Zbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],

Transkrypt

1 x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \ D zawiera si w A \ D D \ B. Zadaie 3. Upro±ci waruki a A 1 B A B = B, b A \ C B = A B, c [A B C] \ A = A B \ C. Zadaie 4. Wyrazi poprzez teoriomogo±ciowe operacje a zbiorach A, B, C X ast puj ce zbiory a {x X : x A x B}, b {x X : x A x B}, c {x X : x A albo x B}, d {x X : x A x B x C}. Zadaie 5. Wykaza to»samo±ci a A B \ C = [A B \ C] A C, b A \ [B \ C \ D] = A \ B [A C \ D], c A 1 A A = A 1 \ A A \ A 3 A 1 \ A A, dla, d A 1 A A = [A 1 \ A A 3 A ] [A 1 \ A ] A, e A 1 A A = A 1 \ A A \ A 3 A 1 \ A A \ A 1 A 1 A A. Zadaie 6. Wykaza,»e a i I A i \ B i i I A i \ i I B i, lecz rówo± ie musi zachodzi. b i I A i B i i I A i i I B i. Poda przykªad, gdy zawieraie ie jest rówo±ci. Data: 8 wrze±ia 016 r. 1

2 FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zadaie 7. Niech k, l, N takie,»e + 1 = k + 1 oraz A 1,..., A dae zbiory. Wykaza,»e L = P je±li L = i 1<i <...i k A i1 A i A ik, P = j 1<j <...j l A j1 A j A jk. Zadaie 8. Wykaza,»e A B A C C B oraz,»e ast puj ce zdaia s rówowa»e: a skªadiki sumy po prawej stroie s rozª cze b ikluzja staje si rówo±ci, c A B C A. Zadaie 9. Dla daego ci gu zbiorów A 1, A,... okre±lmy lim if A = A k, lim sup A = N k A k. N k Wykaza,»e zawsze A lim if A lim sup A A. Przekoa si o tym dla [ 1 ] 4 15 A =, Zadaie 10. Wykaza,»e dla dowolych rodzi zbiorów A N, B N zachodz wzory a lim ifa B = lim if A lim if B, b lim ifa B lim if A lim if B, c lim supa B lim sup A lim sup B, d lim supa B = lim sup A lim sup B. Zadaie 11. Opisa i aszkicowa a pªaszczy¹ie zbiór X = { x, y R : x + y 3x + 4y 5 } N Zadaie 1. Zale¹ zbiór Y = A t, gdzie A t = { x, y : x + y tx t }. t [0,+ Zadaie 13. Naszkicowa zbiory a { Z x R : x 1 + x x 1 x } b { N x R : x 1 + x 3x 1 + 4x 0 }, c { } N x R : x x 1, Zadaie 14. Zale¹ zbiory t [0,1] A t i t [0,1]A t je±li A t = [t, t + 1] [ t, t + 1].

3 FAQ ANALIZA R c ZADANIA 3 Zadaie 15 zadaie Lewisa Carolla. W pewej bitwie co ajmiej 80% walcz - cych straciªo r k, co ajmiej 85% walcz cych straciªo og, co ajmiej 70% straciªo oko, co ajmiej 75% straciªo ucho. Oszacowa liczb tych uczestików bitwy, którzy odie±li wszystkie cztery obra»eia. Zadaie 16 Ilustracja do twierdzeia Catora-Bersteia-Schroedera. : Niech X = Y = {x =0, x i {0, 1}}. Niech tak»e ϕ : X Y, φx = 0, x 1, x,.... Przyjmuj c ψ = ϕ skostruowa bijekcj jak w dowodzie twierdzeia CBS. Relacje, odwzorowaia Zadaie 17. Niech R b dzie dowol relacj w zbiorze { 1, 0, 1} Okre±lmy fukcj d R : R R R wzorem { x y gdy sgx, sgy R d R x, y := x + y w przeciwym przypadku gdzie x := x 1 + x. Wykaza,»e: a d R x, y = 0 x = y R jest zwrota, b d R jest symetrycza, tz. d R x, y = d R y, x R jest symetrycza, c d R speªia ierówo± trójk ta R jest przechodia. Zadaie 18. Zbada ijektywo± i surjektywo± odwzorowaia, opisa jego zbiór warto±ci i poziomice: f : R R 1 t, ft = t 1+t, 1+t, g : R \ {0, 0} R, gx, y = x x +y, h : Z Z, hk = k 3k + 1. Zadaie 19. Odwzorowaie f : X X speªia waruek x X N f x = x. Udowodi,»e odwzorowaie f jest bijekcj. Symbol f ozacza tu krote zªo»eie odwzorowaia f ze sob, tz f f f }{{} Zadaie 0. Poda przykªad bijekcji mi dzy zbiorami X i Y je±li a X = [0, 1[, Y = [0, 1], b X =]0, 1[, Y = [, ] \ { 1, }, c X = N N, Y = N. Zadaie 1. Zale¹ ajmiejsz relacj rówowa»o±ci w {a, b, c, d} zawieraj c a, c oraz a, d.

