IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD

Transkrypt

1 Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy złożonych układów w sanie nieusalonym. Jako przykład rozwiązano obwód liniowy meodą numeryczną, operaorową oraz zmiennych sanu w ym środowisku. W celu wyznaczenia macierzy ranzycyjnej zasosowano dokładną meodę Sylvesera z wykorzysaniem procesora symbolicznego, jak również przybliżoną meodę rozwinięcia w szereg Taylora. Wszyskie wyniki zosały dodakowo zweryfikowane poprzez porównanie z rozwiązaniem meodą operaorową. WSTĘP Obwodowy opis wielu układów echnicznych w elekroechnice w sanach nieusalonych sprowadza się do układu równań różniczkowych liniowych lub nieliniowych. Układy nieliniowe najczęściej nie mają rozwiązania analiycznego. W celu określenia szczególnych cech układów dynamicznych częso wykorzysuje się meodę linearyzacji, co pozwala na ławe wyznaczenie rozwiązania meodą zmiennych sanu. Wówczas podsawowym elemenem rozwiązania układu jes wyznaczenie zw. macierzy ranzycyjnej. Do dokładnych sposobów uzyskania ej macierzy zalicza się z kolei meodę Sylvesera. Prosszym sposobem jes wyznaczenie ej macierzy za pomocą rozwinięcia w szereg Taylora. W pracy przedsawiono przykład układu liniowego sacjonarnego rozwiązanego meodą zmiennych sanu w środowisku Mahcad. Porównano rozwiązania z użyciem meod przybliżonych (rozwinięcie Taylora, meody dyskrene) z dokładnym rozwiązaniem meodą Sylvesera. Zaprezenowano również ineresujące podejście polegające na uzyskaniu równań sanu z układu równań w posaci normalnej z wykorzysaniem środowiska Mahcad. W celu sprawdzenia poprawności rozwiązania zasosowano meodę operaorową w ym środowisku z użyciem procesora symbolicznego i orzymane rozwiązanie porównano z rozwiązaniem uzyskanym z meody zmiennych sanu. W niniejszym arykule wszyskie procedury zrealizowane w środowisku Mahcad umieszczono w niezmienionej posaci (camera ready). Dlaego zapis niekórych wyrażeń maemaycznych może nieznacznie się różnić (ze względu na synakykę środowiska Mahcad) od ogólnie przyjęych zasad pisowni wzorów echnicznych.

2 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 7. POSTAĆ NORMALNA UKŁADU RÓWNAŃ Różne sposoby wykorzysania środowiska Mahcad do rozwiązania układu równań różniczkowych omówiono na przykładzie rozwiązania elekrycznego obwodu liniowego (rys. ) z wymuszeniami sinusoidalnymi. Przyjęe do analizy paramery obwodu z rysunku przedsawiono w abeli. i i i 3 R 3 i 4 i 5 e L L U C R R U C R 4 e Rys.. Schema obwodu elekrycznego przyjęy do rozważań Fig.. The invesigaed elecrical circui Tabela. Paramery obwodu z rysunku Table. The parameers of he circui of figure E m/ϕ E m/ϕ ω L L R R R 3 R 4 C C 5 V/ 8 V/ 34,3 H, H Ω 5 Ω 3 Ω 4 Ω 5 µf 4 µf Układ równań różniczkowych sformułowanych na podsawie praw Kirchhoffa dla powyższego obwodu po podsawieniach i uporządkowaniu ma posać: du du di = ( + ) d d d du du di di + = d d d d du di 4 RC + L = u u e 4 d d du C = i 4 d RC RC L i R R e 4 RC RC L L u ir 3 3 Powyższy układ równań można zapisać w nasępującej posaci macierzowej: () H x = k ()

