Konkurs Uczniowskich Prac z Matematyki. Urok zbioru µ. Michaª Mi±kiewicz. Opiekun pracy: dr Jerzy Bednarczuk
|
|
- Paweł Grzybowski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kokurs Ucziowskich Prac z Matematyki Urok zbioru µ Michaª Mi±kiewicz Opieku pracy: dr Jerzy Bedarczuk Warszawa 010
2 Streszczeie Tematem mojej pracy s pukty takie,»e suma kwadratów odlegªo±ci puktów z wcze±iej ustaloego zbioru od prostej przechodz cej przez ów pukt jest iezale»a od wyboru prostej. Dowodz mi dzy iymi,»e zawsze istieje dokªadie jede lub dwa takie pukty w pierwszym przypadku jest to ±rodek masy puktów obraego zbioru, w drugim pukty symetrycze wzgl dem ±rodka masy. Prezetuj przykªady zastosowaia tego twierdzeia i rozwa»am wybrae przypadki, w szczególo±ci dla zbioru wierzchoªków trójk ta. 1 Deicja i proste wªaso±ci zbioru µ Deicja. Niech A = {A 1,..., A } b dzie zbiorem puktów a pªaszczy¹ie. We¹my pukt X taki,»e dla ka»dej prostej k przechodz cej przez X suma kwadratów odlegªo±ci puktów A 1,..., A od k jest taka sama. Zbiór µ(a) deiujemy jako zbiór wszystkich puktów X speªiaj cych powy»szy waruek. Z deicji wyikaj atychmiast ast puj ce wioski: Fakt 1. Suma kwadratów odlegªo±ci jest taka sama dla ka»dej prostej przechodz cej przez ka»dy z puktów zbioru µ(a). Dowód. Dla dowodu wystarczy pokaza,»e rozwa»aa suma ma t sam warto± dla dwóch puktów X, Y µ(a) jest to oczywiste, je±li jako prost k z deicji przyjmiemy prost XY. Fakt. Je±li A B =, X µ(a) i X µ(b), to X µ(a B). Dowód. Wystarczy zauwa»y,»e dla dowolej prostej k przechodz cej przez X zachodzi P k = P k + P k P A P B P A B 1
3 Zadaie 1. (I etap IV OMG) Pukt S jest ±rodkiem kwadratu ABCD. Wyka»,»e S µ({a, B, C, D}). Dowód. Ze wzgl du a symetri wzgl dem S (lub po uwzgl dieiu faktu ) stwierdzamy,»e wystarczy wykaza, i» S µ({a, B}). W tym celu we¹my prost k przechodz c przez S. Niech A i B b d rzutami prostok tymi odpowiedio A i B a k. Z prostego rachuku a k tach i rówo±ci AS = BS otrzymujemy,»e AA S SB B (poi»sze rysuki ilustruj dwa mo»liwe przypadki). St d i z twierdzeia Pitagorasa dla trójk ta AA S mamy,»e rozwa»aa suma to: AA + BB = AA + SA = AS Jest zatem iezale»a od wyboru prostej k, co ko«czy dowód. Otrzymay w powy»szym zadaiu wyik (S µ({a, B})) razem z faktem prowadzi do ast puj cego wiosku: Fakt 3. Niech A 1,..., A b d obrazami puktów odpowiedio A 1,..., A w obrocie o 90 wokóª puktu X. Wówczas X µ({a 1,..., A, A 1,..., A }).
