Zagadnienie Sturma-Liouville a. Definicja : Zagadnieniem Sturma-Liouville a nazywamy równanie różniczkowe postaci

Transkrypt

1 Zgdieie Sturm-Liouville Defiicj : Zgdieiem Sturm-Liouville zywmy rówie różiczkowe postci p x y x + q x + λ r x y x = 0, x,, λ R gdzie p x, p x, q x, r x są ciągłe, orz x, p x 0 r(x) 0 z wrukmi rzegowymi. α y + α y = 0 β y + β y = 0 gdzie α + α > 0 β +β > 0 Niech Ly x = p x y x q x y x Wtedy rówie różiczkowe przyjmuje postd Ly x = λ r x y x Defiicj : Wrtością włsą opertor L (opertor Sturm-Liouville ) zywmy kżdą wrtośd λ, dl której zgdieie Sturm-Liouville m ietrywile (iezerowe) rozwiązi. Fukcją włsą dl wrtości włsej λ opertor L zywmy ietrywile rozwiązie zgdiei Sturm-Liouville odpowidjące wrtości λ. Np. Zjdź wrtośd włsą i fukcję włsą zgdiei y x + λ y x = 0, x 0, y 0 = 0 y = 0 Ly x = y x, r x =

2 I. λ = 0 y x = x + = 0 + = 0 y x = 0 II. λ > 0, rówie chrkterystycze : r + λ = 0 r, = ±i λ III. λ < 0 y x = e i λ + e ;i λ = c cos λ x + d si λ x c = 0 d si λ = 0 d 0 λ = kπ, kεn : λ = k π y x = d si k π x r + λ = 0 r, = ± λ y x = e ;λx + e ; ;λx 0 = + 0 = e ;λ + e ; ;λ = e ;λ e ; ;λ = 0 => = = 0 Odp. Wrtością włsą zgdiei jest λ k = k π, kεn :, fukcją włsą odpowidjącą λ k jest y k x = si kπx Defiicj: Mówimy, że opertor L jest hermitowski g(x) L f(x) r(x)dx = Lg(x) f(x) r(x)dx, gdzie f x, g(x) są fukcjmi określoymi *,+, w szczególości mogą to yd fukcje włse opertor L. Uwg: przedził określoości fukcji może yd (, ).

3 Twierdzeie: Opertor Sturm- Liouville jest hermitowski. Dowód: rozwżmy dowoly opertor Lf x = α x f x + β x f x + γ x f x orz rówie Lf x = λf(x) oliczmy g(x) L f(x) r(x)dx = g(x) α x f x + β x f x + γ x f x r x dx = = g x f x α x r(x) g x f x α x r x dx g x f x α x r x dx + +g x f x β x r(x) g x f x β x r x dx g x f x β x r x dx + + g x f x γ x r(x)dx logiczie Lg(x) f(x) r(x)dx = g x f x α x r(x) g x f x α x r x dx g x f x α x r x dx + g x f x β x r(x) g x f x β x r x dx g x f x β x r x dx + g x f x γ x r(x)dx czyli g(x) L f(x) r(x)dx Lg x f x r x dx,g x f x g x f x -* α x r x β x r x +dx stąd wrukmi hermitowskości są g x f x g (x)f x α x r x = 0 α x r x β x r x = 0 = g x f x g x f x α x r x

4 po przemożeiu rówi przez r(x) i podstwieiu α x r x = p x, γ x r x = q(x) orz wykorzystiu wruku hermitowskości p x = α x r x = β x r(x) otrzymujemy zgdieie Sturm-Liouville p x f x + p x f x + q x f x + λr x f x = 0 p x f x +,q x + λr x -f x = 0 łóżmy terz wruki rzegowe α f + α f = 0 β f + β f = 0 α g + α g = 0 β g + β g = 0 i sprwdźmy pierwszy wruek hermitowskości g x f x g (x)f x α x r x = 0 g f g ()f α r g f g ()f α r = 0 α 0 f = α f() i g = α g() α α wtedy g f g ()f = g α α f() α α g()f = 0 α = 0 f = 0 i g = 0 wtedy g f g ()f = 0 logiczie dl β widzimy więc, że łożeie wruków rzegowych prowdzi do spełiei pierwszego wruku hermitowskości opertor Sturm-Liouville Twierdzeie: Wrtości włse opertor Sturm- Liouville są rzeczywiste, fukcje włse odpowidjące różym wrtościom włsym, są ortogole *,+ z wgą r(x), tz.

