Funkcje tworz ce - du»y skrypt

Transkrypt

1 Fukcje tworz ce - du»y skrypt Mateusz Rapicki, Piotr Suwara 9 sierpia 202 Kombiatoryka ( ) Deicja (dwumia Newtoa). k dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego zbioru. Deicja 2 (silia).! = ( ).... 0! =. Twierdzeie 3.! to liczba permutacji zbioru -elemetowego (liczba ustawie«elemetów w rz dzie). ( ) Twierdzeie 4. k =! dla 0 k, ( ) k!( k)! k = 0 dla < k. Twierdzeie 5 (wzór dwumiaowy). (a + b) = ( ) k=0 k a k b k Twierdzeie 6 (zasada szuadkowa Dirichleta). Je±li zbiór k + ró»ych elemetów podzielimy a parami rozª czych podzbiorów, to co ajmiej jede z ich b dzie miaª co ajmiej k + elemetów. Twierdzeie 7 (zasada wª cze«i wyª cze«). Dla zbiorów S, S 2,..., S : S S 2... S = 2 Liczby zespoloe 2. Podstawy k= i <...<i k ( ) k S i S i2... S ik. Deicja 8. Liczby zespoloe to zbiór C = {a + bi : a, b R}, gdzie i jest pewym symbolem. Mo»emy je uto»samia z puktami a pªaszczy¹ie, tj. a + bi uto»samiamy z puktem o wspóªrz dych (a, b). Deiujemy dziaªaia w taki sposób,»e i 2 = : (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i

2 Deicja 9 (dªugo± ). Dla z = a + bi C deiujemy dªugo± (moduª): z = a 2 + b 2. Deicja 0 (sprz»eie). Sprz»eiem liczby z = a+bi C azwiemy liczb z = a bi C. Twierdzeie. z z = z 2 Twierdzeie 2. Liczb odwrot do a + bi jest 2.2 Posta bieguowa z = a z 2 a 2 +b 2 b a 2 +b 2 i. Deicja 3 (posta bieguowa). Liczb z = a+bi mo»emy zapisa w postaci z = r(cos α+ i si α) dla r = z oraz α = arctg b a. K t α azywamy argumetem liczby z i ozaczamy Arg z. W te sposób mo»emy patrze a liczb zespolo z jako a wektor dªugo±ci r = z achyloy pod k tem α do dodatiej póªosi rzeczywistej. Twierdzeie 4. Je±li z = z (cos α + i si α), w = w (cos β + i si β), to zw = z w (cos(α + β) + i si(α + β)). Czyli mo»eie liczb zespoloych to mo»eie ich dªugo±ci oraz dodawaie ich argumetów. Twierdzeie 5 (wzór de Moivre'a). z = z (cos α + i si α), wtedy z = z (cos α + i si α) 2.3 Pierwiastki z jedo±ci Deicja 6. Pierwiastkiem z stopia azwiemy tak liczb zespolo z,»e z =. Iaczej mówi c, z jest pierwiastkiem wielomiau P (x) = z. Twierdzeie 7. Je±li z jest pierwiastkiem z jedo±ci stopia, to istieje takie 0 k,»e z = cos 2kπ 2kπ + i si. O liczbach zespoloych mo»ecie przeczyta a przykªad a Wikipedii org/wiki/liczby_zespoloe lub a stroie wyklad5.pdf. 3 Pochode 3. Deicja Deicja 8. Niech f : R R, x 0 R. Wówczas, je»eli istieje graica lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 to azywamy j pochod (albo ró»iczk ) fukcji f w pukcie x 0 i ozaczamy f (x 0 ). Zasadiczo, ie b dziemy korzysta z tej deicji, lecz z kilku podstawowych wªaso±ci pochodych oraz zajomo±ci pochodych dla kilku wa»ych fukcji. Cz sto spotykay jest zapis (f(x)). Zwykle ozacza o f (x). 2

3 3.2 Podstawowe wªaso±ci Twierdzeie 9. Niech f, g : R R, x, c R oraz istiej pochode f (x) oraz g (x). Wówczas zachodz ast puj ce rówo±ci: Liiowo± pochodej: (f + g) (x) = f (x) + g (x), (c f) (x) = c f (x). Wzór a pochod iloczyu: (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Wzór a pochod ilorazu, prawdziwy o ile g(x) 0: ( ) f g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x). (g(x)) 2 Wzór a pochod zªo»eia: (g f) (x) = g (f(x)) f (x). 3.3 Pochode popularych fukcji Twierdzeie 20. α R (x α ) = αx α, o ile wyra»eie x α ma ses (e x ) = e x l (x) = x, o ile x > 0 si (x) = cos(x) cos (x) = si(x) 4 Fukcje tworz ce Deicja 2 (fukcja tworz ca). Fukcj tworz c (szeregiem formalym) ci gu (a ) azywamy szereg formaly A(x) = 0 a x = a x, dla uproszczeia zapisu przyjmujemy a = a 2 =... = 0. Deicja 22 (operacje a fukcjach tworz cych). F (x) fukcja tworz ca ci gu (f ), G(x) fukcja tworz ca ci gu (g ). αf (x) + βg(x) = (αf + βg )x x k G(x) = g k x, x k ( G(x) k j=0 g j x j) = 0 g + kx, G(cx) = c g x, ró»iczkowaie: G (x) = ( + )g + x, xg (x) = g x, caªkowaie: x 0 G(t) dt = g x, mo»eie: F (x)g(x) = ( k f k g k ) x, w szczególo±ci G(x) = ( ) x k g k x. 3

