Indeksowane rodziny zbiorów

Transkrypt

1 Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T dowolnym zbiorem b dziemy go nazywa zbiorem indeksów, za± jego elementy indeksami. Def. 7.1 Funkcj f : T R, przyporz dkowuj c ka»demu elementowi zbioru T ka»demu indeksowi zbiór nale» cy do R, nazywamy indeksowan rodzin zbiorów lub indeksowan rodzin podzbiorów przestrzeni X. Niech t T i niech funkcja f przyporz dkowuje indeksowi t zbiór A t, ft = A t. W takim przypadku indeksowan rodzin zbiorów b dziemy oznacza symbolem A t. Przykªady indeksowanych rodzin zbiorów I. Niech T = {1, 2, 3} i niech R b dzie rodzin wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych N = {1, 2, 3,...}. Zdeniujmy ft = A t = {m N : m > t}. Wówczas A 1 = {2, 3, 4,...}, A 2 = {3, 4, 5,...}, A 3 = {4, 5, 6,...}. II. Niech T = N i niech R b dzie rodzin wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych R. Zdeniujmy ft = A t = {x R : 1 t x t }. Rodzina A t t N jest wówczas ci giem przedziaªów liczb rzeczywistych A 1 = {x R : 1 x 2}, A 2 = {x R : 1 x 3 2 }, A 3 = {x R : 1 x 4 3 },. III. Niech T = R i niech R b dzie rodzin wszystkich podzbiorów R. Zdeniujmy ft = A t = {x R : x t 2 }. Mamy wówczas na przykªad A 0 = {0}, A 2 = {x R : x 2}, A π = {x R : x π 2 } i.t.d. 1

2 Niech A t b dzie dowoln indeksowan rodzin podzbiorów przestrzeni X. Def. 7.2 Sum rodziny zbiorów A t nazywamy zbiór oznaczany symbolem A t zdeniowany równowa»- no±ci x x X : A t t T : x At. Uwaga. W przypadku, gdy T = {1, 2,... n} zamiast A t b dziemy stosowa zapis n A t ; w przypadku, gdy T jest zbiorem liczb naturalnych b dziemy stosowa oznaczenie A t. Liter t, oznaczaj c indeks, b dziemy tak»e czasami zast powa innymi literami liter s w przypadku niewyspecykowanego zbioru indeksów T oraz literami i lub n gdy T jest zbiorem liczb naturalnych lub podzbiorem N. Przykªady. Dla indeksowanych rodzin podzbiorów powy»ej mamy: t=1 t=1 I. II. III. 3 A i = {2, 3, 4,...}, i=1 A n = {x R : 1 x 2}, n=1 A t = R. t R Def. 7.3 Zdeniujmy zbiór A t poprzez równowa»no± : x x X : A t t T : x At. Zbiór A t nazywamy cz ±ci wspóln lub iloczynem rodziny zbiorów A t. Przykªady. Dla indeksowanych rodzin podzbiorów powy»ej mamy: I. II. III. 3 A i = {4, 5, 6,...}, i=1 A n = {1}, n=1 A t = {0}. t R 2

3 Wªasno±ci sum i iloczynów rodzin zbiorów Dla dowolnej indeksowanej rodziny zbiorów A t i dla dowolnego zbioru A : 1 t T : A t A s, i t T : A s A t, s T 2 je±li t T : A t A, to A t A, 3 je±li t T : A A t, to A A t. s T Dla przykªadu: dowód pierwszej cz ±ci 1. Niech T b dzie zakresem argumentu formy zdaniowej φ. Prawo rachunku kwantykatorów: t T : φt s T : φs. zastosowane do traktowanego jako forma zmiennej t lub s wyra»enia x A t odpowiednio x A s daje t T x X : x A t s T : x A s, co na mocy denicji 7.2 równowa»ne jest dowodzonej inkluzji zbiorów. Dla dowolnych indeksowanych rodzin zbiorów A t i B t 4 je±li t T : A t B t, to A t B t i A t B t. Dla przykªadu, dowód pierwszej z tych to»samo±ci ma posta : t T : A t B t t T x X : x A t x B t x X t T : x A t x B t x X : t T : x A t t T : x B t x X : x A t x B t A t B t gdzie pierwsza i ostatnia równowa»no±ci wynikaj z denicji inkluzji zbiorów, druga równowa»no± wyra»a prawo przemienno±ci dla kwantykatorów dla ka»dego, czwarta równowa»no± wynika z denicji iloczynu indeksowanej rodziny zbiorów za± implikacja jest realizacj jednego z praw rozkªadu kwantykatora. 3

4 Dalej: dla dowolnego zbioru A i dla dowolnej indeksowanej rodziny zbiorów B t mamy 5 A B t = A B t, 6 A B t = A B t, 7 A B t = A B t, 8 A B t = A B t. Proste dowody to»samo±ci 5 8 opieraj si o prawa rozszerzenia zakresu kwantykatora istnieje to»samo±ci 5 i 6 oraz dla ka»dego to»samo±ci 7 i 8. Wreszcie: dla dowolnych indeksowanych rodzin zbiorów A t i B t zachodzi: 9 A t B t = A t B t, A t B t A t B t, A t A t B t A t B t, B t = A t B t. Dowody to»samo±ci 9 12 mo»na oprze o wªa±ciwe prawa rozkªadu kwantykatorów. Mo»na te» poda dowody nie korzystaj ce z tych praw. Udowodnimy dla przykªadu 11. Dla ka»dego x X zachodzi x A t B t x A t x A t t T : x A t t T : x Bt gdzie pierwsza równowa»no± wynika z denicji sumy zbiorów, za± druga z denicji iloczynu indeksowanej rodziny zbiorów. Je±li teraz zachodzi pierwszy czªon alternatywy, to t T : x A t t T : x A t B t x A t B t gdzie implikacja jest prost konsekwencj denicji sumy zbiorów, za± równowa»no± wynika z denicji iloczynu indeksowanej rodziny zbiorów. Podobnie t T : x B t t T : x A t B t x A t B t co ko«czy dowód 11. Inkluzji w 11 nie mo»na zast pi równo±ci. Niech bowiem T = Z tym symbolem oznaczamy zbiór liczb caªkowitych i niech A n = {x R : x n}, B n = {x R : x > n}. 4

5 Dla ka»dego n Z mamy A n B n = R, czyli A n B n = R. Z drugiej strony A n =, B n = A n B n =. Uogólnione prawa de Morgana Je±li A t jest indeksowan rodzin podzbiorów zbioru X i dla dowolnego B X przez B oanzcymu dopeªnienie zbioru B, t.j. B = X \ B, to zachodz to»samo±ci: A t = A t, A t = A t. Uogólnione prawa de Morgana wynikaj natychmiast z praw zaprzeczenia dla kwantykatorów. 5