nazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "nazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n"

Adrian Wojciech Wasilewski
6 lat temu
Przeglądów:

1 Rk II Temt 7 SZEREGI FUNKCYJNE SZEREG POTĘGOWY SZEREG TAYLORA Ciąg ukcyjy Szeregi ukcyje Zbieżść jedstj Szereg ptęgwy Prmień zbieżści szeregu ptęgweg Szereg Tylr Ciąg ukcyjy Niech U zcz iepusty pdzbiór zbiru R( U R) Ciągiem ukcyjym ( w zbirze U zywmy przyprządkwie kżdej liczbie turlej dkłdie jedej ukcji kreślej w U, ( ),,,, U Fukcję () zywmy -tym wyrzem ciągu ( Deiicj gricy ciągu ukcyjeg lim U /\ /\ \ / /\ ( ε > U δ > δ < ε ) Deiicj jedstjej zbieżści ciągu ukcyjeg ( d ukcji () U lim ( ) /\ \ / /\ /\ ( ( ) ( ) < ε ) J ε > δ U > δ (Symbl J pd zkiem rówści zcz zbieżść jedstją) Szereg ukcyjy Dy jest ciąg ukcyjy ( dl U Ciąg ( S wyrzch S ) ( ) zywmy szeregiem ukcyjym i ( zczmy symblem lub ) ( Szereg zywmy zbieżym w U jeżeli ciąg ( S jest zbieży w U U Jeżeli lim S S( ) Jeżeli zbirze, t ukcję S () zywmy sumą szeregu jest zbieży w U t zywmy bezwzględie zbieżym w tym U J Jeżeli lim S S( ) t zywmy jedstjie zbieżym w U

2 Twierdzeie (Kryterium jedstjej zbieżści Weierstrss) Jeżeli istieje m N tk, że dl kżdeg m, N i dl kżdeg U spełi jest ierówść ( ) rz szereg liczbwy (mjrt szeregu ukcyjeg) zbieży, wówczs szereg ukcyjy zbirze U Mż wykzć, że jeżeli szereg ukcyjy ukcji ( ) i jeg skłdiki ( ) jest jest zbieży jedstjie i bezwzględie w jest jedstjie zbieży w zbirze U d są ukcjmi ciągłymi w pukcie U, t sum szeregu jest ukcją ciągłą w pukcie Szereg ptęgwy Szereg ukcyjy pstci ( ) ( ) zywmy ciągiem współczyików Dl Liczbę r R { } tką, że prmieiem zbieżści szeregu ptęgweg Twierdzeie (wzór prmień zbieżści) zywmy szeregiem ptęgwym śrdku Ciąg jest zbieży dl szereg ptęgwy jest pstci < r, rzbieży dl > r, zywmy Jeżeli istieje lim g lub lim g, t prmień zbieżści r szeregu ptęgweg Szereg Tylr wyzczmy ze wzru, gdy g, r, gdy < g <, g, gdy g Zkłdmy, że ukcj C ( U ), gdzie U jest tczeiem puktu Szeregiem Tylr dl ukcji w tczeiu U zywmy szereg ptęgwy pstci ( ) ( )( ) ( ( )( ) ( )( ) ) ( )( ) ( )!!!!

3 Szereg Tylr jest zbieży d ukcji (ukcj jest sumą szeregu Tylr) dl tych lim R, gdzie R jest resztą we wzrze Tylr Szczególym wrtści, dl których ( ) przypdkiem szeregu Tylr jest szereg Mcluri (dl ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ' '' ( )! Przykłdy rzwiięci w szeregu Mcluri wybrych ukcji! R e!!! R R ( ) Przykłdy si! 5! cs!! 5 ( )! ( )! α α α α! dl ( ) Obliczyć prmień zbieżści szeregów ptęgwych ) Rzwiązie ; b) (!,, α,,, < α <,,, α > ) b) g lim lim g lim lim lim ( ) ( ) lim,więc r g 8, więc r 8 g Wyzczyć przedził zbieżści szeregu ptęgweg l

4 Rzwiązie Wyzczmy prmień zbieżści szeregu g lim lim l l lim l ( ) l( ), piewż l lim l ( ) l H gdyż lim lim lim l( ) Prmień zbieżści r, ztem szereg jest zbieży w przedzile twrtym ; rz g jest rzbieży w zbirze,, Zbdmy zbieżść szeregu dl rz Dl trzymujemy szereg liczbwy przemiey l l Piewż ciąg jest mlejący rz lim, więc l l pdstwie kryterium Leibiz trzymy szereg przemiey jest zbieży, stąd dy szereg jest zbieży dl Dl trzymujemy szereg liczbwy wyrzch ddtich l l Piewż > dl rz jest rzbieży, więc pdstwie kryterium l prówwczeg wiskujemy, że jest rzbieży Ostteczie dy szereg ptęgwy l jest zbieży w przedzile, Rzwiąć w szereg Mcluri ukcję Rzwiązie Krzystmy z rzwiięci w szereg Mcluri ukcji ( α ) : α α( α ) α( α )( α ) ( ) α!! dl < <

5 Piewż ( ), więc mmy ( ) 5 5 8!!!! Szereg jest zbieży dl < < Zdi Obliczyć prmień zbieżści szeregu: ) ; b) 6 ; Wyzczyć przedziły zbieżści szeregów ptęgwych: ) ; b) ( ) Rzwiąć w szereg Mcluri ukcje: ) ; b) Odpwiedzi ) ; b) ; ) (, > ; b), l l l ),!! ( )! R b) 5!!!! Lp Litertur Zbiór zdń z mtemtyki pd red R Krupińskieg Skrypt dl studetów AM w Szczeciie Wiicki K, Ldwski M; Wykłdy z mtemtyki Skrypt dl studetów AM w Szczeciie Lssk M Mtemtyk dl studiów techiczych Supremum, 6 Rzdził V 5, 6 VII 7 XXIII

Podobne dokumenty

7. Szeregi funkcyjne

7. Szeregi funkcyjne 7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych