1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle'a i twierdzenie Lagrange'a.

Transkrypt

1 SKRYPT A Jarosªaw Wróblewski. Pochoda fukcji. Twierdzeie Rolle'a i twierdzeie Lagrage'a. Kolokwium r : do zad. 473 Kolokwium r : do zad. 53 Kolokwium r 3: do zad. 538 Kolokwium r 4: do zad Niech f = 3. Korzystaj c z deicji pochodej obliczy f Niech f = 5. Korzystaj c z deicji pochodej wyprowadzi wzór a f Korzystaj c z deicji pochodej wyprowadzi wzór a pochod fukcji f = Chcemy zaokr gli moduªowi dzióbek. Niech b dzie liczb atural. Dobra takie a, b, c zale»e od, aby fukcja dla / f = a + b + c dla < / byªa ró»iczkowala. Obliczy f. Naszkicowa wykres fukcji f oraz wykres jej pochodej. Zadaia to zadaia do samodzielego rozwi zaia. Na wiczeiach b d rozwi zae tylko zadaia sprawiaj ce kªopoty. Obliczy pochod fukcji zmieej o podaym wzorze. Poda, w jakim zbiorze istieje pochoda. Wskazówka: A B = e BlA. Uwaga: {} ozacza cz ± uªamkow liczby /3 + / / e 463. e l 464. l e 465. e 466. l 467. e e 468. ll 469. log log log 3 log e l l 478. e l /3 48. e l e e + e sg 486. dla <, dla 487. e {} 49. dla <, dla 49. sg 5 3 π 49. e 493. e dla <, + dla e e 496. e e e 497. Dla daych ró»ych liczb rzeczywistych a i b oraz zbioru Z R chcemy formalie zapisa waruek, ze istieje w zbiorze Z liczba ostro mi dzy a i b, ie wiemy jedak z góry, która z liczb a, b jest wi ksza. Które z podaych waruków s do tego celu odpowiedie? 38

2 c Z a < c < b c Z a < c < b b < c < a c Z a < c < b b < c < a c, ac + b c Z ac + b c Z c> c [,] bc + a c Z c, a + b ac Z c, c Z c Z c Z c Z\{a} a + a bc Z c, b a c b, b a c a, b a b a c a > 498. Przyporz dkowa ast puj cym twierdzeiom podae i»ej waruki oraz powiedzie, co mówi waruek ieprzyporz dkoway»ademu twierdzeiu. i Wªaso± Darbou fukcji ci gªych: Je»eli fukcja f jest ci gªa a przedziale [a, b], to ii Wªaso± Darbou pochodej fukcji: Je»eli fukcja f jest ró»iczkowala a przedziale [a, b], przy czym w puktach a i b istiej odpowiedie pochode jedostroe, to iii Twierdzeie Rolle'a: Je»eli fukcja f jest ci gªa a przedziale [a, b] i ró»iczkowala a przedziale a, b, a poadto fa = fb, to iv Twierdzeie Lagrage'a o warto±ci ±rediej rachuku ró»iczkowego: Je»eli fukcja f jest ci gªa a przedziale [a, b] i ró»iczkowala a przedziale a, b, to 4 s, t, f a + tb a = f a + sf b f a 5 t, fb = fa + b af a + tb a 39

3 6 s, t, fa + tb a = fa + sfb fa 7 t, s, fa + tb a = fa + sfb fa 7 t, f a + tb a = W ast puj cym zadaiu wykorzysta twierdzeie Lagrage'a oraz wªaso± Darbou fukcji ci gªych przypomieie: fukcja ró»iczkowala jest ci gªa Fukcje f, f, f 3,..., f s okre±loe i ró»iczkowale a caªej prostej rzeczywistej, a ich pochode s ci gªe. Poadto f 3 =, f 5 =, f = 3, f 4 =, f 3 5 =, f 3 5 =, f 4 =, f 4, f 5 =, f 5 =, f 5, f 6 = 7, f 6 >, f 7 3 = 5, f 7, f 8 =, f 8 =, f 8 3 = 4, f 9 =, f 9 =, f 93 = 4, f = 5, f = 5, < f <, f =, f =, < f <, f =, f =, < f <. A Dowie±,»e dla co ajmiej trzech fukcji f i zachodzi waruek f i B Dowie±,»e dla co ajmiej dwóch fukcji f i zachodzi waruek c f ic = C Dowie±,»e dla co ajmiej siedmiu fukcji f i zachodzi waruek f i D Dowie±,»e dla co ajmiej czterech fukcji f i zachodzi waruek f i 99 > E Dowie±,»e dla co ajmiej dwóch fukcji f i zachodzi waruek f c ic = 5 F Dowie±,»e dla co ajmiej jedej fukcji f i zachodzi waruek f c ic = 44 G Dowie±,»e dla co ajmiej trzech fukcji f i zachodzi waruek c f ic = 4

