REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW NA PODSTAWIE JEDNOWYMIAROWEGO EKONOMICZNEGO SZEREGU CZASOWEGO

Katarzya Zeug REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW NA PODSTAWIE JEDNOWYMIAROWEGO EKONOMICZNEGO SZEREGU CZASOWEGO Wprowazeie W ekoomii barzo często moża zaobserwować szeregi czasowe, które wykazują róże zachowaia: regulare i ieregulare, symetrycze i asymetrycze. Istieją wa róże poejścia wyjaśiające taki rozaj zachowań. Poejście traycyje utrzymuje, że rozwój szeregu czasowego może być przestawioy w postaci liiowego moelu yamiczego. W tym przypaku ieregulare zachowaie szeregu jest w pełi wyjaśioe przez wpływ zewętrzych zaburzeń losowych, które iekoieczie muszą mieć położe ekoomicze. W ostatich latach ostrzeżoo, że ieregulare zachowaie szeregu czasowego moża zapisać w postaci ieliiowego moelu yamiczego. Zauważoo bowiem, że ukłay złożoe mają własą yamikę. Ich uporząkowaie i rozwój ie jest przypakowy, lecz wyika z procesów, jakie w ich zachozą. Moele te stały się barzo waże la teorii ekoomii. Za ich pomocą moża próbować opisywać zjawiska i procesy ekoomicze, które przebiegają w sposób ieregulary, p. true o przewizeia fluktuacje kursów walutowych oraz kursów akcji a giełzie. O czasu gy zaczęto rozwijać hipotezę o ieliiowości moelu yamiczego, aaliza szeregów czasowych została skierowaa w stroę baań zajmujących się wykrywaiem ich ieliiowej atury. Poieważ barzo często truo było jeozaczie wskazać, który ukła jest ieliiowym systemem etermiistyczym, a który ieliiowym systemem stochastyczym, wykształciły się metoy pozwalające a ich oróżieie. Metoy te rozwięły się głów-

8 Katarzya Zeug ie w aukach ścisłych (fizyka, matematyka), ale zalazły rówież zastosowaie w ekoomii. Skupiają się oe wokół omkiętego i iezmieiczego pozbioru przestrzei staów zwaego atraktorem *. Więź pomięzy teoretyczą kocepcją atraktora a aalizą obserwowaego szeregu czasowego pokazuje twierzeie o zaurzeiu (Takes, 98), którego kosekwecją jest rekostrukcja systemu yamiczego a postawie jeowymiarowego szeregu czasowego. Celem opracowaia jest próba rekostrukcji przestrzei staów a postawie jeowymiarowego fiasowego szeregu czasowego złożoego z otowań astępujących walut: olara amerykańskiego (USD), jea japońskiego (JPY) oraz futa brytyjskiego (GBP). W baaiach tych wykorzystao metoę opóźień przestawioą przez Takesa w 98 r. Za pomocą całki korelacyjej oszacowao czas opóźień oraz wyzaczoo wymiar zaurzeia, posługując się metoą fałszywego sąsiaa. Dae wykorzystae w opracowaiu pochozą z WGPW z ostatich ziesięciu lat. Poieważ euro jest walutą obowiązującą o styczia 00 r., ie uwzglęioo jej w poiższych baaiach. Obliczeia przeprowazoo przy użyciu programów apisaych przez autorkę w języku programowaia Visual Basic oraz pakietu Microsoft Excel.. Rekostrukcja przestrzei fazowej W wielu przypakach obserwacja systemu yamiczego aje zalewie cząstkowe iformacje a temat jego atury, barzo często yspouje się jeyie jeowymiarowymi szeregami czasowymi. Dlatego postawowym krokiem w aalizie tych systemów jest ich rekostrukcja. Moża rekostruować przestrzeń staów systemu, która bęzie w pewym sesie rówoważa z orygialą przestrzeią, i zastosować ją p. w progozie ieliiowych szeregów czasowych. Po raz pierwszy metoa rekostrukcji przestrzei staów, zwaa metoą pochoych, została przestawioa przez Packara (980). Nieco późiej Takes (98) wprowaził metoę opóźień, która została uogólioa w pracy Sauera (99). Jeszcze ią metoę, zwaą aalizą czyikową, zapropoowali Broomhea i Kig (986). W astępych rozziałach przestawioo metoę opóźień oraz sposoby wyzaczaia parametrów tej metoy. * Defiicja atraktora zajuje się w oatku zamieszczoym a końcu iiejszego opracowaia.

REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW... 9.. Metoa opóźień Załóżmy, że sta pewego ukłau yamiczego w chwili t jest przestawioy przez wektor y() t Y R. Przypuśćmy rówież, że związek po- m mięzy staami w kolejych mometach czasu opisuje rówaie różicowe pierwszego rzęu: ( t + ) = f ( y( ), t = 0,,, 3,... gzie y() t = ( y () t y () t,..., y ( ) oraz f Y Y y (), m : jest iezaą różiczkowalą fukcją ieliiową. Załóżmy poato, że zay jest tylko jeo- t x t = h y t i h : R m R jest wymiarowy ciąg obserwacji x ( ), gzie ( ) ( ( )) iezaym owzorowaiem. Mimo że mamy tak iewiele iformacji a temat baaego ukłau yamiczego (w każej chwili t zamy wyik pomiaru tylko jeej zmieej), możemy scharakteryzować jego sta w przestrzei wielowymiarowej, tj. zrekostruować atraktor baaego systemu, obliczyć jego wymia oszacować wykłaiki Lapuowa, czy też etropię Kołmogorowa. Twierzeie Takesa o zaurzaiu owozi, że taki atraktor może być zrekostruoway bez zajomości atury jego zmieych czy postaci rówaia różicowego. Twierzeie Niech M bęzie zwartą, m-wymiarową rozmaitością różiczkową. Dla par ( f, h), f Diff ( M, M ), h C ( M, R) jest własością geeryczą *, że m+ owzorowaie Φ : M R określoe wzorem: [ )] Φ () m ( f, h ) = h( y), h( f ( y) ),..., h( f ( y) jest zaurzeiem, tj. yfeomorfizmem klasy C, owzorowującym M a Φ M. ( f,h)( ) Stosując metoę opóźień moża skostruować zbiór zmieych za pomocą jeowymiarowego szeregu czasowego: x = ( x(, x( t ), x( t ),..., x( ) ) * Defiicja własości geeryczej, yfeomorfizmu oraz m-wymiarowej rozmaitości zajuje się w oatku.

30 Katarzya Zeug Zmiee te otrzymuje się przesuwając orygialy szereg czasowy o stałe opóźieie τ, τ N, w wyiku czego rekostrukcja przestrzei staów wygląa astępująco: x x () t = ( x() t, x( t τ ), x( t τ ),..., x( t ( ) τ )) ( t ) = ( x( t ), x( t τ ), x( t τ ),..., x( t ( ) τ ))... x ( j) = ( x( j), x( j τ ), x( j τ ),..., x( j ( ) τ ))... x (( ) τ + ) = ( x( ( ) τ + ), x( ( ) τ + τ ), x( ( ) τ + τ ),..., x( ) ) gzie x ( j), ( j ( ) +,..., t = τ ) są elemetami -wymiarowej zrekostruowaej przestrzei staów. Takes uowoił, że la m +, gzie m jest wymiarem atraktora, a jest wymiarem zaurzeia, przestrzeń staów rozpięta przez zbiór zmieych bęzie topologiczie rówoważa z orygialą przestrzeią. Niestety twierzeie to ie określa, jak wyzaczyć parametry i τ w rówaiu (3). W praktyce, wyboru zwykle okouje się metoą prób i błęów. Traycyjym poejściem jest obliczeie wymiaru korelacyjego la każej wartości zmieej. Wielu baaczy (Čeys, Pyragas, 988; Liebert i i., 989; Keel i i., 99) poało metoę testowaia wartości, obserwując zachowaie sąsieich puktów z przeziału [, +]. Drugą sprawą jest wybór czasu opóźień τ. Powyższe twierzeie otyczy jego iezaych wartości. W praktyce, aby uikąć iewłaściwych iterpretacji, czas opóźień wybiera się za pomocą fukcji autokorelacji lub fukcji wzajemej iformacji (mutual iformatio fuctio) (Farme Siorovich, 988), czy też za pomocą całki korelacyjej (metoa C-C) (Grassberge Procaccia, 983). Metoy wyboru parametrów i τ zostaą omówioe w alszej części opracowaia. Iym problemem jest rekostrukcja przestrzei staów w przypaku, gy mamy o czyieia z aymi rzeczywistymi (p. ryek fiasowy), wtey rówaie () ma postać: y ( t ) = f ( y( ) + ξ( (3) + (4) gzie ξ ( jest skłaikiem losowym (szumem). Zakłóceia losowe pojawiają się a ryku poczas ieliiowego współziałaia iwestorów, których reakcje mogą zwiększać efekt jakichś zewętrzych zaburzeń losowych. Iym po-

REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW... 3 woem, la którego powio się zapisywać rówaie () w postaci rówaia (4), jest to, że mały skłaik szumu może w rezultacie zmylić baacza i oprowazić o błęych wiosków a temat postaci atraktora. Problem te iestety ie został poruszoy w poiższych rozważaiach, omówioo go atomiast w pracy Gooharta (989)... Całka korelacyja Wymiar korelacyjy, po raz pierwszy wprowazoy przez Grassbergera i Procaccia, ostarcza wstępych iformacji a temat złożoości systemu yamiczego. Moża go obliczyć w przypaku, gy ie wiemy, jaki jest wymiar przestrzei staów i mamy tylko jeowymiarowy szereg iformacji. Zaim wyjaśimy, czym jest wymiar korelacyjy, określimy ajpierw całkę korelacyją (C (, ). C (, jest zefiiowaa jako prawopoobieństwo zalezieia pary wektorów, których oległość o siebie w zrekostruowaej -wymiarowej przestrzei ie jest większa o r: C (, = ( ) I j= i= j+ ( r r ), r > 0 gzie I(x) jest fukcją wskaźikową (fukcja Heavisie) w postaci: ( ) ij (5) 0 la a < 0 I ( a) = (6) la a 0 = N t jest liczbą wektorów w -wymiarowej przestrzei, N jest liczbą aych, t jest wskaźikiem opóźieia, a: Niech: r ij C = m k = 0 ( x x ) i k j k (, lim C(, N = (7) Wtey wymiar korelacyjy efiiujemy astępująco: Defiicja Graicę: D C (, l C = lim (8) r 0 l r

3 Katarzya Zeug azywamy wymiarem korelacyjym atraktora systemu yamiczego. Jeśli graica (8) istieje, to la małych wartości r zachozi przybliżoa rówość: (, D r l C Wprowazimy teraz pojęcie statystyki BDS (Brock i i., 99), która opiera się a pojęciu całki korelacyjej i testuje hipotezę zakłaającą, że zbiór aych jest ii (iepeet, ietically istribute). Jest oa użytecza la systemów chaotyczych, jak rówież la ieliiowych systemów stochastyczych. Niech F bęzie rozkłaem wielowymiarowej zmieej X w przestrzei staów oraz iech całka korelacyja ma postać: C l (, I ( r x y ) F( x) F( y), r > C = 0 (9) Jeśli zmiea X jest ii, wtey la: otrzymujemy: gzie: I ( r x y ) = I ( r x k y k ) C k = (, = C (, C(, = [ F( x + F( x ] F( x) C Deker i Keller (986) pokazali, że C (, jest estymatorem statystyki U. Natomiast Brock i i. (99), korzystając z teorii statystyki U la regularych procesów, uowoili, że jeśli N, to N [ C(, C (, ] ma rozkła ormaly ze śreią zero i wariacją: i i (, 4 K C + ( K C C ) = σ (0) i= gzie: K [ F( x + F( x ] F( x)

REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW... 33 (zakłaamy, że BDS K > C ). Zatem statystyka BDS bęzie zefiiowaa wzorem: ( N [ C(, C (, ] (,, = () σ z rozkłaem ormalym. Jeśli rozkła F jest iezay, to ie możemy wyza- σ, r. W takim przypaku czyć wartości C i K oraz wariacji ( ) C (, i σ (, muszą być oszacowae przez C (, σ = 4 + ( ) i= C ( ) ( ) K C + K C i : [ ( ) ( ) ( ) ( )] i i i i C K C C K C + gzie: oraz: K = 6 ( )( ) (, r C = C, I i j k ( r y y ) I( r y y ) i j i k Zatem statystyka BDS przyjmuje postać: BDS [ ] N = () σ (, C(, C (, Statystyka BDS jest barzo pomoca w rozróżiaiu chaotyczych szeregów czasowych o ieliiowych stochastyczych szeregów czasowych. Własości statystyki BDS moża zaleźć w publikacji Brocka i i. (99)..3. Metoa C-C wyboru czasu opóźień τ Niech S ( S, bęzie statystyką określoą wzorem: (, C(, C (, = (3)

34 Katarzya Zeug gzie C(, jest całką korelacyją. Statystyka ta azwaa jest metoą C-C wyboru czasu opóźień τ ( τ = tτ S, r s, s τ jest czasem próby). ( ) moża iterpretować jako szereg korelacji ieliiowego szeregu czasowego. Poato uważa się, że jest oa miarą ieliiowych zależości. Aby baać ieliiową zależość i elimiować iepożąae korelacje czasowe, musimy pozielić szereg czasowy x (, t =,,..., N tak, aby powstały rozłącze szeregi (wzglęem zmieej. Wtey statystyka S (, jest obliczaa la rozłączych szeregów: la t = mamy jeowymiarowy szereg czasowy { x,..., x N } oraz: S(, ) = C(, ) C (, ) la t = mamy wa rozłącze szeregi czasowe { x, x 3,..., x N } i { x, x4,..., x N } o ługości N/, a statystyka S (, N /, ) jest ich śreią arytmetyczą. Zatem ogóly wzór ma postać: S, (4) t t [ s ] s ( = C (, C (, s=, bęzie rówa zero, gy ae bęą ii i N. Dla aych rzeczywistych (ae te mogą być skorelowae) w wielu przypakach statystyka S (, bęzie róża o zera. Optimum lokale (ekstremum) S (, możemy otrzymywać w miejscach, gzie S (, wykazuje ajmiejszą wariację z r. Zatem wybierając róże wartości r j, efiiujemy miarę wariacji S (, z r: Dla stałych parametrów i t oraz la każego r statystyka S ( (, = max{ S(, r, } mi{ S(, r } Δ S (5) Stą optimum lokale jest miimum Δ S (, jest związay z pierwszym optimum lokalym. j j,. Ostateczie czas opóźień τ.4. Metoa wyboru wymiaru zaurzeia Przyjmijmy, że y r ( jest r-tym ajbliższym sąsiaem puktu () t = [ x() t, x( t + τ ),..., x( t + ( ) τ )] y w -wymiarowej przestrzei, a oległość pomięzy imi wyosi:

REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW... 35 gzie ( t + w ( +)-wymiarowej przestrzei: R k = 0 ( t, = [ x( t + k ) x ( t + kτ )] R, jest oległością eukliesową. Następie obliczmy oległość R ( t, r τ (6) R ( ) ( ) [ ( ) ( )] t, r = R t, r + x t + τ xr t + τ Jeśli R + ( t, zacząco przewyższa R ( t,, to pukty y r ( i () t + (7) y ie są ajbliższymi sąsiaami i są tzw. fałszywymi sąsiaami. Istieją wa kryteria wyzaczaia wymiaru zaurzeia. Pierwsze otrzymujemy przez wyzaczeie fałszywego sąsiaa pewego puktu, la którego zachozi ierówość: R ( t, R ( t, R ( t, = ( t + τ ) xr ( t + ) R ( t, x + τ > R T (8) gzie R T jest pewym ograiczeiem (zwykle przyjmuje się wartość R T = 5 (Abarbael, 996)). Powyższe kryterium ie jest wystarczające o jeozaczego wyzaczeia właściwego wymiaru zaurzeia. Drugi waruek, który musi być spełioy, jest astępujący: gzie: R A = = t [ x() t x], R + R ( A > A T x = t= x () t (9) atomiast A T jest pewym ograiczeiem (zwykle przyjmuje się wartość A T = (Abarbael, 996)). Jeśli zachozą kryteria (8) i (9), to pukty y r ( i y ( są fałszywymi sąsiaami.

36 Katarzya Zeug. Czas opóźień, wymiar zaurzeia obliczeia umerycze Przeprowazoe baaia empirycze pozwoliły, przy pomocy metoy opóźień, zrekostruować przestrzeń staów. Wykorzystao o tego celu szeregi fiasowe utworzoe z ce zamkięcia walut otowaych a WGPW w ostatich ziesięciu latach. Stosując metoę całki korelacyjej C-C oszacowao czas opóźień τ. Po uwagę brao róże wartości parametru r i wymiaru zaurzeia. Uzyskae rezultaty przestawioo a rys. -3 oraz w tab.. S(, 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4 8 5 9 36 43 50 57 64 7 78 85 9 99 r=0,48,= r=0,4,= r=0,7,= r=0,4,=3 r=0,48,=3 r=0,7, =3 r=0,4,=4 r=0,48,=4 r=0,7, =4 r=0,4,=5 r=0,48,=5 r=0,7, =5-0,6 t Rys.. Wartość S(, la GBP

REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW... 37 S(,, 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 8 5 9 36 43 50 t 57 64 7 78 85 9 99 r=7,4;=5 r=54,8;=5 r=8,;=5 r=7,4;= r=54,8;= r=8,;= r=7,4;=3 r=54,8;=3 r=8,;=3 r=7,4;=4 r=54,8;=4 r=8,;=4 Rys.. Wartość S(, la JPY S(, 0,8 0,6 0,4 0, r=0,, = r=0,4; = r=0,, =3 r=0,4; =3 0 r=0,, =4 8 5 9 36 43 50 57 64 7 78 85 9 99-0, r=0,4; =4-0,4 r=0,, =5-0,6 t r=0,4; =5 Rys. 3. Wartość S(, la USD

38 Katarzya Zeug Następie za pomocą metoy fałszywego sąsiaa oszacowao wymiar zaurzeia. Wyiki przestawia tab.. Zestawieie wartości wymiaru zaurzeia i czasu opóźień szeregów ce wybraych walut Waluty Czas opóźień τ Wymiar zaurzeia GBP 0 6 JPY 5 5 USD 8 5 Tabela Niestety zbyt uże wymiary zaurzeń ie pozwalają a graficze przestawieie zrekostruowaej przestrzeń staów. Posumowaie W opracowaiu pojęto próbę zrekostruowaia przestrzei staów a postawie jeowymiarowych szeregów czasowych utworzoych z otowań walut: USD, GBP, JPY. Rozważae szeregi skłaały się z ce zamkięcia i pochoziły z okresu o 4 styczia 993 r. o 7 listopaa 003 r. Baaia przeprowazoo korzystając z programu apisaego przez autorkę w języku programowaia Visual Basic oraz z pakietu Excel. Korzystając z metoy C-C (całki korelacyjej) okoao wyboru czasu opóźień τ oraz a postawie metoy fałszywego sąsiaa oszacowao wymiar zaurzeia. Otrzymae wyiki pozwoliły a rekostrukcję przestrzei staów za pomocą tzw. metoy opóźień zapropoowaej w 98 r. przez Florisa Takesa. Niestety zbyt uże wymiary zaurzeia ie pozwoliły a jej graficze przestawieie. Rekostrukcja przestrzei staów to zalewie początek charakterystyki baaego szeregu. Za jej pomocą i wymiaru korelacyjego moża określić, czy baay szereg ma charakter chaotyczy czy stochastyczy. Iąc alej, moża oszacować wykłaiki Lapuowa, czy też etropię Kołmogorowa, a astępie wyzaczyć krótkookresową progozę.

REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW... 39 Doatek. Pozbiór A przestrzei staów X azywamy atraktorem ukłau yamiczego ( f, X ), gy: a) jest zwarty, b) jest oatio iezmieiczy, tz. la każego x A oraz la każej liczby całkowitej 0, f ( x) A, c) istieje otoczeie U = U ( A, ε ) A takie, że la każego x U i 0, f ( x) U oraz f ( x) A, przy, ) jest topologiczie trazytywy wzglęem systemu yamiczego, tz. la owolych otwartych zbiorów V, W A istieje 0 takie,, la któ- że f ( V ) W =.. Własość geerycza ozacza, że zbiór par owzorowań ( f, h) rych ( f, h) Φ jest zaurzeiem, tworzy (z opowieią topologią) zbiór m m m gęsty i otwarty w przestrzei fukcyjej Diff ( R, R ) C ( R, R) 3. Owzorowaie f ( r 0). m m : R R azywamy yfeomorfizmem klasy C r r m, jeżeli jest owracale oraz gy i f C R. 0 W szczególości yfeomorfizm klasy C azywamy homeomorfizmem. r Zbiór wszystkich yfeomorfizmów klasy C, owzorowujących m m r m m R w R, ozaczamy Diff ( R, R ). m 4. Zbiór M R azywamy k-wymiarową rozmaitością klasy r m C w R r, k m, jeżeli la każego x M istieje yfeomorfizm ( ) r Φ klasy C w pewie otwarty zbiór Literatura f ależą o ( ), owzorowujący pewe otoczeie U (otwarte w M) puktu x k V R. Abarbael H.D.: Aalysis of Observe Chaotic Data. Spriger-Verlag, Berli- -Heielberg-New York 996. Brock W.A., Hsieh D.A., LeBaro B.: Noliear Dyamics, Chaos a Istability: Statistical Theory a Ecoomic Eviece. MIT Press, Cambrige, MA 99. Broomhea D.S., Kig G.P.: Extractig Qualitative Dyamics from Experimetal Data. Physica D 986, 0.

40 Katarzya Zeug Čeys A., Pyragas K.: Estimatio of the Number of Degrees of Freeom from Chaotic Time Series. Physics Letters A 988, Vol. 9, No 4. Darbellay G., Fiari M.: Coul Noliear Dyamics cotribute to Itra Day Risk Maagmet? The Europea Joural of Fiace 997, 3. Deker M., Keller G. Joural Stat.Phys. 986, 44. Eubak S., Farmer J.D.: A Itrouctio to Chaos a Raomess. I: 989 Lectures i Complex Systems, SFI Stuies i the Sciees of Complexity, Lectures. Vol.. E. E.J. Aiso. Wesley Publishig Compay, Ic., Rewoo City, CA 990. Farmer J.D., Siorovich J.J.: Exploatig Chaos to Preict the Future a reuce Noise. 988. Fraser A.M., Swiey H.L.: Iepeet Cooriates for Strage Attractors from Mutual Iformatio. Physical Review A 986, Vol. 33, No. Goohart C.: News a the Foreig Exchage Market. Proceeigs of the Machester Statistical Society 989. Grassberger P., Procaccia I.: Characterizatio of Strage Attractors. Phys. Rev. Lett. 983, Vol. 50. Grassberger P., Procaccia I.: Measurig the Strageess of Strage Attractors. Physica D 983. Keel M.B., Brow R., Abarbael H.D.: Determiig Embeig Dimesio for Phase Space Recostructio usig a Geometrical Costructio. Physical Review A 99, Vol. 45, No 6. Kim H.S., Eykholt R., Salas J.D.: Noliear Dyamics, Delay Time a Embeig Wiows. Physica D 999, 7. Liebert W., Schuster H.G.: Proper Choice of the Time Delay for the Aalysis of Chaotic Time Series. Phys. Rev. Lett. A 989, 4. Packar N.H., Crutchfiel J.P, Farmer J.D., Shaw R.S.: Geometry from a Time Series. Phys. Rev. Lett. 980, 45. Sauer T., Yorke J., Casagli M.: Embeology. J. Statist. Phys. 99, 65 (3/4). Sprott J.C.: Chaos a Time-Series Aalysis. Oxfor Uiversity Press Ic., New York 003. Stark J.: Recursive Preictio of Chaotic Time Series. Vol. 3. Spriger-Verlag, New York 993. Takes F.: Detectigstrage Attractors i Turbulece. I: Lecture Notes i Mathematics. Es. D.A. Ra, L.S. Youg. Spriger-Verlag, Berli 98. Zawazki H.: Chaotycze systemy yamicze. AE, Katowice 996.

REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW... 4 RECONSTRUCTION OF THE STATE SPACE ON THE BASIS OF A SINGLE ECONOMIC TIME SERIES Summary I this paper we have use the time elay metho Takes (98) for the recostructio of state space o the basis of a sigle time series. I orer to compute the elay time τ we ha use the C-C metho a the we applie the false eighbours metho to compute the emboyig imesio. Our ata set is compose of a aily foregi exchage returs obtaie from WGPW for USD, GBP a JPY.