Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym azywamy wyra»eie postaci zapisywae tak»e w formie a + a 2 + a 3 + + a +..., a, gdzie a R dla N. Liczb a azywamy -tym wyrazem, za± sum S = a + a 2 + + a = Deicja Mówimy,»e szereg liczbowy a k azywamy -t sum cz ±ciow szeregu. k= a jest zbie»y, gdy istieje wªa±ciwa graica ci gu sum cz ±ciowych {S } N. T graic azywamy sum szeregu i ozaczamy j tym samym symbolem, co szereg lim S = lim a k = a. k= Je±li lim S = (lub lim S = ), to mówimy,»e szereg a jest rozbie»y do (lub do, odpowiedio). Je±li graica sum cze±ciowych ie istieje, to mówimy,»e szereg rozbie»y. Reszt (dokªadiej -t reszt ) szeregu zbie»ego a azywamy liczb R = Uwaga Je»eli szereg ma wyrazy ieujeme, to jest zbie»y albo rozbie»y do. k=+ a jest a k. Przykªady Zale¹ sumy cz ±ciowe podaych szeregów i ast pie zbada ich zbie»o± : =2!, 2. + +. Twierdzeie Niech szeregi a i b b d zbie»e oraz iech α, β R. Wtedy (αa + βb ) = α a + β b. Fakt Szereg zbie»y z pogrupowaymi w dowoly sposób wyrazami ma t sam sum, co szereg wyj±ciowy.
Uwaga Nie wolo grupowa wyrazów szeregu rozbie»ego, gdy» mo»a otrzyma szeregi zbie»e o ró»ych sumach. Na przykªad ( ( ) + 2 + 2 2 ) ( + 2 3 + 3 + 3 3 3 ) + = 0, 3 ( 2 ) ( 2 2 + 2 3 3 ) ( 3 3 + 3 + ) 3... =, Nie jest dopuszczala zmiaa kolejo±ci sumowaia iesko«czeie wielu wyrazów awet dla szeregów zbie»ych, p. szereg 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 + = l 2, 0 a po przestawieiu iesko«czeie wielu skªadików otrzymamy + 3 2 + 5 + 7 4 + 9 + 6 + = 3 l 2. 2 Fakt Szereg geometryczy x = + x + x 2 + x 3 +... =0 jest zbie»y dla x < i rozbie»y dla x Poadto dla x < suma tego szeregu wyosi x = x. =0 Uwaga Przyjmujemy kowecj,»e dla x = 0 i = 0 mamy x = Waruek koieczy zbie»o±ci szeregu Je»eli szereg a jest zbie»y, to lim a = 0. Rówowa»ie powy»sze twierdzeie mo»a zapisa w postaci: Je»eli lim a 0 lub lim a ie istieje, to szereg a jest rozbie»y. Kryteria zbie»o±ci szeregów Kryterium caªkowe zbie»o±ci szeregów Niech fukcja f b dzie ieujema i ieros ca a przedziale [ 0, ), gdzie 0 N. Wtedy szereg f() i caªka iewªa±ciwa f(x) dx s jedocze±ie zbie»e albo jedocze±ie = 0 0 rozbie»e (do ). Uwaga Reszta szeregu, czyli R = f(k) speªia oszacowaie k=+ f(x) dx R f(x) dx. +
Przykªady Korzystaj c z kryterium caªkowego, zbada zbie»o± podaych szeregów. 2 + 4, =2 l 2. Fakt Szereg jest zbie»y dla p > i rozbie»y do dla p Kryterium porówawcze Niech 0 a b dla ka»dego 0. Wówczas: Je»eli szereg b jest zbie»y, to tak»e szereg 2. Je»eli szereg p = + + 2 + 3... a jest zbie»y. a jest rozbie»y, to tak»e szereg b jest rozbie»y. Uwaga Aalogicze twierdzeie jest prawdziwe dla szeregów o wyrazach iedodatich. Kryterium ilorazowe Niech a, b > 0 (lub a, b < 0) dla ka»dego 0 oraz iech a lim = k, gdzie k (0, ). b Wówczas szeregi a oraz b s jedocze±ie zbie»e lub jedocze±ie rozbie»e do ( ). Uwaga Zaªo»eie,»e wyrazy obu szeregów s dodatie (ujeme) jest istote. Przykªadowo, szereg ( ) ( ) a = jest zbie»y, szereg b = + ( ) jest rozbie»y, podczas gdy lim a b = Przykªady Korzystaj c z kryterium porówawczego lub ilorazowego, zbada zbie»o± podaych szeregów: 2 + 2 + 2, 3 + 3 + 2, 3. e 3. Kryterium d'alemberta Niech q = lim a + a. Wówczas, je»eli q < to szereg a jest zbie»y, a gdy q >, to szereg a jest rozbie»y.
Kryterium Cauchy'ego Niech q = lim a. Wówczas, je»eli q < to szereg a jest rozbie»y. a jest zbie»y, a gdy q >, to szereg Uwaga Je±li graica q =, to ai kryterium d'alemberata, ai kryterium Cauchy'ego ie rozstrzyga czy baday szereg jest zbie»y (czy te» rozbie»y). Przykªad Korzystaj c z kryterium d'alemberta lub z kryterium Cauchy'ego, zbada zbie»o± podaych szeregów!, π!, 3. 2 + 3 3 + 4, 4. arccos 2. Przykªad Wykaza zbie»o± odpowiediego szeregu, a ast pie a podstawie waruku koieczego zbie»o±ci szeregów uzasadi podae rówo±ci: 205 lim 3 = 0, 2. lim! =. Zbie»o± bezwzgl da i zbie»o± warukowa Deicja Mówimy,»e szereg a jest zbie»y bezwzgl die, gdy szereg Mówimy,»e szereg a jest zbie»y warukowo, gdy jest zbie»y, ale ie jest zbie»y bezwzgl die. a jest zbie»y. Twierdzeie Szereg zbie»y bezwzgl die jest zbie»y. Uwagi Je»eli szereg baday przy pomocy kryterium d'alemberta lub Cauchy'ego jest zbie»y, to kryteria te gwaratuj jedocze±ie jego zbie»o± bezwzgl d. 2. Szereg zbie»y bezwzgl die jest zbie»y do tej samej sumy przy dowolym przestawieiu kolejo±ci wyrazów. Twierdzeie Leibiza o szeregu aprzemieym Je±li ci g {b } N jest ieros cy od pewego 0 N oraz lim b = 0, to szereg aprzemiey jest zbie»y. ( ) + b = b b 2 + b 3 b 4 +...
Poadto, dla ka»dego 0 prawdziwe jest oszacowaie reszty szeregu R = S S = S ( ) k+ b k b +, gdzie S ozacza sum tego szeregu. k= Przykªad Korzystaj c z twierdzeia Leibiza, uzasadi zbie»o± podaych szeregów aprzemieych: ( ) tg π, 2. ( ) ( ) 2 +. =4