10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej chwili. Jes o odwołanie do zasady d'lambera, kóra mówi, że dla układu będącego w ruchu równowaga musi być spełniona w każdej chwili konkrenej przesrzeni czasowej. Macierz M jes macierzą masową, macierz K - macierzą szywności. Macierz P jes macierzą określającą przyłożone do układu obciążenia zewnęrzne. Naomias C jes macierzą określającą łumienie układu. Macierz ą przyjmujemy najczęściej w posaci zw. łumienia proporcjonalnego (zależnego od macierzy K i M) w posaci C= 1 M K (10.) Współczynniki 1 i wyznaczamy na podsawie udziału poszczególnych posaci drgań własnych. Jeśli założymy warość łumienia i obciążenia zewnęrzne równe zero, orzymamy równanie M d Kd =0 (10.3) czyli problem drgań własnych układu. Idąc dalej, sosując podsawienie d =d 0 sin (10.4) i różniczkując dwukronie po czasie d = d 0 cos d = d 0 sin (10.5) orzymujemy warości, kóre podsawiamy do równania (10.3) i dosajemy K M d 0 =0 (10.6) Czyli równanie, kóre definiuje nam uogólniony problem własny. Równanie o ma n równań rzeczywisych w posaci par: warości własnej i odpowiadającego jej wekora własnego.
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.. Meody całkowania Jak wiemy równanie ruchu jes równaniem różniczkowym. Zasanówmy się zaem nad sposobami jego rozwiązywania. Ze względu na pewne własności macierzy K, M i C w analizie ruchu ciała przedsawionego przy pomocy elemenów skończonych zasadniczo sosujemy dwie meody: meodę całkowania bezpośredniego i meodę superpozycji modalnej. 10..1. Meody całkowania bezpośredniego Meody całkowania bezpośredniego są meodami jawnymi. Polegają ona na ym, że równanie ruchu jes całkowane krok po kroku. Równanie ma być spełnione ylko w wybranych chwilach, a nie w całym przedziale całkowania. Zakładamy, że w chwili =0 znane nam są przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia (czyli znamy d 0, d 0, d 0 ). Rozparujemy określony przedział czasowy (0,T), kóry dzielimy na n równych przedziałów, w kórych o poszukujemy naszych nieznanych wielkości. Rozważamy zaem chwile: 0,,,...,,,..., T (10.7) Zadanie polega na zbudowaniu algorymu, kóry pozwoli nam na obliczeniu poszukiwanych warości w danym kroku przy wykorzysaniu wyliczonych warości z kroku poprzedniego. W aki sposób orzymamy warości we wszyskich chwilach czasowych z przedziału (0,T) Pokażemy na przykładzie, ok posępowania przy rozwiązywaniu zadania z dynamiki przy pomocy jednej z najbardziej efekywnych meod z grona meod całkowania bezpośredniego, a mianowicie meodą różnic cenralnych. Zakładamy zmienność w czasie wekorów prędkości i przyspieszeń w posaci d 1 d d d 1 d d d (10.8) Jeśli podsawimy operaory różnicowe (10.8) do (10.1) orzymamy 1 d d d M 1 d d C Kd =P (10.9) Z równania (10.9) obliczamy poszukiwany san przemieszczeń w chwili czyli d.
