DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa

Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji odwrotnej Pochodna funkcji w przedziale. Różniczkowalność funkcji. Pochodna funkcji wektorowej Obliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji Różniczka funkcji i jej zastosowanie do obliczeń przybliżonych Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora Zastosowanie pochodnej. Twierdzenie Rolle'a i Lagrange'a. Pochodna a monotoniczność funkcji Reguła de l'hospitala Ekstrema lokalne. Wartość najmniejsza i największa funkcji Wypukłość funkcji. Punkty przegięcia Badanie przebiegu zmienności funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji odwrotnej Chcemy poznać prędkość obiektu, który porusza się ze zmienną prędkością. Mamy informację, jaką drogę przebył w każdym czasie między chwilą 0 i T. Obiekt przez pewien czas przyśpieszał, poruszał się ze stałą prędkością, zwalniał, zatrzymywał się,... Jeżeli policzymy iloraz drogi przebytej w czasie T przez czas T, to otrzymamy jedynie prędkość średnią, która słabo opisuje, jak poruszał się obiekt w rzeczywistości. Oczywiście możemy podzielić czas na mniejsze przedziały czasowe. Im mniejsze będą te przedziały czasowe, tym lepiej prędkość średnia przybliży nam rzeczywistą prędkość osiągniętą przez obiekt w tym krótszym czasie. Ideałem byłoby znać dokładną wartość prędkości w każdej chwili z osobna, czyli prędkość średnią zmierzoną przy długości przedziału czasu dążącej do zera. I właśnie tak uzyskaną prędkość w danej chwili nazwiemy pochodną drogi względem czasu. Prędkość w danej chwili t 0 będzie zatem graniczną wartością prędkości średnich obliczonych w przedziale czasowym [ t 0, t] lub [t, t 0 ], o ile Δt = t t 0 dąży do zera ( t - inny moment czasu). Analogicznie możemy policzyć jak zmienia się inna wielkość w zależności od zmiany czasu i nie tylko, ponieważ pochodna opisuje, jak zmienia się wartość funkcji w stosunku do zmiany jej argumentu, gdy zmiana argumentu dąży do zera. Zanim zdefiniujemy pochodną funkcji, określmy najpierw czym na osi liczbowej jest otoczenie punktu x 0 R. DEFINICJA Definicja 1: Otoczenie punktu

Niech x 0 R. Otoczeniem punktu x 0 o promieniu ε > 0 nazywamy przedział ( x 0 ε, x 0 + ε) i oznaczamy przez O( x 0, ε). Otoczeniem lewostronnym punktu x 0 o promieniu ε > 0 nazywamy przedział ( x 0 ε, x 0 ] i oznaczamy przez O( x 0, ε). Otoczeniem prawostronnym punktu x 0 o promieniu ε > 0 nazywamy przedział [ x 0, x 0 + ε) i oznaczamy przez O( x +, ε). 0 Gdy promień otoczenia nie jest istotny (czyli może być dowolną liczbą dodatnią), powyższe otoczenia oznaczamy odpowiednio przez O( x 0 ), O( x 0 ), O( x + 0 ). Przejdźmy do definicji pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie. DEFINICJA Definicja 2: Pochodna funkcji w punkcie Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona w otoczeniu O( x 0 ). Pochodną (właściwą) funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę właściwą f(x) f( x lim 0 ). x x x x 0 0 Pochodną funkcji f w punkcie x 0 oznaczamy przez f df ( x 0 ) lub też przez: ( x ),,. dx 0 f ( x 0 ) Df( x 0 ) Zatem f(x) f( x 0 ) x x0 x x 0 f ( x 0 ) = lim. Uwaga 1: Podstawiając h = x x 0, otrzymujemy powyższą granicę w następującej postaci: f f( x ( x 0 ) = lim 0 +h) f( x 0 ). h 0 h Zauważmy, że w tym zapisie h oznacza przyrost argumentu. Ta postać czasem jest wygodniejsza przy obliczaniu pochodnej wprost z definicji. Przykład 1: Niech s = s(t) będzie funkcją drogi przebytej s w czasie t, gdzie t ( T 1, T 2 ). Niech t 0, t ( T 1, T 2 ), Δt = t t 0. Zatem s s( t ( t 0 ) = lim 0 +Δt) s( t 0 ) (jeżeli granica istnieje i jest właściwa) jest prędkością chwilową w chwili t. Δt 0 Δt 0

Przykład 2: Korzystając z definicji, obliczmy pochodną funkcji f(x) = x 2 w punkcie x 0 = 2 oraz w dowolnym punkcie x 0 R. Pochodna funkcji f w punkcie x 0 = 2: f f(2 + h) f(2) (2 + h) 2 2 2 4 + 4h + h 2 4 (2) = lim = lim = lim = h 0 h h 0 h h 0 h h(4 + h) = lim = lim(4 + h) = 4. h 0 h h 0 Pochodna funkcji f w dowolnie ustalonym punkcie x 0 : f f( x ( x 0 ) = lim 0 + h) f( x 0 ) ( x 0 + h) 2 x 2 0 = lim = h 0 h h 0 h x 2 + 2x h + 0 0 h 2 x 2 0 h(2 x = lim = lim 0 + h) = h 0 h h 0 h = lim(2 x 0 + h) = 2 x 0. h 0 Przykład 3: Obliczmy pochodną funkcji g(x) = e x w dowolnym punkcie x 0 R. g g( x ( x 0 ) = lim 0 +h) g( x 0 ) e = lim x 0 +h e x 0 e = lim x 0( e h 1) = h 0 h h 0 h h 0 h (Wykonujemy podstawienie t = e h 1, zatem t + 1 = e h i h = ln(t + 1) oraz t = e h 1 0 przy h 0.) e = lim x 0t e = lim x 0 e = lim x 0 e = x 0 = e x 0. t 0 ln(t+1) 1 t 0 ln(t+1) t t 0 ln(t+1) 1 ln e t Przykład 4: Obliczmy pochodną funkcji k(x) = x 3 w punkcie x 0 = 3. k k(3+h) k(3) 3+h 3 3 3 h (3) = lim = lim = lim. h 0 h h 0 h h 0 h Z teorii granicy funkcji wiemy, że ta granica (obustronna) nie istnieje, ponieważ h h lim = lim = 1 h 0 h h 0 h oraz h h lim = lim = 1. h 0 + h h 0 + h Skoro powyższa granica nie istnieje, to również pochodna funkcji k w punkcie x 0 = 3 nie istnieje. Pochodna funkcji w punkcie jest granicą (obustronną). Oprócz granicy (obustronnej) funkcji rozważamy również granice jednostronne funkcji. W związku z tym, definiujemy również pochodne jednostronne funkcji w punkcie x 0.

DEFINICJA Definicja 3: Pochodna lewostronna funkcji w punkcie Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona w otoczeniu O( x 0 ). Pochodną lewostronną (właściwą) funkcji f w punkcie x 0, którą oznaczamy przez f ( x 0), nazywamy granicę właściwą f ( x f(x) f( x 0) = lim 0 ) f( x = lim 0 +h) f( x 0 ). x x x x 0 0 h 0 h DEFINICJA Definicja 4: Pochodna prawostronna funkcji w punkcie Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona w otoczeniu O( x + 0 ). Pochodną prawostronną (właściwą) funkcji f w punkcie x 0, którą oznaczamy przez f + ( x 0), nazywamy granicę właściwą f + ( x f(x) f( x 0) = lim 0 ) f( x = lim 0 +h) f( x 0 ). x x + x x 0 0 h 0 + h Przykład 5: Wróćmy do ostatniego przykładu: pokazaliśmy, że pochodna funkcji k(x) = x 3 w punkcie x 0 = 3 nie istnieje. Obliczmy pochodne jednostronne funkcji k w punkcie x 0 = 3: k k(3 + h) k(3) 3 + h 3 3 3 h (3) = lim = lim = lim = h 0 h h 0 h h 0 h h = lim = 1, h 0 h k k(3 + h) k(3) 3 + h 3 3 3 h + (3) = lim = lim = lim = h 0 + h h 0 + h h 0 + h h = lim = 1. h 0 + h Zatem funkcja k nie ma pochodnej w punkcie x 0 = 3, ale ma pochodne jednostronne w tym punkcie, które są różne. TWIERDZENIE Twierdzenie 1: Warunek konieczny i wystarczający istnienia pochodnej funkcji w punkcie Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona w otoczeniu O( x 0 ). Funkcja f ma pochodną w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f ( x 0) = f + ( x 0).