4 Twierdzeie o zbiorze µ Mo»a zada pytaie o liczo± (w szczególo±ci o iepusto± ) zbioru µ(a) w ogólym przypadku, jak rówie» o poªo»eie puktów tego zbioru wzgl dem puktów zbioru A. Odpowiedzi a te pytaia dostarcza poi»sze twierdzeie. Twierdzeie 1. Niech A = {A 1,..., A } b dzie zbiorem puktów a pªaszczy¹ie, a S ±rodkiem masy tych puktów. Wówczas µ(a) = {S} lub do zbioru µ(a) ale» dokªadie dwa pukty symetrycze wzgl dem S. Dowód. Ozaczmy wspóªrz de puktów A 1,..., A odpowiedio przez (x 1, y 1 ),..., (x, y ). Na pocz tek zbadajmy, czy (0, 0) µ(a). We¹my dowol prost k przechodz c przez pukt (0, 0) jej rówaie jest postaci x si z + y cos z = 0 dla pewego parametru z. Rozwa»aa suma (ozaczmy j przez f(z)) wyosi 1 : f(z) = A i k = ( ) x i si z + y i cos z = (x i si z + y i cos z) = si z + cos z = (x i si z + y i cos z + x i y i si z) = (si z) x i + (cos z) y i + (si z) x i y i Zauwa»my,»e suma ta jest taka sama dla ka»dej prostej k wtedy i tylko wtedy gdy f (z) jest fukcj stale rów 0. Tymczasem: f (z) = (si z) ( x i y i ) + (cos z) x i y i Šatwo si przekoa (kªad c p. z = 0 i z = π 4 ),»e f 0 wtedy i tylko wtedy gdy: x i = y i i xi y i = 0 (1) Aby zbada, czy pukt (a, b) ale»y do µ(a), mo»emy przesu zbiór A o wektor [a, b] i sprawdzi, czy jego obraz speªia waruek odpowiadaj cy warukowi (1). Poiewa» wspóªrz de obrazów puktów A 1,..., A to (x 1 a, y 1 b),..., (x a, y b), wi c mo»emy stwierdzi,»e (a, b) µ(a) wtedy i tylko wtedy gdy: (xi a) = (y i b) i (xi a)(y i b) = 0 () W dalszej cz ±ci dowodu skupimy si a rozwi zaiu tego ukªadu rówa«. 1 Wszystkie sumy ideksuj domy±lie od i = 1 do. 3
5 Dygresja. Je±li w -wymiarowej przestrzei ozaczymy O = (0,..., 0), X = (x 1,..., x ), Y = (y 1,..., y ), u = [1,..., 1], to (x 1 a,..., x a) = X a u jest parametryczym rówaiem prostej przechodz cej przez X i rówolegªej do u; aalogiczie dla (y 1 b,..., y b). Ozaczmy te proste odpowiedio przez k i l s oe rówolegªe. Dodatkowo ozaczmy pukty A = X a u, B = Y b u. Geometrycz iterpretacj waruku () jest wówczas OA = OB i OA OB = 0. Poiewa» dwie proste rówolegªe i pukt wyzaczaj przestrze«co ajwy»ej trójwymiarow, wi c zalezieie puktu (a, b) speªiaj cego () jest rówowa»e rozwi zaiu ast puj cego problemu: W przestrzei trójwymiarowej day jest pukt O oraz proste rówolegªe k i l. Zale¹ pukty A k i B l takie,»e OA = OB i OA OB. Dla uproszczeia dalszych oblicze«przyjmijmy ukªad wspóªrz dych o pocz tku w ±rodku masy puktów A 1,..., A, czyli taki, w którym x i = 0 = y i. Przez proste przeksztaªceia otrzymujemy,»e waruek () jest rówowa»y ukªadowi rówa«: Rozwa»my teraz trzy przypadki: 1. Para (a, b) = (0, 0) speªia (3). a + 1 x i = b + 1 y i (3) ab = 1 xi y i Zachodzi wtedy x i y i = 0 i x i = yi, czyli ukªad rówa«przyjmuje posta : a = b Oczywi±cie ie ma o iego rozwi zaia.. Zachodzi x i y i = 0, ale (0, 0) ie speªia (3). ab = 0 Gdyby zachodziªa rówo± x i = yi, to wbrew zaªo»eiu (0, 0) byªoby rozwi zaiem ukªadu (3). Rozwa»my wi c przypadek, gdy x i > yi. W takim wypadku ªatwo wykaza,»e ukªad (3) ma dwa rozwi zaia (0, b 0 ) i (0, b 0 ), gdzie b 0 = 1 ( x i yi ). W przypadku przeciwej ierówo±ci jest aalogiczie: rozwi zaiami s (a 0, 0) i ( a 0, 0), gdzie a 0 = 1 ( y i x i ). 3. Zachodzi x i y i 0. Wówczas mo» c pierwsze rówaie przez a i uwzgl diaj c drugie, otrzymujemy rówaie dwukwadratowe: a 4 + a 1 ( x i ) ( 1 ) yi xi y i = 0 4
