Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona

Transkrypt

1 Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży A Jeśli szereg b jest zbieży, to szereg b też jest zbieży W obu przypdkch zk ldmy, że b C dl 0,, 2, Dowód Niech s b 0 + b + b b Zchodzi rówość + b b k b +k s + s + + s +2 s s +k s +k +k s + s s +2 s Jeśli s j M dl kżdej liczby j N i + s +k s +k +k + +k s +k s j 0, to j + b b k b +k 2M k +k + 2M +k 2M + 0, ztem spe lioy jest wruek Cuchy ego zbieżości szeregu b, co kończy dowód twierdzei w przypdku Abel Jeśli szereg b jest zbieży ε jest liczb dodti, to dl dostteczie dużych liczb turlych ierówość s +j s < ε zchodzi dl j, 2, wruek Cuchy ego Wobec tego + b b k b +k ε k +k + ε +k ε + Wyik st d, że szereg b spe li wruek Cuchy ego, jest wie c zbieży Uwg 52 Kryterium Dirichlet to rozszerzeie pozego już wcześiej kryterium Leibiz By przekoć sie o tym wystrczy przyj ć b Przyk ld 5 Dl kżdej liczby z tkiej, że z szereg z zbieży Wyik to z kryterium Dirichlet, bowiem ci g z z z, czyli ci g z z +z jest ogriczoy przez 2 +z ci g jest mlej cy i zbieży do 0 Dodć wypd, że jeśli z <, to szereg z jest zbieży bezwzgle die, wyik to tychmist z kryterium porówwczego: z z i zbieżości szeregu geometryczego o ilorzie miejszym iż jest

2 Defiicj 53 symbolu Newto Dl kżdej liczby zespoloej przyjmujemy 0 i + 2 kżdej liczby turlej > 0 dl Stwierdzeie 54 Dl kżdej liczby zespoloej i kżdej liczby turlej > 0 zchodz rówości + + i + + Dowód tego stwierdzei to ble sprwdzeie z defiicji dl osób, które potrfi dodwć u lmki, wie c pomijmy te rchuek Przyk ld 52 Szereg 0 jeśli z < Zchodzi bowiem wzór z jest zbieży bezwzgle die dl kżdej liczby C, +z + z + z z < Niech f 0 z, z jest terz ustlo liczb zespolo, której wrtość bezwzgle d jest miejsz iż Z twierdzei Cuchy ego o możeiu szeregów wyik, że prwdziwy jest wzór ffb 0 z 0 b z 0 j b j z 0 z f + b, +b bowiem b j j +b Wykżemy, że t rówość jest prwdziw dl dowolych liczb zespoloych, b Gdy i b s liczbmi turlymi wie kszymi od, to poiewż dl kżdej liczby rzeczywistej x zchodzi rówość +x +x b +x +b dl zespoloych też, le z tego ie skorzystmy, ztem wspó lczyiki po obu stroch przy x otrzyme po podiesieiu do pote g i wymożeiu s rówe Obie stroy rówości b j j +b moż potrktowć jko wielomiy zmieej, stopi, ich wrtości pokrywj sie w ieskończeie wielu puktch, ztem te wielomiy s rówe Wobec tego b j j +b dowolego C, o ile b jest liczb turl > Terz trktujemy obie stro jko wielomiy zmieej b, liczbe ustlmy Zów obie stroy s wielomimi stopi, których wrtości pokrywj sie w ieskończeie wielu puktch b >, turle i wobec tego pokrywj sie zwsze A terz przedstwimy dowód idukcyjy tej rówości, by uik ć korzysti z twierdzei o jedozczości wspó lczyików fukcji wielomiowej, którego jeszcze ie mieliśmy okzji wykzć Mmy +b 0 0 b 0 Z lóżmy, że twierdzeie zchodzi dl kżdej liczby turlej k dl dowolych liczb zespoloych, b Udowodimy rówość +b + b b + b + b 0 2

3 Skorzystmy w dowodzie z ltwej do udowodiei rówości j + c j+ c c j, któr zchodzi dl kżdej liczby turlej j i kżdej liczby zespoloej c Mmy wie c + +b + b j j + j b j + j j + + b 0 + b +b j +b + b +b +b b j j+ b + + j Dowód zost l zkończoy + j b j j j+ j + b j + j ++ b 0 + z lożeie idukcyje + j+ b + + j j+ j b + j f Przyk ld 53 Obliczymy grice 0 Ozcz to, że wykżemy, że jeśli 0 i 0, to istieje gric f i t gric ie zleży od wyboru ci gi Jeśli 0, to f 2 + z +! z z N tzw ch lopski rozum powi wie c zchodzić rówość f 0 z : Lz * 2! z Udowodimy te hipotetycz rzie rówość Jeśli < i >, to 2! z ! z 2 3! z z, 2 ztem! z z z k+ z k+ k+ St d wyik, że jeżeli ε > 0, to istieje tkie k >, że zchodzi ierówość przypomimy: z ie zmiei sie i z < : 2! z k+ St d i z tego, że ierówości k+ z + z k+ z < ε 3 2 0! dl 2, 3,, k, wyikj koleje * Autor przypuszcz, że w iektórych wsich iektórzy ch lopi rolicy mog ie mieć pogl du w tej kwestii, p z brku ziteresowi i Zuwżmy jeszcze, że k +k 0 k +k Pokzliśmy, że kolejość przechodzei do gricy może wp lywć wrtość gricy, w lśie z tkim problemem mmy terz do czyiei 3