4 Deicja 23 (wykªadicza fukcja tworz ca). Wykªadicz fukcj tworz c ci gu (a ) azywamy szereg formaly A(x) = x 0 a = x! a, dla uproszczeia zapisu przyjmujemy a = a 2 =... =! 0. Deicja 24 (operacje a wykªadiczych fukcjach tworz cych). F (x) wykªadicza fukcja tworz ca ci gu (f ), G(x) wykªadicza fukcja tworz ca ci gu (g ). αf (x) + βg(x) = (αf + βg ) x! G(cx) = c g x!, ró»iczkowaie: G (k) (x) = 0 g +k x!, xg (x) = g x!, caªkowaie: x 0 G(t) dt = g x!, mo»eie: F (x)g(x) = ( k ( ) ) fk g x k k,! Deicja 25 (fukcje aalitycze). Fukcje aalitycze to takie, które rozwijaj si w szereg, tj. f(x) jest aalitycza w otoczeiu x 0, je±li zachodzi w im: f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f () (x 0 ) (x x 0 ) +....! Mówimy,»e fukcja rozwija si w szereg Taylora w x 0. Je±li x 0 = 0, to mamy szereg Maclauria: f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x f () (0) x +....! Twierdzeie 26. Fukcje: staªa, x a (w tym wielomiay), wykªadicza e x, logarytmicza l x, fukcje trygoometrycze, s aalitycze (tam, gdzie s dobrze okre±loe). Fukcje: odwrota do aalityczej, suma fukcji aalityczych, iloczy fukcji aalityczych, iloraz fukcji aalityczych, zªo»eie fukcji aalityczych s aalitycze (tam, gdzie s dobrze okre±loe). Fukcje tworz ce cz sto wolimy aalizowa w postaci zwartej. Korzystaj c ze wzoru a szereg Maclauria fukcji otrzymujemy wzory: Twierdzeie 27. x m = 0[ = m]x, gdzie [ = m] = δ m jest rówe wtedy i tylko wtedy, gdy = m, oraz 0 w przeciwym przypadku. x = 0 x ( + x) c = 0 ( x) c = 0 ( ) c x ( ) c+ x 4

5 l x = x l( + x) = ( ) + x e x = x 0! x [jest to poiek d deicja fukcji wykªadiczej] cos x = 0 si x = 0 ( ) (2)! x2 ( ) (2+)! x2+ x = e x x 0 Bx! ( 4x) = ) 2x +( 2 x 4x = ( ) 2 x ( 4x 4x 2x 5 Wielomiay ) k = ( ) 2+k x Deicja 28. Zbiór wielomiaów o wspóªczyikach w R b dziemy ozacza jako R[x], a przykªad R[x] to wielomiay o wspóªczyikach rzeczywistych, Q[x] wymierych, Z[x] caªkowitych, C[x] zespoloych. Deicja 29. Wielomia uormoway to taki, którego wspóªczyik wiod cy (przy ajwy»szej pot dze x) jest rówy. Deicja 30. Liczby rzeczywiste R, liczby wymiere Q, liczby zespoloe C b dziemy azywa ciaªami. Dokªada deicja ciaªa jest zaczie ogóliejsza i ie podajemy jej tu wa»e jest,»e w ka»dym ciele mo»a: dodawa i mo»y w sposób przemiey i ª czy (czytaj: tak, jak zawsze to robisz), odwraca elemety iezerowe, zale¹ 0 oraz. Iymi ciaªami i» powy»sze ie b dziemy si zajmowa. Zauwa»my,»e Z ie jest ciaªem, bo ie ka»dy elemet z Z mo»a odwróci, otrzymuj c przy tym elemet z Z (p. 2 Z, ale / Z). 2 Deicja 3. Poiewa» Z Q R C, to zakªadamy,»e sªowo wielomia ozacza wielomia o wspóªczyikach zespoloych. Deicja 32. Wielomia P (x) dzieli wielomia Q(x), je±li istieje taki wielomia R(x),»e Q(x) = P (x)r(x). Twierdzeie 33. Je±li dla pewego ciaªa k (tj. k Q, R, C) zachodzi P (x) k[x], Q(x) k[x] (tj. P oraz Q maj wspóªczyiki w ciele k) oraz Q(x) = P (x)r(x) dla pewego wielomiau R(x), to wielomia R(x) ma wspóªczyiki w tym samym ciele k, czyli R(x) k[x]. 5

