b) 2n 4n 7 + 3n 1 c) n 3 n 2 n 20 2 k oblicz t sum, a nast pnie zamie«na 3. Zbadaj, czy speªniony jest warunek konieczny zbie»no±ci: cos n=2
|
|
- Urszula Jóźwiak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Szeregi. (powtórka z Matematyki) Wyzacz graic ci gu: ( 4 + ) Przeksztaª szeregi: d) e) 4 podstaw = l rozbij a wyrazy parzyste i ieparzyste a ast pie podstaw = k i = k + 5 = podstaw co± pod tak by dosta i=5 5 k oblicz t sum, a ast pie zamie«a k= = k= k oblicz t sum, a ast pie zamie«a 3. Zbadaj, czy speªioy jest waruek koieczy zbie»o±ci: = = cos ( ) 4. Korzystaj c z kryterium d'alemberta zbadaj zbie»o± :?? k k=? =??? k=? =? k = e = 3! = (!) 3 ()!! 5. Korzystaj c z kryterium pierwiastkowego (Cauchy'ego) zbadaj zbie»o± : = 4 = (, ) + 7 ( 3 ) Przypomieie. Trzy ajwa»iejsze graice w Aalizie to: si() lim = lim e = lim l( + ) =. 6. Korzystaj c z kryterium porówawczego (ilorazowego) zbadaj zbie»o± : d) = = l() e) = f) =3 ( + ) 3 ( ) si
2 7. Korzystaj c z kryterium o zag szczaiu zbadaj zbie»o± : =5 l() l () 8. Korzystaj c z samodzielie wybraego kryterium zbadaj zbie»o± : d) g) j) l() ( ) si e)! 3 3 h) ( ) k) + 3 cos() + 3 f) π 3 i) + 5 l) =3 l() l ( l() ) ) tg ( 3! arctg (3) 9. Zbadaj, czy szereg jest zbie»y bezwgl die, zbie»y warukowo czy rozbie»y: d) si() 4 ( ) + e) ( ) ( ) l ( + ) f) cos(π) l() + 6 ( 5)!. Przy pomocy oszacowaia reszty szeregu przemieego oblicz warto± szeregu ( ) z dokªado±ci,. Tz. podaj liczb, która ró»i si od sumy szeregu o co ajwy»ej. Oblicz caªki iewªa±ciwe: d) + 3 d + e d e) + +. Korzystaj c z kryterium caªkowego zbadaj zbie»o± : 5 + d 3 e d f) ( 8) d e d. = l() =3 l () =4 l() l ( l() ) 3. Przy pomocy szacowaia szeregu przez caªk oblicz przybli»o warto± szeregu Jak du»y jest bª d tego przybli»eia? =. 4. Oszacuj warto± szeregu z dokªado±ci do, Ile pierwszych elemetów szeregu szeregu z dokªado±ci do,? A do,? e trzeba doda by oszacowa warto± caªego
3 Topologia. Metryka to fukcja speªiaj ca 3 waruki (patrz wykªad). Sprawd¹, które z tych waruków speªiaj poi»sze fukcje f : R R R f(, y) = y f(, y) = f(, y) = y. Poleceie j.w. tylko dla fukcji g : R R R o wzorze g ( (, ), (y, y ) ) = + + y + y g ( (, ), (y, y ) ) = ( y ) +( y ) 3. Wyka»,»e fukcja d: X X R (dla dowolego X) zadaa poi»ej jest metryk. dla = y d(, y) = dla y (jest to metryka dyskret. Dla X = R arysuj kule (w tej metryce) B(, ), B(, ). 4. Wyka»,»e fukcja τ : R R R + } jest metryk, oblicz odlegªo± w tej metryce puktów (, ) i (3, ), a ast pie arysuj w tej metryce kule B((, ); ), B((, ); ) oraz B((, ); ). tzw. metryka rzeka: τ(, y) = τ ( (, ), (y, y ) ) y = dla = y + y + y dla y tzw. metryka w zªa kolejowego: τ(, y) = τ ( (, ), (y, y ) ) = ( y ) + ( y ) dla y = y + + y + y dla y y 5. Narysuj kule B((, ), ), B((, ), ), B((, ), ) w obu poi»szych metrykach: d ( (, ), (y, y ) ) = y + y ; d ( (, ), (y, y ) ) = ma ( y, y ). 6. Wyzacz w trze podzbioru R wzgl dem metryki euklidesowej oraz dyskretej A = (, ) B = [, ) } C = N (, ) 7. Wyzacz domki cie podzbioru R wzgl dem metryki euklidesowej oraz dyskretej A = (, ) B = [, ) } C = N (, ) 8. Wyzacz brzeg powy»szych zbiorów wzgl dem odp. metryk. 9. Wyzacz kres doly i góry poi»szych zbiorów. Podaj ich ±redic. A = [, ) B = ( Q (, ) ) 3} C = N (, 3). Wyzacz graic gór i dol ci gu. 3
4 a = b = ( ) c = ( ) d) d = cos ( π ) (+ ) e) e = e ( 3) f) f = si(). Wyzacz wszystkie pukty skupieia ci gu g = si ( ) π Korzystaj c z ogóliej wersji wybraego kryterium zbadaj zbie»o± szeregu =7 + ( ) 3+ (4 + ( ) ) 3. Norma to fukcja speªiaj ca 3 waruki (patrz wykªad). Sprawd¹, które z tych waruków speªiaj poi»sze fukcje f : R R f() = 3 f() = f() = e 4. Poleceie j.w. tylko dla fukcji g : R R o wzorze g ( (, y) ) = g ( (, y) ) = y g ( (, y) ) = + y 5. Narysuj zbiór Z = (, y) R : (, y) (, ) > (, y) } 6. Narysuj a pªaszczy¹ie R kule B((, ), ), B((, ), ) w metrykach pochodz cych od orm oraz ma. 3 Ci gi i szeregi fukcyje. Oblicz odlegªo± w metryce supremum mi dzy fukcjami f, g : [, ] R dla fukcji daych wzorami f() = 3 4 +, a g() = Oblicz ρ( 3 si, cos ), gdzie ρ(, ) ozacza metryk supremum w przestrzei B(R). 3. Dae s fukcje f() = 5 fukcji f i g B([, 4]). oraz g() = 6 l(). Oblicz odlegªo± w metryce supremum 4. Wyzacz graic puktow daego ci gu fukcyjego dla R. Zbadaj, czy zbie»o± jest jedostaja a prostej. f () = si ( ) g () = e h () = si() +si() 5. Rozpatrzmy ci gi z powy»szego zadaia. Je±li zbie»o± ie jest jedostaja, podaj przykªad przedziaªu [a, b] po obci ciu do którego zbie»o± b dzie jedostaja. 6. Zbadaj zbie»o± puktow i jedostaj ci gów: ( f () = ( ) dla [, ] oraz dla R ( g () = cos () dla [ π, π ] oraz dla [, π] ( h () = + 3 dla [, + ) (d) u () = dla [, ] Wskazówka: oraz + 4
5 7. Oblicz lim d. 8. Korzystaj c z kryterium Weierstrassa zbadaj zbie»o± jedostaj szeregów si() 3 dla R = e dla [, 5] 9. Wyzacz promie«zbie»o±ci szeregów: =! ( ) 3 = e e ( + ). Korzystaj c z ró»iczkowaia i caªkowaia szeregu oblicz warto± sumy dla v [, ] v v Wsk. dla v = warto± szeregu to 3. Szeregi Taylora. Wyzacz z deicji wzór Taylora dla fukcji l( + ) oraz cos() (tj. sprawd¹, czy wzory podae a wykªadzie s poprawe).. Korzystaj c z rozwii cia w szereg Taylora do wyrazu rz du 3 wyzacz przybli»o warto±,. Korzystaj c z reszty w postaci Lagrage'a oszacuj bª d przybli»eia. 3. Korzystaj c z rozwii cia w szereg Taylora do wyrazu rz du wyzacz przybli»o warto± 3 3. Korzystaj c z reszty w wybraej postaci oszacuj bª d przybli»eia. 4. Korzystaj c z rozwii cia w szereg Taylora oszacuj arctg ( ). Dobierz tak liczb elemetów rozwii cia by bª d szacowaia byª ie wi kszy i»,. 5. Korzystaj c z rozwii cia w szereg Taylora oszacuj e /5. Dobierz tak liczb elemetów rozwii cia by bª d szacowaia byª ie wi kszy i»,5. 6. Korzystaj c z rozwii cia w szereg Taylora wyzacz pierwsze trzy cyfry liczby e. 7. Z ilu elemetów rozwii cia trzeba skorzysta by wyzaczy warto± si ( ) z dokªado- ±ci do 6 (tj. jedej milioowej). 8. Z ilu elemetów rozwii cia trzeba skorzysta by wyzaczy warto± l ( ) z dokªado- ±ci do 3 (tj. jedej tysi czej). 9. Korzystaj c z wzorów z wykªadu oraz z dziaªa«a szeregach (dodawaia, mo»eia, dzieleia oraz podstawiai wyzacz pierwsze trzycztery iezerowe wyrazy szeregu Taylora: α() = si() + e β() = 3 l( ) γ() = cos(3 ) d) δ() = e arctg() e) ε() = f) ζ() = si() cos() g) η() = e si() h) θ() = cos(cos() ) i) ι() = ( + )e j) κ() = 3 + k) λ() = l(cos()) l) µ() = arctg(si( 3 )) m) ν() = cos(e ) ) ξ() = si() cos(3 ) o) o() = arctg() l(+ ) 5
6 . Korzystaj c z szeregów Taylora oblicz graice: e l( + ) lim arctg( ) si() lim + cos( 3 ) si() cos() lim 3 e cos( ) d) lim arctg( si(3)) 4 Pochoda zªo»eia. Dae s odwzorowaia: u(, y) = y 3+y, v(, y) = 4 +y 3, f(u, v) = u 3 l v. Wyzacz pochode cz stkowe (zupeªe) df i df a dwa sposoby wstawiaj c jed fukcj do d dy drugiej oraz korzystaj c z twierdzeia o pochodej zªo»eia. Zakªadaj c dodatkowo,»e i y s fukcjami zmieej t daymi wzorami (t) = t, y(t) = t wyzacz warto± pochodej df (). dt. Dae s odwzorowaia f i g o wzorach f(, y) = (y, + 3y 3, 4 ) g(, y, z) = ( + y + 3z, 3 y z). Wyzacz D(f g)(,, ) oraz D(g f)(, ) a dwa sposoby (jak w powy»szym zadaiu). 3. Wyzacz dziedzi, zbiór warto±ci oraz Jakobia przeksztaªce«φ, Ψ: R R. ( ) ( ( y ) Φ(r, φ) = r cos(φ), r si(φ) Ψ(, y) = + y, arctg ) 4. Dla fukcji z poprzediego zadaia wyzacz D(Ψ Φ)(r, φ) 5. Zakªad ubezpiecze«oferuje swoim klietom ubezpieczeie a»ycie z wybra przez klieta wysoko±ci sumy ubezpieczeia. Zgodie z obowi zuj cym prawem (i ze zdrowym rozs dkiem ekoomiczym) musi cz ± piei dzy zamrozi, tworz c tzw. rezerw matematycz u. Do okre±leia wysoko±ci tej rezerwy stosuje wzór: y( + ) u(, y, v) =, v gdzie ilo± klietów (w milioach), y ª cza wysoko± sum ubezpieczeia, v pewie czyik zale»y m.i. od stóp procetowych. (, y, v [, ] ) Zakªad przyosi tym wi kszy zysk, im miejszy jest stosuek rezerwy do ª czej wysoko±ci sum ubezpieczeia. Iymi sªowy zakªad chce miimalizowa fukcj h(, y, v) = y( + ) vy = ( + ) yv. Dziaª aaliz zakªadu zaobserwowaª,»e ª cza wysoko± sum ubezpieczeia jest fukcj ilo±ci klietów da wzorem y() = +. W chwili obecej zakªad ma = 3 + klietów. Zbadaj, czy warto jest reklamowa produkt (koszt reklamy pomijamy), tz. jak zwi kszeie ilo±ci klietów wpªyie a warto± fukcji h. (Zakªadamy,»e v jest staªe). Polska Izba Ubezpiecze«ogªosiªa wyiki bada«, z których wyika,»e liczba ubezpieczoych (klietów zakªadu) jest zale»a od wielko±ci v przez zale»o± (v) = 3v. Przy zale»o±ci y() jak w poprzedim podpukcie oraz obecej wysoko±ci v =,9 odpowiedz a pytaie. Co ucieszy akcjoariuszy zakªadu: obi»eie czy podiesieie wspóªczyika v? 6
7 5 Odwracaie odwzorowa«. Wyka»,»e fukcja jest ró»owarto±ciowa i a. Wyzacz odwzorowaie odwrote. f() = ( ) f : R R g() = + 3 g : [, + ) [, + ) h() = e h: R (, ). Dla powy»szych fukcji oblicz pochode fukcji odwrotych (f ) (4), (g ) (3) oraz (h ) (). Wykoaj to a dwa sposoby: wprost, tj. licz c pochod fukcji odwrotej oraz licz c pochod fukcji i korzystaj c ze wzoru z wykªadu. 3. Dae s fukcje p: R R oraz q : ( π, π) R zadae wzorami p() = e + i q() = cos(). Oblicz (p ) () i (q ) (). 4. Daa jest fukcja u: R R o wzorze u() = ( si ). Sprawd¹, czy jest ró»owarto±ciowa, czy jest a. Obetij dziedzi i przeciwdziedzi tak by fukcja byªa bijekcj. Dla obci tej fukcji wyzacz fukcj odwrot u. d) Wyzacz obraz u ( [ π, π) ) oraz przeciwobraz u ( (, π) ). 5. Wyka»,»e odwzorowaie jest ró»owarto±ciowe i a. Wyzacz odwzorowaie odwrote. k(, y) = ( + y, y) k : R R l(, y) = (e, + y 3 ) l : R (, + ) R 6. Oblicz a dwa sposoby (jak w zad.) pochode (k ) (, ) i (l ) (, ). 7. Dae jest odwzorowaie F : R R + R o wzorze F (, y) = (, y). Zbadaj w jakich puktach odwzorowaie to jest lokalie odwracale. Podaj mo»liwie du»y obszar a którym jest globalie odwracale. Podaj wzór odwzorowaia odwrotego. Zajd¹ jakobia odwzorowaia F w pukcie (, ) korzystaj c z twierdzeia o odwzorowaiu odwrotym. 8. Dae jest odwzorowaie G: R R R o wzorze G(, y) = ( +y, y). Zbadaj w jakich puktach odwzorowaie to jest lokalie odwracale. Zajd¹ pochod odwzorowaia G w pukcie (4, ). 9. Dae jest odwzorowaie H : R R, H(, y) = (( + )e y, y ). Zajd¹ pukty w których odwzorowaie to jest lokalie odwracale. Zajd¹ mo»liwie du»y obszar, po obci ciu do którego otrzymae odwzorowaie jest globalie odwracale. Zajd¹ macierz pochodej odwzorowaia odwrotego w pukcie (3, ).. Dae jest odwzorowaie U : R \ } R R, U(, y) = ( y, y3 ). Zajd¹ pukty w których odwzorowaie to jest lokalie odwracale. Wyzacz odwzorowaie odwrote. Podaj jakobia odwzorowaia odwrotego w pukcie (, 8).. Dae jest odwzorowaie V : R R, V (, y) = (e y, y 3 + 3y ). Podaj macierz odwzorowaia odwrotego w pukcie (e, 4). Uzasadij,»e odwzorowaie odwrote jest ró»iczkowale w tym pukcie (tj.»e fukcja jest lokalie odwracal. 7
8 6 Odwzorowaia uwikªae. Zajd¹ pukty, w których fukcja f zadaje y jako fukcj uwikªa ϕ(), je±li f(, y) = + y 4 5. Zajd¹ pukty zerowaia si pochodej fukcji uwikªaej y = ϕ(). Stwierd¹, czy w tych puktach jest ekstremum, je±li tak okre±l czy jest to maksimum czy miimum.. Day jest zbiór S = (, y) R : e y + y + y = }. Dobierz warto±ci a, b tak, aby pukty (, i (b, ) ale»aªy do zbioru S. Stwierd¹, czy mo»liwe jest w otoczeiu tych puktów rozwikªaie zmieej y wzgl dem lub wzgl dem y. Je±li tak, zajd¹ warto±ci pochodych fukcji uwikªaych w odpowiedich puktach. 3. Dae jest rówaie y = 3 + y. i) Zajd¹, w otoczeiu jakich puktów (, y) ie zadaje oo ró»iczkowalej fukcji uwikªaej y(). ii) Wyka»,»e zadaje oo fukcj uwikªa (y) oraz wyzacz jej pochod. iii) Wyzacz ekstrema (s dw lokale fukcji (y). Podaj ich typ (mi/ma). 4. Zajd¹ oba ekstrema lokale (oraz podaj ich typy) fukcji y() zdeiowaej wzorem y 3 + y =. Upewij si,»e w tych puktach fukcja y() faktyczie istieje! 5. Wyka»,»e fukcja G(, y) = 3y + y 3 7 zadaje fukcj uwikªa y() w otoczeiu puktu (4, 3). Korzystaj c z pierwszej pochodej oszacuj warto± y(4,). 6. Rozpatrzmy fukcj G(, y, z) = 3 + 3y + 4z 3z y. Czy rówaie G(, y, z) = deiuje fukcj uwikªa z(, y) w otoczeiu puktów o wspóªrz dych (, y)? A = (, ) B = (, ) C = (, ) W pukcie C oblicz z oraz z y (u»yj kalkulator oraz oszacuj z(,4;,). 7. Jedym z rozwi za«ukªadu (sprawd¹!) 3 y z = + y + z 3 = 6 jest pukt (,, ). Wyka»,»e w tym pukcie istiej fukcje uwikªae (z) i y(z). Wyzacz () i y (). (Uwaga:»eby zastosowa wzór z wykªadu trzeba obliczy obie pochode rówocze±ie macierz odwracaa musi by kwadratow. Oszacuj jak zmiei si i y gdy z =,. 8. Day jest ukªad rówa«w + + y z = 6 wy yz = Wyka»,»e w otoczeiu puktu (w,, y, z) = (,,, ) powy»szy ukªad deiuje ró»iczkowal fukcj uwikªa (w, ) = Φ(y, z). Wyzacz macierz pochodej DΦ(, ). 8
9 7 Ekstrema lokale. Dla podaych poi»ej fukcji wyka»,»e (, ) jest puktem stacjoarym, wyzacz macierz drugiej pochodej w tym pukcie. Nast pie wyka» brak ekstremum lokalego w tym pukcie korzystaj c z obci cia fukcji do prostych y =, =, y =, y = (iekoieczie wszystkich). f(, y) = 6 4 +y 4 g(, y) = y h(, y) = 3 y + y 3. Wprost z deicji zbadaj, czy pukt (, ) jest ekstremum lokalym fukcji: f(, y) = y g(, y) = y 4 h(, y) = 3 ( y) 3. Wyzacz ekstrema lokale fukcji. (Skorzystaj z deicji lub z tego,»e macierz drugiej pochodej ieujema a otoczeiu puktu stacjoarego daje miimum lokale.) f(, y) = y g(, y) = 4 +y 4 h(, y) = y( y) 4. Wyzacz ekstrema lokale fukcji wielu zmieych f(, y, z) = 3 +z 3 +y +z g(, y, z) = ye 4 y + z 4 + h(, y, z) = 3 +3y z+y yz+z d) o(w,, y, z) = w 3 + w+ + +yz y z 8 Ekstrema warukowe. Korzystaj c z mo»ików Lagrage'a wyzacz lokale ekstrema warukowe: Fukcji a(, y) = y przy waruku 8 + y =. Fukcji b(, y) = y + przy waruku y + y =.. Wyzacz lokale ekstrema warukowe fukcji. Wykoaj to a trzy sposoby (podstawieie, warstwice i przez mo»iki Lagrage'. Fukcja c(, y) = y przy waruku + y =. Fukcja d(, y) = + y przy waruku = y. (zadaie - puªapk Fukcja f(, y) = ( + ) + (y ) przy waruku + y = Wyzacz lokale ekstrema warukowe fukcji F (, y, z) = + y + z a zbiorze S = (, y, z) R 3 : + y + z + z = 3}. 4. Wyzacz lokale ekstrema warukowe fukcji G(, y, z) = z a zbiorze T = (, y, z) R 3 : + y + z = + y = z}. 9 Caªki wielokrote. Oblicz poi»sz caªk dwukrotie: licz c ajpierw po a potem po y; a ast pie odwrotie. Zbiór P to prostok t P = (, y) R :, y } = [, ] [, ]. y ddy P 9
10 . Oblicz caªki: 3 4y 3 d dy 9 y d dy y 3. Oblicz caªki: 4y y 3 dy d z z y dy d dz y+ y+z y y z 3z y d dz dy 4. Dae s pukty A = (, ), B = (, ), C = (, ) oraz D = (, ). Oblicz dwukrotie caªki a trójk tach ABC i ADC (jak w zadaiu.) ABC 6y ddy ADC + y ddy 5. Oblicz caªk a trójk cie EF G, gdzie E = (, ), F = (, ), G = (3, ). y ddy EF G 6. Zamie«kolejo± caªkowaia, a potem oblicz: e y dy d + y e y d dy e y 7. Dae jest zbiór A ograiczoy parabolami y = oraz y = +. Oblicz caªk + y ddy 8. Obszar B = (, y) R : < < < y < }. Oblicz y 5 + ddy 9. Zbiór C jest ograiczoy krzywymi y =, y =, =. Oblicz y ddy. Produkcja przedsi biorstwa daa jest fukcj Cobba-Douglasa A B C Y (K, L) = 5L,6 K,4, d dy l() gdzie L to liczba osobogodzi pracy (miesi czie), a K to kapitaª (te» miesi czie) w wielokroto±ciach PLN. Zakªadamy,»e L waha si rówomierie od do 3, a kapitaª mi dzy a PLN. Oblicz ±redi produkcj miesi cz.. Korzystaj c z podstawieia bieguowego oblicz poi»sze caªki. ( + y ) 3 ddy, gdzie zbiór D day jest ierówo±ci : + y 9 D
