalnej na zyładze sły gawtacyjnej Sła centalna seowana w eunu stałego untu w zestzen-centum sły V M L. m F G Moment sły gawtacyjnej oeślony względem neuchomego ołożena cała o mase M (centum sły) 0 L const Sła gawtacyjna GmM F G A( ) GmM FG 0 3 Moment ędu cała o mase m oeślony względem centum sły ne zmena sę tace uchu. Ruch cała o mase m odbywa sę w stałej łaszczyźne ostoadłej do wetoa L

8 Zasada zachowana momentu ędu w uchu lanety o mase m woół neuchomej gwazdy (Słońca) o mase M o else V Moment ędu ahelum V A A A L mv eyhelum P Z zasady zachowana momentu ędu P M m L. F G P P V P eyhelum L eyhelum L ahelum V P V A P mv P A P L mv ahelum A A W eyhelum ahelum V mv PP mvaa A L mv A mv Szybość w eyhelum jest węsza nż w ahelum

9 Dynama uchu obotowego były sztywnej Była sztywna sę słada z welu untów matealnych zy czym odległośc mędzy dowolnym untam były ne ulęgają zmane w czase uchu były. Była sztywna może odlegać: a) uchow ostęowemu w tóym wszyste unty były ouszają sę z jednaowa ędoścą (co do watośc, eunu zwotu) b) uchow obotowemu w tóym wszyste unty były ouszają sę o oęgach, tóych śod leżą na os obotu, z jednaową ędoścą ątową c) złożenu obu uchów zy czym eune os obotu może ulegać w ogólnośc zmane w czase

10 w F w Była ozostająca w soczynu może zacząć sę obacać nawet wówczas gdy sła wyadowa jest ówna zeu F F + F w 0 F v F F F F + F Śode masy w soczynu lub ousza sę uchem jednostajnym ostolnowym Równane uchu Ruch obotowy jednostajne zyseszony ( tóemu odlega ażdy z untów były ne leżący na os obotu) jest wywołany zez wyadowy moment sły óżny od zea oeślony względem ozostającego w soczynu śoda masy były. 0 w dl dt Ja wyznaczyć moment ędu L?

11 L Rzut momentu ędu obacającej sę były na oś obotu ( oeślony względem dowolnego untu na os obotu) L mv L os Oz zut momentu ędu untu o mase m ouszającego sę z szyboścą V o oęgu o omenu na oś obotu ( zut wetoa wodzącego tego untu na łaszczyznę ostoadłą do os obotu) Suma o untach twozących byłę v L ω + L + L L Zwot zutu momentu ędu jednaowy dla wszystch untów były V V ω mv m V m L v ω ω V L m Pędość ątowa ω jednaowa dla wszystch untów były

12 Moment bezwładnośc masa -tego untu odległość od os -tego untu m m m m m m Dla był suma cała Suma o untach uładu m m m const m m ρ const dm ρ dv V dv ρ -gęstość były cała o objętośc były ρ V dv

13 Moment bezwładnośc ęta ( dla zanteesowanych) 0 d l/ S ole zeoju ęta f ( d objętość częśc ęta ołożonej w odległośc z zaesu (, + d ) od os obotu 0 dv S d dv S d,max l / l / 3 l / dv ρ f ( ) d ρs d ρs 3 0 V l ρ ρs gęstość ęta,mn 0 d l/ m V m Sl ρ ρsl Sl ml l długość ęta; m masa ęta; V- objętość ęta m dv ) W zyadu ozważanym ęta o stałym zeoju S d d 3 dm ρ dv 3 V d dv dv + dv S d m Sl ρ const ρ dm ρdv ρs d V f ( ) S ρsl dv const 3

14 Dys (walec) (względem os symet walca) Moment bezwładnośc m Kula o omenu (względem os zechodzącej zez śode ul) 5 m Pęt o długośc l (względem os ostoadłej do ęta zechodzącej zez jego śode ) ml m-masa były l/ l/

15 Twedzene Stenea + md moment bezwładnośc względem os zechodzącej zez śode masy były -moment bezwładnośc względem os ównoległej do os zechodzącej zez śode masy były 0 d m-masa były, d-odległość mędzy osam

16 Pzyład zastosowana Twedzena Stenea moment bezwładnośc ęta o mase m względem os zechodzącej zez onec ęta 0 dl/ l/ ml 0 + md ml + ml ml 0 4 3

17 Rzut momentu ędu były na oś obotu L ω L ω m m L z ω L L z ω ωz ω L ω Rzut ten ne zależy od wybou untu na os obotu względem tóego go oeślamy V

