Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 1 Ciągi 1. Kżdy ciąg zbieży jest ogriczoy.. Twierdzeie Bolzo-Weierstrss. Kżdy ciąg ogriczoy zwier podciąg zbieży. 3.Gricgóridol A={: podciąg k } ( ) zbieży Ajestjedopuktowy. supa= lim gricgór. 4. =limsup ifa= lim =limif gricdol. log lim (1+x) x x lim x x 1 x =log e, =log, (1+x) 1 lim =. x x 5.LemtStolz.Niechy irośiedldosttecziedużychlubx,y. x Wówczs lim x y = lim x +1 y y +1,oiletgricistieje. 6. Ciąg średich rytmetyczych Ciąg( ): 1,,...,ziegotworzymyciąg(b ):b 1 = 1,b = 1+,...,b = 1+ +...+,...,jeżeli,tociągśredichrytmetyczychb (odwrotieie!) 7.Jeśli( )jestciągiemliczbdodtich,tkimżeistiejegric lim gricęijestiąq. Szeregi 1.Wrukiemkoieczym,by byłzbieżyjestto,by. +1 =q,torówieżciąg ( ) m.wruekcuchy ego.nto,żebyszereg byłzbieży,potrzebiwystrcz,bydlkżdejliczby ǫ>istiłtkliczbk,żedlkżdegomspełiojestierówość: k+1 + k+ +...+ k+m <ǫ. 3.Szeregibezwzględiezbieże.Szereg zywmybezwzględiezbieżym,jeśliszereg jest zbieży. Szereg zbieży, le ie bezwzględie zbieży, zywmy wrukowo zbieżym. Jeśliszereg jestzbieżybezwzględie,tojestteżzbieżywzwykłymtegosłowzczeiu.podto:. 4.Kryteriumporówwcze.Jeżeliwyrzyszeregów i b spełijądlprwiewszystkichierówość b iszereg b jestzbieży,toszereg jestbezwzględiezbieży. 5.KryteriumD Alembert.Szereg owyrzchróżychodzerjest: () bezwzględie zbieży, gdy lim +1/ <1, (b)rozbieży,gdy +1 / >1dlprwiewszystkich. 6.KryteriumCuchy ego.szereg jest () zbieży, gdy lim <1,
Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl (b) rozbieży, gdy lim >1. 7.Kryteriumkodescyje.Jeśli, ierosący,to: zbieży zbieży 8. Kryterium Dirichlet lub Abel. Jeżeli: () ցi b jestogriczoy(tz.wszystkiejegosumyczęściowetworząciągogriczoy) lub (b) mootoiczyiogriczoyi b zbieży to b zbieży. 9.KryteriumLeibiz.Szereg ( 1) jestzbieży,jeśli jestciągiemmlejącymizbieżymdo. 1.TwierdzeieKummer.Nto,żebyszereg oskłdikchdodtichbyłzbieży,potrzebiwystrcz,byistiłtkiciągliczbdodtichb,że ( b lim ) b +1 >. +1 11.TwierdzeieRbego.Szereg oskłdikchdodtichczyiącyzdośćwrukowi ( ) lim 1 >1 +1 jest zbieży. 1. Twierdzeie Riem. Mjąc dy szereg zbieży wrukowo, moż przez zmię porządku jego skłdików uzyskć szereg rozbieży lub zbieży do z góry zdej gricy(skończoej lub ieskończoej). 13.Możeieszeregów.Jeśliszeregi =Ai b =Bsązbieżeiprzyjmiejjedezichjest bezwzględiezbieżytoszereg c jestzbieżyi c =AB,gdziec = 1 b + b 1 + 3 b +...+ b 1. Fukcje 1.Gricfukcjifwpukcie.lim x f(x)=g ()(DefiicjHeiego)dlkżdegociągux zbieżegodo,owyrzchróżychod,zchodzilim f(x )= g, (b)(defiicjdeltowo-epsiloow) ǫ> δ x ( δ,+δ),x = f(x) g <ǫ.ciągłośćfukcji.f(x)jestciągłwpukciex jeżeligricelewoiprwo-strowpukciex sąrówe wrtościfukcjiwtympukcief(x ). 3. Jedostj ciągłość fukcji. ǫ δ x,x x x <δ= f(x) f(x ) <ǫ(tz.δiezleżyodx) 4. Wruek Lipschitz.(implikuje ciągłość i jedostją ciągłość) c x,x f(x) f(x ) c x x 5. Wruek Hölder.(implikuje ciągłość i jedostją ciągłość) c,δ> x,x f(x) f(x ) c x x δ
Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 3 6. Twierdzeie Weierstrss. Kżd fukcj ciągł [, b] przyjmuje swoje kresy, w szczególości kresy skończoe. 7.TwierdzeieDrboux.JeżelifukcjfjestciągłprzedzileP:,b Picleżymiędzyf()if(b) to ζ pomiędzyib,żec=f(ζ). 8. Twierdzeie Ctor. Kżd fukcj ciągł przedzile domkiętym jest jedostjie ciągł. Podto, jeżeli istieją skoczoe grice lim lim x +f(x)ix b f(x),tofukcjf(x)jestjedostjieciągł (,b). Ciągi i szeregi fukcyje f :A R 1.f zbiegdofpuktowo: x A f (x) f(x) def. x ǫ N >N f (x) f(x) <ǫ(nzleżyodxiodǫ)..f zbiegdofjedostjie: ǫ N x >N f (x) f(x) <ǫ. 3.f zbiegdofiemljedostjie(,b):zbieżośćjedostjkżdymprzedziledomkiętym [c,d] (,b). 4.Twierdzeie Szczechli.Jeżeliciągfukcjiciągłychf jestzbieżydofukcjiciągłejf puktowoi x f (x)>f +1 (x),tof jestzbieżydofjedostjie. 5. Wruek Cuchy ego. () x f (x) zbieżypuktowo x ǫ N,m>N f (x) f m (x) <ǫ. (b)f f zbieżyjedostjie ǫ N,m>N x f (x) f m (x) <ǫ. 6.S (x)= f i (x) i=1 KiedyS Spuktowotopiszemy: i=1 f i (x)=s(x). Kryterium Cuchy ego. f jestzbieżyjedostjie ǫ N m>>n x S m (x) S (x) = m f i i=+1 7.Kryteriumporówwcze.Jeżeli x f (x) g (x)orz g jestzbieżyjedostjieto f tkże. Jeżeli x f (x) c i c < to f jestzbieżyjedostjie. 8.KryteriumD Alembert.Jeżelif >i f +1 f ψ(x)<<1orzkżdf jestogriczo: x f (x) c toszereg f jestjedostjiezbieży. 9.KryteriumCuchy ego.jeżelif i f ψ<<1to f jestzbieżyjedostjie. 1.KryteriumLeibiz.Jeżelif,f i x f (x)jestierosącytoszereg ( 1) f jestzbieży jedostjie. 11. Kryterium Abel. Jeżeli: () zbieżyjedostjie, x b (x)mootoiczyiwyrzyb sąwspólieogriczoe lub <ǫ.
Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 4 (b)wszystkiesumyczęścioweszeregu sąwspólieogriczoei x,x i (x) corzb i b (x)mootoiczy to (x)b (x)jestzbieżyjedostjie. 1. Szeregi potęgowe. ( (x x ) = = x ),r-promieńzbieżości. () szereg jest zbieży bezwzględie i ieml jedostjie w( r, r), (b)szeregjestrozbieżydl x x >r, (c) kiedy x = ±r iewidomo(liczymy grice!). (d) Twierdzeie Abel. Szereg potęgowy zbieży w jedym z krńców przedziłu zbieżości stowi w tym pukcie fukcję ciągłą(jedostroie). 1 Wzór Cuchy ego-hdmrd. r =. lim 13. Twierdzeie proksymcyje. Dl kżdej ciągłej fukcji f istieje ciąg jedostjie zbieży fukcji kwłkmi liiowych zbieżych do f. NierówośćCuchy ego-schwrz-buikowskiego: b b,czyli( i b i ) i b i. -tywielomibersteifukcjif(deg ):B (x)= ) ( f k ) x k (1 x) k. Tw.JeżelifjestLipschitzowskzestłąc( f(x) f(y) c x y )to f(x) B (x) c Rchuek różiczkowy 1.Defiicjpochodejfukcjifwpukciex :f f(x (x )=lim +h) f(x ) h h..fjestróżiczkowlwpukciex jeślif (x )istiejeijestskończo. 3. Wzór Leibiz. -t pochod iloczyu: (f g) () =f () g+ ( ) f ( 1) g + 1 k= ( k ( ) y ( ) g +...+f g () = k= i. ( ) f ( k) g (k). k 4.TwierdzeieRolle.Jeżelifjestciągł[,b]iróżiczkowl(,b)orzf()=f(b),to c (,b), tkieżef (c)=. 5.TwierdzeieLgrge.Jeżelifjestciągł[,b]irożiczkowl(,b)to c (,b),tkieże f(b) f() b =f (c). 6.TwierdzeieCuchy ego.jeżelifukcjefigsąciągłe[,b]irożiczkowle(,b)ijeżeli x g (x),to c (,b),tkieże f(b) f() (c) g(b) g() =f g (c). 7.Regułdel Hospitl.Złóżmy,żef,g rożiczkowle(,b).jeżeli lim x +f(x)= lim x +g(x)=lub f(x) lim g(x) =+,to lim x + x + g(x) = lim f (x) x + g (x) oileistieje(tksmojestdlx b,tkżedlx ). Sztuczki,czylijkużywćdel Hospitlbysprowdźićwyrżeiieiż do. NiechF(x)= 1 x ig(x)= 1 g(x). () lim f(x) x g(x) =lim G(x) x F(x). f(x) (b) limf(x) g(x)=lim x x G(x). G(x) F(x) (c) lim(f(x) g(x))=lim x x G(x) F(x).
Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 5 (d), i1 Sprowdzmydopoprzedichprzez:limf(x) g(x) =lime g(x) logf(x) =ex g(x) logf(x) lim. x x 8. Pochod gricy. Jeżeli dl dego zbieżego ciągu fukcji lim f (x)jegopochodef (x)sąciągłei zbieże jedostjie to ( lim f (x) ) = lim f (x). Wystrczy, że ciąg fukcji lim f (x)będziezbieżywdowolympukcieprzedziłu,zściągpochodych zbieży jedostjie w cłym przedzile, bowiem to implikuje zbieżość ciągu lim f (x)wcłymprzedzile. 9. Różiczkowie i cłkowie szeregów wyrz z wyrzem. ()Niechfukcjef (x)będąokreśloeprzedzile[,b]imjąwtymprzedzileciągłepochodef (x). Jeżeliszereg f jestzbieżyorzszereg f jestzbieżyjedostjiewtymprzedziletosum szeregu f mpochodąi ( f ) = ( f ). (b)niechfukcjef (x)będąokreśloeprzedzile[,b]isąwtymprzedzilecłkowleorzszereg f jestwtymprzedzilejedostjiezbieży.wtedy: b ( f (x)dx)= b f (x)dx. (c)wprzypdkuszeregupotęgowego x dlkżdegoxleżącegowewątrzprzedziłuzbieżości moż liczyć pochodą wyrz po wyrzie i promień(orz przedził) zbieżości szeregu pochodych jest tki sm. 1. Wypukłość. ()fwypukł f iemlejąc(oilefróżiczkowl) f (oilefdwukrotieróżiczkowl). (b) Niech f różiczkowl przedzile. Wtedy f wypukł kiedy wykres f leży d styczą wystwioą w dowolym pukcie jej wykresu. (c) Nierówość Jese dl fukcji wypukłej. (d) Wypukłość = ciągłość. f(λ 1 x 1 +λ x +...+λ x ) λ 1 f(x 1 )+λ f(x )+...+λ f(x ). (e)jeślifukcjjestciągłtobysprwdzićwypukłośćwystrczysprwdzićdlλ 1 =λ = 1. 11. Wzór Tylor. f -rzyróżiczkowlwpukciex. T(x)=f(x )+ f (x ) 1! (x x )+ f (x )! f(x)=t(x)+r(x),gdzier(x)toresztszeregutylor. (x x ) +...+ f() (x ) (x x )! R(x) () Włsość Peo reszty: (x x ) dlx x. (b) Fukcj swój szereg Tylor rozwij się jedozczie. (c) Róże postci reszty: i. w postci Lgrge : R (x)= f(+1) (ζ) (+1)! (x x ) +1.
Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 6 ii. w postci cłki: iii. w postci Cuchy ego: R (x)= 1! x x f (+1) (t)(x t) dt. R (x)= f(+1) (ζ) (1 H) h +1,h=x x,h (,1),ζ=x +h H.! (d)przydterozwiięci:(wszystkiewokółx =) i.e x =1+ x 1! +x!+... ii.six=x x3 3!+ x5 5!... iii.cosx=1 x!+ x4 4!... iv.l(1+x)=x x +x3 3... v.rcsix= = +1 1 3 5... ( 1) 1 4 6... x +1 vi.rctx=x x3 3 +x5 5... Rchuek cłkowy 1. Cłk Riem ()górsumcłkow:s(f,π)= +1 (x i+1 x i )f(ζ i ),gdzief(ζ i )= mx f(tkieζmożwybrć i= [x i,x i+1 ] kiedy f jest ciągł). (b)dolsumcłkow:s(f,π)= +1 (x i+1 x i )f(ζ i ),gdzief(ζ i )= mi f. [x i,x i+1 ] (c) [,b] i= f(x)dx=if π S(f,π), [,b] f(x)dx=if π S(f,π) (d)ntobyfbyłcłkowl(wsesieriem)wystrczeby lims(f,π i )= lims(f,π i ),ztem i i jeżeli f jest cłkowl to b f(x)dx= f(x)dx= f(x)dx. [,b] [,b].twierdzeiebrrow.jeślif(x)= x f(t)dtwówczsf (x)=f(x). 3.f(iekoieczieciągł)mwhieskończoe,jeśliistiejectkieżedlkżdegopodziłu=x <x 1 <...<x =bzchodzi: f(x i+1 ) f(x i ) c. Whief[,b]=sup f(x i+1 ) f(x i ). Twierdzeie. Fukcj m whie skończoe wtedy i tylko wtedy gdy jest różicą dwóch fukcji iemlejących. 4. six x dxjestzbieżwrukowo(cłkdirichlet). 5.NierówośćYoug.Złóżmy,żefjestfukcjąciągłąiściślerosącąprzedzile[,c],f()=orz iech [,c],b [,f(c)]będądowoliewybrymiliczbmi.wtedy: 6. Szeregi Fourier. b f(x)dx+ f 1 (x)dx b.
Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 7 () Defiicj. f cłkowl w sesie Riem [ π, π]. Szeregiem Fourier fukcji f zywmy + ( cosx+b six), gdzie = 1 π π π f(x)cosxdx,b = 1 π π π f(x)sixdx. (b)jeżelifjestprzedziłmiciągłimootoictz.kżdym[x i,x i+1 ]toszeregfourierjestzbieży dof(x)wpuktchciągłościido f +(x)+f (x) w puktch ieciągłości. (c)jeżeliwotoczeiujkiegośx fmwhieskończoetowx fjestsumąswojegoszeregufourier. (d)jeżelidljkiegośx ipewychstłychc,α>zchodzi f(x +h) f(x ) c h α (dlhzpewego otoczeix )tofjestsumąswojegoszeregufourierwx. (e) Wruek zbieżość jedostją. Jeżeli i.fjestciągłimwhiskończoe lub ii. f jest hölderowsk to jej szereg Fourier jest zbieży jedostjie do f. (f) Twierdzeie o zbieżości jedostjej szeregu Fourier. Szeref Fourier π-okresowej, różiczkowlejfukcjif,którejpochodf jestcłkowlwsesieriemprzedzile[ π,π]jest zbieży jedostjie i bezwzględie. (g)lemtriem.jeżelif cłkowlw(s.riem)[,b]to lim b f(x)sixdx= (h) (podobie z cos x). π si(+ 1 )t si 1 t dt= π. (i)kryteriumdiiego.niechφ(t)=f(x+t)+f(x t) f(x).jeżelifjestciągłjkimkolwiek przedzile(a,b)zwierjącym[,b]i h φ(t) h> t dt jedostjie zbież to szereg Fourier f jest zbieżydof. (j)twierdzeiefejér.jeślifukcjf: R Rjestciągłimokresπ,zśs tociągsumczęściowych jejszeregufourier,to 1 (s +s 1 +...s 1 ) f. (k) Rówość Prsevl. Dl dowolej fukcji okresowej f: R R cłkowlej przedzile[ π, π] zchodzi rówość: π ( ) ( (f(x)) dx=π ) + 1 +b 1 + +b + 3 +b 3 +... =π + ( +b ). π (l)współczyiki,b rozwiięcifourierfukcjicłkowlejdążądo. 7. Długość łuku. 8. Objętość bryły obrotowej. L= b 1+(f (x)) dx. b V=π f (x)dx. 9. Pole powierzchi bryły obrotowej. b P=π f(x) 1+(f (x)) dx.
Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 8 1.ITwierdzeieowrtościśrediej.Złóżmy,żefjestciągł,zśg ciągłiostlymzku(wprzedzile [,b]).wtedy ζ [,b] b f(x)g(x)dx=f(ζ) b g(x)dx. 11. II Twierdzeie o wrtości średiej. Złóżmy, że f jest ciągł, zś g mootoicz o ciągłej pochodej (wprzedzile[,b]).wtedy b ζ [,b] f(x)g(x)dx=g() ζ f(x)dx+g(b) b ζ f(x)dx. 1. Cłki iewłściwe. () Jeżeli fukcj f jest ogriczo i poz skończoą ilością puktów przedziłu[, b] jest określo i ciągłtojejcłk b f(x)dxjestzbież. (b) Niech fukcj f będzie ciągł, mlejąc i dodti przedzile[, ). Wowczs wrukiem koieczymidostteczymzbieżościcłki f(x)dxjestzbieżośćszeregu f(+). (c)ntobycłkzfukcjidodtiejf(x)byłzbieżpotrzebiwystrczżebycłk A f(x)dx pozostwłdlrosącegoogriczoodgóry: A f(x)dx C,c=cost. (d) Kryterium Abel. Złóżmy, że i.fukcjf zbieżw[, ), ii. fukcj g mootoicz i ogriczo, wówczs f(x)g(x)dxjestzbież. (e)kryteriumdirichlet.jeżeli A> A f(x)dx K(K=cost)ifukcjg(x)jestzbieżmootoicziedodlx,to f(x)g(x)dxjestzbież. (f)kryteriumcuchy ego.niechfukcjfmdldosttecziedużychxpostćf(x)= φ(x) x λ,λ>. Wtedy: i.dlλ>1iφ(x) c< cłk f(x)dxjestzbież, ii.dlλ 1iφ(x) c>tocłk f(x)dxjestrozbież. Przydte rzeczy 1. Fukcje hiperbolicze. ()sihx= ex e x, coshx= ex +e x, tghx= sihx coshx =ex e x e x +e x. (b)cosh x sih x=1. (c)(sihx) =coshx, (coshx) =sihx, (tghx) = 1 cosh x. (d) Fukcje odwrote: ( (sihx) 1 =rsihx=log x+ ) x +1, (rsihx) = 1 (, x +1 (coshx) 1 =rcoshx=log x+ ) x 1,x 1, (rcoshx) = 1 (tghx) 1 =rtghx= 1 log1+x 1 x, x <1, (rtghx) = 1 1 x.. Wrtości fukcji trygoometryczych. si=, si π 6 =1, siπ 4 =, siπ 3 = 3, siπ =1, cos=1, cos π 6 = 3, cosπ 4 =, cosπ 3 =1, cosπ =, tg=, tg π 6 = 3 3, tgπ 4 =1, tgπ 3 = 3, tg π =, ctg=, ctg π 6 = 3, ctg π 4 =1, ctgπ 3 = 3 3, ctgπ =. 3. Tożsmości trygoometrycze. ()si α+cos α=1, (b)siα=siαcosα, (c)cosα=cos α si α=cos α 1=1 si α, (d)si(α+β)=siαcosβ+cosαsiβ, x 1,
Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 9 (e)si(α β)=siαcosβ cosαsiβ, (f)cos(α+β)=cosαcosβ siαsiβ, (g)cos(α β)=cosαcosβ+siαsiβ, (h)tg(α+β)= tgα+tgβ 1 tgαtgβ, (i)tg(α β)= tgα tgβ 1+tgαtgβ, (j)ctg(α+β)= ctgαctgβ 1 ctgβ+ctgα, (k)ctg(α β)= ctgαctgβ+1 ctgβ ctgα, (l)siαcosβ=si(α+β)+si(α β), (m)siαsiβ=cos(α β) cos(α+β), ()cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α β), (o) 1 +cosα+cosα+...+cosα=si(+1 α), si α (p) i=1 siix = cos1 x cos(+1 )x si 1 x 1 si 1 x, (q)siα+si3α+...+si( 1)α= si α siα. 4.Podstwieietrygoometrycze.t=tg x t, six= 1+t, cosx= 1 t 1+t, dx= 1+tdt. 5.Jeślix<1,toe x 1 1 x,jeślix>1,toex > 1 1 x. 6.Jeśli<x<1,toe x < 1 1 x,jeślix>1lubx<,toe x > 1 1 x. 7.Dldowolejliczbyrzeczywistejx>zchodziierówośće x 1 x e x. 8.e t 1+t, 1 x e x 1 1+x. 9. k = q = 1 qk+1 1 q. 1. Podstwowe pochode. (x x ) =x x (1+logx), (log x) = 1 xlog,, 1 x (rcsix) = 1, 1 x (rccosx) = 1 (rctx) = 1 1+x, (rcctgx) = 1 1+x. 11. Podstwowe cłki. logxdx=xlogx x+c, log xdx=x x log +C, tgxdx= log(cosx)+c, ctgxdx=log(six)+c, rcsixdx=xrcsix+ 1 x +C, rccosxdx=xrccosx 1 x +C, rctxdx=xrctx 1 log(1+x )+C, 1. Cłk Poisso. 13.WzórWllis.π= lim ( ) (!) 1 ()!. rcctgxdx=xrcctgx+ 1 log(1+x )+C. e x dx= π. 14.WzórStirlig.! π ( e). ) 15.StłEuler.γ= lim (1+ 1 +...+1 log =,57716.
Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 1 16. Fukcje Euler. Γ(x)= Dlturlychzchodzi:Γ()=( 1)!. ) e < 17. + (1+ <e 1 e +1. t x 1 e t dt,gdziex>. 18.UogólioierówośćBeroulliego.Jeżelizchodząierówości>1lub<i 1<x,to (1+x) >1+x.Jeślitomis<<1orz 1<x,to(1+x) <1+x. 19. Nierówość Schwrz. b N f(x)g(x) N f (x) N g (x), f(x)g(x)dx b f (x)dx b g (x)dx..nierówośćhölder.dldowolychliczbieujemych 1,,...,,b 1,b,...,b idowolychliczb dodtichp,qtkich,że 1 p +1 q =1zchodziierówość: 1 b 1 + b +...+ b ( p 1 +p +...+p p(b q )1 1 +bq +...+bq q. )1 1 1.e=,7188..., e =,367879..., π=3,14159..., 1 π =,31831..., =1,4141..., 3= 1,735..., π π =36,46..., e e =15,1543..., π e =,459..., e π =3,147...