5 r x y (x)y m x dx = 0 dl m Dowód: L y x = λ r x y x y m (x) L y m x = λ m r x y m x y (x) y m x L y x dx = λ r x y m x y x dx y x L y m x dx = λ m r x y m x y x dx y m x p x y x dx y m x q x y x dx + y x p x y m x dx + + y x q x y m x dx = λ λ m r x y m x y x dx y m x p x y x + y m x p x y x dx + y x p x y m x y x p x y m x dx = λ λ m r x y m x y x dx

6 zuwżmy, że wruek p x,y x y m x y m x y hermitowskości opertor Sturm-Liouville, stąd Dl =m Dl m x - λ λ m r x y (x)y m x λ λ r x y (x)y x λ λ m r x y (x)y m x Klsyfikcj zgdieo Sturm-Liouville : dx = 0 = 0 jest pierwszym wrukiem dx = 0 dx = 0 λ = λ r x y (x)y m x dx = 0. zgdieie S-L jest regulre p x > 0 r x > 0 (pełe wruki rzegowe). zgdieie S-L jest osoliwe p = 0 p = 0 p x 0 r x 0 Wruki rzegowe dl x = x = zstępujemy wymgiem skooczoości y x i y x w,, zgdieie S-L jest okresowe p = p r x > 0 Wruki rzegowe zstępujemy rówością y = y y = y.

7 Twierdzeie: Jeżeli zgdieie Sturm-Liouville jest regulre, to wrtości włse są dyskrete i moż je uporządkowd w ciąg rosący λ < λ <... < λ <... tki, że lim λ =, jedej wrtości włsej odpowid tylko jed fukcj włs. Wiosek: Fukcje włse regulrego zgdiei S-L tworzą ciąg fukcji ortogolych. Twierdzeie: Jeżeli y, y,. są fukcjmi włsymi regulrego zgdiei S-L orz f i f są kwłkmi ciągłe w [,] i to szereg do lim f t + t x + Dowód: pomijmy = r x f x y x dx, r x y x dx < y (x) jest zieży do fukcji f(x) w kżdym pukcie ciągłości f orz lim f(t) w kżdym pukcie ieciągłości f. t x Np. Rozwio w szereg fukcji włsych zgdiei y x + λy x = 0 z wrukmi y(0) = y() = 0 fukcję f x = x x, x,0,-

8 z poprzediego przykłdu wiemy, że wrtości włse są postci λ k = k π, kεn :, fukcją włsą odpowidjącą λ k jest y k x = si kπx x x si πx dx = x x 0 π cos πx + x cos πx dx = 0 π 0 = π x si (πx ) 0 3 π 3 cos πx = 0 3 π 3 0, = k = 4 (k + ) 3, = k + π3 si πx dx = 0 (x π si πx ) = 0 0, = k = 8 (k + ) 3, = k + π3 f(x) i f (x) są ciągłe w (0,) x x = Fukcj Gree k<0 8 (k:) 3 π 3 si( (k + )πx) Rozwżmy iejedorode zgdieie Sturm-Liouville postci Ly x μr x y x = g x, μ R gdzie L jest opertorem Sturm-Liouville [,], z wrukmi rzegowymi α y + α y = 0 β y + β y = 0 gdzie α + α > 0 β + β > 0

9 Zkłdmy, że fukcj g(x) r(x) rozwij się w szereg fukcji włsych opertor L g(x) r(x) = y (x) < gdzie r x > 0 i y x są fukcjmi włsymi L. Niech dl N = r x y x dx włsych opertor L orz, wtedy ukłd φ x = y (x) N g(x) r(x) = < β φ (x) gdzie g x β = r x r x φ x dx = g x φ x dx Niech rozwiązie y(x) ędzie postci Wyliczmy współczyiki α < α L α φ (x) < y x = α φ x < μr x α φ x = r x β φ x < < jest uormowym ukłdem fukcji φ k (x) φ k x Lφ x dx μ α r x φ k x φ x dx = β r(x) φ k x φ x dx < <

10 wiemy, że φ (x) jest fukcją włsą opertor L, czyli < α φ k x λ r(x) φ x dx μα k = β k α k λ k μ = β k 0 dl μ = λ k rówie jest sprzecze jeśli β k 0 (rk rozwiązi) i ieozczoe, jeśli β k = 0 (ieskooczeie wiele rozwiązo) 0 dl μ λ k α k = β k λ k μ y x = < β λ k μ φ x = < φ (x) λ μ g(t) φ t dt = < φ x φ t λ μ g t dt Defiicj: Fukcją Gree dl iejedorodego zgdiei Sturm-Liouville postci Ly x μr x y x = g x, μ R φ x φ t zywmy fukcję G x, t = <, gdzie λ λ ;μ są wrtościmi włsymi, φ x uormowymi fukcjmi włsymi opertor L. Wiosek: Rozwiązie iejedorodego zgdiei S-L z fukcją Gree G x, t jest postci y x = G x, t g t dt fukcj Gree dl iejedorodego S-L

11 Np.. Zjdź fukcję Gree dl y ''( x) y( x) f ( x) z wrukmi: y(0) = 0 i y() = 0 x [0,] y( x) y ''( x),, r( x), g( x) - f ( x) Zjdujemy wrtosci wlse opertor i fukcje wlse y ''( x) y ( x) 0 rówie chrkterystycze r 0 I. 0, y ( x) ( C C x) e 0x 0 C i 0 = C C y ( x) 0 rozwiązie trywile II. 0, r 0, r, y ( x) C e C e 0 x x C C i 0 Cr Ce C C C ( e e ) 0 C 0 y ( x) 0 rozwiązie trywile III. 0, r 0, r, i y ( x) C si x C cos x, y ( x) si x, 0 C i 0=C si

12 x si xdx dx si x ( x) si x G( x, t) cos 4 si x si t. Zjdź rozwiązie y ''( x) y( x) x z wrukmi y(0) 0, y() 0, x [0,] Ly( x) y ''( x),, r( x), g( x) -x si xsi t si x y( x) ( t) dt t si tdt 0 0 si x t si x ( ) [ cos si ] t t 0 Twierdzeie: Fukcj Gree dl iejedorodego zgdiei S L spełi rówie LG x, t μr x G x, t = δ x t gdzie δ jest deltą Dirc Dowód: Ly x μr x y x = g x LG x, t μr x G x, t g t dt = g(x)

13 z włsości Dirc stąd g x = δ t x g t dt = δ x t g t dt LG x, t μr x G x, t = δ x t Np.. Wylicz fukcję Gree dl zgdiei y (x) + y(x) = 0 z wrukmi y(0) = 0 i y() = 0 Ly(x) = y (x), μ =, r(x) =, x,0,- x G x, t G x, t = δ(x t) G(0, t) = 0, G(, t) = 0 I. 0 x < t δ x t = 0 x G x, t + G x, t = 0 r + = 0 II. t < x czyli G(x, t) = C 4 t r, = ±i G(x, t) = C (t)six + C (t)cosx 0 = C (t) G(x, t) = C (t)six G(x, t) = C 3 (t)six + C 4 (t)cosx G(, t) = C 3 (t)si + C 4 (t)cos C 3 (t) = C 4 t cos si C t six, 0 x < t cosx cos six, t < x < si

14 x t:ε G x, t G x, t = δ x t dx t;ε G(x, t) t:ε t:ε x G x, t dx = lim t;ε t;ε ε 0 + Zkłdmy, że G(x, t) jest ciągł ze względu x, wtedy lim G x, t + G x, t = ε 0 + x x<t:ε x x<t;ε G x, t = C t cosx, 0 x < t x C 4 t six cos cosx, t < x si lim C ε t ( si t + ε cos cos t + ε ) + C si cos(t ε) = C 4 t sit + cos cost + C si t cost = C t sit = C 4 t (cost cos sit) si C t = C 4 (t) si(t;) C 4 t C 4 t C t sitsi cos t; sit;si t; cost = sitsi si sitsi = sit = sit si(t;) sitsi = G x, t = si t six, si 0 x < t sitsi( x), si t < x

15 . Korzystjąc z fukcji Gree rozwiąż y (x) + y(x) = x z wrukiem y 0 = y() = 0 korzystmy z fukcji Gree z poprzediego przykłdu z symetrii fukcji Gree ze względu oie zmiee mmy G x, t = x si ;x sit si sixsi(;t) si, 0 t < x, x < t si x sit sixsi t y x = G x, t t dt = t dt + t dt = 0 0 si x si x si x si x = sit tdt + t si t dt si 0 si x u = t u t sitdt = = v = tcost + t costdt = tcost + sit = sit v = cost u = t u t si( t)dt = = v = si( t) v = cos( t) = = tcos t cos t dt = t cos t + si( t) si x x si x y x =, tcost + sit-,tcos t si 0 si + si t - = x si x si x = xcosx + six xcos x si x si si xcosxsi x si xsi x si x xsixcos x si xsi x = + + si si si si si x sixcos x + cosxsi x six x six x + x six = = si si x si six = = x six si si

16 Wielomiy ortogole Rozwżmy prolem Sturm-Liouville, w którym fukcjmi włsymi są wielomiy LW x = λ r x W x, gdzie LW x = x W x x W x c x W x jest opertorem S-L dl x [,], x [,] : r(x)>0 orz W (x) jest wielomiem stopi LW x = λ r x W x : (r(x)) α x W x β x W x γ x W x = λ W (x) wtedy odpowiedie fukcje muszą spełid wruki γ x jest wielomiem stopi 0, β x jest wielomiem stopi, α x jest wielomiem stopi Uwg: Po dokoiu trsformcji x x+, L cl+d do wyzczei pozostją pierwistki (x) orz współczyiki w (x). Sprwdzmy wruek hermitowskości L W m x LW x r x dx = W (x)lw m (x) r x r x dx W m x α x W x β x W x γ x W x dx = = r x ( W x α x W m x β x W m x γ x W m x dx

17 α x r x W m x W x + * α x r x r x β x W m x W x + * r x β x W m x r x γ x W m x + α x r x W m x + W x dx + r x β(x)w m x + W (x)dx W m x W x dx = α x r x W x W m x + + * α x r x W x + α(x)r(x)w (x)+ W m x dx β(x)r(x)w x W m x + + * β x r x W x + β(x)r(x)w (x)+ W m (x)dx r x γ x 0 = α x r x,w x W m x W m x W x * α x r x β x r(x)+,w m x wystrczy, że ędą spełioe wruki α r = 0 α r = 0 α x r x = β x r x α x r x = β x r x : α x r x Rozwżmy przypdki I. α x = + x x, xε,,- α x r x = e W x W (x)w m x -dx β(x) α(x) dx W m x W x dx

18 0 + x + x ( x) dx = p + + x dx q + x dx = l( + x)p: +l( x) q: iech = (p + q + ) i 0 = p q otrzymujemy α x r x = + x p: ( x) q: sprwdzmy wruki α r = 0 i α r = 0, które są spełioe dl p, q > dl p, q > otrzymujemy fukcję wgową r x = ( + x) p ( x) q i wielomiy włse W x dl p = q = i wielomiy włse T x = J p,q (x) zywe wielomimi Jcoiego otrzymujemy fukcję wgową r x = x = J ;,; (x) zywe wielomimi Czeyszew dl p = q = 0 otrzymujemy fukcję wgową r x = 0 i ze wielomiy włse P x = J,0 (x) wielomiy Legedre II. α x = x, x x x α x r x dx = lx 0 + x = x 0 e x

19 sprwdzmy wruki α 0 r 0 = 0 i lim α r = 0, które są spełioe dl 0 > 0 i < 0 iech 0 = + s, s = 0,, = wtedy α x r x = x :s e ;x otrzymujemy fukcję wgową r x = x s e ;x i wielomiy włse W x = L s x zywe wielomimi Lguere dl s=0,, III. α x = x (, ) 0 + x dx = 0 x + x α x r x = e 0x e x sprwdzmy wruki lim α r = 0 i lim α r() = 0, które są spełioe dl 0 = 0 i ; < 0 iech 0 = 0, = wtedy α x r x = e ;x otrzymujemy fukcję wgową r x = e ;x i wielomiy włse W x = H (x) zywe wielomimi Hermite ( x + x + 0 )W " x x + 0 W x = λ W (x) porówując współczyiki przy x otrzymujemy = λ λ = ( + )

20 Wielomi Wrtość włs λ Wg r(x) Przedził xε,, - J p,q (x) ( + p + q + ) (x + ) p ( x) q,,- T (x) ( x ) ;,,- P (x) ( + ),,- L s (x) x s e ;x,0, ) H (x) e ;x (, ) wypiszmy też postci rówo różiczkowych, których rozwiązimi są odpowiedie wielomiy Wielomi Rówie różiczkowe J p,q (x) x f x p + q + x p + q f x + + p + q + f x = 0 T (x) x f x xf x + f x = 0 P (x) x f x xf x + + f x = 0 L s (x) xf x + s + x f x + f x = 0 H (x) f x xf x + f x = 0 Wiosek: Wielomiowe fukcje włse zgdiei Sturm-Liouville tworzą ukłd ortogoly. Np. Wyprowdź wzory rekurecyje dl współczyików wielomiu Czeyszew x 0 = 0 jest puktem regulrym rówi Czeyszew

21 szukmy rozwiązi w postci k< k<0 A k k(k ) x k; y = k<0 A k x k A k k k x k A k k x k + A k x k = 0 k< A k: k + k + x k A k k k + k x k A x + A 0 + A x = 0 k< k< A + A 3 6x + A k: k + k + A k k k< A = A 0, A 3 = A 6 k<0 x k A x + A 0 = 0, A k: = A k k (k + )(k + ) A k = ( )k (k) (k ) A 0 k!, k A k: = ( )k (k + ) (k ) ( )A, k k +! zuwżmy, że w zleżości, czy jest przyste i k >, czy ieprzyste i k +>, współczyiki przyste A k = 0 lo ieprzyste A k: = 0, czyli jedo z rozwiązo jest wielomiem stopi przykłdowo dl =0 rozwiązie dl A 0 = i A = 0 wyosi T 0 x = dl = rozwiązie dl A 0 = 0 i A = wyosi T x = x

22 Twierdzeie: Jeśli W 0 x, W x, jest ortogolym ukłdem wielomiów *,+ z wgą r(x), to: k< r x x k W x dx = 0 Dowód: fukcję x k rozwijmy w szereg wielomiów ortogolych r(x) k i<0 i x k = k i<0 i k W i (x) W i (x) W (x)dx = r x W i x W x dx i<0 <0 dl i Twierdzeie: Wielomiy ortogole W (x) spełiją zleżośd rekurecyją W : x x + W x + c W ; x = 0 Dowód: doiermy współczyiki tk, y wielomi W : x xw x ył stopi co jwyżej wtedy W : x xw x = k<0 α k W k x r x W l x, l =,, dx W : x xw x r x W l x dx = α k r x k<0 W k x W l x dx = 0, l =,,

23 r x W x xw l x dx = α l poiewż wielomi xw l x jest stopi l +, to r x czyli α l = 0 dl l <, stąd W : x xw x = α W x + α ; W ; x podstwmy = α i c = α ; r x W l x dx W x xw l x dx = 0 dl l < Wielomi Wzór rekurecyjy J p,q (x) + + p + q + + p + q J p,q : x * + p + q + (p q ) Γ + p + q x+j p,q Γ + p + x + + p + q ( + p + q + )J p,q ; (x) = 0 T (x) T : x xt x + T ; x = 0 P (x) + P : x + xp x + P ; x = 0 L s s (x) + L : x + x s L s s x + + s L ; x = 0 H (x) H : x xh x + H ; x = 0 Defiicj: Fukcją tworzącą dl ukłdu wielomiów ortogolych W (x) zywmy fukcję g(x, t) tką, że g x, t = C W (x)t <0