3 8 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 gdzie: RC RC L RC 3 RC 3 L L H = R4C L C k = e() + x(r 3 + R) xr 3 + x e() + x + x x4 oraz wekor zmiennych sanu x = u() x u() x = i() x3 i() x 4 4 W celu rozwiązania układu równań różniczkowych meodą numeryczną w większości przypadków należy układ () sprowadzić do nasępującej posaci normalnej: x = H k (3) Wyznaczając rozwiązanie sanu usalonego przed komuacją, a sąd wekor warunków począkowych, można w ławy sposób zaimplemenować dowolną procedurę numeryczną w środowisku Mahcad dla rozwiązania układu (3). Na rysunkach 4 przedsawiono przebiegi wybranych zmiennych sanu orzymanych z rozwiązania sanu nieusalonego z użyciem procedury Rungego-Kuy (nazywanej w ym programie rkfixed) na le sanu usalonego po komuacji. u, uus [V] 6 4 race race Rys.. Przebiegi napięć na kondensaorze C (race san nieusalony, race usalony) Fig.. Volage waveforms across he capacior C (race ransien, race seady sae)

4 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 9 i, ius [A] race race Rys. 3. Przebiegi prądów i (race san nieusalony, race usalony) Fig. 3. Curren waveforms i (race ransien, race seady sae) i4, i4us [A].4.. race race Rys. 4. Przebiegi prądów i 4 (race san nieusalony, race usalony) Fig. 4. Curren waveforms i 4 (race ransien, race seady sae) Szczegóły implemenacji ej procedury w środowisku Mahcad przedsawiono w pracy [4]. Poniższe przebiegi zosaną w dalszym ciągu wykorzysane do weryfikacji rozwiązania ego układu meodą zmiennych sanu.. METODA ZMIENNYCH STANU W przypadku układu liniowych równań różniczkowych możliwe jes uzyskanie dokładnego rozwiązania analiycznego. Jedną z meod prowadzących do akiego rozwiązania jes meoda zmiennych sanu. Równanie zmiennych sanów przedsawia się w nasępującej posaci macierzowej [5]: x= Ax+ Be () (4) gdzie: e() wekor wymuszeń (w ym również prądowych).

5 3 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 Ręczne uzyskanie akiej posaci (meodą przekszałceń) dla nawe niedużego rozparywanego układu jes bardzo pracochłonne lub wręcz niemożliwe. Dlaego poniżej przedsawiono prosy sposób uzyskania równania sanu (4) przy wykorzysaniu macierzowego układu (), w kórym wekor k rozkłada się na nasępującą sumę dwóch wekorów, wyodrębniając zmienne sanu i wekor wymuszeń: R + R x e () R x e () x x3 k = Cx+ De () = + (5) Zaem układ równań () przyjmie posać: Hx= Cx+ De () (6) Po pomnożeniu obusronnie (lewosronnie) równania (6) przez muje się: H orzy- x= H Cx+ H De() = Ax+ Be () (7) Sąd macierz główną A = H - C można w środowisku Mahcad zdefiniować jako iloczyn: C R C R L R + R C R 3 C R 3 L L R A := C R 4 L C oraz macierz B = H D jako: B := C R C R 3 C C R C R 3 C R 4 L L L L W celu wyznaczenia warości własnych macierzy A zamias rozwiązania jej równania charakerysycznego można wykorzysać goową procedurę w środowisku Mahcad o nazwie eigenvals.

6 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 3 Wyznaczenie warości własnych macierzy A: λ := eigenvals( A) λ = i i 3.35 Macierz jednoskową dowolnego wymiaru określa z kolei definicja: I := ideniy( n) I = Obliczenie dokładnej macierzy ranzycyjnej w środowisku Mahcad sprowadza się do zaimplemenowania zamknięego wzoru Sylvesera []. W rozparywanym przypadku dla czerech warości własnych wyznaczono macierz ranzycyjną, dla kórej w środowisku Mahcad przyjęo nazwę Asylves. ( ) ( A λ I 3 )( ) A λ I A λ I A λ I A λ I 4 4 Sylv := Sylv := ( λ λ ) ( λ λ 3 )( λ λ 4 ) ( λ λ ) ( λ λ 3 ) ( λ λ 4) ( ) ( A λ I )( ) e A ( ) ( A λ I 3 )( ) ( ) ( A λ I )( ) A λ I A λ I A λ I A λ I 4 3 Sylv := Sylv := 3 ( λ λ 3 ) ( λ λ 3 ) ( λ λ 3 4) 4 ( λ λ 4 ) ( λ λ 4 ) ( λ λ 4 3) Asylves() Sylv e λ i := i i Rozwiązanie niejednorodnego równania (4) można przedsawić w posaci wzoru [5]: A A( τ) e x + e Be ( τ)dτ (8) Rozwiązanie równania jednorodnego orzymano, mnożąc wyznaczoną macierz ranzycyjną e A przez wekor warunków począkowych uzyskanych z roz- wiązania sanu usalonego przed komuacją: Ponieważ wynikiem ego mnożenia jes wekor funkcji, funkcje sanu sanowią poszczególne elemeny ego wekora: usyl( ) := XS() usyl( ) := XS() isyl( ) := XS() 3 i4syl( ) := XS() 4

7 3 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 Na rysunku 5 przedsawiono przebiegi poszczególnych zmiennych sanu dla równania (7) oraz powyżej przedsawionego wekora warunków począkowych x T. Rozwiązaniem niejednorodnego równania sanu zgodnie ze wzorem (8) jes suma powyższych funkcji oraz całek sploowych o posaci [5]: ( τ) A Be e ( τ)dτ W środowisku Mahcad powyższe całki należy liczyć dla każdej funkcji: e z ( τ) e ( τ) e ( τ) := hτ (, ) := Asylves( τ) B e z ( τ) usyl [V] isyl [A] usyl [V] i4syl [A] Rys. 5. Przebiegi obliczonych zmiennych sanu dla równania jednorodnego Fig. 5. The waveforms of he sae variables calculaed for he homogeneous equaion Po scałkowaniu kolejnych elemenów wekora h(, τ) orzymano odpowiednie składowe dla rozwiązania niejednorodnego równania sanu: J () J 3 () := hτ (, ) dτ J () := := hτ (, ) 3 dτ J 4 () := hτ (, ) dτ hτ (, ) 4 dτ

8 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 33 un( ) := usyl() + J () un( ) := usyl() + J () in( ) := isyl() + J 3 () i4n( ) := i4syl() + J 4 () Na rysunku 6 zmiennych sanu na le uzyskanego wcześniej (rys. 4) rozwiązania numerycznego. Jak wynika z rysunków, obydwa przebiegi się pokrywają, co dowodzi poprawności orzymanego rozwiązania u, un [V] u, un [V] i, in [A].6.4. i4, i4n [A] Rys. 6. Przebiegi zmiennych sanu z rozwiązania analiycznego i numerycznego Fig. 6. Waveforms of he sae variables of he analyical and numerical soluions 3. METODA SUPERPOZYCJI Dla złożonych układów opisywanych dużą liczbą równań czas rozwiązania przy zasosowaniu meody przedsawionej w punkcie może być nieprakycznie długi, przede wszyskim z powodu obliczeń całek sploowych. Dlaego, zwłaszcza w przypadku wymuszeń sinusoidalnych, zasadne jes zasosowanie meody superpozycji sanów polegającej na oddzielnym wyznaczaniu składowej swobodnej i wymuszonej rozwiązania. Meoda a zdecydowanie skróci czas obliczeń ze względu na możliwość wykorzysania klasycznej meody symbolicznej. Meoda

9 34 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 Sylvesera zakłada brak wielokronych warości własnych macierzy głównej, sąd ławiejsze wydaje się być rozwinięcie macierzy ranzycyjnej w szereg Taylora [5], ponieważ nie wymaga wyznaczania warości własnych. Przy sosowaniu ej meody zwrócono uwagę na ciekawy aspek zaobserwowany przy wyznaczaniu macierzy ranzycyjnej w środowisku Mahcad. W wielu pozycjach lieraury [,, 3, 5, 7] podkreśla się, że dla każdej macierzy A i dla dowolnego argumenu jes o szereg zbieżny. Oznacza o, że można uzyskać przybliżenie macierzy ranzycyjnej z określoną dokładnością przy użyciu odpowiednio dużego rozwinięcia. Poniżej przedsawiono rozwiązanie jednorodnego równania sanu z użyciem rozwinięcia macierzy ranzycyjnej w szereg Taylora dla rozparywanego obwodu z rysunku. K :=.. 7 A Taylor () ( A ) K := XT() := A K! Taylor ()x K uayl( ) := XT() uayl( ) := XT() Wyniki przedsawione na rysunku 7 pokazują, że dla większych warości czasu rozwiązanie uzyskane przy zasosowaniu szeregu Taylora raci zbieżność nawe dla liczby wyrazów szeregu równej K = 7. uayl, usyl [V] uayl, usyl [V] czas[s] Rys. 7. Porównanie przebiegów zmiennych sanu dla rozwiązania równania jednorodnego dla macierzy ranzycyjnej uzyskanej ze wzoru Sylvesera i szeregu Taylora Fig. 7. Comparison of he sae variables for soluion of he homogeneous equaion for he ransiion marix obained from Sylveser s formula and Taylor series Poniżej pokazano macierze ranzycyjne dla obu meod i dla czasu =, s, dla kórego wszyskie elemeny ych macierzy isonie się różnią: A Taylor (.) =

10 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 35 Asylves (. ) = Próba dalszego zwiększania liczby K nie powiodła się, gdyż w procesie obliczeniowym pojawiają się liczby większe od największej liczby inerpreowanej w środowisku Mahcad, co objawia się komunikaem: Found a number wih a magniude greaer han ^37 while rying o evaluae his expression. Z ego powodu zdecydowanie bardziej zbieżną meodą wyznaczającą rozwiązanie równania sanu na podsawie szeregu Taylora jes meoda dyskrena [], w kórej macierz ranzycyjna w każdym kroku procedury numerycznej jes wyznaczana ylko raz dla czasu Δ = T sanowiącego krok procedury: zak lba := 35 κ :=.. lba zak :=. T k := lba M N M := A T k N :=.. fm ( ) := N! N x κ+ fm ( ) x κ+ := u_dys( κ) ( x T ) := κ+ Na rysunku 8 przedsawiono w celu porównania wybraną zmienną sanu (napięcie na kondensaorze C ) uzyskaną z powyższej dyskrenej procedury przy zasosowaniu rozwinięcia w szereg Taylora z wcześniej orzymanym rozwiązaniem meodą Sylvesera. Jak wynika z porównania przebiegów na rysunku 8, ym razem bardzo dobra zgodność zosała uzyskana już przy liczbie składników rozwinięcia K =. Należy jednak zwrócić uwagę, że procedura a dla uzyskania ej samej zbieżności przy dwukronie większym kroku ΔT wymagała użycia K = składników rozwinięcia w szereg Taylora. u_dys, usyl [V] Rys. 8. Porównanie przebiegów napięcia Uc z rozwiązania równania jednorodnego dla macierzy ranzycyjnej uzyskanej ze wzoru Sylvesera i meody dyskrenej Fig. 8. Comparison of he waveforms Uc from he soluion of he homogeneous equaion for he ransiion marix obained from he Sylveser s formula and discree mehod

11 36 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 Osaecznie rozwiązanie równania niejednorodnego można orzymać, dodając (superponując) do rozwiązania równania jednorodnego rozwiązanie sanu usalonego. Należy jednak pamięać o modyfikacji warunków począkowych polegającej na odjęciu od pierwonych warunków począkowych warości sanu usalonego po komuacji w chwili. Modyfikacja warunków począkowych: ( ) upk us ( ) u us _ 3.97 u us ( _ ) upk us ( ) x mod.9 := x i us ( _ ) ipk us ( ) mod =.58 i4 us ( _ ) i4pk us (.334 ) XS mod ( ) := Asylves ()x mod Ucsyl mod () := XS mod () Ucsyl mod () := XS mod () Isyl mod () := XS mod () 3 I4syl mod () := XS mod () 4 umod( ) := Ucsyl mod ( ) + upk us () 6 u, umod Rys. 9. Przebiegi napięcia na kondensaorze C z rozwiązania numerycznego i meodą superpozycji sanów Fig. 9. Waveforms of volage across capacior C from numerical soluion and superposiion of sae mehod Jak widać z rysunku 9, uzyskano bardzo dobrą zgodność przebiegów (również dla pozosałych zmiennych sanu) orzymanych z meody numerycznej (rys. ) i superpozycji sanów zaimplemenowanych w środowisku Mahcad.

12 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad METODA OPERATOROWA Przedsawiona powyżej meoda zmiennych sanu w środowisku Mahcad nie pokazuje rozwiązania w pełni w posaci analiycznej ze względu na całki sploowe obliczane numerycznie. Dzięki procesorowi symbolicznemu, możliwe jes uzyskanie w Mahcadzie złożonego rozwiązania analiycznego z wykorzysaniem meody operaorowej. Poniżej przedsawiono rozwiązanie ą meodą obwodu z rysunku w środowisku Mahcad, kóre zosanie dodakowo wykorzysane jako osaeczne powierdzenie poprawności orzymanych wyników. Na rysunku przedsawiono zmodyfikowany schema obwodu z rysunku uwzględniający warunki począkowe. I(s) I(s) I(s) 3 R 3 I(s) 4 I(s) 5 E(s) s L L i () s L s L L i 4() Uc () s sc R R Uc () s R 4 sc E(s) Rys.. Operaorowy schema obwodu z rysunku z uwzględnieniem warunków począkowych Fig.. Operaional diagram of circui from figure aking ino accoun he iniial condiions Transformay obu wymuszeń sinusoidalnych mają posać: ω ω e() s := E s + ω e() s := E s + ω Impedancje operaorowe poprzecznych gałęzi są nasępujące: Z ( s ) := R + sl Z ( s ) := s L + Z sc 3 ( s ) := R 4 + sc Meodą zwijania orzymano rozwiązanie operaorowe: u c E L () s := i ( ) L E LC () s := i 4 ( ) L E s Ce ( s) := e() s ( ) u c ( ) s

13 38 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 E T ( s) ( Z ( s ) Z 3 ( s ) ) Z T ( s ) := ( Z ( s ) + Z 3 ( s ) + R ) 3 Z T ( s) := ( E LC ( s) Z 3 ( s ) + E Ce ( s) Z ( s ) ) := E Z ( s) + Z 3 ( s) T ( s) := ( Z ( s) Z T ( s ) ) ( Z ( s) + Z T ( s ) ) ( E L ( s) Z T ( s ) + E T ( s) Z ( s ) ) Z ( s) + Z T ( s) Prądy w poszczególnych gałęziach obwodu są nasępujące: I () s E T ( s) + e() s := I Z T () s + R () s := ( I() s R + e() s ) + E L () s Z () s I 3 () s := I () s I () s I 4 () s := ( E LC () s E L () s I 3 ()R s 3 + I()Z s () s ) Z () s I 5 () s := I 3 () s I 4 () s W celu wyznaczenia rozwiązania w posaci operaorowej użyo insrukcji simplify procesora symbolicznego środowiska Mahcad: I ( s) simplify.43 s s s s +.63 s ( s ) ( s ) ( s ) s s ( ) Rozwiązanie w funkcji czasu (oryginał) orzymano, sosując insrukcje invlaplace (przekszałcenie odwrone) procesora symbolicznego w posaci: iop() := I ( s) invlaplaces, e +.58 e 3.35 e cos( 34 )... + (.98 5 sin( 34 ) ).7 4 cos( ) e sin( ) e 6.7 i4op() := I 4 ( s) invlaplace, s e e cos ( 34 ) sin( 34 ).335 cos ( ) e sin( ) e 6.7 u Cs () s Napięcia na kondensaorach C i C (rys. ) wyrażają się nasępująco: ( ) u c := I C s 4 () s + u s Cs () s := C s I 5 () s + u c ( ) U Cop () := u Cs ( s) invlaplace, s sin ( 34 ).68 e cos ( 34 ) e... ( 6.7. cos ( ) e ) sin ( ) e s

14 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 39 U Cop () := u Cs ( s) invlaplace, s 4.79 sin ( 34 ).74 e cos ( 34 ) e cos ( ) e sin ( ) e 6.7 Należy podkreślić, że przy wyznaczaniu oryginałów funkcji, procesor symboliczny programu Mahcad pokazuje wyniki z pełną precyzją (używając pełnego 7-znakowego wiersza). Dla wygodnego zredukowania długości wyświelanych liczb należy odznaczyć opcję Forma/resuls/apply o symbolic resuls. Na rysunku przedsawiono porównanie przebiegów prądu i (rys. ) uzyskanych z rzech meod: numerycznej, zmiennych sanu oraz operaorowej..8.6 i, imod, iop [A] Rys.. Przebiegi prądu i (meoda numeryczna, zmiennych sanu, operaorowa) Fig.. Waveforms of curren i (numerical, sae variables and operaional mehod) Zgodność wszyskich rzech przebiegów osaecznie powierdza poprawność uzyskanych rozwiązań. Zgodność przebiegów orzymanych z rozparywanych meod uzyskano oczywiście dla wszyskich rozparywanych zmiennych sanu. PODSUMOWANIE Podczas analizy złożonych obwodów elekrycznych w sanie nieusalonym bardzo duże znaczenie, akże ze względu na czas obliczeń, może mieć zarówno wybranie odpowiedniej meody, jak i dobór paramerów w niej wysępujących. Z ego punku widzenia wydaje się, że ważny wniosek wynika z faku, że na zbieżność rozwiązania w meodzie dyskrenej zdecydowanie większy wpływ ma zasosowany krok czasowy niż liczba składników rozwinięcia macierzy ranzycyjnej w szereg Taylora. Jes o isone zwłaszcza w przypadku niesacjonarnym, gdy macierz ranzycyjna musi być obliczana w każdym kroku procedury i duża liczba składników szeregu może spowodować radykalne wydłużenie czasu obliczeń. Innym bardzo isonym aspekem jes zwrócenie uwagi na brak możliwości uzyskania zbieżności (w środowisku Mahcad) ego szeregu dla dużego argumenu

15 4 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 (czasu). Jes o o yle ineresujące, ponieważ w lieraurze na ogół swierdza się, że rozwinięcie w szereg Taylora macierzy ranzycyjnej jes zbieżne dla dowolnej warości czasu i dla dowolnej nieosobliwej macierzy A [,, 3, 5, 6, 7]. Wydaje się, że zaobserwowana rozbieżność może być wynikiem ograniczenia prezenacji liczby w środowisku Mahcad do 7 znaków. Przedsawione w niniejszej pracy implemenacje w środowisku Mahcad niekórych meod analizy złożonych układów w sanach przejściowych nie wyczerpują wszyskich możliwości ego środowiska w części meod zarówno numerycznych, jak i analiycznych. Pominięo na przykład rozwiązanie równań sanu meodą Cayleya-Hamilona lub z zasosowaniem wekorów własnych macierzy głównej (funkcja eigenvec w środowisku Mahcad). LITERATURA. Bolkowski S., Teoria obwodów elekrycznych, WNT, Warszawa 5.. Chua Leon Ong, Lin Pak Ming, Kompuerowa Analiza układów elekronicznych, algorymy i meody obliczeniowe, WNT, Warszawa Direkor S., Rohrer A., Podsawy eorii układów elekrycznych, PWN, Warszawa Jankowski P., Wybrane zagadnienia elekroechniki w środowisku Mahcad, Wydawnicwo Akademii Morskiej w Gdyni, Gdynia. 5. Krakowski M., Elekroechnika eoreyczna. Obwody liniowe i nieliniowe, PWN, Warszawa Noble B., Applied Linear Algebra, Englewood Cliffs, Prenice Hall, Inc., New Jersey Osiowski J., Szabain J., Podsawy eorii obwodów,. III, WNT, Warszawa 995. IMPLEMENTATION OF SELECTED METHODS OF TRANSIENT STATE SOLUTIONS IN MATHCAD ENVIRONMENT Summary The paper presens he possibiliies (and limiaions) Mahcad environmen for he analysis of complex sysems in a ransien sae. As an example he linear circui was solved, using he numerical, Laplace and sae variables mehod in his environmen. In order o deermine of he ransiional marix Sylveser accurae mehod using a symbolic processor and he approximae Taylor was applied. All resuls were verified by comparison wih he operaor mehod soluion.