6 Rozpatrywae jako rówaie kwadratowe wzgl dem a ma wyró»ik: = 1 ( x i y i ) + 4 ( 1 xi y i ) > 0 Ma zatem dwa rozwi zaia a a, przy czym ze wzoru Viete'a ich iloczy wyosi ( 1 xi y i ) < 0, zatem jedo z rozwi za«jest dodatie i jedo ujeme. Rówaie a a ma wi c dokªadie dwa rozwi zaia a 0 i a 0 (a 0 0). Przyjmijmy b 0 = xiy i a 0. Pary (a 0, b 0 ) i ( a 0, b 0 ) w oczywisty sposób speªiaj drug rówo± ukªadu (3). Po podzieleiu rówaia dwukwadratowego przez a 0 otrzymujemy,»e speªiaj tak»e pierwsz. Ozacza to,»e s oe wszystkimi rozwi zaiami ukªadu (3). W ka»dym z przypadków teza twierdzeia jest speªioa, co ko«czy dowód. Uwaga. W momecie, gdy dobrali±my ukªad wspóªrz dych o pocz tku w ±rodku masy, mogli±my dodatkowo wzi taki, w którym suma x i y i jest rówa 0. Wyika to z faktu,»e je±li w pewym ukªadzie suma ta jest rówa M, to w ukªadzie obrócoym o 90 jest rówa M. Z ci gªo±ci zmiay tej sumy przy obracaiu ukªadu otrzymujemy,»e istieje ukªad o sumie rówej 0. Pozwoliªoby to a ograiczeie si do rozwa»eia dwóch pierwszych przypadków, jedak formalizacja powy»szej obserwacji byªaby uci»liwa. Dowiedziemy teraz wa»ego wiosku, który wyika z waruku (1) i zaczie upraszcza sprawdzaie, czy day pukt ale»y do µ(a). Mówi o,»e zamiast zgodie z deicj sprawdzi rówo± sum dla wszystkich mo»liwych prostych, wystarczy sprawdzi dla trzech. Wiosek. Pukt X ale»y do zbioru µ(a) wtedy i tylko wtedy gdy dla trzech parami ró»ych prostych k przechodz cych przez X suma kwadratów odlegªo±ci puktów A 1,..., A od k jest taka sama. Dowód. Wyikaie w jed stro z deicji µ(a) jest oczywiste. Zaªó»my wi c,»e suma kwadratów odlegªo±ci jest taka sama dla trzech ró»ych prostych k przechodz cych przez X. We¹my ukªad wspóªrz dych, w którym X = (0, 0) i o± x pokrywa si z jed z tych prostych. Mamy wówczas rówo± f(0) = f(z 1 ) = f(z ) dla pewych ró»ych z 1, z z przedziaªu (0, π) (do takiego mo»emy si ograiczy ). Rówo± f(0) = f(z 1 ) po u»yciu jedyki trygoometryczej i podzieleiu stroami przez si z 1 (z 1 (0, π)) daje: ( (si z 1 ) y i ) x i = (cos z 1 ) x i y i Zauwa»my,»e je±li x i y i = 0, to rówie» y i x i = 0, co dowodzi tezy (waruek (1)). 5
7 Przypu± my wi c,»e x i y i 0. Wtedy zachodzi: y ctg z 1 = i x i x i y i Z aalogiczej rówo±ci dla z wyika,»e ctg z 1 = ctg z, co razem z ró»owarto±ciowo±ci fukcji ctg z w przedziale (0, π) daje z 1 = z. Otrzymaa sprzeczo± z warukiem z 1 z dowodzi prawdziwo±ci tezy. Uwaga. Šatwo zauwa»y,»e postawioego waruku ie da si poprawi ; iaczej mówi c, ie jest prawdziwe aalogicze twierdzeie dla dwóch prostych. Na przykªad je±li pukt C le»y a dwusieczej k ta AOB, to kwadraty odlegªo±ci puktu C od prostych OA i OB s takie same, ale oczywi±cie pukt O ie ale»y do µ({c}) wystarczy wzi prost OC. 3 Przykªady u»ycia tego twierdzeia Twierdzeie 1 daje wiele arz dzi do badaia zbioru µ. Poi»sze przykªady pokazuj, w jaki sposób mo»a z ich korzysta. Przykªad 1. Zbadajmy zbiór µ({a, B, C, D}), gdzie ABCD jest rombem o k tach 60 i 10, czyli skªadaj cym si z dwóch trójk tów rówoboczych. Przyjmijmy AC > BD. Sposób I. Stosuek dªugo±ci przek tych tego rombu wyosi 3. Mo»emy wi c obra ukªad wspóªrz dych, w którym: A = ( 3, 0), B = (0, 1), C = ( 3, 0), D = (0, 1) Wówczas ±rodek masy rombu to pukt (0, 0). Rozwi»my odpowiedik ukªadu rówa«(3) z twierdzeia 1. Dla powy»szych daych ma o posta : a + 3 = b + 1 i ab = 0 Oczywi±cie rozwi zaiami s pary (0, 1) i (0, 1). Otrzymali±my zatem,»e µ({a, B, C, D}) = {B, D}. 6
8 Sposób II. Przez h ozaczmy wysoko± trójk ta rówoboczego ABD. Wówczas odlegªo±ci d(a, BD), d(a, BC), d(c, BD), d(c, AB), d(d, AB), d(d, BC) s rówe h. W zwi zku z tym sumy kwadratów odlegªo±ci wierzchoªków rombu od prostych BA, BC, BD s rówe h. Zgodie z wioskiem z twierdzeia 1 ozacza to,»e B µ({a, B, C, D}). Po uwzgl dieiu tezy twierdzeia 1 otrzymujemy tak jak poprzedio µ({a, B, C, D}) = {B, D}. Przykªad. Tym razem we¹my trójk t prostok ty róworamiey ABC z k tem prostym przy wierzchoªku B i zastaówmy si ad µ({a, B, C}). Sposób I. Przyjmijmy A = (0, 1), B = (0, 0), C = (1, 0). Rozwi»my odpowiedik ukªadu rówa«() z twierdzeia 1. Po podstawieiu daych i uproszczeiu jest to: a = b i 3ab = a + b Rozwi zuj c, otrzymujemy pukty (0, 0) i ( 3, 3 ). Sposób II. Niech D b dzie puktem takim,»e ABCD jest kwadratem. Niech S i E b d puktami a prostej AD takimi,»e AS = SE = ED, czyli dziel cymi odciek AD a trzy przystaj ce. Z zadaia 1 wiemy,»e B µ({a, B, C}). S jest ±rodkiem ci»ko±ci trójk ta ABC oraz pukty B i E s symetrycze wzgl dem S, wi c z twierdzeia 1 µ({a, B, C}) = {B, E}. 7
9 Twierdzeie 1 pozwala tak»e a ªatwe uogólieie tezy zadaia 1 a dowoly wielok t foremy. Poi»sze zadaie z pewo±ci posiada wiele rozwi za«, ale te przytoczoe s wyj tkowo proste. Zadaie. Zbiór A = {A 1, A,..., A } jest zbiorem wierzchoªków -k ta foremego o ±rodku S. Wykaza,»e S µ(a). Dowód. Przypu± my,»e teza zadaia ie jest prawdziwa. Wówczas istieje pukt X S ale» cy do µ(a). Ka»dy obrót wokóª S o wielokroto± k ta π przeksztaªca zbiór A a siebie, a wi c pukt X przeksztaªca a pukt ale» cy do µ(a). Poiewa» przez takie obroty otrzymujemy parami ró»ych puktów, wi c zbiór µ(a) jest co ajmiej -elemetowy ( 3). Jedocze±ie zgodie z twierdzeiem 1 jest co ajwy»ej dwuelemetowy, co prowadzi do sprzeczo±ci. Ie rozwi zaie. Ze wzgl du a wspomia symetri suma kwadratów odlegªo±ci puktów zbioru A od prostych SA 1, SA, SA 3 jest taka sama. Dla wielok tów foremych iych i» kwadrat s to proste parami ró»e, co a mocy wiosku z twierdzeia 1 daje tez. 8
10 4 Zbiór µ dla wierzchoªków trójk ta Na podstawie rozwa»a«w twierdzeiu 1 mo»a podejrzewa,»e przypadek, gdy ±rodek masy zbioru A ale»y do µ(a), jest do± szczególy. Zbadamy to a przykªadzie trójk ta. Wykazali±my ju»,»e wspomiay przypadek zachodzi dla trójk ta rówoboczego okazuje si,»e tylko dla iego. Twierdzeie. Niech S b dzie ±rodkiem ci»ko±ci trójk ta ABC. Wówczas S µ({a, B, C}) wtedy i tylko wtedy gdy trójk t ABC jest rówoboczy. Dowód. Dowód w jed stro zostaª ju» przeprowadzoy w ramach zadaia. Przeprowad¹my wi c rozumowaie w drug stro zaªó»my,»e S µ({a, B, C}). Ozaczmy przez A i B rzuty prostok te puktów A i B a ±rodkowe BL i AK odpowiedio. Oczywi±cie d(c, BL) = AA i d(c, AK) = BB. Poiewa» S µ({a, B, C}), wi c sumy kwadratów odlegªo±ci puktów A, B, C od prostych AK i BL s rówe. Ozacza to,»e AA = BB, czyli AA = BB. Razem z rówo±ciami k tów AA S = 90 = BB S i ASA = BSB (k ty wierzchoªkowe) ozacza to przystawaie trójk tów AA S i BB S. St d z kolei wyika rówo± AS = BS i w kosekwecji KS = LS KS = = BS LS ). Te dwie rówo±ci razem ze wspomia wcze±iej rówo±ci k tów ASL i BSK daj ( AS ASL BSK. Z tego przystawaia wyika rówo± AL = BK, czyli AC = BC. tezy. Aalogiczie otrzymujemy rówo± AB = BC. Trójk t ABC ma zatem boki rówej dªugo±ci, co dowodzi W ast pym pukcie tak»e w ogólym przypadku. 9
11 Skoro dla trójk ta ierówoboczego µ({a, B, C}) zawsze jest dwuelemetowy, to warto zbada mo»liwe geometrycze powi zaia puktów tego zbioru z trójk tem ABC. Poi»sze twierdzeie dowodzi iteresuj cego zwi zku z ogiskami pewej elipsy wpisaej w te trójk t. Twierdzeie 3. Niech S b dzie ±rodkiem ci»ko±ci trójk ta ierówoboczego ABC, µ({a, B, C}) = {P, Q}, poadto iech F i G b d ogiskami elipsy o ±rodku S wpisaej w trójk t ABC. Wówczas czworok t F QGP jest rombem o stosuku przek tych P Q F G =. Dowód. Zauwa»my ajpierw,»e dla dowolego trójk ta ABC istieje elipsa we«wpisaa o ±rodku w ±rodku ci»ko±ci trójk ta. W tym celu we¹my dowoly trójk t rówoboczy A B C i przeksztaªceie aicze przeksztaªcaj ce A B C a ABC. Przeprowadza oo okr g wpisay w trójk t A B C a elips wpisa w trójk t ABC. Przeksztaªceia aicze zachowuj ±rodek elipsy i ±rodek ci»ko±ci trójk ta, wi c ±rodkiem otrzymaej elipsy jest ±rodek ci»ko±ci trójk ta ABC. Poadto gdy trójk t ABC ie jest rówoboczy, elipsa ta ie jest okr giem. Mo»a rówie» ªatwo wykaza,»e istieje dokªadie jeda taka elipsa. Niech e b dzie t elips, a k symetral odcika F G. Przez powiowactwo prostok te g o osi k i odpowiediej skali (z przedziaªu (0, 1)) mo»emy przeksztaªci elips e a okr g ozaczmy go o. Niech A B C b dzie obrazem trójk ta ABC przy tym powiowactwie. Okr g o jest wpisay w A B C. Oczywi±cie S k, wi c obrazem puktu S jest o sam. W zwi zku z tym pukt S jest jedocze±ie ±rodkiem ci»ko±ci trójk ta A B C (przeksztaªceia aicze zachowuj ±rodek ci»ko±ci) oraz ±rodkiem okr gu we«wpisaego (zachowuj te» ±rodek elipsy), wi c trójk t A B C jest rówoboczy. Przyjmijmy ukªad wspóªrz dych, w którym o± x pokrywa si z prost k, S = (0, 0) oraz okr g o ma promie«1. Ozaczmy A = (x 1, y 1 ), B = (x, y ), C = (x 3, y 3 ). Z prostych rachuków wyika,»e boki 10
12 trójk ta A B C s rówe 3. Z tezy zadaia dla trójk ta rówoboczego wyika,»e S µ({a, B, C }), wi c z deicji zbioru µ wielko±ci x 1 + x + x 3 i y1 + y + y3 jako sumy kwadratów odlegªo±ci A, B, C od osi ukªadu s rówe sumie kwadratów odlegªo±ci od dowolej prostej przechodz cej przez S. Dla prostej A S ªatwo obliczamy,»e suma ta wyosi 6, wi c: x 1 + x + x 3 = 6 = y1 + y + y3 (4) Poadto korzystaj c z waruku (1) z twierdzeia 1, otrzymujemy: x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 = 0 (5) We¹my teraz przeksztaªceie aicze odwrote do powiowactwa g. Jest to powiowactwo prostok te o osi k i skali α > 1. Przeksztaªca oo pukt (x, y) a (x, αy), wi c A = (x 1, αy 1 ), B = (x, αy ), C = (x 3, αy 3 ). Rozwi»emy dla puktów A, B, C ukªad odpowiedi do ukªadu (3) z twierdzeia 1. zauwa»my,»e zgodie z rówo±ciami (4) i (5): Na pocz tek 1 3 (x 1 + x + x 3) = 6 3 =, 1 ( (αy1 ) + (αy ) + (αy 3 ) ) = α 3 3 (y 1 + y + y3) = 6α 3 = α, 1 3 (x 1 αy 1 + x αy + x 3 αy 3 ) = α 3 (x 1y 1 + x y + x 3 y 3 ) = 0 Rozwi zyway ukªad rówa«przyjmuje wi c posta : a + = b + α i ab = 0 W zwi zku z tym,»e α > 1, rozwi zaiami s ( α 1, 0) i ( α 1, 0). S to pukty zbioru µ({a, B, C}), czyli pukty P i Q. 11
13 Šatwo zauwa»y,»e elipsa e ma póªosie dªugo±ci 1 i α. St d wyika,»e odlegªo± mi dzy jej ±rodkiem a ogiskiem jest rówa α 1. Dlatego ogiska F i G to pukty (0, α 1) i (0, α 1). Pukty P, Q, F, G o wyzaczoych wy»ej wspóªrz dych speªiaj tez, co ko«czy dowód. 5 Wªaso±ci zbiorów A takich,»e µ(a) = 1 Wró my do problemu postawioego a pocz tku poprzediego puktu. Wyiki poszukiwa«ogólych waruków a zbiory A takie,»e µ(a) = 1, przedstawioe s poi»ej. Twierdzeie 4. Niech A = {A 1,..., A } b dzie zbiorem puktów a pªaszczy¹ie, a A k jedym z tych puktów. Ozaczmy zbiór A k = A\{A k } oraz pukt S k ±rodek masy zbioru A k. Wówczas µ(a) = 1 wtedy i tylko wtedy gdy JS α 1 k (A k ) µ(a k ), gdzie α =. Dowód. Przyjmijmy ukªad wspóªrz dych o pocz tku w S k, iech A 1 = (x 1, y 1 ),..., A = (x, y ). Mamy wówczas: i k x i = 0 = i k rodkiem masy zbioru A jest zatem pukt ( 1 xi, 1 yi ) = ( x k, y k ). Na mocy twierdzeia 1 rówo± µ(a) = 1 jest rówowa»a temu,»e pukt te speªia waruek () z tego» twierdzeia. Przez rówowa»e przeksztaªceia otrzymujemy kolejo: ( x k x i ) = ( y k y i ) ( x k x i )( y k y i ) = 0 1 y i