6 Powy»sze twierdzeie jest bardzo ªatwe do udowodieia i bardzo wa»e. Iaczej mówi c, ozacza oo,»e podzielo± w pewym ciele (p. R) jest tym samym, co podzielo± w wi kszym ciele (p. C). Twierdzeie 34 (Bézout). Dla dowolego a, je±li P (x) to wielomia, wtedy istieje dokªadie jede taki wielomia Q(x),»e P (x) = (x a)q(x) + P (a). Co wi cej, je±li dla ciaªa k zachodzi a k, P (x) k[x], to tak»e Q(x) k[x]. Wyika to wprost z poprzediego twierdzeia, bo przy tych zaªo»eiach P (x) P (a) k[x] dzieli si przez (x a) k[x]. Przypomijmy, za k mo»a wstawi dowole ciaªo: Q, R lub C. Deicja 35 (ajwi kszy wspóly dzielik). Dla wielomiaów P (x), Q(x) ajwi kszym wspólym dzielikiem jest taki wielomia R(x), który ma ajwi kszy mo»liwy stopie«i dzieli jedocze±ie P (x) oraz Q(x). Ozaczamy (P (x), Q(x)) = R(x). Jest o okre±loy z dokªado±ci do wspóªczyika wiod cego. Twierdzeie 36 (algorytm Euklidesa). Dla dowolych wielomiaów P (x), Q(x), R(x) zachodzi (P (x), Q(x)) = (P (x), Q(x) R(x)P (x)). Posªuguj c si algorytmem Euklidesa aalogiczym do przypadku teorioliczbowego, mo-»emy ªatwo oblicza ajwi kszy wspóly dzielik dwóch wielomiaów [maj c P (x), Q(x), gdy stopie«p jest ie miejszy i» stopie«q, mo»ymy Q(x) przez R(x) = ax tak, aby stopie«p (x) R(x)Q(x) byª miejszy i» stopie«p (x) przyajmiej o. Maj c dowole ciaªo k oraz P (x), Q(x) k[x], mo»emy zawsze tak dobiera R(x), aby R(x) k[x]. Pokazuje to,»e Twierdzeie 37. Je±li P (x), Q(x) k[x] dla pewego ciaªa k, to (P (x), Q(x)) k[x]. Twierdzeie 38 (zasadicze twierdzeie algebry). Ka»dy wielomia ma pierwiastek w C, to zaczy dla ka»dego wielomiau P (x) istieje takie x 0 C,»e P (x 0 ) = 0. Z twierdzeia Bézout wyika,»e je±li P (x 0 ) = 0, to P (x) = (x x 0 )Q(x) dla pewego wielomiau Q(x). Nast pie zajdujemy x takie,»e Q(x ) = 0 i mamy P (x) = (x x 0 )Q(x) = (x x 0 )(x x )R(x). Kotyuuj c, otrzymujemy Twierdzeie 39. Ka»dy wielomia rozkªada si a czyiki liiowe w C, to zaczy dla ka»dego wielomiau P istiej takie liczby a, w,..., w C,»e P (x) = a(x w )(x w 2 )... (x x ) = a i= (x w i ). Deicja 40. Je±li w jest pierwiastkiem P (x) oraz P (x) = a i= (x w i ), to kroto±ci pierwiastka w jest liczba wyst pie«w w ci gu w,..., w. Rówowa»ie, k jest kroto±ci w, je±li P (x) = (x w) k Q(x) oraz Q(w) 0. 6

7 Twierdzeie 4 (wzory Viete'a). Je±li P (x) = k=0 a k x k = a i= (x w ) dla a 0, to zachodz rówo±ci: i <i 2 i <...<i k i= w i = a a w i w i2 = a 2 a. w i... w ik = ( ) k a k a. w w 2... w = ( ) a 0 a Twierdzeie 42 (lemat Gaussa). Je±li wielomia uormoway P (x) Z[x] rozkªada si a iloczy wielomiaów uormowaych Q(x), R(x) Q[x], czyli P (x) = Q(x)R(x), to Q(x), R(x) Z[x], czyli te wielomiay te» maj wspóªczyiki caªkowite. Twierdzeie 43 (kryterium Eisesteia). Niech P (x) = k=0 a k x k Z[x]. Je±li p a k dla k = 0,,..., oraz p a oraz p 2 a 0, to wielomia P (x) jest ierozkªadaly w Z[x]. Twierdzeie 44 (o jedozaczo±ci rozkªadu). Ka»dy wielomia w R[x] (odpowiedio: w Q[x], Z[x]) rozkªada si jedozaczie (z dokªado±ci do kolejo±ci oraz staªych czyików) a iloczy wielomiaów ierozkªadalych w R[x] (odpowiedio: w Q[x], Z[x]). 7