4 z + 2 2! z < 2ε 3 + k 2 z < 2! z < ε, jeśli tylko liczb δ > 0 jest dostteczie m l i < δ Ozcz to, że f 0 z : Lz Z twierdzei o jedozczości zespoloej fukcji wyk ldiczej wyik, że rówość f e Lz m miejsce dl kżdej liczby zespoloej Podstwij c otrzymujemy e Lz f +z, ztem Lz l+z Jeśli liczb z jest rzeczywist, to mmy do czyiei z logrytmem dobrze zym, rzeczywistym Jeśli tomist liczb z rzeczywist ie jest, to jest to jed z ieskończeie wielu możliwych wrtości logrytmu zespoloego Otrzymliśmy wie c wzór l + z z z2 2 + z3 3 z4 4 + z orz 0 z f e Lz e l+z + z Z tych rówości wyik mie dzy iymi, że jeśli z <, to e l+z + z Dodć leży, że rówość e l+z +z jest twierdzeiem w przypdku rzeczywistej liczby z, jeżeli liczb z ie jest rzeczywist, to leży te rówość potrktowć jko defiicje pote gi o podstwie + z Ogólie przyjmujemy, że z w e w l z, gdzie l z ozcz dowol liczbe zespolo, dl której zchodzi wzór z e l z Kwestimi tymi ie be dziemy sie zbyt dok ldie zjmowć, bo ogó l używ jest pote g o podstwie e, ie bywj używe, le ieporówie rzdziej Udowodimy jeszcze, zwykle iedowodzoe I roku studiów, Twierdzeie 55 o wrtościch sumy szeregu z Jeśli z <, to zchodzi ierówość ImLz Im z Im z z2 2 + z3 3 z4 4 + < 2 Dowód Im Z lóżmy, że tk ie jest Wtedy istieje tk liczb z 0, że z 0 < orz z 0 2 Defiiujemy: 4

5 gs ImLsz 0 Im sz 0 2 sz sz sz Niech t if{τ > 0 : gτ 2 } Udowodimy, że t jest jmiejsz liczb dodti, dl której gt 2, co jest prwie oczywiste* Poiewż g ImLz 0 2, wie c t Niech r z 0 < Oczywiście r z 0 > 0 Jeśli z r i z 2 r, to Lz Lz 2 z z 2 2 z + z z2 + z z 2 + z z3 + z 2 z 2 + z z z z z 2 + r + r 2 + r 3 + r z z 2 Wobec tego gτ gτ 2 z 0 r τ τ 2 Udowodimy, że gt 2 Jeżeli gt > 2 i 0 < t τ < r z 0 gt 2, to gt gτ gt gτ z 0 r t τ < z 0 r r z 0 gt 2 gt 2, ztem gτ > 2, wbrew temu, że gτ < 2 dl τ < t Wobec tego gt 2 Podobie z ierówości gt < r 2 i ierówości 0 < τ t < z 0 2 gt wyik, że gτ < 2, co też jest iemożliwe Wobec tego ImLtz 0 gt 2 Wyik st d, że + tz 0 e Ltz 0 e ±i/2 e ReLtz 0 ±ie ReLtz 0, wie c Re + tz 0 0, to ieprwd, bo z ierówości tz 0 <, wyik, że Re + tz 0 > 0 Dowód zost l zkończoy Zkończymy opowieść o szeregch liczbowych twierdzeiem, które mówi, że jeśli wet iloczy Cuchy ego szeregów zbieżych ie jest zbieży, to i tk leży o im myśleć jko o ich iloczyie Twierdzeie 56 Cesàro Niech i b be d szeregmi zbieżymi Niech A , B b 0 + b + + b, c 0 b + b + + b 0, C c 0 + c + c 2 + c Zchodzi wtedy rówość: Dowód + C 0 + C + + C A B Mmy 0 b C 0 b b + b b 2 + b + 2 b b + b + b 0 0 b 0 + b + + b + b 0 + b + + b + + b 0 + b + b 0 0 i wobec tego 0 B + B + + B + B 0 * Dowód tylko dltego jest koieczy, że ie pojwi lo sie jeszcze twierdzeie Bolzo Cuchy ego o przyjmowiu wrtości pośredich przez fukcje ci g l 5

6 C 0 + C + + C 0 B B + B B 2 + B + 2 B B + B + + B + B 0 B B B 0 Niech ε > 0 Niech A B 0 A + B A + B 2 A B A 0, B b i iech M > 0 be dzie tk liczb, 0 0 że dl kżdej liczby turlej zchodz ierówości M, b 0 + b + + b M Niech ε be dzie tk liczb turl, że dl ε zchodz ierówości A A < ε 4M i B B < ε 4M Niech wreszcie m ε > ε be dzie liczb turl tk duż, że ierówość 8M 2 ε 2M ε <, czyli 2 ε + < ε 4, zchodzi dl m ε Wtedy dl dowolych umerów i, j zchodz ierówości A i B j AB A i B j + A B 2M 2 Jeśli zś i m ε orz j m ε, to A i B j AB A i A B j + A B j B < ε 4M M + M wyik, że + A 0B + A B + + A B + A B 0 AB ε 4M ε 2 St d zś + A 0B AB + A B AB + + A B AB + A B 0 AB + A 0B AB + A B AB + + A ε B ε + AB A ε B ε AB + A ε +B ε AB + + A ε B ε AB A ε +B ε AB + + A B AB + A B 0 AB < < ε + 2 M ε + ε 2 + ε + 2 M 2 < ε 4 + ε 2 + ε 4 ε Wykzliśmy wie c, że jeśli jest dostteczie duże > m ε, to to ozcz, że + C 0 + C + + C + C AB < ε, + C 0 + C + + C + C AB 6