14 ( x k ) xk x i + x i = ( y k ) yk y i + yi xk yk x k y i y k x i + x i y i = 0 Po skorzystaiu z waruku i k x i = 0 = i k y i: x k x k y k x k x k + x k + i k x i = y k y k x k y k y k x k + x k y k + i k x iy i = 0 ) + 1 ( x k x k yk 1 = 1 y k + y k + i k y i i k x i = ( y k ) i k y i i k x iy i 1 Otrzymali±my ukªad odpowiadaj cy ukªadowi (3) z twierdzeia 1 jest o rówowa»y temu,»e ( x k, y k ) µ(a k ) (pukt (0, 0) jest ±rodkiem masy zbioru A k ). Oczywi±cie jest to rówowa»e drugiemu warukowi twierdzeia, co ko«czy dowód. Przykªad 3. Poka»emy, jak z twierdzeia 4 w prosty sposób wyika twierdzeie. We¹my trójk t ABC o ±rodku ci»ko±ci S ale» cym do µ({a, B, C}). Niech M b dzie ±rodkiem odcika AB jest to ±rodek masy zbioru {A, B}. Skoro S µ({a, B, C}), to zgodie z tez twierdzeia 4 dla zbioru {A, B, C}, = 3 i wyró»ioego wierzchoªka C otrzymujemy,»e pukt D = J α M (C) ale»y do zbioru µ({a, B}), gdzie α = 1 3. Otrzymay w zadaiu 1 wyik dotycz cy zbioru µ({a, B}) razem z tez twierdzeia 1 prowadzi do wiosku,»e trójk t ABD jest trójk tem prostok tym róworamieym z k tem prostym przy wierzchoªku D. Trójk t ABC jest wi c trójk tem róworamieym o podstawie AB i ±rodkowej dªugo±ci: CM = DM 3 3 = AB Trójk t ABC jest wi c rówoboczy. 13
15 6 Miimala suma kwadratów odlegªo±ci Postawmy teraz problem pozorie iezwi zay bezpo±redio z dotychczasowymi rozwa»aiami zastaówmy si, dla jakiej prostej suma kwadratów odlegªo±ci ustaloych puktów od tej prostej jest miimala. Jest to zay problem, ale istieje zwi zek z szuka prost a puktami zbioru µ. Poadto rozwi zywalo± tego problemu jest zale»a od liczo±ci zbioru µ. Twierdzeie 5. Niech A b dzie sko«czoym zbiorem puktów a pªaszczy¹ie takim,»e µ(a) = {P, Q}. Dla prostej k przez s(k) ozaczmy sum kwadratów odlegªo±ci puktów zbioru A od prostej k. Wówczas symetrala odcika P Q jest jedy prost, dla której fukcja s przyjmuje warto± miimal. Dowód. Niech S b dzie ±rodkiem masy zbioru A, ozaczmy poadto = A. We¹my dowol prost k ieprzechodz c przez S. Niech k b dzie prost rówolegª do k i przechodz c przez S, a d odlegªo±ci mi dzy prostymi k i k. Wówczas z twierdzeia Steiera s(k) = s(k ) + d > s(k ) (d 0). Ozacza to,»e poszukiwaia miimum mo»emy ograiczy do prostych przechodz cych przez S. Niech l b dzie symetral odcika P Q (oczywi±cie S l) oraz iech d = SP. Ozaczmy przez M warto± s(m) dla ka»dej prostej m przechodz cej przez P staªo± tej sumy wyika z okre±leia puktu P. We¹my dowol prost k przechodz c przez S. K t mi dzy prostymi k i l ozaczmy przez α. Niech k b dzie prost rówolegª do k i przechodz c przez P. Odlegªo± mi dzy prostymi k i k to d cos α. Z twierdzeia Steiera otrzymujemy s(k) = s(k ) (d cos α) = M d cos α M d = s(l), przy czym rówo± zachodzi tylko dla cos α = 1 (d 0), czyli dla k = l, co ko«czy dowód. Uwagi. W te sam sposób mo»emy otrzyma,»e s(p Q) jest maksymal warto±ci s dla wszystkich prostych przechodz cych przez S. Poadto w przypadku µ(a) = {S} miimala warto± jest przyjmowaa dla ka»dej prostej przechodz cej przez S. Poª czeie tez twierdze«3 i 5 daje ast puj cy wiosek: Fakt 4. Day jest trójk t ierówoboczy ABC. rodek wpisaej we«elipsy e pokrywa si ze ±rodkiem ci»ko±ci trójk ta ABC. Wówczas wielka o± elipsy e wyzacza jedy prost tak,»e suma kwadratów odlegªo±ci puktów A, B, C od tej prostej jest miimala. 14
16 7 Perspektywy rozwoju Przedstawioy problem jest otwarty. Poza podaiem kolejych przykªadów oraz udowodieiem owych wªaso±ci mo»a zastaowi si ad pewymi uogólieiami. Mo»a zauwa»y,»e w rozumowaiu z twierdzeia 1 ic si ie zmiei, je±li puktom zbioru A przypiszemy ró»e masy. Rozwa»aia mo»a próbowa rozszerzy a iesko«czoe zbiory puktów A. Wymagaªoby to zmiay deicji i zapewe u»ycia bardziej zaawasowaego aparatu matematyczego. Podoby do przedstawioego problem mo»a postawi dla zbioru A w przestrzei trójwymiarowej. Zachodz tu dwie mo»liwo±ci odpowiedikiem prostej k z deicji mo»e by pªaszczyza lub prosta. Šatwo zauwa»y,»e je±li zbiory zdeiowae w tych przypadkach ozaczymy odpowiedio µ 1 (A) i µ (A), to µ 1 (A) µ (A). Wida wi c,»e istieje mi dzy tymi deicjami ±cisªe powi zaie. Je±li poª czy wszystkie te uogólieia, mo»a zastaowi si ad zycz iterpretacj problemu i potecjalym praktyczym zastosowaiem suma kwadratów odlegªo±ci puktów ciaªa od prostej osi azw mometu bezwªado±ci i peªi wa» rol w dyamice ruchu obrotowego. 8 Literatura 1. Jerzy Bedarczuk Urok przeksztaªce«aiczych, Warszawa
Analiza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY
GEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY Alicja raz czy dwa zajrzaªa do ksi»ki czytaej przez siostr, ale ie byªo tam ai ilustracji, ai kowersacji. A jaki mo»e by po»ytek z ksi»kipomy±laªa Alicjaw której ie ma ai
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowo> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)
.65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoEkstremalna teoria grafów Filip Lurka V Liceum ogólnoksztaªc ce w Krakowie
Ekstremala teoria grafów Filip Lurka V Liceum ogóloksztaªc ce w Krakowie 1 Ekstremala Teoria Grafów 1 Ekstremala Teoria Grafów Filip Lurka 1.1 Teoria Deicja 1.1 Klik azywamy graf peªy; ka»de dwa wierzchoªki
Bardziej szczegółowowi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =
32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s
Bardziej szczegółowoA.1. Asymptotyka bez notacji asymptotycznej. Przykªad A.1. Zbada zachowanie asymptotyczne liczb Fibonacciego. Pokaza,»e. F n = round ( 1 5 Φ n )
A Notacjaasymptotycza Badaj c du»e obiekty kombiatorycze cz sto ie jest koiecze pozaie dokªadej warto±ci okre±loej wielko±ci (szczególie gdy wzór dokªady jest skomplikoway), a jedyie jej warto± przybli»o,
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowoRAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b)
RAP 4 5 pa¹dzierika 008 Wykªad : PSL metoda zliczaia ±cie»ek Wykªadowca: Adrzej Ruci«ski Pisarz:Bartosz Naskr cki i Marek Kaluba Wst p B dziemy dalej studiowa zachowaia osobika, którego gr zajmowali±my
Bardziej szczegółowoMarek Be±ka, Statystyka matematyczna, wykªad Wykªadnicze rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa
Mare Be±a, Statystya matematycza, wyªad 3 38 3 Statystyi zupeªe 3. Wyªadicze rodziy rozªadów prawdopodobie«stwa Zacziemy od deicji Deicja 3. Rodzi rozªadów {µ θ } θ Θ azywamy wyªadicz rodzi rozªadów -
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoRównoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.