4 H Dowie±,»e dla co ajmiej siedmiu fukcji f i zachodzi waruek f i 8 I Dowie±,»e dla co ajmiej czterech fukcji f i zachodzi waruek c f i c = 3 J Dowie±,»e dla co ajmiej jedej fukcji f i zachodzi waruek c d f i c = f i d = 7 K Dowie±,»e dla co ajmiej dziewi ciu fukcji f i zachodzi waruek c, d f i c = f id 5. Wyprowadzi wzór a pochod fukcji f = 7 + si4 si 7 + cos 4 cos. Doprowadzi wzór a pochod do mo»liwie ajprostszej postaci. 5. Poda z wyprowadzeiem i uzasadieiem poprawo±ci przykªad takiego wielomiau W stopia trzeciego o wspóªczyikach caªkowitych,»e fukcja f = W {} jest ró»iczkowala. 5. Na potrzeby tego zadaia fukcj f azwiemy pikoró»iczkowal w pukcie, je»eli istieje graica f f + h f = lim h h, któr to graic azywa b dziemy pikopochod fukcji f w pukcie. Obliczy pikopochod fukcji f okre±loej wzorem f = we wszystkich puktach jej pikoró»iczkowalo±ci. 53. Niech + e e dla f = 3. A dla = Dla której warto±ci parametru A istieje f i ile jest rówa?. Pochoda fukcji - zastosowaia. Zajdowaie ajmiejszej i ajwi kszej warto±ci fukcji a przedziale domki tym. Reguªa de l'hospitala. 54. Rozwa»amy graiastosªupy prawidªowe o podstawie trójk tej i obj to±ci. Który z ich ma ajmiejsze pole powierzchi caªkowitej? 55. Potrzeba jest kad¹ w ksztaªcie walca, otwarta u góry, której do i bok wykoae s z tego samego materiaªu. Kad¹ ma mie pojemo± 57 hektolitrów. Jaki powiie by stosuek ±redicy da do wysoko±ci kadzi, aby do jej wykoaia potrzeba byªo jak ajmiej materiaªu? Zale¹ ajmiejsz i ajwi ksz warto± fukcji okre±loej podaym wzorem w podaym przedziale , [, 7] , [, ] 4

5 , [, ] , [, ] 5. l, [, e3 ] 5. si +, [, π] 5., [, 4] si + si 3, [, π] Obliczy graice 54. lim 55. lim si cos 57. lim 58. si lim 56. lim e e si e 59. lim l e 5. e lim 5. e e e lim 5. lim l l + ll 53. lim 54. lim 55. lim e e lim e lim e dla 58. Niech f = cos. A dla = Dla którego A istieje f i ile wyosi? π dla {kπ; k Z} 59. Niech f = si. A k dla = kπ, k Z Dla których A k k Z istiej f kπ i ile wyosz? si dla 53. Niech f = cos {kπ + π ; k Z}. A k dla = kπ + π, k Z Dla których A k k Z istiej f kπ + π i ile wyosz? 3 dla Z siπ 53. Niech f =. dla Z Obliczy f dla tych Z, dla których istieje. e 7 dla 53. Niech f =. dla = Obliczy f. cosπ + dla Z siπ 533. Niech f = 3 dla Z Obliczy f dla tych Z, dla których istieje Niech Dla którego A istieje f i ile wyosi? e 3 3e + dla f =. A dla =. 4

6 535. Niech T b dzie zbiorem wszystkich fukcji ró»iczkowalych f : R R speªiaj - cych waruki f3 = 7 f 3 dla ka»dego R. W ka»dym z zada«a-f podaj odpowiedi kres zbioru. Za podaie poprawych odpowiedzi w zadaiach otrzymasz ma, puktów. A. sup{f6 : f T}=... B. if{f5 : f T}=... C. sup{f : f T}=... D. if{f : f T}=... E. sup{f9 f4 : f T}=... F. if{f7 f : f T}= Wyzaczy ajmiejsz i ajwi ksz warto± fukcji f = [ a przedziale ] 3, oraz poda, w których puktach te warto±ci s osi gae Wyzaczy ajmiejsz i ajwi ksz warto± fukcji f = 4 + l [ ] a przedziale, oraz poda, w których puktach te warto±ci s osi gae Wyzaczy ajmiejsz i ajwi ksz warto± fukcji f = / a przedziale [, 5] oraz poda, w których puktach te warto±ci s osi gae. 3. Pochode wy»szego rz du. Wzór Taylora. Wypukªo± fukcji. Obliczy pochod rz du 3 fukcji zmieej daej wzorem l 543. e 544. cos e 547. l Wyprowadzi wzór a pochod rz du fukcji zmieej daej wzorem 549. l 55. l si si e Dowie±,»e fg = k= 554. e 559. e 56. si k f k g k. Obliczy przybli»oe warto±ci ast puj cych liczb korzystaj c z trzech wyrazów zerowego, pierwszego i drugiego odpowiedio dobraego szeregu Taylora. Oszacowa bª d przybli»eia a podstawie wzoru Taylora e Wyzaczy promie«zbie»o±ci szeregu Maclauria fukcji f = +. 43

7 567. Wyzaczy promie«zbie»o±ci szeregu Maclauria fukcji f = Wyzaczy promie«zbie»o±ci szeregu Maclauria fukcji f = l + e Zbada, w jakim przedziale jest zbie»y szereg i poda wzór a jego sum w tym przedziale. Zale¹ pukty przegi cia i przedziaªy wypukªo±ci fukcji daych wzorami: e 573. si l = 576. Wyprowadzi wzór a pochod rz du fukcji f = e si 3. Otrzymay wzór powiie mie prost posta, ie zawieraj c»adego ze zaków " ", "+", " " Niech e e dla f =. A dla = a Dla której warto±ci parametru A istieje f i ile jest rówa? b Dla tej samej warto±ci parametru A wyzaczy f Fukcja f :, + R jest dwukrotie ró»iczkowala oraz speªia waruki Wyzaczy f4. f = f = f = dla ka»dego, Niech T b dzie zbiorem wszystkich fukcji ró»iczkowalych f : R R speªiaj - cych waruki f = f = f dla ka»dego R. Dobra odpowiedie liczby C, D, a ast pie: a Dowie±,»e dla dowolej fukcji f T zachodzi ierówo± C f D. b Wskaza takie fukcje f, f T,»e f = C, f = D. 44

8 Kolokwium r 5: do zad. 599 Kolokwium r 6: do zad Caªka ieozaczoa - podstawy. Caªkowaie przez cz ±ci i przez podstawieie. Obliczy f je±li f daa jest wzorem: 58. m 58. m, N 58. a e, a > , 4, e si Zale¹ tak fukcj F,»e F dae jest wzorem cos 595. e 7 Zale¹ tak fukcj F,»e 596. F = +, F =, F = F = 3, F =, F 3 = F = si, F = F = F = 599. F =, F = F =, F = F = 3 Obliczy f, je±li f daa jest wzorem: 6. si 6. e l e e si 66. si cos 67. e 3 si 68. e 69. e si e 6. e 6. si l 6. e 63. cos 64. e lll 66. cos e si si 5 cos 69. tg 6. e + 6. e 5 si 3 6. e 5 cos si 3 si si 5 e arctg 66. arctg7 + 9arctg l7 + l 69. e si + l e 4 e Wsk. = si t Zale¹ wszystkie takie fukcje F,»e F dae jest wzorem 634. e Caªka ieozaczoa c.d.. Caªkowaie fukcji wymierych. Obliczy f, je±li f daa jest wzorem: arctg 638. arctg l

9 e Wsk. + e t = e 654. l l e l 66. e 66. e 66. e + e + e arctg Wsk. 4 + = + a ± + b ± Sprowadzi ast puj ce caªki do caªek fukcji wymierych 67. si si + cos Wsk. + = t Wsk. + = + t Wyrazi I przy pomocy I lub I 68. I = I = e 684. I = 685. I = si Wsk. si si przez cz ±ci 686. I = l 687. I = e si 688. Zale¹ takie F,»e F = Dla spragioych wi kszej ilo±ci zada«: +, F =, F = 5 W. Krysicki, L. Wªodarski, Aaliza matematycza w zadaiach, cz ± I, Rozdziaª XV Caªki ieozaczoe, Rozdziaª XVI Caªki fukcji wymierych, Ÿ7. Caªki z pierwiastków z wyra»eia liiowego. 46

10 Kolokwium r 7, do zad. 74 Kolokwium r 8, do zad. 759 Kolokwium r 9, do zad Caªka ozaczoa Przemek ma przygotowa referat dotycz cy caªki ozaczoej. Przemek chce poda ast puj ce wzory zachodz ce dla fukcji ci gªej f a przedziale [a, b]: b a b a b a b a f = lim b a f = lim b a b a b a k= k= if [a+k b a sup [a+k b a b a f = lim f b a f = lim b a f = lim b a f = lim f k= k= f k= fa + fb +,a+k b a,a+k b a a + k b a a + k b a a + k / b a k= f ] f A ] f B C D E a + k b a F Przemek poprosiª Gosi o wykoaie rysuków ilustruj cych powy»sze wzory. Niestety Gosia ie apisaªa, który rysuek odpowiada któremu wzorowi. Pomó» Przemkowi przyporz dkowa rysuki rys. -6, str. 5-5 odpowiedim wzorom. Poda wzór a C = k= b a fa + kb a oraz obliczy lim C 69. f =, a = 5, b = f =, a =, b = 69. f =, a =, b = f =, a =, b = f = 3, a =, b = 695. f = + 5, a = 3, b = f = +, a =, b = 697. f = 3 +, a =, b = f = e, a =, b = Obliczy ast puj ce caªki poprzez kostrukcj ci gu podziaªów dziedziy oraz obliczeie graicy ci gu sum Riemaa Wsk. k/ e Obliczy caªki ozaczoe: 7. e 73. l Wsk. ek/ 3 Wsk. k 3 3 Wsk. k/ Wsk. 4k 47

11 77. π π si arctg[] π/ cos sg e l + 7. e3 75. log π/ cos si 73. π π 7 cos +l [cos ] e 78. π 3 si l5 6π 77. si e e e π π 7 cos Udowodi ast puj ce oszacowaia 73. π/ 734. si < < < +si < < + < < < / < 3 < < 3 4 e e +e 48

12 Obliczy graice 74. lim lim lim 74. lim lim si + si + si si 745. lim lim lim 748. lim 749. lim 75. lim 75. lim lim e 3 + e + e e 753. lim lim lim 756. lim Udowodi oszacowaie 9 3 < 3 Obliczy graice < Wskazówka: Oszacowa przez a lim Wskazówka: Niewymiero± + a + b caªkujemy wykouj c podstawieie +a t = +b. +si 759. lim si si si si + + Wskazówka: Skorzysta z twierdzeia o trzech ci gach. Obliczy pole gury ograiczoej ast puj cymi krzywymi 76. y = i y = y = e i prost przechodz c przez pukty, i, e 76. y = si i y = π 763. y = 4 i y = y = i y = y =, y = 3 i = Dla daych f, a i b obliczy dªugo± ªuku krzywej y = f, a b 766.,, , 7, 768.,, Wsk. Skorzysta z tablic caªek e,, 77. 3, 6, 77. e + e,, Dla daych f, a i b obliczy pole powierzchi powstaªej przez obrót krzywej y = f, a b wokóª osi OX 77. 3,, e,, 774.,, si,, π 776. cos 7,, π 49

13 Dla daych f, a i b obliczy obj to± bryªy powstaªej przez obrót obszaru y f, a b wokóª osi OX 777.,, 778.,, ,, 78. e, 3, 78. si,, 3π Obliczy obj to± bryªy powstaªej przez obrót obszaru ograiczoego krzywymi o podaych rówaich, wokóª osi OY 78. y = e, y =, = i = y = si i y = si, π 784. y =, y =, = i = 785. y = l, y =, = i = e 786. y = 787. Obliczy dªugo± ªuku krzywej y = + 4 3, Obliczy obj to± bryªy powstaªej przez obrót obszaru y e, wokóª osi OX Obliczy dªugo± ªuku krzywej y = l, Obliczy obj to± bryªy powstaªej przez obrót obszaru arctg y arctg + + si, π wokóª osi OX. 79. Pomara«cz o ciekiej skórce pokrojoo a plastry rówej grubo±ci. Dowie±,»e ka»dy plaster zawiera tyle samo skórki. 79. Od pomara«czy o grubej skórze odkrojoo ko«ce tak, aby ukazaª si mi»sz. Pozostaª cz ± pokrojoo a plastry rówej grubo±ci. Dowie±,»e ka»dy plaster zawiera tyle samo skórki Pasem o szeroko±ci d azywamy obszar pªaszczyzy zawarty pomi dzy dwiema prostymi rówolegªymi odlegªymi o d, wraz z tymi prostymi. Czy koªo mo»a pokry pasami o sumie szeroko±ci miejszej od ±redicy koªa? Pasów ma by sko«czeie wiele. 5

14 Kolokwium r,.5. do zad Caªki iewªa±ciwe - obliczaie, kryterium porówawcze Zbada zbie»o± caªek iewªa±ciwych, obliczy te, które s zbie»e + l e 83. l e 3 8. e / si 4 Zbada zbie»o± caªek iewªa±ciwych + si e / cos 8. e / 3 + arctg l 8. / si arctg + arctg si Oszustwo 89. fukcja ci gªa ieujema maj ca caªk miejsz od zera: Niech dla f = e / + e / dla = Bez trudu mo»a sprawdzi,»e f jest ci gªa w zerze, a zatem obliczeie caªki powio astr cza trudo±ci. Poiewa» f = e / + e / poza pojedyczym puktem =, po wykoaiu podstawieia t = e / otrzymujemy f = e e / + e / = /e dt t + = f ie = arctgt e /e = arctge + arctg e = π arctge < Wyja±i, a czym polega oszustwo i obliczy prawdziw warto± caªki f. 5

15 Zbada zbie»o± caªek iewªa±ciwych, obliczy warto± tych, które s zbie»e e 8. / e / + e / + 8. l = U»y kryterium caªkowego do rozstrzygi cia zbie»o±ci ast puj cych szeregów l a w zale»o±ci od a > = = = = 87. Da przykªad takiej fukcji ci gªej f : R R,»e dla N zachodzi rówo± f =, ale caªka f jest zbie»a. 88. Da przykªad takiej fukcji ci gªej f : R R,»e dla N zachodzi rówo± f =, ale caªka f jest rozbie»a. 89. Da przykªad takiej fukcji ci gªej f : R R,»e dla N zachodzi rówo± f =, ale caªka f jest zbie»a. 83. Da przykªad takiej fukcji ci gªej f : R R,»e dla N zachodzi rówo± f =, ale caªka f jest rozbie»a. 83. Da przykªad takiej fukcji ci gªej f : R R,»e dla N zachodzi rówo± f = e, ale caªka f jest zbie»a. Co mo»emy powiedzie o zbie»o±ci zbie»e, rozbie»e, ie wiadomo szeregu a lub caªek f i g, gdzie f C, ] i g C[,, je±li wiadomo,»e 83. lim = 833. lim 834. lim 835. lim = 836. lim 837. lim 838. lim = lim g = lim f = Ci g a ie jest zbie»y do. 84. g ie d»y do przy f ie d»y do przy Ci g a jest ograiczoy ie jest ograiczoy Fukcja g jest ograiczoa ie jest ograiczoa Fukcja f jest ograiczoa ie jest ograiczoa. 85. Szereg a jest zbie»y jest rozbie»y. 85. Caªka 854. Caªka =9 9 /9 g jest zbie»a. f jest zbie»a a = p - da odpowied¹ w zale»o±ci od p jest rozbie»a g = p - da odpowied¹ w zale»o±ci od p f = p - da odpowied¹ w zale»o±ci od p jest rozbie»a. = 5

16 859. a = p - da odpowied¹ w zale»o±ci od p. 86. g = p - da odpowied¹ w zale»o±ci od p >. 86. f = p - da odpowied¹ w zale»o±ci od p >. 53

17 Kolokwium r, 9.5. do zad. 867 Kolokwium r, 6.5. do zad Pochode i caªki - powtórzeie, uzupeªieie. 86. Czy dla dowolej fukcji f : R R maj cej ci gª pochod rz du pierwszego i takiej,»e f =, prawdziwa jest podaa implikacja zmiea przebiega liczby rzeczywiste speªiaj ce ierówo± poda pod kwatykatorem a f > f > > > b f > f > > > c f > f > < < d f > f < < < e f > f > < < f f > f < < < g f f > > h f f > > i f = f = > > j f = f = > > k f = f = > > l f = f = > > m f > f > > > f > f > > > 863. Czy fukcja f = a + b si + c cos jest ró»iczkowala w zerze, je»eli a a =, b =, c = b a =, b =, c = c a =, b =, c = d a =, b =, c = 864. Czy prawdziwa jest ierówo± a b c 4 > > > 54

18 d 5 4 > 865. Czy podaa caªka ma warto± dodati? a b c d Obliczy warto± caªki 867. Obliczy caªk ieozaczo π/3 cos 5. e + e 3 + e Zale¹ ajwi ksz liczb caªkowit dodati, dla której istieje taka liczba rzeczywista A,»e fukcja f = e + l + dla A dla = jest ró»iczkowala w zerze i obliczy f dla tych warto±ci i A Wyzaczy kresy zbioru A = a i okre±li, czy ale» oe do zbioru A. a : a, Fukcja f : R R ma ci gª pochod rz du pierwszego a caªej prostej. Wiadomo,»e f =, f7 =, a poadto dla dowolej liczby rzeczywistej zachodzi ierówo± Dowie±,»e wówczas zachodzi ierówo± < f <. f4... <. W miejsce kropek ale»y wpisa kokret liczb rzeczywist iezale» od f!!!. 55

19 87. Rozstrzyg zbie»o± caªki iewªa±ciwej p w zale»o±ci od parametru rzeczywistego dodatiego p. 87. Fukcja f : R R ma ci gª pochod rz du pierwszego a caªej prostej. Wiadomo,»e f =, f5 = 9, a poadto dla dowolej liczby rzeczywistej zachodzi Dowie±,»e wówczas zachodzi ierówo± f 3. f3... < 3. W miejsce kropek ale»y wpisa kokret liczb rzeczywist iezale» od f!!! Czy podaa caªka iewªa±ciwa jest zbie»a a b c d e f g Czy prawdziwa jest ierówo± a b c d log < log < log < log < 3 56