Jeżeli pochodne jednostronne w punkcie x 0 są równe, to ich wspólna wartość jest równa pochodnej (obustronnej) w punkcie x 0. Przyjrzyjmy się jeszcze twierdzeniu o pochodnej funkcji odwrotnej w punkcie x 0 i zobaczmy zastosowanie tego twierdzenia do obliczenia pochodnej funkcji arcus sinus w dowolnie zadanym punkcie x 0 ( 1, 1). TWIERDZENIE Twierdzenie 2: o pochodnej funkcji odwrotnej Jeżeli funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna w otoczeniu O( x 0 ) i ma pochodną właściwą f ( x 0 ) 0, to ( f 1 ) 1 ( y 0 ) =, f ( x 0 ) gdzie y 0 = f( x 0 ), czyli x 0 = f 1 ( y 0 ). Przykład 6: Niech x 0 ( 1, 1). Obliczmy pochodną funkcji arcsin w punkcie x 0, jeżeli wiadomo, że (sin x ) = cos x dla dowolnego x R. Funkcja arcsin określona w przedziale ( 1, 1) jest funkcją odwrotną do funkcji sin zawężonej do przedziału π π π π (, ). Zauważmy, że funkcja sin jest ciągła i silnie rosnąca w przedziale oraz jej pochodna istnieje i 2 2 ( π, π ) (, ) 2 2 2 2 π π π π jest różna od zera dla każdego x (, ), bo cos x > 0 dla każdego x (, ). Zatem założenia twierdzenia o 2 2 2 2 pochodnej funkcji odwrotnej są spełnione. Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej istnieje pochodną funkcji arcsin w punkcie x 0 i wynosi (arcsin x 0 ) = 1, gdzie y = arcsin, cos y 0 x 0 0 π π stąd pamiętając, że cos y 0 > 0, bo y 0 (, ), otrzymujemy 2 2 (arcsin x 0 ) = 1 1 1 = = = cos y 0 1 sin 2 ( y 0 ) 1 sin 2 (arcsin x) Z własności funkcji odwrotnej wiemy, że sin(arcsin x) = x dla każdego x [ 1, 1], więc 1 =. 1 x 2 Jeżeli mówimy o pochodnej funkcji w punkcie x 0, to mówimy o pochodnej właściwej funkcji w punkcie x 0, ale możemy również zdefiniować rzadziej rozważaną pochodną niewłaściwą funkcji w punkcie x 0. DEFINICJA Definicja 5: Pochodna niewłaściwa funkcji w punkcie Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona i ciągła w otoczeniu O( x 0 ). Mówimy, że funkcja f ma pochodną niewłaściwą w punkcie x 0, gdy f(x) f( x lim 0 ) f(x) f( x = lub lim 0 ) = +. x x x x 0 0 x x0 x x 0 Fakt, że funkcja ma pochodną niewłaściwą w punkcie x 0 zapisujemy: f ( x 0 ) = lub f ( x 0 ) = +. Definiuje się również jednostronne pochodne niewłaściwe funkcji f w punkcie x 0.

DEFINICJA Definicja 6: Pochodna niewłaściwa lewostronna funkcji w punkcie Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona i ciągła w otoczeniu O( x 0 ). Mówimy, że funkcja f ma pochodną niewłaściwą lewostronną w punkcie x 0, gdy f(x) f( x lim 0 ) f(x) f( x = lub lim 0 ) = +, x x x x 0 0 x x x x 0 0 co zapisujemy: f ( x 0 ) = lub f ( x 0) = +. DEFINICJA Definicja 7: Pochodna niewłaściwa prawostronna funkcji w punkcie Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona i ciągła w otoczeniu O( x + 0 ). Mówimy, że funkcja f ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie x 0, gdy f(x) f( x lim 0 ) f(x) f( x = lub lim 0 ) = +, x x + x x 0 0 x x + x x 0 0 co zapisujemy: f + ( x 0 ) = lub f + ( x 0) = +. Pochodna funkcji w przedziale. Różniczkowalność funkcji. Pochodna funkcji wektorowej Pojęcie pochodnej funkcji w punkcie możemy rozszerzyć na przedział i mówić o pochodnej funkcji w przedziale. Z pochodną funkcji wiąże się również pojęcie różniczkowalności funkcji. DEFINICJA Definicja 8: Pochodna funkcji w przedziale Mówimy, że funkcja f ma pochodną w przedziale otwartym (a, b), gdzie a < b, gdy funkcja f ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Mówimy, że funkcja f ma pochodną w przedziale domkniętym [a, b], gdzie < a < b <, gdy funkcja f ma pochodną w przedziale otwartym (a, b) i pochodną prawostronną w a i pochodną lewostronną w b. Mówimy, że funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b], gdzie a < b <, gdy funkcja f ma pochodną w przedziale otwartym (a, b) i pochodną lewostronną w b. Mówimy, że funkcja f ma pochodną w przedziale [a, b), gdzie < a < b, gdy funkcja f ma pochodną w przedziale otwartym (a, b) i pochodną prawostronną w a. Definiuje się również następujące pojęcia:

DEFINICJA Definicja 9: Funkcja pochodna Funkcję określoną w przedziale I, której wartości są równe f (x) dla każdego x I, nazywamy funkcją pochodną funkcji f w przedziale I lub pochodną funkcji f w przedziale I i oznaczamy ją przez f df lub. dx DEFINICJA Definicja 10: Funkcja różniczkowalna Funkcję mającą pochodną (właściwą) w każdym punkcie przedziału nazywamy funkcją różniczkowalną w tym przedziale. Przyglądnijmy się teraz klasie funkcji różniczkowalnych - sformułujemy dwa twierdzenia opisujące własności funkcji różniczkowalnych. TWIERDZENIE Twierdzenie 3: o ciągłości funkcji różniczkowalnej Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie x 0, to jest ciągła w punkcie x 0. Uwaga 2: Implikacja w przeciwnym kierunku nie jest prawdziwa, czyli nie każda funkcja ciągła musi być różniczkowalna. Świadczy o tym przykład funkcji ciągłej f(x) = x 3, która nie posiada pochodnej w x = 3. Zbiór funkcji różniczkowalnych jest zatem podzbiorem funkcji ciągłych i jest to podzbiór właściwy. TWIERDZENIE Twierdzenie 4: o pochodnej funkcji elementarnej Jeżeli pochodna funkcji elementarnej istnieje, to jest ona funkcją elementarną.

Uwaga 3: Funkcja elementarna to funkcja, którą można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania i odwracania funkcji. Zatem funkcję elementarną możemy zapisać za pomocą jednego wzoru wykorzystując tylko podstawowe funkcje elementarne. Twierdzenie o pochodnej funkcji elementarnej mówi, że pochodną takiej funkcji zawsze możemy zapisać jednym wzorem. Jest to istotna wiadomość i nie jest to własność oczywista - np. całka nieoznaczona (będąca operacją odwrotną do pochodnej) nie ma tej własności. Zdefiniujmy również pochodną funkcji wektorowej. DEFINICJA Definicja 11: Pochodna funkcji wektorowej Niech v : [α, β] R 2 o przepisie v (t) = (x(t), y(t)) będzie funkcją wektorową. Pochodną funkcji wektorowej v określamy wzorem v (t) = ( x (t), y (t)). Uwaga 4: Analogicznie określamy pochodną funkcji wektorowej v : [α, β] R 3 o przepisie v (t) = (x(t), y(t), z(t)) : v (t) = ( x (t), y (t), z (t)). Obliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Pochodną funkcji można obliczyć, korzystając z twierdzeń opisujących własności pochodnych funkcji - twierdzenia o pochodnej operacji algebraicznych i twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej - oraz wzorów na pochodne podstawowych funkcji. Poniżej przedstawimy te twierdzenia oraz przykłady obliczania pochodnej funkcji wykorzystujące te własności. TWIERDZENIE Twierdzenie 5: Wzory na pochodne podstawowych funkcji Pochodne funkcji względem zmiennej x wyrażają się wzorami:

Pochodna funkcji stałej: (c) = 0, gdzie c R jest stałą Pochodna funkcji potęgowej: ( x a ) = ax a 1, gdzie a R jest stałą Pochodna funkcji wykładniczej i logarytmicznej: ( a x ) = a x ln a, gdzie a (0, 1) (1, ) jest stałą ( e x ) = e x ( log a x ) = 1, gdzie a (0, 1) (1, ) jest stałą x ln a (ln x ) = 1 x Pochodna funkcji trygonometrycznych: (sin x ) = cos x (cos x ) = sin x (tg x ) = 1 cos 2 x (ctg x ) = 1 sin 2 x Pochodna funkcji cyklometrycznych: (arcsin x ) = 1 1 x 2 (arccos x ) = 1 1 x 2 (arctg x ) = 1 x 2 +1 (arcctg x ) = 1 x 2 +1 Jako zakres zmiennej x dla powyższych wzorów przyjmujemy część wspólną dziedziny funkcji pod znakiem pochodnej i dziedziny funkcji po prawej stronie znaku równości. Uwaga 5: Wszystkie powyższe wzory są wyprowadzone z definicji pochodnej funkcji w dowolnym punkcie x lub przy użyciu twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej. Przykład 7: Obliczymy pochodną funkcji f(x) = sin x z definicji. f(x + h) f(x) sin(x + h) sin(x) = =

f (x) = = = = f(x + h) f(x) lim h 0 h lim h 0 lim h 0 lim h 0 sin x cos h + cos x sin h sin x h sin x(1 2 2 sin x sin 2 h 2 sin 2 h 2 h sin 2 h 2 sin h = lim( 2 sin x + cos x ) = h 0 h h h sin h 2 sin h = lim( sin x sin + cos x ) = h 0 2 h = sin x 0 1 + cos x 1 = cos x. sin(x + h) sin(x) = lim = h 0 h = ) + cos x sin h sin x = h + cos x sin h h 2 = Pochodną funkcji można obliczyć z definicji, jednak często jest to żmudne zadanie. Dlatego zazwyczaj obliczamy pochodną funkcji, wykorzystując twierdzenie o pochodnej operacji algebraicznych i twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej oraz powyższe wzory na pochodne podstawowych funkcji. TWIERDZENIE Twierdzenie 6: o pochodnej operacji algebraicznych Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punkcie x 0, to (k f ) ( x 0 ) = (f + g ) ( x 0 ) = (f g ) ( x 0 ) = ( f ) ( x ) = g 0 k f ( x 0 ), gdzie k jest stałą, f ( x 0 ) + g ( x 0 ), f ( x 0 ) g ( x 0 ), (f g ) ( x 0 ) = f ( x 0 )g( x 0 ) + f( x 0 ) g ( x 0 ), f ( x 0 )g( x 0 ) f( x 0 ) g ( x 0 ) [g( x 0 )] 2. Uwaga 6: Powyższe wzory są również prawdziwe dla pochodnych jednostronnych. Przykład 8: Obliczmy pochodną funkcji: 2 5 f(x) = 2 + 4 3.

f(x) = 2 x 2 + 4x 5 3. Wykorzystując wzory na pochodną sumy i różnicy otrzymujemy: f (x) = (2 x 2 ) + (4x 5 ) (3) = Ze wzorów na pochodną iloczynu stałej i funkcji: = 2( x 2 ) + 4( x 5 ) (3) = Teraz pod znakiem pochodnej mamy jedynie funkcje potęgowe i funkcję stałą, których pochodne znamy, zatem: = 2 2x + 4 5x 4 0 = 4x + 20 x 4. Przykład 9: Wykorzystując powyższe twierdzenie, obliczmy pochodne funkcji: g(x) = x 3 sin x, h(x) = ln x. ctg x g (x) = ( x 3 sin x ) = ( x 3 ) sin x + x 3 (sin x ) = 3x 2 sin x + x 3 cos x h (x) = ln x (ln x) = ctg x ln x(ctg x) ctg x ln x( ) x sin2 x = = ctg x ctg 2 x ctg 2 x Pochodna funkcji h została policzona, ale uprośćmy jeszcze ten przepis: ctg x sin = 2 x+x ln x sin x cos x+x ln x =. x sin 2 x ctg 2 x x cos 2 x 1 1 Przy liczeniu pochodnej funkcji elementarnej będziemy często potrzebować jeszcze wzoru na pochodną złożenia funkcji. TWIERDZENIE Twierdzenie 7: o pochodnej funkcji złożonej Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0 i funkcja g ma pochodną właściwą w punkcie f( x 0 ), to (g f ) ( x 0 ) = g ( y 0 ) y =f( ) ( ). 0 x 0 f x 0 Uwaga 7: Powyższy wzór jest prawdziwy dla funkcji będącej złożeniem dowolnej skończonej liczby funkcji, a także dla pochodnych jednostronnych. Uwaga 8:

Wyrażenie g (y) y=f(x) w powyższym wzorze oznacza, że najpierw liczymy pochodną funkcji zewnętrznej g, a dopiero następnie w miejsce zmiennej y wstawiamy funkcję wewnętrzną f(x). Przykład 10: Obliczmy pochodne funkcji: f 1 (x) = sin 4x, f 2 (x) = sin 4 x. Funkcja f 1 jest złożeniem dwóch funkcji. Funkcją wewnętrzną jest funkcja 4x, natomiast funkcją zewnętrzną jest sin y. f 1 (x) = (sin 4x ) = (sin y) y=4x (4x) = (cos y) y=4x 4 = cos 4x 4 = 4 cos 4x. Zauważmy, że sin 4 x = (sin x) 4, czyli tym razem funkcja sinus jest funkcją wewnętrzną. f 2 (x) = ((sin x ) 4 ) = ( y 4 ) y=sin x (sin x ) = (4 y 3 ) y=sin x cos x = 4 sin 3 x cos x. Przykład 11: Funkcja, której liczymy pochodną, może być złożeniem większej ilości funkcji, tak jak: f 3 (x) = sin 5 3x. Jest to złożenie trzech funkcji. Wtedy f 3 (x) = ( sin 5 3x ) = ((sin 3x ) 5 ) = ( y 5 ) y=sin 3x (sin 3x ) = = = 5(sin 3x) 4 (sin 3x ) = 5(sin 3x) 4 (sin y) y=3x (3x) = 5(sin 3x) 4 cos 3x 3 = 15 sin 4 3x cos 3x. Uwaga 9: Zauważmy, że licząc pochodną funkcji złożonej, wygodnie jest liczyć pochodną rozpoczynając od pochodnej funkcji najbardziej zewnętrznej. Podobnie jeżeli funkcja ma rozbudowany wzór, to wygodnie jest rozpocząć liczenie pochodnej od operacji najbardziej zewnętrznej, niezależnie czy jest to operacja złożenia funkcji, czy operacja będąca działaniem arytmetycznym na funkcjach. Jeżeli mamy problem z określeniem, która operacja jest najbardziej zewnętrzna, to przyjrzyjmy się kolejności wykonywanych operacji, gdy za x podstawimy dowolną liczbę z dziedziny. Operacja, którą wykonujemy jako ostatnią, będzie operacją najbardziej zewnętrzną. Przykład 12:

Obliczmy pochodne funkcji: w ich dziedzinach. log 4 g 1 (x) = ln( 3 5x+4x3 + 4 x 7 cos x ), g 2 (x) = 5 x x 5 Dla dowolnego x należącego do dziedziny funkcji g 1 : g 1 (x) = (ln( 3 5x+4x3 + 4 x 7 )) 1 = ( 3 5x+4x3 + 4 x 7 ) = 3 5x+4x3 + 4x 7 1 = (( 3 5x+4x3 ) + (4 x 7 ) ) = 3 5x+4x3 + 4x 7 1 = ( 3 5x+4x3 ln 3 (5x + 4 x 3 ) + 28 x 6 ) = 3 5x+4x3 + 4x 7 1 = ( 3 5x+4x3 ln 3 (5 + 12 x 2 ) + 28 x 6 ) = 3 5x+4x3 + 4x 7 Dla dowolnego x należącego do dziedziny funkcji g 2 : = 3 5x+4x3 (5 + 12 x 2 ) ln 3 + 28x 6 3 5x+4x3 + 4x 7. g 2 (x) = log 4 cos x ( log 4 cos x) 5 x x 5 ( log 4 cos x)( 5 x x 5 ) ( ) = = 5 x x 5 (5 x x 5 ) 2 = = = = 4 log 3 cos x(log cos x) 5 x x 5 ( log 4 cos x)(( 5 x ) x 5 + 5 x ( x 5 ) ) = 25 x x 10 4 log 3 cos x 1 (cos x) 5 x x 5 ( log 4 cos x)( 5 x ln 5 x 5 + 5 x 5 x 4 ) 4 log 3 cos x cos x ln 10 4tg x log 3 cos x ln 10 cos x ln 10 25 x x 10 ( sin x) 5 x x 5 ( log 4 cos x)( 5 x ln 5 x 5 + 5 x 5 x 4 ) = 25 x x 10 5 x x 5 ( log 4 cos x)( x 5 5 x ln 5 + 5 x 4 5 x ). 25 x x 10 = Uwaga 10: Do obliczania pochodnych funkcji złożonych postaci wykorzystujemy przekształcenia: Zauważmy, że przed przekształceniem funkcji (f(x)) g(x) nie możemy zastosować ani wzoru na pochodną funkcji potęgowej, ani na pochodną funkcji wykładniczej, bo zmienna występuje i w wykładniku, i w podstawie potęgi. Również wzór na pochodną funkcji logarytmicznej wymaga, aby podstawa logarytmu była liczbą. Aby móc zastosować znane wzory na pochodne, przekształcamy przepisy tych funkcji tak, aby w podstawie potęgi i w podstawie logarytmu były liczby. Wykorzystując złożenie funkcji odwrotnych do siebie (funkcja y = ln x jest funkcją odwrotną do funkcji y = e x ), otrzymujemy: Natomiast ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu mamy: (f(x)) g(x) oraz log f(x) g(x) (f(x)) g(x) = e g(x) ln f(x) ln g(x) oraz log f(x) g(x) =. ln f(x) (f(x)) g(x) g(x) ln f(x) = ( e ) = e g(x) ln f(x). ln g(x) f(x) g(x) =.

log f(x) ln g(x) ln f(x) g(x) =. Przykład 13: Zobaczmy zastosowanie tych wzorów do obliczenia pochodnej następujących funkcji: f 1 (x) = x x dla x (0, + ) oraz f 2 (x) = log x sin x dla x (0, 1). Wykorzystując przekształcenie (f(x)) g(x) = e g(x) ln f(x), możemy obliczyć pochodną funkcji f 1 : f 1 (x) = ( x x ) = ( e x ln x ) = e x ln x (x ln x ) = e x ln x (1 ln x + x 1 ) = x x (1 + ln x). x ln g(x) W przypadku pochodnej funkcji f 2 wykorzystamy wzór log f(x) g(x) = : ln f(x) f 2 (x) = ( log x sin x ) ln sin x (ln sin x) ln x ln sin x(ln x) = ( ) = = ln x ln 2 x = 1 sin x cos x ln x ln sin x ln 2 x 1 x ln sin x ctg x ln x x =. ln 2 x Uwaga 11: Jeżeli chcemy obliczyć pochodną funkcji w zadanym punkcie, np. w x 0 = 2, wykorzystując wzory, to najpierw liczymy pochodną dla dowolnego x z dziedziny, a następnie dopiero wartość obliczonej pochodnej dla zadanego argumentu x 0. Przykład 14: Obliczymy f (2), jeżeli f(x) = (3x) x2. Najpierw obliczamy pochodną funkcji f dla dowolnego x > 0 (w sposób podobny jak w poprzednim przykładzie): f (x) = ((3x) x2 ) = ( e ln(3x) x2 ) = e x2 ln(3x) ( x 2 ln(3x)) = a następnie = e x2 ln(3x) (2x ln(3x) + x 2 3 ) = (3x) x2 (x + 2x ln(3x)), 3x f (2) = (3 2 ) 22 (2 + 2 2 ln(3 2)) = 6 4 (2 + 4 ln 6) = 1296(2 + 4 ln 6). Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji P(, f( )) 0 0

Pojęcie stycznej do wykresu funkcji f w danym punkcie wykresu P( x 0, f( x 0 )) jest ściśle związane z pochodną funkcji f w punkcie x 0. Styczną możemy traktować jako geometryczną interpretację pochodnej funkcji. Pojęcie stycznej w sensie rachunku różniczkowego jest czymś innym niż styczna do figury czyli prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z figurą, którą poznaje się w szkole średniej. DEFINICJA Definicja 12: Styczna do wykresu funkcji Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona i ciągła w otoczeniu O( x 0 ). Styczną do wykresu funkcji f w punkcie x 0 (w punkcie wykresu P( x 0, f( x 0 )) lub dla argumentu x 0 ) nazywamy prostą będąca granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji f przechodzących przez punkty ( x 0, f( x 0 )) i (x, f(x)), gdy x x 0. f(x 0 ) y=f(x) Rysunek 1: Styczna do wykresu funkcji w punkcie x 0 jako graniczne położenie siecznych, gdy x x 0. Uwaga 12: Współczynnik kierunkowy siecznej przechodzącej przez punkty ( x 0, f( x 0 )) i (x, f(x)) jest dany wzorem f(x) f( x 0 ). x x 0

styczna Rysunek 2: Sieczna i styczna do wykresu funkcji - uzasadnienie wzoru na współczynnik kierunkowy siecznej. Styczna jest granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji f przechodzących przez punkty ( x 0, f( x 0 )) i (x, f(x)), gdy f(x) f( x x x, czyli współczynnik kierunkowy stycznej będzie odpowiadał granicy właściwej funkcji 0 ) 0 przy x x (o ile x x 0 0 istnieje). Stąd widać już związek stycznej z pochodną funkcji. Uwaga 13: Geometrycznie styczna jest prostą, która w sąsiedztwie punktu styczności najlepiej przybliża wykres funkcji różniczkowalnej. Uwaga 14: Jeżeli y = ax + b jest przepisem stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0, to liczba a (współczynnik kierunkowy stycznej) jest równa pochodnej funkcji f w punkcie x 0. Przykład 15: W dowolnym punkcie x 0 R styczna do wykresu funkcji f(x) = 2x 1 pokrywa się z wykresem tej funkcji.

styczna Rysunek 3: Wykres funkcji f(x) = 2x 1 i stycznej do niego. W związku z tym, pochodna funkcji f w każdym punkcie x 0 jest równa 2, bo jest równa współczynnikom kierunkowym stycznych do wykresu funkcji f w punktach x 0, które stale wynoszą 2. Zatem f ( x 0 ) = 2 dla każdego x 0 R. Zwróćmy jeszcze raz uwagę, że określenie stycznej do wykresu funkcji jako prostej, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji, jest błędne. Przykład stycznej do wykresu funkcji w punkcie x 0, która ma więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem przedstawia poniższy rysunek. Rysunek 4: Wykres funkcji i stycznej do niego, które mają dwa punkty wspólne. Natomiast w ostatnim przykładzie rozważaliśmy funkcję, której wykres pokrywa się ze styczną w dowolnym punkcie R, czyli wykres i styczna mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. Z drugiej strony, oczywiście, każdy z łatwością wskaże proste mające tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji, a nie są stycznymi do tego wykresu. Uwaga 15: Nie w każdym punkcie ciągłości funkcji istnieje styczna do wykresu tej funkcji.

Uwaga 16: Jeżeli nie istnieje styczna do wykresu funkcji w punkcie x 0, to nie istnieje również pochodna tej funkcji w punkcie x 0. Przykład 16: Funkcja k(x) = x 3 nie posiada ani stycznej, ani pochodnej w x 0 = 3. Rysunek 5: Wykres funkcji k(x) = x 3 nie mającej stycznej w punkcie x 0 = 3. Styczna w punkcie x 0 istnieje, jeżeli otrzymamy tą samą prostą jako graniczne położenie siecznych wykresu funkcji przy x zmierzającym do x 0 z lewej strony i przy x zmierzającym do x 0 z prawej strony. W przypadku funkcji k(x) = x 3 każda sieczna wykresu przechodząca przez punkty ( x 0, k( x 0 )) i (x, k(x)), gdy x < x 0, ma przepis y = x + 3, a zatem i prosta będąca ich granicznym położeniem, przy x x 0, ma przepis y = x + 3. Natomiast, gdy x > x 0, sieczne i prosta będąca ich granicznym położeniem mają przepis y = x 3. Zatem prosta będąca położeniem granicznym lewostronnym (granica lewostronna) jest różna od prostej będącą położeniem granicznym prawostronnym (granicy prawostronnej), czyli prosta będąca położeniem granicznym obustronnym (granica obustronna) nie istnieje. Uwaga 17: Podsumowując, pochodna (właściwa) funkcji ciągłej w punkcie x 0 (czyli współczynnik kierunkowy stycznej w tym punkcie) będzie istniała, jeżeli będzie istniała styczna do wykresu funkcji w tym punkcie oraz będzie miała równanie kierunkowe (czyli styczna nie będzie pionowa). W ostatniej uwadze został wspomniany przypadek pionowej stycznej do wykresu funkcji. Taka sytuacja ma miejsce, gdy funkcja jest ciągła w otoczeniu O( x 0 ) i obie pochodne jednostronne w x 0 są niewłaściwe (pochodna obustronna może istnieć lub nie).