16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowo3 Metody zliczania obiektów
3 Metody zliczaia obiektów Metoda bijektywa 3.1 Metoda bijektywa zliczaia obiektów kombiatoryczych polega a wskazaiu bijekcji pomi dzy badaym obiektem, a obiektem, którego ilo± elemetów jest am ju» zaa.
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce - du»y skrypt
Fukcje tworz ce - du»y skrypt Mateusz Rapicki, Piotr Suwara 9 sierpia 202 Kombiatoryka ( ) Deicja (dwumia Newtoa). k dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowoStereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki
Aaliza matematycza 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 1 Idukcja matematycza Przykªad 1. Pewego popoªudia Kubu± Puchatek kupiª pust beczk, która mie±ci 20 sªoików miodu, i wlaª do iej wszystkie swoje
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aalza Matematycza I. Sera, Potr Nayar Zadae. Nech a k >, k =,..., b d lczbam rzeczywstym o tym samym zaku. Udowodj,»e prawdzwa jest erówo± + a + a... + a + a + a +... + a. Czy zaªo»ee,»e lczby a k maj
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowo1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki nansowej
Podstawy matematyki asowej Omówimy tutaj odstawowe oj cia matematyki asowej. Jest to dobre miejsce, gdy» zagadieia te wi» si z ci gami, w szczególo±ci z ci giem arytmetyczym i geometryczym. Omówimy zagadieie
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowox + 1 dla x 2 (d) f(x) = + 2 dla x > 2; (3) Znajd¹ dziedzin oraz funkcj odwrotn (je±li jest to proste) do: 1 log 3 x, (log2 x 2 ) 1 log 2
1. Fukcje elemetare (1) Zajd¹ wykres fukcji arcsi(si(x)). (2) Zajd¹ posªuguj c si wykresami fukcje odwrote do podaych i»ej, a ast pie sprawd¹,»e s to rzeczywi±cie odwrote. (a) f(x) = 2x; (b) f(x) = 3x
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoNieklasyczne modele kolorowania grafów
65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G
Bardziej szczegółowoListy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoMatematyczne podstawy kognitywistyki
Matematycze podstawy kogitywistyki Jerzy Pogoowski Zakªad Logiki i Kogitywistyki UAM pogo@amu.edu.pl Struktury ró»iczkowe Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 1
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoGraka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny
Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny Instytut Informatyki i Automatyki Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Informatyki i Przedsi biorczo±ci w Šom»y 2 0 0 9 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Przeksztaªcenia pªaszczyzny
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.
2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)
W ka dym z zada.-24. wybierz i zaznacz jedn poprawn odpowied. Zadanie. (0- pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% Zadanie 2. (0- pkt) Wyra enie
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZadania - powtórzenie do egzaminu dojrzałoci
Zadaia - powtórzeie do egzamiu dojrzałoci. Dla jakich wartoci parametru m rozwizaie układu rówa y = m y = m jest par liczb o przeciwych zakach. Sformułuj waruek zbieoci ieskoczoego cigu geometryczego i
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowoGeometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Geometria Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Dane s równania postych, w których zawarte s boki trójk ta ABC : 3x 4y + 36 = 0 x y = 0 4x + 3y + 23 = 0 1. Obliczy wspóªrz dne wierzchoªków
Bardziej szczegółowoPrace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska
Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2.
Zachęcam do samodzielej prac z arkuszem diagostczm. Pozaj swoje moce i słabe stro, a astępie popracuj ad słabmi. Żczę przjemego rozwiązwaia zadań. Zadaie. ( pkt) Wartość wrażeia a ZADANIA ZAMKNIĘTE b dla
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoArkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoKrzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Bardziej szczegółowoCzas pracy 170 minut
ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowonie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?
Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo