RAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b)

Transkrypt

1 RAP 4 5 pa¹dzierika 008 Wykªad : PSL metoda zliczaia ±cie»ek Wykªadowca: Adrzej Ruci«ski Pisarz:Bartosz Naskr cki i Marek Kaluba Wst p B dziemy dalej studiowa zachowaia osobika, którego gr zajmowali±my si a pierwszym wykªadzie. Tym razem bardziej iteresowa as b d jego peªe wra»e«w drówki w staie upojeia (p. zwyci stwem w kasyie). Dowiemy si,»e jego kochaj ca (lub ie)»oa mo»e mie spore problemy z odalezieiem swojego m»a, jesli go ie zastaie w kasyie, poiewa» w trakcie w drówek pomi dzy przegrywaiem kolejych dollarów odwiedza o wszystkich mo»liwych zajomych i iezajomych. Pozamy poadto sposób w jaki ale»y obstawia zwyci stwo jedego z kadydatów w wyborach, w trakcie kolejego wyczytywaia gªosów które otrzymali. Zasada odbicia Niech X, X,... b d zmieymi losowymi iezale»ymi o jedakowym rozkªadzie(iid): { z prawdopodobie«stem p X i z prawdopodobie«stem q p Rozwa»my prosty spacer losowy S S 0 + Zakªadaj c,»e zaczyamy w pukcie S 0 a mo»emy policzy prawdopodobie«stwo,»e po krokach zajdziemy si w pukcie b: P (S b) ( ) ( ) p r q l p r q l r l }{{} () N (a,b) gdzie r +b a, l b+a. Deicja. Liczb wszystkich trajektorii (±cie»ek) od a do b w krokach b dziemy ozacza przez N (a, b). Liczb wszystkich trajektorii (±cie»ek) od a do b w krokach przeciaj cych o± OX b dziemy ozacza przez N 0 (a, b). Zasada (odbicia). Liczba wszystkich trajektorii od a do b, które przeciaj o± OX, jest rówa Liczbie wszystkich trajektorii od a do b i X i N 0 (a, b) N ( a, b) -

2 π (k π, 0) π Rysuek : Odbijaie ±cie»ki od (0, 0) do (k π, 0) Dowód. Niech π b dzie dowol trajektori z a do b. Przez (k π, 0) ozaczmy pukt pierwszego kotaktu π z osi OX. Niech π b dzie trajektori powstaª poprzez odbicie π wzgl dem OX a odciku od 0 do (k π, 0). Wtedy π jest trajektori od a do b, a powy»sze przyporz dkowaie bijekcj pomi dzy zbiorami N 0 (a, b) i N ( a, b) Wiosek (Whitworth 878 Ballot Theorem). Niech b > 0. Liczba ±cie»ek z (0, 0) do (, b), które a odciku (, 0), (, 0) ie przeciaj osi OX wyosi: b N (0, b) b ( ) +b () Dowód. Zauwa»my,»e pierwszy ruch musi by a pozycj (, ). Mamy zatem: N (, b) N (, 0 zas. odbicia b) N (, b) N (, b) Def. ( ) ( ) ( + b ) ( + b + ) ( )! ( ( + b))!( ( + b))! ( )! ( ( + b))!( ( + b))! ( )! ( ( + b) )!( ( + b))! ( )! ( ( + b))!( (3) ( + b))! ( )!( ( + b)) ( + b)) ( ( + b))!( ( + b))! ( )!( ( ( + b))!( ( + b))! ( ( + b) ( )! ( + b) ( ( + b))!( ( + b))! b ( ) b ( + b) N (0, b) -

3 Zastosowaie Mamy dwóch kadydatów startuj ctch w wyborach prezydeckich o imioach Kaczor i Doald. Kaczor otrzymaª α gªosów, a Doald β, gdzie (jak sk di d wiemy) α > β. Co wi cej caªy aród uczesticzyª w ast pujacej grze: w trakcie wieczoru wyborczego podczas wyczytywaia (i liczeia) gªosów oddaych a kadydatów, zakªady bukmacherskie pozwalaj obstawia (p. przez iteret) to, kto wygra. Potrzebuj jedak algorytmu (wszystko ma by w czasie rzeczywistym), który pozwoli im ustali takie stawki, aby zarobi a tym,»e caªy aród gra. Na razie wiedz jedyie jakie jest prawdopodobie«stwo,»e podczas wyczytywaia gªosów Kaczor b dzie prowadziª: P #{Wszystkie ±cie»ki od (0, 0) do (α + β, α β) ie przeciaj ce osi OX} #{Wszystkie ±cie»ki od (0, 0) do (α + β, α β)} α β α + β Powroty do osi Mo»a sobie postawi pytaie: jakie jest prawdopodobie«stwo,»e spacer poza kasyem b dzie miaª dªugo± przyajmiej? Wiosek. Je±li S 0 0, to dla ka»dego mamy: oraz: P (S 0,..., S 0, S b) b P (S b) P (S 0,..., S 0) E( S ) Dowód. Niech b > 0. Wtedy P (S 0,..., S 0, S b) b N N (0, b)p +b q b b P (S b). Aalogiczie mo»emy stwierdzi,»e dla b < 0 zachodzi P (S 0,..., S 0, S b) b N N (0, b)p b q +b, zatem ogóly wzór zapisujemy jako P (S 0,..., S 0, S b) b N P (S b) P (S 0,..., S 0) b P (S 0,..., S 0, S b) b b P (S b) E( S ) - 3

4 Ozaczmy przez M maksymal warto± jak osi gie S i a odciku do 0 do : Dla S 0 0 mamy oczywi±cie M 0. M max 0 i {S i}. Twierdzeie. Dla ka»dego r mamy: { P (S b) b r P (M r, S b) ( q ) r b b P (S r b) b < r Wiosek 3. Dla p q mamy: Dowód Wiosku w oparciu o Twierdzeie. P (M r) P (S r) + P (S r + ) P (M r) b P (M r, S b) P (S b) + br r b ( ) p r b P (S r b) q P (S r) + cr+ ( ) p c r P (S c) P (S r) + P (S r + ) q Dowód Twierdzeia. Mo»emy przyj bez utraty ogólo±ci,»e r i b < r. Niech N r (0, b) ozacza liczb ±cie»ek π z (0, 0) do (, b), które przeciaj prost y r. Poadto iech i π mi (i,r) π {i}. Mo»emy symetryczie odbi wzgl dem prostej y r segmet ±cie»ki dla i π x. Tak okre±loe przeksztaªceie wyzacza bijekcj mi dzy zbiorami. r (, r b) b i π Rysuek : Odbicie symetrycze ±cie»ki wzgl dem prostej y r N r (0, b) N (0, r b) - 4

5 P (M r, S b) N r (0, b)p +b q b ( ) q r b P (S r b) p ( ) q r b N (0, r b)p +r b q r+b p 3 Zagadieie pierwszych odwiedzi W iiejszym rozdziale opisae zostaie prawdopodobie«stwo zdarzeia,»e startuj c z (0, 0) osi giemy pukt b > 0 po raz pierwszy w -tym kroku. Deicja. f b () { P (S0 0, S,..., S < b, S b) b > 0 P (S 0 0, S,..., S > b, S b) b < 0 Twierdzeie (Hittig time Theorem). Prawdopodobie«stwo f b (),»e startuj c z 0 tramy w pukt b po raz pierwszy w -tym kroku ( ) wyosi: f b () b P (S b) Dowód. Ograiczymy si do dowodu dla b > 0. Korzystaj c z deicji dla b < 0 dowód przebiega aalogiczie. f b () P (M S b, S b) P (S b M S b )P (M S b ) p [P (M b, S b ) P (M b, S b )] [ Tw. p P (S b ) ( q ] p )P (S b + ) ( () p ) ( ) p (+b ) q ( b) q p (+b) q ( b ) ( + b ) ( + b) (( ) ( )) p (+b) q ( b) (3) ( + b ) ( + b) (3) b N (0, b)p (+b) q ( b) () () b P (S b) - 5

6 wyj±ciowa ±cie»ka odwrócoa ±cie»ka Rysuek 3: Techika odwracaia Techika odwracaia Poprzedie twierdzeie jest w swojej tezie bardzo podobe do Wiosku. Podobie«stwo to ie jest przypadkowe i poi»ej zostaie przedstawioa techika, tzw. techika odwracaia spaceru losowego, która poka»e,»e w istocie oba te twierdzeia s duale. Deicja 3 (Odwracaie spaceru losowego). Dla iezale»ych zmieych losowych X, X,... o jedakowym rozkªadzie odwróceiem spaceru losowego (skªadaj cego si z kroków): { } {0, S, S,..., S } 0, X, X + X,..., X i azywamy ast puj cy spacer (-krokowy): { {0, T, T,..., T } 0, X, X + X,..., i } X i Zauwa»my,»e teraz a podstawie powy»szej deicji mo»emy przeformuªowa jedo twierdzeie w drugie. S,..., S 0, S b wtedy i tylko wtedy, gdy T b, T T i X X i > 0 dla i. To ozacza,»e pierwsza wizyta w b dla odwrócoego spaceru ast pi w chwili, zatem: P (S,..., S 0, S b) f b () Zasad t mo»a wykorzysta do obliczeia ±rediej ilo±ci wizyt w b do pierwszego powrotu do 0. µ b E(#wizyty w b przed pierwszym powrotem do 0) E( I ) E(I ) P (I ) P (S,..., S 0, S b) f b () P ( : S b) f b - 6 i

7 I jest zmie idykatorow : { gdy S 0,..., S I 0, S b 0 w pozostaªych przypadkach Powy»sze uwagi prowadz do ast puj cego twierdzeia: Twierdzeie 3. Je±li p q, to dla dowolego b > 0 zachodzi µ b. Iterpretacja hazardowa Rzucamy moet a» liczba orªów zrówa si z liczb reszek. Gracz dostaje wypªat za ka»dym razem, gdy ró»ica mi dzy liczb orªów i reszek wyosi b. Zgodie z twierdzeiem, aby gra byªa sprawiedliwa, opªata za i musi wyosi, iezale»ie od tego ile wyosi b. - 7