ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Transkrypt

1 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15

2 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 19 6 Twierdzenie Eulera 22 7 Twierdzenie Lagrange'a 26 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 29 9 RSA i gra w orªa i reszk przez telefon Kongruencje wy»szych stopni Liczby pseudopierwsze Pierwiastki pierwotne Istnienie pierwiastków pierwotnych Logarytm dyskretny Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 61 2

3 Wykªad 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci Podstawow ide arytmetyki modularnej jest zredukowanie skomplikowanych oblicze«. Jednym ze sposobów jest zast pienie dziaªa«na liczbach przez dzia- ªania na resztach z dzielenia tych liczb przez inn liczb. Na przykªad, aby stwierdzi jaka jest ostatnia cyfra sumy nie trzeba wykonywa caªego dodawania, tylko doda ostatnie cyfry tych liczb, tj. reszty z dzielenia przez 10. Otrzymujemy 8+5 = 13, czyli ostatni cyfr naszej sumy jest 3. Sprawd¹my teraz, czy liczba jest kwadratem innej liczby. Je±li tak, to jej ostatni cyfr jest jedna z ostatnich cyfr liczb 0 0 = 0, 1 1 = 1, 2 2 = 4, 3 3 = 9, 4 4 = 16, 5 5 = 25, 6 6 = 36, 7 7 = 49, 8 8 = 64, 9 9 = 81, czyli 0, 1, 4, 5, 6 lub 9 (dodatkowo zauwa»my,»e je±li liczba n jest kwadratem i jej ostatni cyfr jest zero, to liczba zer na ko«cu jest parzysta). Poniewa» cyfry 3 nie ma na powy»szej li±cie, wi c nie jest kwadratem liczby caªkowitej. Wprowad¹my teraz oznaczenie m mod n dla reszty z dzielenia liczby caªkowitej m przez liczb caªkowit n ró»n od zera. Z dziaªania tego korzystamy cz sto w»yciu codziennym: Je±li teraz jest godzina 10.45, to za póª godziny b dzie godzina 11 minut ( ) mod 60, czyli 15. Symbol,, mod oznacza dziaªanie arytmetyczne. Kiedy w nast pniku tego dziaªania ustalimy liczb m, a za poprzednik b dziemy brali kolejne liczby caªkowite, to zauwa»ymy,»e wynik dziaªania powtarza si co m liczb. Liczby, które daj ten sam wynik, gdy podziaªa si na nie t sam liczb m, nazywamy przystaj cymi modulo m. Przypu± my,»e a, b, m 0 s liczbami 3

4 caªkowitymi. Mówimy,»e a przystaje do b modulo m, co zapisujemy a b (mod m), (1.1) je±li m a b. Zapis (1.1) nazywamy kongruencj. moduªem kongruencji. Liczb m nazywamy 1.1 Przykªad. Poniewa» , wi c (mod 9). Mamy te» (mod 3). Ka»de dwie liczby ze zbioru {..., 4, 5, 14, 23, 32,... } przystaj do siebie modulo 9. Ka»de dwie liczby caªkowite a oraz b przystaj do siebie modulo 1 oraz modulo 1. Mamy wi c a b (mod 1) oraz a b (mod 1). Dlatego nie warto rozwa»a kongruencji o module 1. Poniewa» a b (mod m) implikuje a b (mod m), wi c rozwa»amy tylko dodatnie moduªy. Od tej pory zakªadamy,»e moduª kongruencji jest liczb caªkowit dodatni wi ksz od 2. Przypomnimy teraz znany fakt o dzieleniu z reszt. 1.2 Twierdzenie. Je±li a, m Z oraz m 0, to istniej jednoznacznie zdeniowane liczby q Z oraz r {0, 1,..., m 1}, takie»e a = q m + r. Dowód. Je±li m = 1, to a = a m + 0 i liczby a oraz 0 s wyznaczone jednoznacznie. Podobnie mamy w sytuacji, gdy m = 1: a = ( a)m + 0. Zaªó»my wi c,»e m > 1 i rozwa»my zbiór R = {a xm : x Z}. W zbiorze R istnieje przynajmniej jedna liczba dodatnia. Aby to zauwa»y, wystarczy rozwa»y kilka przypadków, np. gdy a < 0 oraz m > 0, to za x mo»na wzi liczb a. Wtedy a xm a. Niech y b dzie najmniejsz liczb nieujemn nale» c do R. Wówczas a xm = y, czyli a = xm + y. Poka»emy,»e y < m. Istotnie, gdyby y byªo wi ksze od m 1, to y m 0 oraz y m = a (x + 1)m, czyli y m R i y m < y, sk d sprzeczno±. Zatem pokazali±my istnienie liczb q oraz r. Zaªó»my,»e istniej dwa ró»ne zapisy a = q 1 m + r 1 oraz a = q 2 m + r 2, przy czym r 1, r 2 R. Wówczas (q 1 q 2 )m = r 2 r 1. Ale r 2 r 1 < m oraz m r 2 r 1, wi c r 2 r 1 = 0. Dalej, (q 1 q 2 )m = 0, wi c skoro m 0, tak»e q 1 q 2 = 0. 4