11 E F ddy, gdzie zbiór E: + y + y ddy, gdzie zbiór F : 4 + y y. Oblicz (w przybli»eiu) obj to± aboju 9 9 mm Parabellum przybli»aj c wymiary ast puj co: ±redica ªuski to mm wysoko± caªo±ci to 3 mm ªuska ma ksztaªt walca o wysoko±ci mm cz ± pocisku wystaj ca z ªuski ma ksztaªt paraboloidy obrotowej z = a( + y ). 3. Oblicz caªk P e y d dy gdzie P to prostok t opisay ierówo±ciami + y oraz y, tj. o wierzchoªkach w puktach (, ), (, ), ( 3, ) oraz (, ). 4. U»ywaj c podstawieia (, y) = ( v( u ), u ) oblicz caªk I y d dy gdzie I to zbiór mi dzy parabolami = y oraz = 3( y ). 5. Oblicz caªk gdzie J = (, y) R : y < y J d dy } 3y < 4y. 6. U»ywaj c podstawieia (u, v) = (y, y) oblicz caªk y d dy gdzie G to zbiór mi dzy y = +, y =, y = i y =. 7. Oblicz caªk G K yz d dy dz gdzie K = (, y, z) R 3 : y < 8 y < 4 z y}. Ci gªo± i ró»iczkowalo± odwzorowa«. Zajduj c odpowiedi ci g (lub obciaj c fukcj do odpowiediej krzywej/prostej) wyka» ieci gªo± fukcji w pukcie (, ): α(, y) = 3 y 4 +y 4 dla 4 + y 4 dla = y = dla y < β(, y) = dla y
12 . Wyka»,»e fukcja jest ci gªa γ(, y) = ɛ(, y) = 3 y 4 dla + y +y dla = y = si(y ) dla + y +y dla = y = δ(, y) = d) ζ(, y) = 3 y 3 dla 4 + y 4 ( +y ) dla = y = cos( y ) dla 4 + y 4 +y dla = y = 3. Zbadaj ci gªo±, tj. sprawd¹ dla jakich (, y) fukcja jest ci gªa η(, y) = l(+ ) + y dla y dla = θ(, y) = y dla y dla y = 4. Wyzacz pochode kierukowe o ile istiej fukcji α(, y) (powy»ej) w pukcie (, ) w kierukach [, ], [, ], [, ]. 5. Wyzacz obie pochode cz stkowe w pukcie (, ) o ile istiej fukcji 3 y dla ι(, y) = 4 + y 4 4 +y 4 dla = y = 6. Korzystaj c z pochodych kierukowych wyka»,»e fukcja ι ie jest ró»iczkowala w (, ) 7. Zbadaj ró»iczkowalo± fukcji κ(, y) = 4 y 3 +y dla + y dla = y = λ(, y) = y 4 4 +y dla 4 + y dla = y = 8. Zbadaj, czy fukcja jest klasy C µ(, y) = 3 y +y dla + y dla = y = ν(, y) = 3 +y 3 +y dla 4 + y dla = y =
> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)
.65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowowi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =
32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby
Bardziej szczegółowox + 1 dla x 2 (d) f(x) = + 2 dla x > 2; (3) Znajd¹ dziedzin oraz funkcj odwrotn (je±li jest to proste) do: 1 log 3 x, (log2 x 2 ) 1 log 2
1. Fukcje elemetare (1) Zajd¹ wykres fukcji arcsi(si(x)). (2) Zajd¹ posªuguj c si wykresami fukcje odwrote do podaych i»ej, a ast pie sprawd¹,»e s to rzeczywi±cie odwrote. (a) f(x) = 2x; (b) f(x) = 3x
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle'a i twierdzenie Lagrange'a.
SKRYPT A Jarosªaw Wróblewski. Pochoda fukcji. Twierdzeie Rolle'a i twierdzeie Lagrage'a. Kolokwium r : do zad. 473 Kolokwium r : do zad. 53 Kolokwium r 3: do zad. 538 Kolokwium r 4: do zad. 579 445. Niech
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoPrace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska
Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoZauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)
Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowoIII seria zadań domowych - Analiza I
III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoMatematyczne podstawy kognitywistyki
Matematycze podstawy kogitywistyki Jerzy Pogoowski Zakªad Logiki i Kogitywistyki UAM pogo@amu.edu.pl Struktury ró»iczkowe Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 1
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowosin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne
Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x
ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f
Bardziej szczegółowoAM /2010. Zadania z wicze«18 i 22 I 2010.
AM 2009/200 Zadaia z wicze«8 i 22 I 200 Omówieie zada«z kolokwium i zada«domowych Zadaie Niech f : [a, + ) R b dzie fukcj ci gª Okre±lamy fukcj f wzorem f(t) = sup{f(x) : x t} Wyka»,»e f jest iemalej ca
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoFraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowo3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń
3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.
Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 208/9 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowoMatematyka 2 (Wydziaª Architektury) Lista 1: Funkcje dwóch zmiennych
Matematka 2 (Wdziaª Architektur) Lista : Funkcje dwóch zmiennch I Wznacz i narsowa dziedzin funkcji:. z = 3 2 5 2. z = sin(2 + 2 ) 2 + 2 3. z = arcsin(2 + 2 ) 2 + 2 4. z = 5. z = ln 2 2 + 2 4 2 ( ) 2 +
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoZadania - powtórzenie do egzaminu dojrzałoci
Zadaia - powtórzeie do egzamiu dojrzałoci. Dla jakich wartoci parametru m rozwizaie układu rówa y = m y = m jest par liczb o przeciwych zakach. Sformułuj waruek zbieoci ieskoczoego cigu geometryczego i
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. L. Baachowski, K. Diks, W. Rytter Algorytmy i struktury daych.
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoA.1. Asymptotyka bez notacji asymptotycznej. Przykªad A.1. Zbada zachowanie asymptotyczne liczb Fibonacciego. Pokaza,»e. F n = round ( 1 5 Φ n )
A Notacjaasymptotycza Badaj c du»e obiekty kombiatorycze cz sto ie jest koiecze pozaie dokªadej warto±ci okre±loej wielko±ci (szczególie gdy wzór dokªady jest skomplikoway), a jedyie jej warto± przybli»o,
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18
dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoArkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoWykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna 2-2
Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych.
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. A. V. Aho, J.E. Hopcroft, J. D. Ullma - Projektowaie i aaliza
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 06/7 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trochę trudiejsze. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoRównoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.
16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)
Bardziej szczegółowo