20 3 e log < 3 f g h log < 4 log < 4 log < Obliczy warto± caªki lim 876. Obliczy warto± graicy Obliczy caªk p e π dla odpowiedio dobraej warto±ci parametru rzeczywistego p [3, 8] Zale¹ tak liczb rzeczywist A,»e fukcja e 5 e 3 dla f = A dla = jest ró»iczkowala w zerze i obliczy f dla tej warto±ci A Wyzaczy ajmiejsz i ajwi ksz warto± fukcji f = arctg a przedziale [, 4]. Poda pukty, w których warto±ci ajmiejsza i ajwi ksza s osi gae. 88. Wyzaczy ajmiejsz i ajwi ksz warto± fukcji f okre±loej wzorem f = arctg arctg + a przedziale [, 37] oraz poda pukty, w których warto±ci ajmiejsza i ajwi ksza s osi gae. 88. Zale¹ tak fukcj róziczkowal F : R \ {, } R,»e oraz F = + F 3 = F = F = 57

21 lub uzasadi,»e taka fukcja ie istieje. 88. Obliczy caªk Obliczy sum szeregu Rozwi zaie: Rozwa»my fukcj f da wzorem = 3 +. f = = Przedziaªem zbie»o±ci szeregu pot gowego deiuj cego fukcj f jest przedziaª... Na tym przedziale fukcja f jest ci gªa, a we w trzu tego przedziaªu mo»emy ró»iczkowa szereg pot gowy wyraz za wyrazem. Tak wi c we w trzu przedziaªu zbie»o±ci fukcji f mamy f =... =.... = Zatem fukcja f jest fukcj pierwot powy»szej fukcji i do zalezieia wzoru deiuj cego fukcj f bez szeregu pot gowego wystarczy obliczy caªk f. Korzystaj c ze wzoru a + b + c 3 = 3 + = c b 3 arctg b + cl + b + cl + + al 3 + C dla a =..., b =..., c =... otrzymujemy f = f =.... W celu dobraia odpowiediej staªej caªkowaia C porówujemy wzory i dla =... Zgodie ze wzorem f... =..., atomiast wzór daje St d f... =... + C = =... + C. 58

22 C =... i ostateczie f = Przyjmuj c =... we wzorze otrzymujemy day w zadaiu szereg liczbowy jako rówy... Z drugiej stroy wzór 3 daje f... =... = =... = =.... Odpowied¹: Suma daego w zadaiu szeregu liczbowego jest rówa Obliczy warto± caªki iewªa±ciwej lub uzasadi,»e jest rozbie»a Fukcja g : 8, + zdeiowaa jest wzorem g = t l t + 6 dt. Fukcja f : 8, + zdeiowaa jest wzorem g dla f = A dla =. Dobra A tak, aby fukcja f byªa ró»iczkowala w zerze oraz obliczy f dla tej warto±ci parametru A. 59

23 886. Fukcja f : R R jest ci gªa a caªej prostej, a poadto ma ci gª pochod rz du pierwszego. Wiemy te»,»e f =, f = 5, f5 = 9. Dowie±,»e istieje taka liczba rzeczywista,»e f jest liczb caªkowit Daa jest fukcja f okre±loa wzorem f = si 39 37/l + 38 dla, +. ierówo± Dowie±,»e dla dowolej liczby rzeczywistej, + zachodzi f < Fukcja f jest okre±loa wzorem f = e cos. Wyprowadzi wzór a f 9, czyli pochod rz du Szeregi Fouriera. Szeregiem Fouriera fukcji f : R R o okresie π, caªkowalej a przedziale dªugo±ci π, azywamy szereg gdzie a + a cos + b si, = a = π a = π b = π A+π A A+π A A+π A f f cos f si Powy»sze caªki ie zale» od wyboru dolej graicy przedziaªu caªkowaia. Je»eli poadto fukcja f jest przedziaªami mootoicza oraz dla ka»dej liczby rzeczywistej zachodzi rówo± f = f + f + to f jest puktowo sum swojego szeregu Fouriera. Rówo± Parsevala: A+π A f = πa + π, a + b = 6

24 Wyzaczy szereg Fouriera fukcji 889. f = dla π, π 89. f = dla π, 3π 89. f = dla π, π 89. f = dla, π 893. f = dla π, 3π 894. f = [ π ] dla, π 895. f = e dla, π 896. f = e dla π, π 897. f = si dla, π 898. f = e dla π, π 899. f = si 3 dla, π { si dla, π 9. f = cos dla π, π { 9. dla, π f = dla π, π { dla < < π/ 9. f = dla π/ < < π 93. Obliczy = + stosuj c wzór Parsevala do f = e a, π oraz wstawiaj c = do szeregu Fouriera tej fukcji. Porówa obydwa wyiki. 94. Obliczy = wstawiaj c = do szeregu Fouriera fukcji f = cos a, π. 95. Obliczy u»ywaj c f = π a π, π. = Dowie±,»e je±li f jest fukcj okresow o okresie π/3, to w jej szeregu Fouriera a = b = dla iepodzielych przez 3. Norm supremum fukcji f azywamy liczb f = sup D f f Deicja zbie»o±ci jedostajej ci gu fukcyjego: Ciag fukcji f okre±loych a wspólej dziedziie azywamy zbie»ym jedostajie do f, je»eli lim f f = 6

25 Je»eli ci g f fukcji ci gªych jest zbie»y jedostajie do fukcji f, to f jest fukcj ci gª. Je»eli ci g f fukcji maj cych ci gªe pochode jest zbie»y jedostajie do fukcji f, a ci g pochodych f jest zbie»y jedostajie do fukcji g, to fukcja f jest ró»iczkowala i przy tym f = g. Szereg fukcyjy f o wyrazach b d cych fukcjami okre±loymi a wspólej dziedziie, = azywamy zbie»ym jedostajie, je»eli ci g sum cz ±ciowych S okre±loy wzorem S = k= jest zbie»y jedostajie. Tak jak w przypadku szeregów liczbowych, graic ci gu sum cz ±ciowych azywamy sum szeregu. Je»eli f < +, to szereg fukcyjy f jest zbie»y jedostajie. = = = Je»eli szereg fukcyjy f o wyrazach b d cych fukcjami ci gªymi, jest zbie»y jedostajie, to jego suma jest fukcj ci gªa. Je»eli wyrazy jedostajie zbie»ego szeregu fukcyjego f maj ci gªe pochode, a szereg f te» jest zbie»y jedostajie, to suma szeregu f jest fukcj ró»iczkowal oraz = f k f = = = f = = 97. Dowie±,»e szereg trygoometryczy = jest zbie»y, a jego suma jest fukcj ci gª. 98. Dowie±,»e szereg trygoometryczy = si + si 3 + jest zbie»y, a jego suma jest fukcj ró»iczkowal i ma ci gª pochod. W zadaiach 99-9 zakªadamy,»e fukcja f jest a tyle regulara,»e ie ma problemu z obliczeiem wspóªczyików jej szeregu Fouriera, a przy tym f jest sum swojego szeregu Fouriera. 99. Dowie±,»e je±li f jest fukcj okresow o okresie π, to w jej szeregu Fouriera a = b = dla iepodzielych przez Dowie±,»e je±li f jest fukcj okresow o okresie π 5 a = b = dla iepodzielych przez 5., to w jej szeregu Fouriera 6

26 9. Daa jest fukcja f : R R okresowa o okresie π. Dowie±,»e f speªia dla ka»dego R rówo± π f = f wtedy i tylko wtedy, gdy... <<< poda waruek w j zyku wspóªczyików szeregu Fouriera fukcji f >>> 9. Rozwi w szereg Fouriera fukcj f okre±lo wzorem f = si cos 5 cos Rozwi w szereg Fouriera fukcj f okre±lo wzorem f = si Obliczy caªk ozaczo π/7 cos. 8π/7 95. Wyzaczy wszystkie takie fukcje f : R R,»e dla dowolego R pochoda szóstego rz du daa jest wzorem f 6 = si Wyprowadzi wzór a sum = cos 3. 63

27 Najwa»iejsze wzorki i przykªady z wykªadu dotycz ce zespoloej fukcji wykªadiczej i logarytmu: l + z = e z = = z! e +iy = e cos y + i si y e z+z = e z e z + z, z, z = lz = l z + i arg z, z lz = l z + i arctg y, z = + iy, > 97. Wyprowadzi wzory a sumy = si! oraz = cos!. Poda warto± caªek 98 π e cos si si 99 π e cos cos si 9 π e cos cos si cos 7 9 π e cos cos si si 7 9 π e cos cos si si 4 93 π e cos si si si 5 94 π e cos si si si si 3 si 5 64

28 95. Wyprowadzi wzór a sum = cos. 96. Obliczy + = oraz przygl daj c si a wszystkie stroy l + i. = Wyprowadzi wzory a = korzystaj c z rozwii cia oraz ze wzoru Odpowied¹: Poda warto± caªek si! cos z = oraz = = z! cos z = eiz + e iz e si e si si cos e si + e si cos cos. cos! 98 π e si + e si cos cos 99 π e si + e si cos cos cos 93 π e si + e si cos cos si 7 93 π e si + e si cos cos cos 93 5π π e si + e si cos cos cos π 48π e si + e si cos cos cos 5 65

29 934 π e si e si si cos 935 π e si e si si cos cos 936 π e si e si si cos si 937 π e si e si si cos si 938 π e si e si si cos si 939 π e si e si si cos cos 5 si 3 Dla podaej fukcji f: a Wyzaczy ajwi ksz liczb atural, dla której fukcja g okre±loa wzorem g = f/ ma graic w zerze skorzysta ze wzoru Taylora. b Deiujemy g tak, aby fukcja g byªa ci gªa. Obliczy g oraz g. 94. f = si 94. f = si cos 94. f = e l f = arctg 944. f = arctg si 945. f = arctg si + Na potrzeby kolejych zada«fukcj f azwiemy treoró»iczkowal w pukcie, je»eli istieje graica f = lim h f + h f + f h h, któr to graic azywa b dziemy treopochod fukcji f w pukcie. Z deicji zbada treoró»iczkowalo± i obliczy treopochod fukcji 946. f = f = e 948. f = e f = si 95. Uzasadi treoró»iczkowalo± porz dych fukcji. 95. Da przykªad fukcji, która w zerze jest treoró»iczkowala, ale ieci gªa. Fukcja porz da to fukcja ró»iczkowala odpowiedi do potrzeb liczb razy. 66