24 Np. Wyprowdź fukcję tworzącą dl wielomiów Czeyszew iech g x, t = <0 T (x)t orz T 0 x =, T x = x wielomiy Czeyszew spełiją relcję rekurecyją < T : T : x xt x + T ; x = 0 t < T : x t x < T x t + < T ; < x t = 0 x t = T x t + T 3 x t + = t T x t + T 3 x t 3 + = t < t T ; x t = t + T x t + T x t 3 + = tg(x, t) g x, t xt x g x, t + tg x, t = 0 g x, t = xt xt + t,g x, t xt - Alogiczie wyprowdzmy fukcje tworzące dl pozostłych wielomiów

25 Wielomi Fukcj tworząc J p,q (x) g x, t = <0 J p,q x t = ;p;q R ; t + R ;p ( + t + R) ;q, T (x) P (x) L s (x) H (x) gdzie R = xt + t Np. Wyprowdź wzór rekurecyjy dl T (x) xt = T x t <0 g x, t = T (x)t <0 g x, t = P x t = <0 g x, t = L s g x, t = <0 <0 xt xt + t = T (x)t <0 = x t = xt xt + t xt + t ;xt e ;t ( t) s:! H x t = e xt;t x T x t : + T (x)t : <0 <0

26 xt = T x t x T ; x t + T ; (x)t <0 < xt = T 0 x + T x P xt 0 x t + T x x T ; x + T ; x t < < T 0 x = T x = x T 0 x x = x T x = x T ; x T ; x, Wiosek: Jeżeli g(x, t) jest fukcją tworzącą dl ukłdu wielomiów W x, to W x = C! t g x, t t<0 W x = C πi z <R g(x, z) z : Dowód: C W x trktujemy jko współczyik w rozwiięciu Tylor fukcji g(x, t) Defiicj: Współczyikiem uormowi dl wielomiu ortogolego W (x) zywmy liczę = r x,w x - dx dz

27 Np. Olicz współczyik uormowi dl wielomiów Hermite. e xt;t =! H x t ; <0 e ;x :4xt;t dx = e t e ;(x;t) dx = ; k<0 <0 k<0 k! H k x t k! k! t:k <0! t u = x t du = dx e t e ;u du = ; t <0 π =! <0 π! =! <0 ; e ;x dx ; e ;x H x ; e ;x H x dx H k x dx współczyik uormowi! t! t π! = Alogiczie oliczmy współczyiki uormowi dl pozostłych wielomiów

28 Wielomi Współczyik uormowi J p,q (x) p:q: + p + q + Γ + p + Γ( + q + )! Γ( + p + q + ) T (x) π, 0 π, = 0 P (x) L s (x) H (x) + ( + s + ) Γ! π! Twierdzeie: wzór Rodrigues Jeżeli ukłd wielomiów ortogolych jest ukłdem fukcji włsych zgdiei S-L w postci α x W " x + β x W x = λw x, dl xε,, r x > 0, to Dowód: zuwżmy, że jeżeli f x k, to W x = k r(x) d dx,α x r x - = α x r x P k (x), gdzie P k (x) jest dowolym wielomiem stopi f x = α ; αr P k + α ; αr P k + α ; αr P k = = α ; α αr P k + α ; βr P k + α ; αr P k =

29 = α ; r α wiel.stop. P k + β wiel.stop. = α ; rq k: gdzie Q k: (x) jest wielomiem stopi k+ P k + α wiel.stop. P k wiel.stop. k; korzystjąc z tego spostrzeżei -krotie dl P 0 x = otrzymujemy d dx α x r x = α ; x r x Q x pokżemy, że wielomiy W (x) de wzorem Rodrigues są ortogole z wgą r(x) iech < m r x W m x W x dx = k W m x d dx,α x r x - dx = = k W m x r x Q x dx = 0 Np. Z pomocą wzoru Rodrigues wygeeruj 3 początkowe wielomiy Hermite wielomiy Hermite są określoe dl x, z wgą r x = e ;x i α x = H 0 x = K 0 e x e ;x = K 0 e ;x K 0 dx = π K 0 = H 0 x = ; H x = K e x e ;x = K e x x e ;x = K x x π = 4K e ;x x dx = ; xe ;x = 4K x e;x e;x + e ;x dx ; ; K = H x = x H x = K e x e ;x = K e x e ;x + 4x e ;x = K ( + x ) = 4K π