styczna styczna Rysunek 6: Pionowa styczna do wykresu funkcji - istnieje pochodna niewłaściwa w x 0. Rysunek 7: Pionowa styczna do wykresu funkcji - nie istnieje pochodna w x 0. Zwróćmy uwagę, że przypadek stycznej pionowej spełnia definicję stycznej do wykresu funkcji. Przykładem takiej stycznej jest prosta x = 0, która jest styczną do wykresu funkcji f(x) = 3 x w punkcie x 0 = 0. Dla ustalonego x 0 R można łatwo wyprowadzić przepis na styczną do wykresu funkcji, jeżeli funkcja ma pochodną (właściwą) w punkcie x 0. Na podstawie wcześniejszych obserwacji równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 ma postać y = f ( x 0 ) x + b. Ponadto punkt styczności ( x 0, f( x 0 )) należy do stycznej, więc f( x 0 ) = f ( x 0 ) x 0 + b, stąd b = f( x 0 ) f ( x 0 ) x 0. Zatem równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 ma postać: y = f ( x 0 ) x + f( x 0 ) f ( x 0 ) x 0. Na podstawie tego wyprowadzenia sformułujmy twierdzenie. TWIERDZENIE Twierdzenie 8: o równaniu stycznej do wykresu funkcji Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona w otoczeniu O( x 0 ) i posiada pochodną (właściwą) w punkcie x 0. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 ma postać y = f ( x 0 )(x x 0 ) + f( x 0 ).

Przykład 17: Wskażmy równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = 3 x dla argumentu x 0 = 8. Pochodna funkcji f to f (x) = 1 dla x 0, 3 3 x 2 zatem f ( x 0 ) = f (8) = 1 1 =. 3 3 8 2 12 Ponadto f( x 0 ) = f(8) = 3 8 = 2. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 ma postać: y = f ( x 0 )(x x 0 ) + f( x 0 ), więc w tym przypadku 1 y = (x 8) + 2. 12 Po uporządkowaniu: 1 4 y = x +. 12 3 Rysunek 8: Wykres funkcji f(x) = 3 x i styczna do jej wykresu dla argumentu x 0 = 8. Znając własności współczynnika kierunkowego a prostej y = ax + b, możemy sformułować następujące twierdzenie. TWIERDZENIE Twierdzenie 9: o kącie nachylenia stycznej do dodatniej części osi Ox Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona w otoczeniu O( x 0 ) i posiada pochodną (właściwą) w punkcie x 0. Niech α oznacza miarę kąta skierowanego między dodatnią częścią osi Ox i styczną do wykresu funkcji f w punkcie ( x 0, f( x 0 )). Wtedy tg α = f ( x 0 ). Jednym z zastosowań stycznej, a tym samym pochodnej funkcji, jest określenie kąta między krzywymi będącymi wykresami funkcji, które się przecinają. DEFINICJA Definicja 13: Kąt przecięcia się wykresów funkcji Niech x 0 R. Niech funkcje f i g będą określone w otoczeniu O( x 0 ), posiadają pochodne właściwe lub niewłaściwe w (, ) 0 0

punkcie x 0 oraz ich wykresy mają punkt wspólny ( x 0, y 0 ). Kątem przecięcia się wykresów funkcji f i g w punkcie ( x 0, y 0 ) nazywamy kąt ostry lub prosty między stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie przecięcia ( x 0, y 0 ). y=g(x) styczna styczna y=f(x) Rysunek 9: Kąt przecięcia się wykresów funkcji f i g. Kąt przecięcia się wykresów funkcji możemy obliczyć, wykorzystując twierdzenie: TWIERDZENIE Twierdzenie 10: o kącie przecięcia się wykresów funkcji Niech x 0 R. Niech funkcje f i g będą określone w otoczeniu O( x 0 ), posiadają pochodne (właściwe) w punkcie x 0 oraz ich wykresy mają punkt wspólny ( x 0, y 0 ). Miara kąta φ przecięcia się wykresów funkcji f i g w punkcie ( x 0, y 0 ) wyraża się wzorem φ = arctg f ( x 0 ) g ( x 0 ), gdy f ( ) ( ) 1. x 1+ f ( x 0 ) g ( x 0 ) 0 g x 0 Jeżeli f ( x 0 ) g ( x 0 ) = 1, to φ = π. 2 Powyższy wzór jest konsekwencją wzoru na tangens różnicy kątów oraz związku pochodnej funkcji w punkcie ze styczną do f wykresu funkcji w tym punkcie. Wartość ( x 0 ) g ( x 0 ) jest równa tangensowi kąta φ lub kąta do niego przyległego. Wartość 1+ f ( x 0 ) g ( x 0 ) tangensa dla kątów przyległych różni się tylko znakiem. Szukamy tangensa dodatniego kąta ostrego, więc właściwą wartość wybieramy przez zastosowanie wartości bezwzględnej. Różniczka funkcji i jej zastosowanie do obliczeń przybliżonych Z pojęciem pochodnej wiąże się pojęcie różniczki. Funkcja posiadająca pochodną (właściwą) w danym zbiorze jest nazywana funkcją różniczkowalną w tym zbiorze, ale czym jest różniczka? DEFINICJA Definicja 14: Różniczka funkcji Niech x 0 R i funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0. Różniczką funkcji f w punkcje x 0 nazywamy funkcję df x0 zmiennej h określoną wzorem d (h) = ( ) h. 0 0

d f x0 (h) = f ( x 0 ) h. Uwaga 18: Zauważmy, że różniczka funkcji f w danym punkcje x 0 jest funkcją liniową postaci y = ah, gdzie a = f ( x 0 ) jest stałą, a h jest zmienną. Uwaga 19: Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0 R, to f f( x ( x 0 ) = lim 0 +h) f( x 0 ), h 0 h lub w innej postaci f( x lim 0 +h) f( x 0 ) f ( x 0 ) h = 0. h 0 h Zatem f f( x ( x ) 0 +h) f( x 0 ) 0 h i stąd f( x 0 + h) f( x 0 ) + f ( x 0 ) h, czyli f( x 0 + h) f( x 0 ) + d f x0 (h). Przy czym błąd przybliżenia f( x 0 + h) f( x 0 ) d f x0 (h), jaki popełniamy, spełnia warunek lim h 0 f( x 0 +h) f( x 0 ) d f x0 (h) h = 0, czyli dąży do zera szybciej niż h. Przyjrzyjmy się wzorowi f( x 0 + h) f( x 0 ) + f ( x 0 ) h. Oznaczmy argument x 0 + h przez x. Wtedy h = x x 0 i f(x) f( x 0 ) + f ( x 0 ) (x x 0 ). Prawa strona tego wzoru to przepis stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0, zatem interpretacją geometryczną przybliżenia funkcji przez powyższy wzór jest przybliżenie wykresu funkcji przez styczną do wykresu tej funkcji w punkcie x 0. Analizując powyższy wzór możemy również zauważyć, że pochodna funkcji f w punkcie x 0 jest przybliżonym współczynnikiem proporcjonalności zmiany wartości funkcji f do zmiany argumentu: f(x) f( x 0 ) f ( x 0 )(x x 0 ). Liczba x x 0 jest zmianą zmiennej niezależnej (argumentu) funkcji f, zaś f(x) f( x 0 ) jest zmianą wartości funkcji odpowiadającym zmianie argumentu x x 0. Przykład 18:

Wyznaczymy różniczki funkcji f(x) = 3 x2 w punktach x 1 = 1 i x 2 = 4. Aby to zrobić obliczmy najpierw f (1) i f (4): f (x) = 3 x2 ln 3 2x f (1) = 3 1 ln 3 2 = 6 ln 3 f (4) = 3 16 ln 3 8 = 344373768 ln 3 Zatem skoro d f x0 (h) = f ( x 0 ) h, to d f 1 (h) = d f x1=1 (h) = 6 ln 3 h d f 4 (h) = d f x2=4 (h) = 344373768 ln 3 h Przykład 19: Za pomocą różniczki określmy przybliżoną wartość liczby 3 8, 2. Przybliżymy wartość 3 8, 2 za pomocą różniczki funkcji f(x) = 3 x w punkcie x = 8, według wzoru f(x) f( x 0 ) + d f x0 (x x 0 ). Dlaczego w punkcie x = 8? Punkt x = 8, 2 jest niewygodny dla obliczenia 3 x, wiec zastąpimy go leżącym blisko niego na osi rzeczywistej punktem x = 8 bardziej wygodnym dla obliczenia 0 3 x 0, bo 3 8 = 2. x = 8, 2 - punkt niewygodny x 0 = 8 - punkt wygodny bliski x f( x 0 ) = 3 8 = 2 f 1 (x) = 3 3 x 2 f 1 1 (8) = = 3 3 8 2 12 x = 0, 2 x 0 f(x) f( x 0 ) + f ( x 0 ) (x x 0 ) 1 121 3 8, 2 2 + 0, 2 = 12 60 Przykład 20: Za pomocą różniczki obliczmy w przybliżeniu wartość liczby 3 7, 7.

x = 7, 7 - punkt niewygodny x 0 = 8 - punkt wygodny bliski x f( x 0 ) = 3 8 = 2 f 1 (x) = 3 3 x 2 f 1 1 (8) = = 3 3 8 2 12 x = 0, 3 x 0 f(x) f( x 0 ) + f ( x 0 ) (x x 0 ) 1 79 3 7, 7 2 + ( 0, 3) = 12 40 Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora Możemy obliczyć pochodną funkcji pochodnej. W ten sposób otrzymujemy pochodną rzędu drugiego zadanej funkcji, a także pochodne wyższych rzędów. Pojęcie pochodnych wyższych rzędów znajduje zastosowanie między innymi we wzorze Taylora, który umożliwia przybliżanie funkcji w lepszy sposób niż robi to różniczka funkcji czy geometrycznie styczna. DEFINICJA Definicja 15: Pochodna rzędu n funkcji w punkcie Niech n N. Pochodną (właściwą) rzędu n funkcji f w punkcie x 0 (lub pochodną n-tego rzędu funkcji f w punkcie x 0 ) oznaczamy przez f (n) ( x 0 ) i definiujemy jako f (n) ( x 0 ) = [ f (n 1) ] ( x 0 ) dla n 2, o ile funkcja f (n 1) jest określona w otoczeniu punktu x 0 i istnieje pochodna funkcji f (n 1) w punkcie x 0. Przyjmujemy, że f (1) ( x 0 ) = f ( x 0 ). DEFINICJA Definicja 16: Funkcja pochodna rzędu n Funkcję określoną w przedziale I, której wartości w punktach x I są równe f (n) (x), nazywamy funkcją pochodną rzędu n funkcji f w przedziale I lub pochodną n-tego rzędu funkcji f w przedziale I, lub też n-tą pochodną funkcji f w przedziale I i oznaczamy f (n) dla n N. Uwaga 20:

Pochodne wyższych rzędów oznaczamy również w następujący sposób: f (2) ( x 0 ) = f ( x 0 ), f (3) ( x 0 ) = f ( x 0 ). Ponadto przyjmuje się oznaczenie: f (0) ( x 0 ) = f( x 0 ). Uwaga 21: Dla istnienia pochodnej rzędu n funkcji f w punkcie x 0 konieczne jest istnienie f (n 1) w pewnym otoczeniu punktu x 0. Natomiast dla istnienia pochodnej rzędu n funkcji f w przedziale otwartym I konieczne jest istnienie f (n 1) w tym samym przedziale otwartym I, ponieważ dla każdego punktu z przedziału otwartego istnieje otoczenie tego punktu, które zawiera się w tym przedziale. Są to warunki konieczne istnienia pochodnej rzędu n, ale nie są to warunki wystarczające, czyli jest możliwa sytuacja, gdy istnieje pochodna rzędu n 1 danej funkcji, ale pochodna rzędu n już nie. Uwaga 22: Definicja pochodnej rzędu n funkcji w punkcie jest nazywana definicją indukcyjną, ponieważ pochodną rzędu n definiujemy za pomocą pochodnej rzędu n 1, czyli definiujemy pojęcie dla n N za pomocą tego samego pojęcia określonego dla liczb naturalnych mniejszych od n. Indukcyjnie również definiujemy pochodne jednostronne wyższego rzędu: DEFINICJA Definicja 17: Pochodna lewostronna rzędu n funkcji w punkcie Niech n N. Pochodną lewostronną (właściwą) rzędu n funkcji f w punkcie x 0 oznaczamy przez f (n) ( x 0) i definiujemy jako f (n) ( x 0 ) = [ f (n 1) ] ( x 0) dla n 2, o ile funkcja f (n 1) jest określona w otoczeniu lewostronnym punktu x 0 i istnieje pochodna lewostronna funkcji f (n 1) w punkcie x 0. Przyjmujemy, że f (1) ( x 0) = f ( x 0). DEFINICJA Definicja 18: Pochodna prawostronna rzędu n funkcji w punkcie

Niech n N. Pochodną prawostronną (właściwą) rzędu n funkcji f w punkcie x 0 oznaczamy przez f (n) + ( x 0) i definiujemy jako f (n) + ( x 0 ) = [ f (n 1) ] ( x 0) dla n 2, + o ile funkcja f (n 1) jest określona w otoczeniu prawostronnym punktu x 0 i istnieje pochodna prawostronna funkcji f (n 1) w punkcie x 0. Przyjmujemy, że f (1) + ( x 0) = f + ( x 0). Pochodną wyższego rzędu w przedziale definiujemy analogicznie do pochodnej rzędu pierwszego w przedziale: DEFINICJA Definicja 19: Pochodna rzędu n funkcji w przedziale Mówimy, że funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale otwartym (a, b), gdzie a < b, gdy funkcja f ma pochodną rzędu n w każdym punkcie tego przedziału. Mówimy, że funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale domkniętym [a, b], gdzie < a < b <, gdy funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale otwartym (a, b) i pochodną prawostronną rzędu n w a i pochodną lewostronną rzędu n w b. Mówimy, że funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale (a, b], gdzie a < b <, gdy funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale otwartym (a, b) i pochodną lewostronną rzędu n w b. Mówimy, że funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale [a, b), gdzie < a < b, gdy funkcja f ma pochodną rzędu n w przedziale otwartym (a, b) i pochodną prawostronną rzędu n w a. Przykład 21: Obliczyć pochodną rzędu drugiego (czyli drugą pochodną) funkcji f(x) = e x2 oraz pochodną rzędu trzeciego (czyli trzecią pochodną) funkcji g(x) = x 3. f (x) = ( e x2 ) = ( e x2 2x ) = e x2 2x2x + e x2 2 = e x2 (4 x 2 + 2) g (x) = ( x 3 ) = (3 x 2 ) = (3 2x ) = 3 2 1 = 6 Zauważmy, że gdybyśmy policzyli piątą pochodną funkcji x 5 otrzymamy też liczbę: 5 4 3 2 1 = 5!. I tak dalej. Są to szczególne przypadki następującej obserwacji: Uwaga 23: W n a n x n a n 1 x n 1 a 1 a 0 Niech W n będzie wielomianem stopnia n N o współczynniku a n przy x n, czyli (x) = + +... + x +. Wtedy: W n (n) (x) = n! a n, W (n+1) n (x) = 0.

Wykorzystując pochodne wyższych rzędów możemy sformułować twierdzenie o wzorze Taylora. TWIERDZENIE Twierdzenie 11: o wzorze Taylora z resztą Lagrange'a Jeżeli 1. funkcja f ma ciągłą pochodną (właściwą) rzędu n w przedziale [ x 0, x], 2. funkcja f ma pochodną (właściwą) rzędu n + 1 w przedziale ( x 0, x), to istnieje c ( x 0, x) takie, że f f(x) = f( x ) + ( x 0 ) f 0 (x x ) + ( x 0 ) (x +... + (x +, 1! 0 x 2! 0 ) 2 f (n) ( x 0 ) x n! 0 ) n R n f gdzie R = (n+1) (c) n (x x. (n+1)! 0 ) n+1 Twierdzenie jest prawdziwe również dla przedziału [x, x 0 ]. TWIERDZENIE Twierdzenie 12: o wzorze Taylora z resztą Lagrange'a Jeżeli 1. funkcja f ma ciągłą pochodną (właściwą) rzędu n w przedziale [x, x 0 ], 2. funkcja f ma pochodną (właściwą) rzędu n + 1 w przedziale (x, x 0 ), to istnieje c (x, x 0 ) takie, że f f(x) = f( x ) + ( x 0 ) f 0 (x x ) + ( x 0 ) (x +... + (x +, 1! 0 x 2! 0 ) 2 f (n) ( x 0 ) x n! 0 ) n R n f gdzie R = (n+1) (c) n (x x. (n+1)! 0 ) n+1 Uwaga 24: Wyrażenie f f( x ) + ( x 0 ) f 0 (x x ) + ( x 0 ) (x +... + (x 1! 0 x 2! 0 ) 2 f (n) ( x 0 ) x n! 0 ) n nosi nazwę wielomianu Taylora stopnia n w punkcie x 0, natomiast f R = (n+1) (c) n (x x (n+1)! 0 ) n+1 jest nazywane n-tą resztą Lagrange'a w punkcie x 0.

g (x) = cos x, g (π) = 1, Uwaga 25: Wzór Taylora dla x 0 = 0, czyli wzór postaci: f f(x) = f(0) + (0) f x + (0) x 2 f +... + (n) (0) x n + R, 1! 2! n! n f gdzie R = (n+1) (c) n x n+1, a c leży między liczbami 0 i x, nosi nazwę wzoru Maclaurina. Analogicznie do wzoru Taylora w (n+1)! ogólnej postaci wyrażenie f f(0) + (0) f x + (0) x 2 f +... + (n) (0) x n 1! 2! n! nosi nazwę wielomianu Maclaurina stopnia n, natomiast jest nazywane n-tą resztą Lagrange'a. R n = f (n+1) (c) (n+1)! x n+1 Przykład 22: Wyznaczmy wzór Taylora dla funkcji f(x) = 2 x w x 0 = 1 z resztą R 5 oraz dla funkcji g(x) = sin x w x 0 = π z resztą R 5 i R 6. Dla funkcji f mamy: f(x) = 2 x, f(1) = 2, i tak dalej, zatem dla n N: Stąd 2 x = 2(ln 2) 4 + (x 1 ) 4 2(ln 2) 5 + (x 1 ) 5 + R 5, 4! 5! 2 gdzie R = c (ln 2) 6 5 (x 1) 6, a c leży między argumentami x i 1. 6! Natomiast dla funkcji g mamy: f (x) = 2 x ln 2, f (x) = 2 x (ln 2 ) 2, f (x) = 2 x (ln 2 ) 3, f (1) = 2 ln 2, f (1) = 2(ln 2 ) 2, f (1) = 2(ln 2) 3 f (n) (x) = 2 x (ln 2 ) n, f (n) (1) = 2(ln 2 ) n. 2 ln 2 2(ln 2) 2 = 2 + (x 1) + (x 1 ) 2 2(ln 2) 3 + (x 1 ) 3 + 1! 2! 3! g(x) = sin x g (x) = cos x, (x) = sin x, g(π) = 0 (π) = 1, g (π) = 0, g (x) = sin x, g (4) (x) = cos x, g (5) (x) = sin x, g (π) = 0, g (4) (π) = 1, g (5) (π) = 0, g (6) g (6) g (7) (x) = cos x. Zatem 1 1 sin x = (x π) + (x π) 3 1 (x π ) 5 + R, 1! 3! 5! 5 sin c gdzie R 5 = (x π) 6, a c leży między argumentami x i π. 6! Natomiast 1 1! 1 3! sin x = (x π) + (x π (x π ) 5 + R 6, ) 3 1 5! 6 cos ^ 7 = (x π

cos c gdzie R 6 = (x π) 7, a c leży między argumentami x i π. 7! Przykład 23: Wyznaczmy wzór Maclaurina dla funkcji f(x) = e x z resztą R 5 oraz wielomian Maclaurina stopnia n funkcji f. W przypadku wzoru Maclaurina nie mamy podanego x 0, bo z definicji x 0 = 0. Zauważmy, że dla dowolnego n N: f (n) (x) = e x i f (n) (0) = 1. Stąd e x = 1 + 1 1 x + + + + +, 1! 2! x2 1 3! x3 1 4! x4 1 5! x5 R 5 e gdzie R = c 5, a leży między argumentami i. Natomiast wielomian Maclaurina stopnia funkcji ma postać: 6! x6 c x 0 n f 1 1 1 + x + + + + +... + 1! 2! x2 1 3! x3 1 4! x4 1 5! x5 1 n! xn czyli n k=0 xk k!. Uwaga 26: Wzór Taylora pozwala przybliżyć zadaną funkcję wielomianem. Gdy rozważamy wielomian Taylora stopnia pierwszego, to otrzymujemy przybliżenie funkcji analogiczne do przybliżenia przez różniczkę funkcji: f(x) f( x 0 ) + f ( x 0 )(x x 0 ). Im wyższy stopień wielomianu Taylora tym dokładniejsze jest przybliżenie funkcji. W szczególności zauważmy, że błąd przybliżenia funkcji przez wielomian Taylora stopnia n spełnia warunek: f ( ) x x 0 0 f ( ) x (n) x 0 0 f(x) (f( )+ (x )+...+ (x x ) 1! n! 0 ) n lim = 0. x x 0 (x x 0 ) n Na podstawie tego wzoru możemy powiedzieć, że błąd jaki popełniamy przybliżając funkcję przez wielomian Taylora stopnia n dąży do zera szybciej niż (x x 0 ) n. Powyższy wzór możemy również zapisać w postaci: lim = 0. x x 0 (x x 0 ) n R n Ilustracją graficzną tej uwagi niech będą wykresy funkcji i ich przybliżeń przez wielomiany Taylora wyliczone w ostatnich przykładach. f(x) = x

Rysunek 10: Wykres funkcji f(x) = 2 x oraz wykres jej wielomianu Taylora stopnia 5 w x 0 = 1. Zwróćmy uwagę, że dla funkcji g(x) = sin x wielomianu Taylora stopnia 5 w x 0 = π i wielomianu Taylora stopnia 6 w x 0 = π ma identyczną postać, bo g (6) (π) = 0. Rysunek 11: Wykres funkcji g(x) = sin x oraz wykres jej wielomianu Taylora stopnia 5 (lub 6 ) w x 0 = π. Rysunek 12: Wykres funkcji f(x) = e x oraz wykres jej wielomianu Maclaurina stopnia 5. Należy jednak zaznaczyć, że wykresy powyższych funkcji i ich wielomianów Taylora nie pokrywają się w żadnym przedziale. Dla funkcji różniczkowalnej wystarczająco wiele razy możemy, szacując resztę R n, ustalić stopnień wielomianu Taylora w punkcie x 0, tak aby przybliżenie danej funkcji przez ten wielomian Taylora miało zadaną z góry dokładność, czyli błąd przybliżenia był mniejszy lub równy od zadanej wartości. W szczególności przy pomocy wzoru Taylora możemy określić przybliżoną wartość funkcji dla zadanego argumentu z zadaną z góry dokładnością. Przykład 24: Korzystając ze wzoru Maclaurina dla funkcji f(x) = e x, obliczmy z dokładnością do 0,0001 wartość liczby e. Wielomian Maclaurina stopnia n funkcji f(x) = e x ma postać: 1 1 1 + x + + + + +... +, 1! 2! x2 1 3! x3 1 4! x4 1 5! x5 1 n! xn e a n -ta reszta R = c n, gdzie. Zauważmy, że. Chcemy określić wartość z dokładnością (n+1)! xn+1 c (0, 1) e = e 1 = f(1) e do 0, 0001, czyli aby R n 0, 0001, zatem c n+1 1.

e c. (n+1)! 1n+1 1 10000 Nie znamy wartości c, wiemy jedynie, że c (0, 1), więc c zastępujemy liczbą, dla której powyższe wyrażenie przyjmie wartość większą lub równą od wartości dla dowolnego c (0, 1). Jeżeli tak postąpimy, to nasze oszacowanie błędu będzie dobre niezależnie, jaka jest rzeczywista wartość c. Wiemy, że liczba e jest mniejsza od 3, zatem e c < e 1 < 3 dla każdego c (0, 1). W tej sytuacji chcemy, aby 3 1 (n + 1)! 30000. (n+1)! 10000 Zauważmy, że 7! = 5040, a 8! = 40320, więc dobrą wartością n będzie liczba naturalna taka, że n + 1 = 8. Wnioskujemy stąd, że wystarczy obliczyć wartość wielomianu Maclaurina stopnia 7 dla x = 1 i otrzymamy szukaną przybliżoną wartość 1 1 1 1 1 1 1 685 e 1 + + + + + + + = 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 252 z dokładnością do 0,0001. Zastosowanie pochodnej. Twierdzenie Rolle'a i Lagrange'a. Pochodna a monotoniczność funkcji Przedstawimy tu twierdzenia opisujące zastosowania pochodnej funkcji. Szczególne miejsce wśród nich zajmuje twierdzenie określające związek znaku pochodnej z monotonicznością funkcji. Twierdzenie to jest ważnym narzędziem badania monotoniczności funkcji. TWIERDZENIE Twierdzenie 13: Rolle'a Jeżeli 1. funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], 2. funkcja f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą w przedziale (a, b), 3. f(a) = f(b), to istnieje c (a, b) takie, że f (c) = 0. Uwaga 27: Przyjrzyjmy się interpretacji geometrycznej tego twierdzenia. Zerowanie się pochodnej funkcji w punkcie oznacza, że styczna do wykresu funkcji w tym punkcie jest pozioma. Jeżeli są spełnione założenia twierdzenia Rolle'a, to istnieje punkt c (a, b), w którym styczna do wykresu funkcji f jest równoległa do osi Ox.

styczna Rysunek 13: Styczna do wykresu funkcji w c (a, b) równoległa do osi Ox. Przykład 25: Przyjrzyjmy się następującej sytuacji. Na torze wyścigowym dwa samochody, biorące udział w wyścigu, minęły metę w tym samym momencie. Na podstawie twierdzenia Rolle'a możemy wywnioskować, że w czasie wyścigu był moment, w którym samochody jechały z dokładnie taką samą prędkością. Dlaczego? Jeżeli rozpatrzymy funkcję, która danemu czasowi przypisuje różnicę przebytej drogi przez samochody w tym czasie, to zauważmy, że ta funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle'a. Zatem dla pewnego momentu czasu pochodna tej funkcji jest równa zero, a pochodna tej funkcji będzie równa różnicy prędkości samochodów. Przykład 26: Niech wielomian W ma 101 różnych pierwiastków rzeczywistych. Korzystając z twierdzenia Rolle'a możemy wykazać, że setna pochodna wielomianu W ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Z twierdzenia Rolle'a otrzymujemy, że między każdymi dwoma pierwiastkami wielomianu W istnieje argument będący pierwiastkiem W, zatem widzimy, że W ma 100 różnych pierwiastków rzeczywistych. Postępując analogicznie dla kolejnych pochodnych otrzymujemy, że istnieje punkt c R, w którym W (100) (c) = 0. TWIERDZENIE Twierdzenie 14: Lagrange'a Jeżeli 1. funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], 2. funkcja f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą w przedziale (a, b), to istnieje c (a, b) takie, że f f(b) f(a) (c) =. b a

Uwaga 28: Twierdzenie Rolle'a jest prostym wnioskiem z twierdzenia Lagrange'a, zatem twierdzenie Lagrange'a jest uogólnieniem twierdzenia Rolle'a. Uwaga 29: Interpretacją geometryczną tego twierdzenia jest wniosek, że jeżeli funkcja f spełnia założenia twierdzenia Lagrange'a, to istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie c (a, b) równoległa do siecznej wykresu funkcji f przecinającej go w punktach A(a, f(a)) i B(b, f(b)). Rysunek 14: Styczna do wykresu funkcji równoległa do zadanej siecznej AB. Przejdźmy teraz do wspomnianego twierdzenia łączącego znak pochodnej funkcji z monotonicznością funkcji. Twierdzenie to pozwala badanie monotoniczności funkcji sprowadzić do rozwiązania nierówności. TWIERDZENIE Twierdzenie 15: o związku znaku pochodnej funkcji z monotonicznością funkcji Niech I oznacza dowolny przedział. 1. Jeżeli f (x) = 0 dla każdego x I, to funkcja f jest stała w przedziale I. 2. Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x I, to funkcja f jest rosnąca w przedziale I. 3. Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x I, to funkcja f jest malejąca w przedziale I. 4. Jeżeli f (x) 0 dla każdego x I, to funkcja f jest niemalejąca w przedziale I. 5. Jeżeli f (x) 0 dla każdego x I, to funkcja f jest nierosnąca w przedziale I.

Uwaga 30: Założenie, że I jest przedziałem, jest bardzo istotne. Twierdzenie o związku znaku pochodnej funkcji z monotonicznością funkcji jest prawdziwe, gdy stosujemy je w przedziale. Natomiast w zbiorze będącym sumą rozłącznych przedziałów, to twierdzenie już nie zawsze jest prawdziwe. Przykład 27: Weźmy dla przykładu funkcję f(x) = 1, której pochodna f (x) = 1 jest mniejsza od zera dla każdego x x 2 x D f = (, 0) (0, + ). Funkcja f jest malejąca w przedziale (, 0) i funkcja f jest malejąca w przedziale (0, + ). Natomiast fałszywe jest stwierdzenie, że funkcja f(x) = 1 jest malejąca w (, 0) (0, + ). x Uwaga 31: Jeżeli f (x) 0 dla każdego x I i f (x) = 0 tylko w skończonej liczbie punktów przedziału I, to funkcja f jest rosnąca w przedziale I. Analogicznie: Jeżeli f (x) 0 dla każdego x I i f (x) = 0 tylko w skończonej liczbie punktów przedziału I, to funkcja f jest malejąca w przedziale I. Przykład 28: Przyjrzyjmy się pochodnej i monotoniczności funkcji f(x) = x 3. Pochodna funkcji f to f (x) = 3x 2, zatem f (x) > 0 dla każdego x 0 oraz f (0) = 0. Z twierdzenia o związku znaku pochodnej funkcji z monotonicznością funkcji wiemy, że funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 0) i że funkcja f jest rosnąca w przedziale (0, + ). Ale wykorzystując powyższą uwagę możemy stwierdzić, że funkcja jest rosnąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych, bo f (x) 0 dla każdego x R i jest równa zero dla tylko jednego argumentu (czyli dla skończonej liczby argumentów). Ten wniosek zgadza się z naszą wiedzą o funkcji f(x) = x 3. Przykład 29:

Zbadajmy monotoniczność funkcji x f(x) = 3. x 2 4 Rozpoczynamy badanie monotoniczności funkcji od określenia dziedziny funkcji f: D f = (, 2) ( 2, 2) (2, + ). Obliczamy pochodną funkcji f: f 3 x (x) = 2 ( x 2 4) x 3 2x x = 4 12x 2. ( x 2 4) 2 ( x 2 4) 2 Aby określić monotoniczność funkcji f, potrzebujemy rozwiązać nierówności: f (x) > 0 oraz f (x) < 0. Zauważmy, że znak pochodnej nie będzie zależał od mianownika, ponieważ ( x 2 4 ) 2 > 0 dla każdego x D f. Zatem f (x) > 0 x 4 12 x 2 > 0 x D f x (, 2 3) (2 3, + ). Z tego faktu na podstawie twierdzenia o związku znaku pochodnej funkcji z monotonicznością funkcji wnioskujemy, że: funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 2 3), funkcja f jest rosnąca w przedziale (2 3, + ). x 2 (x + 2 3)(x 2 3) > 0 x D f x [(, 2 3) (2 3, + )] D f Przejdźmy do drugiej nierówności: f (x) < 0 x ( 2 3, 2) ( 2, 0) (0, 2) (2, 2 3) I tu na podstawie twierdzenia o związku znaku pochodnej funkcji z monotonicznością funkcji wnioskujemy, że: funkcja f jest malejąca w przedziale ( 2 3, 2), funkcja f jest malejąca w przedziale ( 2, 0), funkcja f jest malejąca w przedziale (0, 2), funkcja f jest malejąca w przedziale (2, 2 3). x 4 12 x 2 < 0 x D f x 2 (x + 2 3)(x 2 3) < 0 x x [( 2 3, 0) (0, 2 3)] Zwróćmy uwagę, że nieprawdą jest, że funkcja f jest malejąca w zbiorze ( 2 3, 2) ( 2, 0) czy (0, 2) (2, 2 3). Jedynie na podstawie ostatniej uwagi możemy stwierdzić, że funkcja f jest malejąca w przedziale ( 2, 2), bo f (0) = 0 i f (x) < 0 dla każdego x ( 2, 0) (0, 2). D f D f Następne dwa twierdzenia pokażą nam, że porównanie wartości pochodnych dwóch funkcji w pewnym przedziale oraz porównanie wartości tych funkcji w pewnym punkcie tego przedziału, pozwala wnioskować o relacji tych funkcji w rozważanym przedziale. TWIERDZENIE Twierdzenie 16: o równości funkcji Niech funkcje f i g będą określone w przedziale I oraz x 0 I. Jeżeli f( x 0 ) = g( x 0 ) i f (x) = g (x) dla każdego x I, to f(x) = g(x) dla każdego x I. TWIERDZENIE Twierdzenie 17: o nierówności funkcji