5 Z powy»szego twierdzenia wynika,»e kongruencja (1.1) oznacza,»e a oraz b daj takie same reszty przy dzieleniu przez m, czyli a mod m = b mod m. Je»eli m a b, to fakt ten zapisujemy a b (mod m) i mówimy,»e a nie przystaje do b modulo m. Ustalmy teraz liczb m i zdeniujmy na zbiorze Z relacj ρ nast puj co: aρb a b (mod m) (1.2) 1.3 Twierdzenie. Relacja zdeniowana w (1.2) jest relacj równowa»no±ci. Klasy abstrakcji tej relacji tworz zbiór reszt modulo m. Dowód. Wystarczy pokaza,»e relacja (1.2) jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, czyli»e 1. a a (mod m); 2. je±li a b (mod m), to b a (mod m); 3. Je±li a b (mod m) oraz b c (mod m), to a c (mod m). Aby pokaza 1, zauwa»my,»e a a = 0, zatem m a a. Symetryczno±, czyli 2, wynika z faktu,»e b a = (a b), wi c je±li m a b, to m b a. Aby pokaza 3, zapiszmy m a b oraz m b c. St d m (a b) + (b c), czyli m a c. Zbiór ilorazowy relacji (1.2) oznaczamy Z/mZ lub Z m. Zatem Z 5 skªada si z nast puj cych zbiorów: [0] = {..., 10, 5, 0, 5, 10, 15,... }, [1] = {..., 9, 4, 1, 6, 11, 16,... }, [2] = {..., 8, 3, 2, 7, 12, 17,... }, [3] = {..., 7, 2, 3, 8, 13, 18,... }, [4] = {..., 6, 1, 4, 9, 14, 19,... }. Zazwyczaj uto»samiamy elementy 0, 1, 2, 3, 4 z klasami abstrakcji, które s przez nie reprezentowane. Piszemy wi c Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Okazuje si,»e kongruencjami mo»na manipulowa bez wyra»ania liczb za pomoc reszt i ilorazów cz ±ciowych. Przy ustalonym module m, kongruencje mo»na dodawa, odejmowa i mno»y stronami. 5

6 1.4 Twierdzenie. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, c, d oraz m 0 je±li a b (mod m) oraz c d (mod m), to równie» (a) a + c b + d (mod m), (b) a c b d (mod m), (c) ac bd (mod m). Dowód. Poniewa» m a b oraz m c d, wi c m a b + c d, co dowodzi (a), oraz m a b (c d), co dowodzi (b). Aby pokaza (c), zapiszmy ms = a b oraz mr = c d i rozwa»my ac bd. Mamy ac bd = ac ad + ad bd = a(c d) + d(a b) = mra + msd = m(ra + sd). St d m ac bd, czyli teza (c) jest prawdziwa. Poniewa» c c (mod m), wi c punkt (c) powy»szego twierdzenia implikuje nast puj cy wniosek. 1.5 Wniosek. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, c oraz m 0, je»eli a b (mod m), to ac bc (mod m). Pot gowanie o wykªadniku naturalnym jest wielokrotnym mno»eniem. Dlatego mamy kolejny wniosek. 1.6 Wniosek. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, m 0 oraz liczby naturalnej k, je»eli a b (mod m), to a k b k (mod m). Twierdzenie 1.4 oraz wnioski po nim implikuj nast puj ce twierdzenie, które b dziemy pó¹niej cz sto u»ywa. 1.7 Twierdzenie. Przypu± my,»e dany jest wielomian f(x) o wspóªczynnikach w zbiorze liczb caªkowitych. Je±li a b (mod m) jest prawdziwa, to zachodzi te» kongruencja f(a) f(b) (mod m). 6

7 Przykªady 1.8. Jaka jest ostatnia cyfra liczby 3 23? Poniewa» 3 3 (mod 10), (mod 10), (mod 10), (mod 10), (mod 10), wi c cyfry w kolejnych pot gach liczby 3 powtarzaj si cyklicznie co cztery. Zatem 3 23 ma ostatni cyfr tak sam jak 3 3, czyli Znajdziemy 2 32 mod 17. Zauwa»my,»e (mod 17). Zatem 2 8 = ( 1) ( 1) = 1 (mod 17). Podobnie dostajemy (mod 17) oraz (mod 17). Zatem 2 32 mod 17 = 1. Kongruencji nie mo»na dzieli stronami. Istotnie, zauwa»my»e zachodz kongruencje (mod 6) oraz 8 2 (mod 6), ale 6 15 (mod 6). 7