Analiza matematyczna I

Transkrypt

1 KAPITAŁ LUDZKI NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI UNIA EUROPEJSKA EUROPEJSKI FUNDUSZ SPOŁECZNY Projekt p. Wzmocieie potecjaªu dydaktyczego UMK w Toruiu w dziedziach matematyczo-przyrodiczych realizoway w ramach Poddziaªaia 4.. Programu Operacyjego Kapitaª Ludzki Aaliza matematycza I dla sªuchaczy kieruku Iformatyka Stosowaa Miªosz Michalski Istytut Fizyki UMK UMK Toru«203 Projekt wspóªasoway przez Ui Europejsk w ramach Europejskiego Fuduszu Spoªeczego

2 2 SPIS TRE CI Spis tre±ci Wst p 5 I Kilka u»yteczych ierówo±ci 7 I. Kresy podzbiorów prostej rzeczywistej I.2 Nierówo± Beroulliego I.3 Nierówo± Cauchy'ego I.4 Nierówo±ci Cauchy'ego-Schwarza i Höldera I.5 Nierówo± Mikowskiego I.6 Nierówo± Jesea I.7 Zadaia do rozdziaªu I II Ci gi i szeregi 9 II. Zbie»o± w przestrzeiach metryczych II.2 Ci gi i ich graice: podstawowe wªaso±ci II.3 Arytmetycze i porz dkowe wªaso±ci graic Operacje arytmetycze a ci gach Porz dek w R a zbie»o± ci gów Liczba e Graice dola i góra ci gu liczbowego Notacja asymptotycza BachmaaLadaua II.4 Specjale klasy ci gów II.5 Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe o wyrazach dodatich Szeregi liczbowe o wyrazach dowolych Asymptotyka sum szeregów Kilka uwag o wªaso±ciach szeregów zbie»ych II.6 Zadaia do rozdziaªu II III Fukcje: graice i ci gªo± 69 III. Ogóle wªaso±ci fukcji i fukcje elemetare III.2 Graica i ci gªo± fukcji Deicja graicy fukcji Klasy asymptotycze Ci gªo± III.3 Twierdzeia o fukcjach ci gªych III.4 Ci gi i szeregi fukcyje Ci gi fukcyje, zbie»o± jedostaja

3 SPIS TRE CI 3 2 Szeregi fukcyje Szeregi pot gowe III.5 Zadaia do rozdziaªu III IV Rachuek ró»iczkowy 97 IV. Pochode fukcji jedej zmieej Pochoda pierwszego rz du Pochode wy»szych rz dów IV.2 Twierdzeia o pochodych i ich zastosowaia IV.3 Ie zastosowaia twierdzeia o warto±ci ±rediej IV.4 Przebieg fukcji a pochode wy»szych rz dów IV.5 Wzór i szereg Taylora Wzór Taylora i jego reszta Szeregi Taylora IV.6 Wyra»eia ieozaczoe i reguªa de L'Hospitala IV.7 Ró»iczkowaie ci gów i szeregów IV.8 Pochode fukcji wielu zmieych IV.9 Zastsowaia pochodych fukcji wielu zmieych Oszacowaia bª dów rachukowych Ekstrema fukcji dwóch zmieych Metoda ajmiejszych kwadratów Ekstrema warukowe fukcji metoda wspóªczyików ieozaczoych IV.0 Fukcje uwikªae IV. Zadaia do rozdziaªu IV V Rachuek caªkowy 49 V. Caªki ieozaczoe Podstawowe wzory caªkowe Caªkowaie fukcji wymierych Caªki z fukcji iewymierych Caªki trygoometrycze V.2 Caªka ozaczoa Podstawowy wzór rachuku ró»iczkowego i caªkowego Caªki iewªa±ciwe Caªkowe kryterium zbie»o±ci szeregu Zastosowaia caªki ozaczoej Caªkowaie ci gów i szeregów fukcyjych Ortogoale szeregi fukcyje V.3 Zadaia do rozdziaªu V