30 95. Czy caªka iewªa±ciwa + p 3 + jest zbie»a dla a p = b p = c p = d p = 953. Czy ierówo± b a 7 6 < jest prawdziwa dla a a = 3, b = b a =, b = c a =, b = d a =, b = Czy dla dowolej fukcji ró»iczkowalej f : R R speªiaj cej waruki f = 3 oraz f3 = 3, istieje takie R,»e f = c, je»eli a c = b c = 3 c c = 5 d c = 955. Czy fukcja f zdeiowaa wzorem { 3 dla < f = a + b + c dla jest ró»iczkowala, je»eli a a =, b =, c = b a =, b =, c = c a = 3, b = 3, c = d a =, b =, c = 956. Niech e e + 9 dla f = A dla = Dla której warto±ci parametru A istieje f i ile jest rówa? 957. Obliczy warto± graicy lim Rozwi w szereg Fouriera fukcj f okre±lo wzorem f = cos 4 cos Obliczy e l +. 67

31 96. Obliczy π/3 si 3. π/4 96. Obliczy Zbada zbie»o± caªki Obliczy Obliczy warto± caªki Sprowadzi wyik do prostej postaci i okre±li, czy jest o liczb dodati, ujem, czy zerem Obliczy caªk ozaczo Obliczy caªk ozaczo Obliczy caªk ieozaczo Obliczy caªk ieozaczo

32 969. Obliczy caªk ieozaczo si Obliczy dªugo± krzywej {, } 8 l : e. Zast pi? odpowiedim zakiem ierówo±ci i udowodi podae ierówo±ci przy podaych warukach: 97. i [, 8 4 ] 8 i = 9 i + i? 8 i= i= i [ 8 4, ] i = 36 i + i? 7 i= i= 973. i i = arctg i? 5π i= i= 974. a, b, c > a + b + c? 9 a + b + c 975. a, b, c, d > a + b + c + d = a + b + c + d? a, b, c, d > a + b + c + d = a + b + c + d? 977. i i = i + i +? 3 i= i= 978., y, z + y + z = π si + si y + si z? , y, z + y + z = π si + si y + si z? 3 98., y, z, t + y + z + t = 4 e + ey y + ez z + et t? 4e 98., y, z + y 3 + z y z 6 = ? = ? i = e i? e 984. i < i = e i? + i= i= 985. i > 3 i = 986. i i= i = i= 987. i e i? + i= + i? 5 i= i= i= i i = + i? 5 i= i= 988. Czy w zadaiu 986 mo»a zast pi i warukiem i? 4 i= i= i Która z liczb jest wi ksza czy 33? 69

33 czy 33? czy 3? czy 3? czy 99? 994. Obliczy warto± graicy p lim dla tak dobraej warto±ci parametru rzeczywistego p, aby graica ta byªa dodatia i sko«czoa Wyzaczy wszystkie warto±ci rzeczywiste parametru p, dla których caªka iewªa±ciwa Doprowadzi wyik do postaci a b c + d, gdzie a, b, c, d N. jest zbie»a. której p Wskaza wraz z dowodem poprawo±ci warto± rzeczywist parametru p, dla p 8 + = Obliczy Wyzaczy szereg Fouriera fukcji f : R R, okresowej o okresie π, okre±loej wzorem f = cos 3 dla [ π, π Obliczy sum szeregu =

34 Wskazówka : Wstawi = do szeregu Fouriera fukcji z zadaia 998. Wskazówka : Wstawi = π do szeregu Fouriera fukcji z zadaia 998. Wskazówka 3: Zastosowa rówo± Parsevala do fukcji z zadaia 998. Wskazówka 4: Nie u»ywa szeregów Fouriera, tylko zapisa wyraz szeregu w postaci ró»icy odpowiedich wyra»e«. Uwaga: Dwie z powy»szych wskazówek prowadz do rozwi zaia, a dwie w maliy.. Rozwi w szereg Fouriera fukcj f okre±lo wzorem f = cos 5 si 3.. Fukcja f jest okre±loa wzorem f = sup {} { 4 : N = {,, 3,...} }. Obliczy + f.. Obliczy 7 podaj c wyik w postaci k/e, gdzie k, N. 3. Obliczy warto± graicy lim e + e podaj c wyik w postaci uªamka ieskracalego. 7