4 4 FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zadaie. W N N wprowadzamy relacj, m m, m + = m +. Sprawdzi,»e jest to relacja rówowa»o±ci. W przestrzei N N/ klas abstrakcji wprowadzi dziaªaia dodawaia i mo»eia tak, aby zbiór te byª izomorczy z Z. Zadaie 3. Podobie skostruowa mo»a Q, wprowadzaj c stosow relacj w Z N. Zdeiowa t relacj. Zadaie 4. W zbiorze Q deiujemy relacj R = {x, y : N 10 x y Z}. Sprawdzi,»e jest to relacja rówowa»o±ci. Opisa klasy rówowa»o±ci. Zadaie 5. Wykaza,»e odwzorowaie f : R + R + R + R, fx, y = x + y, 1 x 1 y jest bijekcj. Wyliczy f 1. Idukcja Zasada idukcji matematyczej Zasada idukcji wyra»a jed z podstawowych wªaso±ci zbioru liczb aturalych N. Jest oa b d¹ aksjomatem, b d¹ twierdzeiem, zale»ie od tego jak deioway jest zbiór N. A oto podstawowe sformuªowaie zasady idukcji ZI: Je»eli T jest podzbiorem N speªiaj cym waruki 1 1 T, N T +1 T, to T jest caªym zbiorem liczb aturalych, tz T = N. ZI ozacza,»e ka»d liczb atural mo»a osi g wychodz c od 1 i poruszaj c si odpowiedio dªugo w prawo z krokiem rówym 1. Dokªadiej: N jest ajmiejszym zbiorem liczb, który zawiera 1 i wraz z ka»dym elemetem zawiera jego ast pik + 1 Zadaie 6. Udowodi,»e dla wszystkich N = 1 Zadaie 7. Niech x b dzie ci giem okre±loym ast puj cymi warukami: Wykaza,»e x 1 = 0, x +1 = N : 5 4 x dla N. x = 5 x 4 x.

5 FAQ ANALIZA R c ZADANIA 5 Rozwi zaie Idukcja: Nale»y sprawdzi,»e x = gx x + = gx +1 ; je±li ozaczymy fx := 5 5 x 4 x, gx := 4 x, to ostatia rówo± ozacza f fx = g fx, wystarczy wi c sprawdzi rówo± f f gx = g fx. Šatwy rachuek pokazuje,»e oba te wyra»eia s rówe 5x 40x x 4x x+4, gdy» fx = 11 4x. Uwaga. x 1 = 0, x = 5 4, x 3 = 0 11, x 4 = 55 4, x 5 = 10 41, x 6 = ; ci g x jest rozbie»y! Zadaie 8. Dowie±,»e je±li x 1 jest ci giem, okre±loym rekurecyjie: x 1 = 1, to x m+ = +xmx x m+x dla ka»dej pary m, N. x +1 = + x 1 + x dla N, Rozwi zaie: Ustalmy m N i zastosujmy idukcj wzgl dem N: Dla = 1 wzór ma posta W : x m+ = + x mx x m + x x m+1 = + x m, 1 + x m wi c jest prawdziwy zgodie ze wzorem rekurecyjym. W W +1 : Wyka»emy implikacj wskutek W, wi c x m++1 = + x m+ = + +xmx x m+x 1 + x m xmx x m+x = x m + x + + x m x x m + x + + x m x + x m x +1 x m + x +1 = + x +x m 1+x = 1 + x + x m + x x m + +x x 1+x m 1 + x + + x = x m++1. Zadaie 9. Dowie±,»e je±li x 1 jest ci giem, okre±loym rekurecyjie: x 1 = 1, to x = +x x dla ka»dego N. x +1 = + x 1 + x dla N, Rozwi zaie: Idukcja: Dla = 1 wzór x = +x 1 x 1 jest prawdziwy, bo x 1 = 1, x = 3 ; je±li za± jest prawdziwy dla pewego N, to x +1 = x + = + x +1 = + +x 1+x = 4 + 3x 1 + x x 3 + x 1+x = x x 3 + +x x = 3x + 8x + 6 x + 6x + 4,