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 3 Należy zwrócić uwagę, że rozwiązanie o orzymujemy na podsawie rozwiązania w chwili. Sąd eż meodę ę zaliczamy do meod jawnych (explicie). Dużą zaleą ego sposobu rozwiązywania równania (10.9) jes fak, iż nie musimy odwracać macierzy szywności. Należy zwrócić uwagę, że obliczanie wyników w kolejnych chwilach z wykorzysaniem wyników orzymanych w chwilach poprzednich wymaga przyjęcia pewnej procedury sarowej. Waro zaznaczyć, że zakładamy uaj, iż wekory d 0, d 0, d 0 są znane w chwili począkowej czyli w chwili =0. Sąd eż wykorzysując wzory (10.8) możemy wyznaczyć wekor przemieszczenia d w fikcyjnej chwili, kóra poprzedzać będzie począek ruchu czyli dla chwili : d =d 0 d 0 d 0, (10.10) Zaznaczmy, że meody jawne są ylko warunkowo sabilne, dlaego eż wymagane jes zasosowanie małych kroków całkowania przy obliczaniu kolejnych warości. Krok nie może być dowolnie duży, lecz musi spełniać poniższą zależność kr = T n, (10.11) gdzie T n jes najmniejszym okresem drgań układu Niespełnienie warunku (10.11) powoduje narasanie akumulację błędów całkowania i zaokrągleń w rakcie rozwiązywania równań ruchu. Algorym obliczeń dla meody całkowania jawnego: Obliczamy macierze K, C, M Nasępnie obliczamy d 0, d 0, d 0, Określamy sałe a 0 = 1 a 1 = 1 a = a 0 a 3 = 1 a (10.1) Obliczamy d =d 0 d 0 d 0 Wyznaczamy M M =a 0 M a 1 C (10.13) Triangularyzacja macierzy M przy pomocy wzoru M =L D L T (10.14)
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 4 Obliczenia dla każdego kroku: - wekora obciążenia efekywnego R R=R K a M d a 0 M a 1 C d (10.15) - rozwiązanie równania (10.9) dla chwili -obliczenie wekorów prędkości i przyspieszeń: L T DLd = R (10.16) d a 1 d d d a 0 d d d (10.17) W przypadku braku łumienia czyli gdy C=0, równanie (10.9) upraszczamy do posaci 1 M d = R (10.18) gdzie R=R K M d 1 M d (10.19) Jeśli w równaniu (10.18) macierz mas będzie diagonalna, wówczas rozwiązania orzymujemy poprzez wykonanie określonego wzorem (10.19) mnożenia i d = R i (10.0) m ii i gdzie d oraz i R będą oznaczać i-e składowe wekorów d i R, naomias m ii odnoszą się do i-ej składowej diagonalnej macierzy mas (należy jednakże spełnić założenie, że m ii 0. Zauważmy, że nie musimy znać macierzy globalnych (zarówno macierzy szywności K jak i macierzy mas M). Dzieje się ak dlaego, bo nie rozwiązujemy układu równań liniowych. Macierze K i M mogą być określone na poziomie elemenów. Wśród meod całkowania jawnego możemy wymienić, oprócz meody różnic cenralnych, między innymi meodę Houbola, Wilsona i Newmarka. Meody e, pod warunkiem przyjęcia pewnych warości współczynników charakerysycznych dla danej meody, należą do meod bezwarunkowo sabilnych.
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 5 10... Meody superpozycji modalnej Równanie ruchu ma posać: M d C d Kd =P (10.1) M d C d Kd =P (10.) d = d [ 1 d d ] (10.3) d =d d [ 1 d d ] ℵ (10.4), - paramery przyjmowane na podsawie rozwiązań doyczących dokładności i sabilności orzymanych rozwiązań = 1 6 = 1 Rozwiązując ℵ względem d orzymamy: d = 1 [ d d d 1 ] d (10.5) ḋ = d d 1 d 1 d (10.6) 1 [ d d d 1 ] d M =P (10.7) i ḋ Z równania ego obliczamy niewiadomy wekor przemieszczeń d i podsawiamy do d Jeśli liczba kroków i liczba sopni swobody układu jes duża, wówczas efekywność obliczeń meodami całkowania bezpośredniego jes niesaysfakcjonująca. Należy wedy posłużyć się innymi meodami - meodami niejawnymi (implicie), do kórych można zaliczyć meodę superpozycji modalnej. Należy uaj dokonać przekszałcenia równania równowagi (10.1) do posaci, kóra będzie wymagała od nas mniejszego nakładu pracy.