18 Zwąze zutu momentu ędu na oś obotu z zutem wyadowego momentu sły na oś obotu Oz w dl dt w w 0 L dl dt const wz dl z dt Załadamy ż oś obotu Oz mus być neuchoma w ewnym uładze necjalnym lub ma ustalony eune zechodzć zez śode masy były (lub uładu złożonego z obacających sę był). Rzuty momentu ędu były (uładu był) na oś obotu wyadowego momentu sły oeślamy względem dowolnego untu leżącego na tej os gdyż ne zależą one od wybou untu na os obotu, względem tóego je oeślamy. Do wyadowego momentu zwyle ne dają władu sły wewnętzne dzałające mędzy untam matealnym uładu. Moment bezwładnośc uładu złożonego z lu był może ulegać zmane w tace uchu. Zasada zachowana momentu ędu w zyadu uchu obotowego wz 0 L z const Jeżel zut wyadowego momentu sły na oś obotu jest ówny zeu to zut momentu ędu były na tą oś jest zachowany

19 Moment sły Oeślamy go względem ustalonego untu O - sła zyłożona F v F -weto oeślający mejsce zyłożena sły względem untu O Rzut momentu sły na oś obotu Do olczena v zutu momentu sły na ewen eune n. ustalony zez eune os obotu Oz względem untu O leżącego na tej os możemy stosować wzó v F F F - zut wetoa na łaszczyznę ostoadłą do os obotu Rzut ten ne zależy od wybou untu O na os obotu v z gdy zwot os Oz zgodny ze zwotem wetoa z F gdyż os v - zut wetoa na łaszczyznę ostoadłą do os obotu v Oz F + F + F F F + F v ( F ) oś OZ v gdy zwot os Oz zecwny do zwotu wetoa F oś Oz v F v v v ( F ) oś OZ + F

20 Była w olu sły cężośc Jeśl na byłę dzała sła cężośc to można zyjąć ż jest ona zyłożona do śoda cężośc były oaz ma watość ówną F c mg gdze m-masa były, g- watość zyseszena zemsego co możemy uwzględnć lcząc wyadowy moment sły dzałający na byłę Enega otencjalna były w olu sły cężośc jest ówna E ot mgh gdze h to wysoośćśoda cężośc nad ozomem odnesena Gdy gconst w obszaze były to śode cężośc oywa sę ze śodem masy. Jeżel na byłę dzała tylo sła cężośc będąca słą zachowawczą to suma eneg netycznej otencjalnej były w olu sły cężośc ne ulega zmane w czase. Wnose ozostaje słuszny taże w zyadu wystęowana nnych sł ne wyonujących acy w tace jej uchu.

21 Enega netyczna w uchu obotowym Jest ona ówna sume eneg netycznych wszystch untów matealnych twozących byłę były L ω V ω V E n, ob mv m ω m ω ω

22 Zmana eneg netycznej były o stałym momence bezwładnośc w uchu obotowym woół ustalonej os OZ Oś obotu E ϕ θ θ dθ Oś OZ. ϕ x E w,z w, z n, o ϕ ϕ w, z dϕ ω const En, o w, z ω sładowa z-towa wyadowego momentu sły oeślonego względem dowolnego untu na os obotu były ( ϕ ϕ ) Zmana eneg netycznej w uchu ostęowym wzdłuż os Ox zy zesunęcu śoda masy były od untu o xx do untu o xx F w, x E n, x x F w, x dx mv const En, Fw, x mv ( x x )

23 Pzyład Początowy moment bezwładnośc całego uładu, a ędość ątowa uładu ω ońcowy moment bezwładnośc. Jaa jest ędość ątowa uładu ω?. Czy enega netyczna uładu ulegała zmane? ω ω

24 Rzut wyadowego momentu sły na oś obotu ówny zeu Rzut moment ędu na oś obotu jest zachowany L z L z oczątowy: L z ω ońcowy: L z ω z z ω ω ω ω L L < ω > ω

25 Wzostow ędośc ątowej towazyszy w omawanym zyadu wzost eneg netycznej uładu E n, ω E n, ω ω ω z ω z ω E n, ω < L L E n, > En,

26 zasada dynam uchu obotowego były sztywnej (o stałym momence bezwładnośc) woół os obotu neuchomej ( w ewnym uładze necjalnym ) lub os o ustalonej oentacj w zestzen zechodzącej zez śode masy L dl d ω const dω z ( ) wz dt dt dt ω ω z z ε wz w -stały moment bezwładnośc względem os obotu ε-zyseszene ątowe, wz sładowa z-towa wyadowego momentu sły (oś Oz oś obotu) wz wz > 0 ε > 0 < 0 ε < 0 ε ω ωz ω ε ε ε ε z ε w v dω dt ε wz V ε

27 Złożene uchu ostęowego obotowego były sztywnej W ogólnym zyadu uch były sztywnej może być złożenem uchu obotowego ostęowego. Pzyładem taego uchu może być n. toczene bez oślzgu były w ształce n. oła, walca czy obęczy będące złożenem uchu ostęowego z ędoścą ówną ędośc śoda masy były V sm obotowego woół os zechodzącej zez uchomy śode masy z ędoścą ątową ówną ω taą ż V ω sm R Rys. a (uch ostęowy) V sm + (uch obotowy) V sm Złożene uchów-toczene V sm R V sm R R V sm R V sm V sm R oś obotu V R 0

28 Zwąze ędośc ątowej z szyboścąśoda masy w zyadu toczena V ds R ϕ lm dt t 0 t ϕ R lm Rω t 0 t sm ϕ Zależność obowązuje tylo w zyadu uchu bez oślzgu S R ϕ M S Kalae

29 Zwąze zyseszena ątowego z zyseszenem śoda masy a sm Jeśl była toczy sę bez oślzgu to śode masy były ousza sę z szyboścą V sm Rω Gdy do były zyłożymy zewnętzną słę to śode masy były może ouszać sę z zyseszenem a sm. W zyadu toczena sę bez oślzgu zyseszene to można owązać z zyseszenem ątowym w uchu obotowym. dv d( Rω ) sm dω asm R dt dt dt Ruch cała z oeślonym owyżej zyseszenem ątowym bez oślzgu wymaga by zut wyadowego momentu sły na oś obotu był ówny co do watośc w ε R ε Pzyseszene ątowe

30 Toczene można też osać jao uch ścśle obotowy woół os obotu leżącej na styu były z odłożem. Wdać ż szybość oszczególnych untów były jest nna zależy od ołożena untu ω R ω R V sm V sm Pędość ątowa wszystch untów oła jest taa sama ówna ω. Szybość untu P jest ówna zeu, P jest ówna V sm M S Kalae

31 V sm R 0 R V sm Z Tw. Stenea + mr 0 E n 0 ω ω m + ( Rω) ( ) + mr 0 0 ω + ω mv sm

32 Enega netyczna były sztywnej odlegającej uchow ostęowemu obotowemu względem os zechodzącej zez śode masy jest sumą eneg w uchu ostęowym obotowym E n mv + sm o ω enega netyczna enega netyczna w uchu ostęowym w uchu obotowym 0 -moment bezwładnośc względem os zechodzącej zez śode masy

33 Staczane sę ul z ówn ochyłej bez oślzgu F t F R t O F c a sm ω α Kula o omenu R stacza sę z ówn o ące nachylena do ozomu α bez oślzgu. Znaleźć zyseszene lnoweśoda masy ul. a sm a sm c 0 Oeślene wyadowego momentu sły względem śoda ul O leżącego na os obotu Moment sły cężośc Moment sły eacj Watość momentu sły taca c c Fc 0 gdyz c 0 R R FR 0 gdyz R t FR F RF gdyz R, t t t t w c + t R + t t F t t

34 Staczane sę ul z ówn ochyłej bez oślzgu F F t c F R F c a sm F s α ω,ε,oś mg F c Oz Rozład sły cężośc na slę ostoadłądo ówn słę zsuwającą F c Fc + F s Ruch ostęowy F m w a sm Ruch obotowy w 0ε wz 0ε F F s t RF t 0 ε ma sm F ε t a sm Wład do momentu sły względem śoda masy wnos tylo sła taca R 0 a R sm

35 F R a sm Ne obowązuje wzó F F t c α F c F s α F t FR c µ F µ obowązujący tylo zy zsuwanu sę cał F F s t ma sm F mg sn( α ) s F t mg sn α ( ) masm F Ft t 0 mg 7 a R sm sn( α ) o mr 5 a sm mg sn a sm m + R 5 7 g snα ( α ) 0 a sm ne zależy od masy omena ul

36 Aby staczane ul bez oślzgu było możlwe mus zachodzć F F t ts,max F F t c α F R F c a sm F s α Sła taca ne może być węsza od masymalnej watośc sły taca statycznego. Ft mg 7 sn( α ) ts, max F R s F c s ( α ) s F µ µ mg cos µ µ s tg 7 ( ) α µ s - statyczny wsółczynn taca

37 Staczane sę ul z ówn ochyłej bez oślzgu h V 0 a sm α Całowta enega ul jest zachowana. Enega otencjalna na szczyce ówn zamena sę na enegę netyczną u odstawy ówn V mr mv ω mv mgh R Poneważ sły dzałające na ule ne zależą od czasu to uch jej śoda masy jest uchem jednostajne zyseszonym V a sm t a t sm S h snα V t a sm h snα V a sm 7 0 mv V a ozważana enegetyczne uwzględnające enege otencjalną w olu sły cężośc V 0 V 7 snα h sm 5 7 gh g sn ( ) α