4 4 SPIS TRE CI

5 Wst p Specyka iiejszego kursu aalizy matematyczej uwarukowaa jest gªowie zikom liczb godzi (30 godz. wykªadu i 30 godz. wicze«), podczas gdy typowe programy aalizy matematyczej obejmuj co ajmiej 2 semestry, zwykle w wi kszym wymiarze godziowym w ka»dym z ich. Wykªad jest adresoway do studetów iformatyki stosowaej i to tak»e wpªywa istotie a dobór materiaªu. Ustalaj c priorytety co do zakresu tematyczego wykªadu uzaªem,»e oprócz przyswojeia iezb dych, podstawowych techik rachukowych (umiej to± obliczaia graic, ocey sumowalo±ci szeregów, obliczaia pochodych i caªek) studeci powii poza te elemety aalizy matematyczej, które ajpiliej odpowiadaj potrzebom przyszªych iformatyków. W szczególo±ci, za koiecze uzaªem przemyceie w tym kursie kilku techik z bardziej zaawasowaych dziaªów aalizy, jak fukcje wielu zmieych (ekstrema fukcji wielu zmieych, metoda wspóªczyików ieozaczoych Lagrage'a, metoda gradietu, operowaie fukcjami uwikªaymi) lub aaliza harmoicza i teoria aproksymacji (fourierowskie rozwii cia fukcji w ró»ych bazach wielomiaowych, trygoometryczych itp.). Niektóre z tych techik pojawi si w zastosowaiach podczas kursów metod umeryczych oraz symulacji i modelowaia komputerowego a II roku, chodzi wi c tak»e o to, aby stworzy baz poj ciow i wyksztaªci iezb de umiej to±ci rachukowe dla tych przedmiotów. Jedak te krótki kurs jest jedy, jak s dz, okazj aby uzmysªowi aszym studetom,»e pozawae przez ich metody aalitycze tworz jedolity i spójy logiczie zbiór arz dzi staowi cy iezb de miimum warsztatowe ka»dego umeryka rozwi zuj cego zawodowo zadaia z zakresu zastosowa«matematyki i iformatyki. Skrypt iiejszy zawiera zdecydowaie wi cej materiaªu i» to, co mo»liwe jest do racjoalego omówieia podczas 30-godziego wykªadu. Opracowuj c go kierowaªem si adziej,»e w ieokre±loej przyszªo±ci, w bardziej sprzyjaj cych okoliczo±ciach, w programie studiów iformatyki stosowaej zajdzie si wi cej godzi a przekazaie aszym studetom podstawowej wiedzy matematyczej, bez której trudo jest twórczo i powa»ie uprawia dzi± zawód iformatyka. Mam tak»e adziej,»e lepiej zmotywowai studeci zajd czas i ochot a samodziele studiowaie iektórych, poadobowi zkowych cz ±ci tego skryptu. 5

6 6 SPIS TRE CI Z powodu ograiczeia czasowego wykªad w iewielkim tylko stopiu prezetuje dowody twierdze«. Zamiast tego skupiam si a ksztaªtowaiu u sªuchaczy ituicji geometryczych i w przypadku wicze«sprawo±ci rachukowej. Miªosz Michalski Zakªad Fizyki Matematyczej IF UMK

7 Rozdziaª I Kilka u»yteczych ierówo±ci W matematyce ierówo±ci peªi rol prostych, u»yteczych arz dzi, przy pomocy których uzasadiamy bardziej zªo»oe wªaso±ci ci gów, szeregów lub fukcji, takie jak p. zbie»o± do okre±loych warto±ci graiczych lub ci gªo±. W wymiarze bardziej praktyczym ierówo±ci sªu» cz sto do uzasadieia poprawo±ci przybli»oych oblicze«oraz do ocey poziomu bª du w takich obliczeiach. W iiejszym rozdziale zapozamy si z kilkoma klasyczymi ierówo±ciami i ich dowodami. B dziemy si do ich wielokrotie odwoªywa w dalszej cz ±ci skryptu. Zauwa»my,»e ierówo±ci odosz si do wielko±ci rzeczywistych, x R, dla których okre±loa jest relacja porz dku liiowego <. Ma wi c ses stwierdzeie x jest miejsze i» y, które trudo byªoby rozs die ziterpretowa, gdyby x i y byªy p. liczbami zespoloymi. Na zbiorze liczb zespoloych C ie jest bowiem okre±loa»ada aturala, zgoda z aszymi ituicjami relacja porz dku. Elemetarym przykªadem ierówo±ci jest zaa ze szkoªy ±rediej ajprostsza wersja tzw. ierówo±ci trójk ta, miaowicie x + y x + y, gdzie x, y s dowolymi liczbami rzeczywistymi, a symbol ozacza warto± bezwzgl d. Dowód tej ierówo±ci przeprowadzi mo»a poprzez szczegóªowe rozpatrzeie wszystkich mo»liwych kombiacji zaków liczb x i y i ich wielko±ci oraz stosowe dla ka»dej z tych sytuacji opuszczeie zaku warto±ci bezwzgl dej. Jedak miej oczywiste jest,»e taka sama ierówo± prawdziwa jest tak»e w dziedziie zespoloej, gdy x iterpretowae jest jako moduª liczby x, a wi c wielko± rzeczywista. Zobaczymy,»e obydwa te przypadki s w istocie realizacjami ogóliejszej ierówo±ci, zwaej w matematyce ierówo±ci Mikowskiego, odosz cej si do wektorów x i y z dowolej uormowaej przestrzei liiowej. I. Kresy podzbiorów prostej rzeczywistej Rozpocziemy od zazajomieia si z bardzo u»yteczymi poj ciami kresów podzbiorów A R. DEFINICJA. Maksimum zbioru A R, w zapisie max A, jest to liczba M A, taka,»e dla dowolego x A zachodzi x M. Miimum zbioru A, mi A, jest to liczba m A, dla której zachodzi m x dla wszelkich x A. 7

8 8 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI Istot cech maksimum i miimum zbioru jest to,»e s oe jego elemetami. Istieje wiele zbiorów ieposiadaj cych maksimum lub miimum. Najprostszym przykªadem takiego zbioru jest odciek otwarty (0, ). DEFINICJA.2 Ka»da liczb P, tak»e dla wszystkich x A speªioa jest ierówo± x P azywamy ograiczeiem górym zbioru A. Je±li za± P x dla wszystkich x A, wówczas P azywamy ograiczeiem dolym A. Zbiór ograicze«górych A ozaczamy symbolem Â, atomiast zbiór jego ograicze«dolych symbolem Ǎ. Je±li zbiór posiada maksimum i miimum, s oe automatyczie jego ograiczeiami górym i dolym. Przedziaª A = (0, ) posiada wiele ograicze«górych i dolych. Górymi ograiczeiami s p. liczby, 2, π, 00 itp. Šatwo sprawdzi,»e  = [, ) oraz Ǎ = (, 0]. Natomiast przedziaª iewªa±ciwy B = [0, ) ie posiada ograicze«górych, a wi c ˆB = Ø. Z drugiej stroy ˇB = (, 0]. DEFINICJA.3 Kresem górym lub supremum zbioru A, sup A, azywamy ajmiejsze z jego ograicze«górych, sup A = mi Â, je±li tylko  Ø. Je±li  = Ø wówczas przyjmujemy,»e sup A =. Podobie kresem dolym lub imum A, w zapisie if A, azywamy ajwi ksze w±ród jego ograicze«dolych, if A = max Ǎ, je±li Ǎ Ø. Jak poprzedio, if A =, je±li A ie posiada ograicze«dolych. W aszym poprzedim przykªadzie A = (0, ) mamy if A = 0 oraz sup A =. Dla B = [0, ) mamy if B = mi B = 0 oraz sup B =. Wa» wªaso±ci kresów jest to,»e ka»dy podzbiór R je posiada, w ajgorszym razie mog oe by iesko«czoe. Dlatego s to z reguªy poj cia bardziej u»ytecze i» mi i max. I.2 Nierówo± Beroulliego Nierówo±, któr zajmiemy si jako pierwsz, zostaªa sformuªowaa i udowodioa przez XVII-wieczego matematyka szwajcarskiego Jakuba Beroulliego, czªoka bardzo zaej i zasªu»oej dla rozwoju auk matematyczych i przyrodiczych rodziy Beroullich. Bratakiem Jakuba byª Daiel Beroulli (700782), któremu zawdzi czamy m.i. podwaliy wspóªczesej hydro- i aerodyamiki a tak»e podstawy rachuku prawdopodobie«stwa. LEMAT. (Nierówo± Beroulliego) Dla dowolej liczby rzeczywistej x > oraz dowolego aturalego zachodzi ierówo± Rówo± zachodzi jedyie gdy x = 0. ( + x) + x. (.) Dowód. Nierówo± Beroulliego ªatwo jest udowodi idukcyjie. Zauwa»my bowiem,»e (.) jest trywialie speªioa dla =. Zaªó»my wi c,»e ierówo± ta jest prawdziwa dla pewej liczby aturalej. Wówczas (+x) + = (+x) (+x) (+x)(+x) = +x+x+x 2 +(+)x,

9 gdzie pierwsza z ierówo±ci powy»ej wyika z zaªo»eia idukcyjego dla oraz z faktu,»e czyik + x > 0, atomiast druga jest kosekwecj opuszczeia w przedostatim wzorze dodatiego wyrazu x 2. Oczywi±cie wyraz te wyosi 0 jedyie gdy x = 0, sk d rówo± w (.) mo»liwa jest wyª czie w tym wªa±ie przypadku. Nierówo± Beroulliego pojawia si cz sto w literaturze w ogóliejszej postaci, gdy dopuszczamy rówie» dodatie iecaªkowite warto±ci wykªadika, miaowicie ( + x) α + αx, x >, α, (.2) ( + x) α + αx, x >, 0 < α <. (.3) Formuªy powy»sze azywamy uogólioymi ierówo±ciami Beroulliego. Do ich dowodu potrzebowa b dziemy jedak troch bardziej zaawasowaych techik, dlatego przesuiemy szczegóªow dyskusj a te temat do podrozdziaªu IV.3. I.3 Nierówo± Cauchy'ego Koleja ierówo± udowodioa zostaªa przez geialego matematyka fracuskiego Augustia L. Cauchy'ego (789857), który w I poªowie XIX wieku stworzyª rygorystycze podstawy wspóªczesej aalizy matematyczej. Nazwisko tego matematyka pojawia si b dzie wielokrotie podczas aszego wykªadu. Zaczijmy od sformuªowaia i krótkiego omówieia ierówo±ci Cauchy'ego. Jej dowód poka»e,»e mimo pozorie bardziej skomplikowaej postaci, ierówo± ta jest w istocie rówowa»a pozaej przez as przed chwil ierówo±ci Beroulliego. Prawdziwo± ierówo±ci Cauchy'ego udowodimy wykorzystuj c ierówo± Beroulliego, a ast pie przekoamy si,»e zachodzi tak»e implikacja odwrota: ierówo± Beroulliego oka»e si szczególym przypadkiem ierówo±ci Cauchy'ego. LEMAT.2 (Nierówo± Cauchy'ego) Niech a, a 2,..., a b d ieujemymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas zachodzi ast puj ca ierówo± : a a 2 a a + a a 9. (.4) Rówo± w powy»szym wzorze zachodzi wyª czie wtedy, gdy a = a 2 = = a. Zaim przejdziemy do dowodu, zauwa»my,»e wielko±ci wyst puj ce w (.4) s dobrze zae: s to ±redie geometrycza (G ) i arytmetycza (A ) obliczoe dla ukªadu ieujemych liczb. Je±li dodatkowo zaªo»ymy,»e»ada z liczb a i ie jest zerem, mo»emy policzy tak»e ich ±redi harmoicz, H = ( a + a ) a. (.5) Jest to jak wida odwroto± ±rediej arytmetyczej odwroto±ci poszczególych liczb a i. Okazuje si,»e ierówo± Cauchy'ego mo»a uzupeªi do ast puj cej ierówo±ci podwójej: H G A, (.6)

