Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa

Transkrypt

1 Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e t dt. Funkcje, dla których powy»za caªka niewªa±ciwa jet dobrze okre±lona i zbie»na nazywamy oryginaªami. Formalna denicja jet nat puj ca: Oryginaªem nazywamy funkcj f : R R peªniaj c warunki:. f(t) = dla t <, 2. na ka»dym przedziale [, T ] funkcja f ma ko«czon liczb punktów nieci gªo±ci pierwzego rodzaju, 3. itniej taªe C R oraz M > takie,»e dla ka»dego t zachodzi f(t) Me Ct. Uwaga. W niniejzym wykªadzie b dziemy i poªugiwa wyªacznie oryginaªami. Przykªadowo, nawet piz c f(t) = in t, b dziemy mie na my±li funkcj, która dla t nieujemnych jet równa in t, a dla ujemnych przyjmuje warto±. 2. Zauwa»my,»e otani warunek w denicji oryginaªu zapewnia nam zbie»no± caªki niewªa±ciwej f(t)e t dt dla > C. Zachodzi f(t) e t = f(t) e Ct e (C )t Me Ct e Ct e (C )t = Me (C )t, a poniewa» C < zatem e (C )t dt jet zbie»na, a z kryterium porównanczego wniokujemy,»e bezwzgl dnie zbie»na jet caªka f(t)e t dt. Dla funkcji f b d cej oryginaªem deniujemy funkcj L[ f ] wzorem L[ f ]() = f(t)e t dt. Caªka ta jet dobrze okre±lona dla > C, gdzie C jet taª z denicji oryginaªu. Tranformata Laplace'a to przyporz dkowanie f L[ f ].

2 Uwaga B dziemy pia L[ f(t) ](), zamiat L[ f ](), gdy b dziemy chcieli i odnie± do przekztaªce«na argumencie oryginaªu albo gdy b dziemy zapiywa wzór funkcji explicite, np. L[ in t ](). Przykªady. Obliczymy tranformat Laplace'a funkcji Heaviide'a (t) = L[ (t) ]() = e t dt = lim 2. Podobnie, dla f(t) = e αt mamy 3. Dla f(t) = t mamy L[ t ]() = L[ e αt ]() = Tranformaty wa»nych funkcji T T e t dt = lim T [ te te t t dt = lim T f(t) ] T [ e t {, gdy t,, gdy t <. t= e (α )t dt = α, > α. =, >. ] T + e t 2 = 2, >. L[ f ]() (t), > e αt α, > α t n n! n+ β in βt 2 + β 2 co βt 2 + β 2 t n e αt n! ( α) n+ Twierdzenie Tranformata Laplace'a ma nat puj ce wªano±ci:. L[ f + g ]() = L[ f ]() + L[g]() oraz L[cf]() = cl[ f ]() (liniowo± ), 2. je±li g(t) = f(αt), to L[ g ]() = ( ) α L[ f ] (kalowanie), α co b dziemy te» zapiywa jako L[ f(αt) ]() = ( ) α L[ f(t) ], α 3. L[ e at f(t) ]() = L[ f(t) ]( a) (przeuni cie argumentu obrazu), 2

3 4. L[ f(t τ) ]() = e τ L[ f(t) ]() (przeuni cie argumentu oryginaªu), 5. L[ t n f(t) ]() = ( ) n (L[ f ]) (n) () (ró»niczkowanie obrazu), Przykªad Niech f(t) = te t. Wtedy L[ te t ]() = ( L[ e t ] ) () = ( Twierdzenie (o jednoznaczno±ci tranformaty) ) = ( ) 2. Je±li funkcje ci gªe f i g maj takie ame tranformaty, to obie równe. Przykªad Wyznaczy funkcj, dla której tranformat Laplace'a jet funkcja L[ f(t) ]() = = = L[ co 3t ]() 3L[ in 3t ]() = L[ co 3t 3 in 3t ](). + 9 St d f(t) = co 3t 3 in 3t. Metoda operatorowa Wa»nym przykªadem zatoowaniem tranformaty Laplace'a równania ró»niczkowe. Niech f(+) = lim f(t). Wtedy zachodzi nat puj ca wªano± dotycz ca pochodnej tranformaty: t + L[ f ]() = L[ f ]() f(+) L[ f ]() = 2 L[ f ]() f(+) f (+) L[ f ]() = 3 L[ f ]() 2 f(+) f (+) f (+). L[ f (n) ]() = n L[ f ]() n n k f (k ) (+) k= Metoda operatorowa polega na wykorzytaniu tego wzoru do przekztaªcenia równania ró»niczkowego w zwykªe równanie algebraiczne, rozwi zania tego równania i wyznaczenia tranformaty Laplace'a, a nat pnie na odzyfrowaniu tranformaty celem otrzymania rozwi zania równania ró»niczkowego. Przykªady Rozwi za podane równiania ró»niczkowe:. y + y = in t, z warunkiem pocz tkowym y() =. Je±li obie trony równania równe, to równie» ich tranformaty równe. Oznaczmy przez Y () = L[y]() tranformat funkcji y. Wtedy L[y + y]() = L[in t]() L[y ]() + L[y]() = Y () + Y () =

4 St d Y () = ( + )( 2 + ) = ( ), + a poniewa» L[ in t ] = 2, L[ co t ] = + 2 +, L[ e t ] = +, t d z jednoznaczno±ci tranformaty Laplace'a otrzymujemy y(t) = 2 ( in t co t + e t ). 2. y + y = z warunkiem pocz tkowym y() = y () =. Analogicznie jak poprzednio, mamy 2 Y () y() y () + Y () = 2 Y () + Y () =, Y () = = St d L[ y(t) ] = L[ co t ] + L[ in t ] = L[ co t + in t ], zatem y(t) = co t + in t. Tranformacja Laplace'a plotu funkcji Splotem funkcji nazywamy caªk (f g)(x) = f(t)g(x t) dt. Fakt Dla funkcji ci gªych plot jet operacj. przemienn, tzn. f g = g f, 2. ª czn, tzn. (f g) h = f (g h), 3. rozdzieln wzgl dem dodawania, tzn. f (g + h) = f g + f h. Uwaga Zauwa»my,»e je±li f i g oryginaªami, to dla t < mamy f(t) = g(t) =, zatem zachodzi x (f g)(x) = f(t)g(x t) dt. Twierdzenie L[ f g ]() = L[ f ]() L[ g ]() 4

5 Przykªad Niech L[ f(t) ]() = 2 ( + 2) = Poniewa» 2 = L[ t ]() oraz + 2 = L[e 2t ](), zatem t f(t) = t e 2t = u e 2(t u) du = u e 2(t u) du = 4 (2t ) + 4 e 2t. 5