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 6 Dokonajmy akiego przekszałcenia wykorzysując rozwiązanie problemu drgań własnych (a więc pomijamy obciążenie zewnęrzne i łumienie) M d K d =0 (10.8) Rozwiązaniem równania (10.8) jes n par i, i, czyli macierze i w posaci =[ 1... ], n =[ 1... n ] (10.9) Spełniony jes uaj zw. warunek M-orogonalności wekorów własnych T M =1 (10.30) oraz warunek T K = (10.31) Dokonajmy ransformacji równania (10.1) sosując podsawienie d = X (10.3) Orzymujemy w en sposób równanie ruchu M Ẍ C Ẋ K X =P (10.33) Nasępnie przemnażamy lewosronnie przez T i orzymujemy T M Ẍ T C Ẋ T K X = T P (10.34) Jeśli weźmiemy pod uwagę warunki (10.31) i (10.3) dosaniemy osaecznie
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 7 Ẍ T C Ẋ X = T P (10.35) Uzupełniamy równanie (10.34) warunkami począkowymi X 0 = T M d 0 (10.36) X 0 = T M d 0 Z równania (10.34) wynika, że jeżeli przyjmiemy macierz łumienia równą zero zn. pominiemy człon T C Ẋ o orzymamy układ równań rozprzężony co możemy zapisać jako n równań skalarnych posaci Ẍ X = T P, (10.37) gdzie ẍ i i x i =r i, (10.38) Warunki począkowe orzymujemy z (10.36) r i = i T P (10.39) x i0 = i T M d 0, x i0 = T i M d 0, (10.40) Zaznaczmy, że rozwiązanie równań (10.38) możemy prowadzić przy wykorzysaniu meod całkowania bezpośredniego lub przy wykorzysaniu zw. całki Duhamela x i = 1 i o r i sin i d i sin i i cos i (10.41) sałe i i i wyznaczamy z warunków poczakowych (10.40) W naszym zadaniu po rozwiązaniu n równań musimy powrócić do ransformacji (10.3). Orzymamy wówczas osaeczne rozwiązanie n d = i x i (10.4) i=1
m 1 x 1 m x 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 8 10.3. Przykłady Równanie równowagi dynamicznej każdego punku w każdej chwili: [M ][ d ] [C ][ d ] [ K ][d ]=[ p ] (10.43) Rozwiązanie ego równania mówi nam, jak dany elemen przemieścił się w każdej chwili. Przykłady: k 1 k 1 p 1 k k p k 3 k 3 m 3 x3 p 3 Rys. 10.1. Przykład 1
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 9 x 1 x x 3 k 1 k k 3 p 1 p p 3 c 1 c c 3 łumik Rys. 10.. Przykład Równanie równowagi zapisane macierzowo: [k1 k k 0 c 0 0 0 k k k 3 k 3 x c c c 3 c 3 x 0 m 0 x ]{x1 ]{ẋ1 0 k 3 k 3 x 3} [c1 c 0 c 3 c 3 ẋ 3} [m1 0 0 m 3]{ẍ1 P ẍ 3}={P1 3} P (10.44) [ K ]{x} [C ]{ẋ} [M ]{ẍ}={p} Przykład obliczeniowy: x 1 x k 1 =k k =k m 1 =m m = m Q()=0 [ 3 k k k k ]{ x 1 x } [ m 0 0 m]{ẍ1 x } = { 0 0} (10.45) X 1 =A 1 sin (10.46) X =A sin (10.47) Obliczamy drugą pochodną po czasie wyrażeń 10.46 i 10.47 X 1 = A 1 sin (10.48)
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10 X = A sin (10.49) i podsawiamy do równania 10.45, orzymując k[ 3 ]{ A 1 A } m [ 1 0 0 ]{ A 1 A } = { 0 0} (10.50) Podsawiamy = m k : [ 3 ]{ A 1 A } { = 0 (10.51) 0} Przykładowa posać rozwiązania: 1 =0,673 =3,730 A 1 =0,73 A A 1 =,735 A (10.5) I posać: 0,73 1,0 10.4. Eksremalna warość własna [ A] [ B ] [ X ]={0} (10.53) [ A] [ X ]= [ B ][ X ] /[ B ] 1 (10.54) [C ] [ I ] [ B ] 1 [ A] [ X ]= [ B ] 1 [ B ] [ X ] (10.55) Orzymujemy: [C ][ X ]= [ X ] (10.56)
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 11 [C ][ X i ]=[ X i 1 ]= [ X i 1 ] (10.57) Dokonujemy ieracji: [C ][ X 0 ]=[ X 1 ]= 1 [ X 1 ] [C ][ X 1 ]=[ X ]= [ X ] [C ][ X k 1 ]=[ X k ]= [ X k ] (10.58) Przykład: [ 30 6 30][ 5 n] l [ 1 0 0 6 30 9 m = 0 1 0 5 9 0][ n] l m (10.59) 0 0 ieracje i=0: [ 30 6 5 6 30 9 5 9 30]{ 0 0 l}0 ={ 5 9 30}i =30 { 0,166 0,300 1,000}l (10.60) i=1: [ 30 6 5 6 30 9 5 9 30]{ 0,166 0,300 l,000} { 11,780 = 18,996 35,530} { 0,35 =35,59 0,566 (10.61) 1,000} Nasępne ieracje powarzamy do momenu, kiedy orzymane warości będą zbliżone: [ 30 6 5 6 30 9 5 9 30]{ 0,766 1,000 0,98} { 0,78 =43,49 1,00 (10.6) 0,97}
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10.5. Dynamika konsrukcji W przypadku dynamiki konsrukcji macierz mas wyrażona za pomocą funkcji kszału i gęsości jes posaci: M = e e N T e N e dv e (10.63) V