30 8 π = 4K e ;x ( 4x + 4x 4 )dx = ; = x3 3x xe ;x = 4K π 4 x3 e;x e;x ; K = H x = (x ) 4K π 4 π + 4 e;x x 4 dx ; e ;x x dx ; = 4K π = Wiosek: Wielomiy ortogole moż geerowd z ukłdu wielomiów, x, x, x 3, procedurą ortoormlizcji Grmm-Schmid zgodie z relcją gdzie δ,m = 0, m, = m r x W x W m x dx = δ m Np. Metodą ortoormlizcji wyzcz 3 pierwsze wielomiy Legedre wielomiy Legedre są określoe *-,+ z wgą r(x)=. P 0 = 0, 0 0 = P 0: 0 x dx = ; 0 dx = ; 0 0 = P 0 = P = x + x x + ; dx = ; + x ; = = 0 = 0 = P : x dx = ; x dx = ; 3 = P = x

31 P = x + x + c x x + x + c ; dx = 3 3 ; + x ; + c x ; = + c 3 = 0 c = 3 x x x + x + c ; dx = 4 4 ; + x 3 3 ; + c x ; = 3 = 0 = 0 = P : x dx = ;,x 4 3 x + -dx =, ; = P 3 = 3 x 9 Twierdzeie: Jeżeli W 0, W, jest ukłdem wielomiów ortogolych *,+ z wgą r x r x f(x) jest cłkowl z kwdrtem *,] i = r x f x W x dx, r x W x dx to szereg <0 W (x) jest zieży według średich do fukcji f x, gdzie zieżośd według średiej ozcz Dowód: lim ; r(x),f x k W k x k<0 - k<0 - dx = 0 iech D = r(x),f x α k W k x dx szukmy tkich wrtości α j, j =,,, y wyrżeie D yło jk jmiejsze D α = r(x),f x α j α k<0 k W k x - dx = j = r(x), f x α k W k x k<0 -W j (x)dx = > 0 orz

32 = r x f x W j x dx =, r(x)f x W j x dx α j D = 0 α j = j = czyli r(x)f x W j x dx k< α k r x W k x W j x dx = α j r x W j x dx- r x W j x dx k<0 k W k x jest jlepszym przyliżeiem fukcji f(x) według średiej. Twierdzeie: ierówośd Bessel r(x)f x dx k k, N, k<0 gdzie k jest współczyikiem uormowi wielomiu W k (x) Dowód: r(x),f x k W k x r(x)f x dx r(x)f x dx k<0 - dx 0 k r x f x k<0 W k x k<0 k k k k<0 k k dx + k j r x W k x W j x j< k< dx 0 Twierdzeie: Ukłd wielomiów ortogolych jest zupeły w przestrzei fukcji, które są cłkowle z kwdrtem po przemożeiu przez r(x).

33 Twierdzeie: rówośd Prsevl Dowód: Np. Rozwio f x r(x)f x dx = r(x)f x dx = = j ;j r(x)w j x <0 j<0 k<0 k k r(x) k W k (x) j W j (x) dx = k<0 W ;j x dx j<0 = = k = x w szereg wielomiów Czeyszew. r x =, x, x 0 0 ; x x T x dx = dl = 0 x dx = x<sit dl = dx<costdt x x dx π k<0 0 jeśli > π jeśli = 0 0 jeśli = π 4 jeśli = k k = cos tdt = sit + t π 0 0 π = π = cos t( si t )dt = si tdt 0 0 π π = = t 4 si4t π 0 = π 4

34 dl = 0 dl = 0 0 ;x dx = rcsix 0 = π π 0 ;x x dx = ( si t ) dt = (x + 4 si4x) 0 π = π = = 0 = 0 = > 0 x = T 0 x T (x)