6 6 FAQ ANALIZA R c ZADANIA z drugiej za± stroy + x +1 x +1 = + +x 1+x +x 1+x = 1 + x + + x 1 + x + x = 3x + 8x + 6 x + 6x + 4, czyli x +1 = +x +1 x +1. Zadaie 30. Dowie±,»e je±li x 1 jest ci giem, okre±loym rekurecyjie: x 1 = 0, x +1 = to x = 1+x 1+x dla ka»dego N. 1 + x dla N, Rozwi zaie: Sprawdzeie kroku idukcyjego: Je±li x = 1+x 1+x, to x + = = + x = 4 + x = 41 + x x +x 5 + x 51 + x x, z drugiej za± stroy sk d wida,»e x +1 = 1+x +1 1+x x+1 = x 1 + x = + x + 1 +x + x 3 + x, Uwaga: Mo»a dowie± p. idukcyjie,»e x = a 1 b 1 a b, gdzie a := 1 +, b := 1 ; wykorzystaie tego wzoru do dowodu tezy zadaia jest mo»liwe, ale do± uci»liwe. Zadaie 31. Na pªaszczy¹ie le»y kóª o jedakowych promieiach i rozª czych w trzach. Wykaza,»e moza tak pokolorowa te koªa 4 barwami, by»ada para kóª styczych ie byªa w jedym kolorze. Liczby rzeczywiste. Zadaie 3. Zbada ograiczoo± i ewetualie wyzaczy kresy zbiorów m X = { + m, m, N}, Y = { E 1, N}, gdzie Ex ozacza ajwi ksz liczb caªkowit ie wi ksz od x. Zadaie 33. Udowodi ierówo± Beroulliego N x x 1 + x.

7 FAQ ANALIZA R c ZADANIA 7 Zadaie 34. Dla a 1, a,..., a > 0 deiujemy Udowodi ierówo±ci Aa 1, a,..., a = a 1 + a + + a, Ga 1, a,..., a = a 1 a a, Ha 1, a,..., a = 1 a a a Aa 1, a,..., a Ga 1, a,..., a Ha 1, a,..., a. Zadaie 35 Nierówo± Jesea. Fukcj f : I R azywamy wypukª a I, je±li dla dowolych a, b I oraz q [0, 1] zachodzi fqa + 1 qb qfa + 1 qfb. Udowodi,»e je±li f jest wypukªa, to dla a 1, a,..., a I oraz q 1, q,..., q [0, 1] takich,»e q 1 + q + + q = 1 zachodzi ierówo± fq 1 a 1 + q a + + q a q 1 fa 1 + q fa + + q fa. Zadaie 36. Dowie±,»e liczby Fiboacciego, zdeiowae rekurecj F 0 = F 1 = 1, F +1 = F + F 1, mog by otrzymae ze wzorów k F =. k Zwró my uwag,»e zgodie z deicj m mm 1... m k + 1 :=, dla k Z + m Z. k k! Skªadiki k k zikaj dla < k k=0 Rozwi zaie: Wida,»e dla = 0 i = 1 wzory s prawdziwe. Je±li 1 oraz F = k k=0 k i F 1 = 1 1 k k=0 k, to przemiaowuj c k a k 1 mamy F 1 = k k=1 k 1, wi c z elemetarej wªaso±ci m k + m k 1 = m+1 k dla m = k dostajemy F +1 = F + F 1 = k k=1 k =: R. Poiewa» 0 = 1 = +1 0 oraz +1 k k = 0 dla k = + 1, wi c mo»emy R zapisa jako. +1 k=0 +1 k k Zadaie 37. Zaªó»my,»e dla pewego a R, a 3 + a i a + a s wymiere. Udowodi,»e a jest wymiere.