3. Kinematyka podstawowe pojęcia i wielkości

Transkrypt

1 3. Kinematya odstawowe ojęcia i wielości Kinematya zajmuje się oisem ruchu ciał. Ruch ciała oisujemy w ten sosób, że odajemy ołożenie tego ciała w ażdej chwili względem wybranego uładu wsółrzędnych. Porawny ois ruchu wymaga zawsze odania uładu odniesienia względem tórego ten ruch jest oisywany. 3.1 Kartezjańsi uład wsółrzędnych Rys.3.1. Kartezjańsi uład wsółrzędnych rzyade i 3 wymiarowy 3. Wetor ołożenia i wetozemieszczenia Rys.3..Wetor ołożenia i rzemieszczenia Uwaga: Przemieszczenia r jest wielością wetorową. 3.3 Kinematyczne równanie ruchu Kinematyczne równanie ruchu ciała jest to zależność (uład równań) odająca wartości wsółrzędnych ciała w funcji czasu. W ostaci wetorowej jest to zależność oreślająca wetor ołożenia ciała jao funcję czasu. r r ( (3.1) Salarna ostać inematycznego równania ruchu jest uładem nastęujących zależności

2 x x( (3.) y y( (3.3) z z( (3.4) 3.4 Równanie toru ruchu Eliminując czas z równania ruchu można otrzymać równanie toru ruchu. N. na łaszczyźnie równanie toru jest funcją jednej zmiennej. y f (x) (3.5) 3.5 Parametry inematyczne ruchu Prędość średnia jest to stosune rzemieszczenia ciała jaie doonało się w ewnym czasie obserwacji do długości tego czasu V śr def r r r t t (3.6) 3.5. Prędość chwilowa oreśla sosób rzemieszczania ciała w ażdym momencie ruchu. Jest ierwszą ochodną rzemieszczenia ciała względem czasu. def V lim 0 r dr dx dy dz i+ j+ dt dt dt dt Przysieszenie średnia jest to stosune zmiany rędości jai nastąił w ewnym czasie do tego czasu. a śr def V V V t t Przysieszenie chwilowe jest ochodną rędości ciała względem czasu. (3.7) (3.8) def V dv a (3.9) lim0 dt Warto zauważyć że wetoędości jest w czasie trwania ruchu zawsze styczny do rzywej toru. Inaczej jest z rzysieszeniem jego wetor jest styczny do toru jedynie w ruchu rostoliniowym. W ruchu rzywoliniowym orócz rzysieszenia stycznego wystęuje dodatowo rzysieszenie normalne (rostoadłe do toru ruchu i odowiedzialne za zmianę ierunu wetora rędości). Całowite rzysieszenie (wyadowe) jest sumą geometryczną tych dwóch sładowy (rys.3.3) Rys.3..Przysieszenie ciała w ruchu rzywoliniowym

3 4. Ruchy rostoliniowe 4.1 ruch rostoliniowy jednostajny s( ± s0± vt v( const a( 0 4. ruch rostoliniowy jednostajnie zmienny at s( ± s0± vt± v( ± v0 ± at a( const (4.1) (4.) 4.3 zasada sładania ruchów Każdy ruch można rzedstawić jao złożenie ruchów sładowych obserwowanych (rzutowanych) na osiach uładu wsółrzędnych XYZ. Ruchy sładowe wiąże ten sam czas! 5. Ruch o oręgu Ciało oruszając się o oręgu cały czas zmienia ierune wetora rędości ruch wiec jest ruchem zmiennym. 5.1 Ruch jednostajny o oręgu. W tym ruchu wetoędości styczny do toru stale zmienia swój zwrot. W ruchu jednostajnym V const (5.1) Y Jest to ruch rzywoliniowy w tórym wystęuje rzysieszenie normalne o wartości V a n ( 5. ) r sierowane stale do środa oręgu o romieniu r, zwane rzysieszeniem dośrodowym. Wyrowadzenie wzoru 5.. [] W celu wyznaczenia wartości i ierunu rzysieszenie w ruchu jednostajnym o oręgu rzeanalizujemy rys. 5.1.

4 Rys.5.1. Częsta orusza się jednostajnie o oręgu w ierunu rzeciwnym do ruchu wsazówe zegara: a) jej ołożenie i rędość V w ewnej chwili; b) rędość V i jej słądowe; c) rzysieszenie a cząsti i jego sładowe Na rysunu 5.1a cząsta orusza się z rędością V o stałej wartości o oręgu o romieniu r. W chwili, dla tórej wyonano ten rysune wsółrzędne tej cząsti wynoszą x i y. Wiedząc że rędość jest zawsze styczna do toru ruchu. Ja to widać z rysunu 5.1a oznacza to ze w ruchu o oręgu rędość jest zawsze rostoadła do romienia w uncie w tórym w danym momencie znajduje się cząsta. Kąt θ, utworzony rzez V z ionem w uncie jest więc równy ątowi utworzonemu rzez romień r z osią x. Sładowe wetora V oazano na rysunu 4.19b. Korzystając z nich możemy zaisać rędość V jao: x i+ Vy j ( V sin ) i+ ( V cosθ ) V V θ j (5.3) Z trójąta rostoątnego na rys. 5.1a widać, że sin θ y / r, a cos θ x / r co daje: y x V ( V ) i+ ( V ) j (5.4) Aby wyznaczyć rzysieszenie a cząsti, należy zróżniczować to równanie względem czasu. Wartość rędości oraz romienia r na zależą od czasu, otrzymujemy więc: dv V dy V dx a ( ) i+ ( ) j (5.5) dt r dt r dt Można zauważyć, że szybość zmiany y, dy /dt jest równa słądowej rędości V y. Analogicznie dx /dt V x. Z rysunu 5.1b widać, że V x V sinθ, a V y V cosθ. Podstawiając te związi do równania 5.5 otrzymujemy: V V a ( cosθ ) i+ ( sinθ ) j (5.6) Ten wetor oraz jego sładowe oazano na rys. 5.1c. W zgodzie z równaniem 5. otrzymujemy że długość wetora a jest równa: V V a ax + ay (cos θ ) + (sinθ ) (5.7) no należało oazać.

5 Ruch jednostajny o oręgu jest ruchem oresowym co jaiś czas ciało rzebiega rzez ten sam unt toru jest to ores tego ruchu oznaczany jao T. Odwrotnością oresu jest częstotliwość 1 f (3.14) T 6.Kinematya rzutów uośnych i oziomych Zależności inematyczne wystęujące rzy rzutach najwygodniej jest rozatrywać orzystając z zasady niezależności ruchów. Możemy wtedy ruch ciała, n. rzy rzucie uośnym, zawsze rozłożyć na dwa ruchy sładowe ruch ciała z rędością oczątową V 0Y w ierunu ionowym z rzysieszeniem g, sierowanym u ziemi oraz równoczesny ruch z rędością V 0X w ierunu oziomym. Metodya rozwiązywania zadań: - wrowadzamy uład odniesienia - rozładamy rędość V 0 na sładowe V 0X i V 0Y - orzystając z zasady niezależności ruchów zaisujemy równania ruchów sładowych oddzielnie dla osi x i y. Równania x( i y( stanowią odstawę do rozwiązania zadania. - równanie toru, tzn. równanie tóre oisuje tor ciała niezależnie od czasu t, otrzymuje się eliminując arametr t z równań ruchów sładowych. (odowiednie rzyłady omówione zostały na wyładzie w dn ) Literatura: [1] M.A.Herman, A.Kalestyńsi, L.Widomsi, Podstawy fizyi dla andydatów na wyższe uczelnie i studentów, PWN Warszawa 1999 [] D.Halliday, R.Resnic, J.Wler, Podstawy Fizyi tom 1, PWN, Warszawa 005