10 0 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI jedak pierwsza z ich jest tylko prost kosekwecj tej drugiej orygialej ierówo±ci Cauchy'ego. Stwierdzamy to bªyskawiczie zapisuj c ierówo± Cauchy'ego dla liczb postaci a i : a a 2 a = a a 2 a a + a a, czyli G H, co wobec zaªo»oej dodatio±ci wszystkich liczb jest rówowa»e relacji H G. Dowód. Istieje bardzo wiele ró»ych dowodów ierówo±ci Cauchy'ego. Przytoczoy tu bardzo zgraby dowód pochodzi z ksi»ki []. B dziemy u»ywa ozaczeia A k a ±redi arytmetycz pocz tkowych k elemetów ci gu a,..., a. W szczególo±ci A = a. Zauwa»my a pocz tek,»e je±li a = = a, wówczas oczywi±cie G = A. Je±li za± iektóre (lecz ie wszystkie) a i = 0, wówczas z pewo±ci 0 = G < A. Zaªó»my wi c,»e 0 ie wyst puje w ci gu a i, a zatem a i > 0 dla i =,...,. Wówczas wszystkie liczby A k > 0, a wi c tak»e A k A k > 0 sk d A k A k >. (.7) Mo»emy zatem zastosowa ierówo± Beroulliego dla = k podstawiaj c w iej w roli x liczb A k A k. Otrzymujemy kolejo ( + x) k = ( Ak A k ) k + k ( ) Ak A k = A k + ka k ka k A k = ka k (k )A k A k = a k A k, gdzie w ostatim kroku skorzystali±my z oczywistej rówo±ci ka k = a + + a k. Mo» c lew i prawa stro powy»szej ierówo±ci przez A k k otrzymujemy A k k a k A k k. Nierówo± ta jest jedakowo prawdziwa dla k = 2, 3,...,, st d przez iteracj otrzymujemy A a A a a A 2 2 a a 2 A = a a 2 a = G. (.8) Zatem, wyci gaj c z obydwu stro -ty pierwiastek udowadiamy,»e A G. Pozostaje jeszcze przekoa si,»e rówo± A = G jedozaczie poci ga za sob a =... = a. Je±li wi c A = G, to tak»e wszystkie ierówo±ci w (.8) przechodz w rówo±ci, a wi c ka»da z u»ytych tam ierówo±ci Beroulliego musiaªa

11 by rówo±ci. To za± ozacza, zgodie z Lematem.,»e x = A k = A k dla wszystkich k =,...,. Zatem kolejo mamy a = A = A 2 = a + a 2 2, A k A k = 0, a wi c sk d a 2 = a. Nast pie a wi c a 3 = a i dalej podobie a» do. a = A 2 = A 3 = 2a + a 3 3, Wyka»emy a koiec,»e prawdziwo± ierówo±ci Beroulliego mo»a wywioskowa z ierówo±ci Cauchy'ego, bowiem t pierwsz mo»a uwa»a w istocie za szczególy przypadek drugiej. Niech x >. Przyjmijmy ast puj ce dae: x = + x, x 2 = = x =. Je±li x 0 (co ozacza,»e x ), wówczas zapisuj c dla ich ierówo± Cauchyego ( + x) + x = + x = + x, po podiesieiu obu stro do -tej potegi otrzymamy ierówo± Beroulliego. Je±li za± < x <, wówczas x < 0 i tym samym u»ycie ierówo±ci Cauchy'ego jest iemo»liwe. Jedak wówczas ierówo± Beroulliego jest oczywista bez dowodu, mamy bowiem ( + x) > 0 > + x. I.4 Nierówo±ci Cauchy'ego-Schwarza i Höldera Pierwsza z wymieioych w tytule podrozdziaªu ierówo±ci wyst puje w literaturze matematyczej pod wieloma iymi azwami: Schwarza, BuiakowskiegoSchwarza lub Cauchy'egoBuiakowskiegoSchwarza. Bez w tpieia Cauchy byª pierwszym, który udowodiª ajprostsz jej posta dla sko«czoych sum liczbowych, atomiast»yj cy pó¹iej Buiakowski i Schwarz zajmowali si ieco ogóliejsz wersj tej ierówo±ci w postaci caªkowej. Nierówo± ta jest z kolei szczególym przypadkiem jeszcze ogóliejszej ierówo±ci Höldera (Otto Hölder byª wybitym matematykiem iemieckim»yj cym w latach ). LEMAT.3 (Nierówo±ci Cauchy'ego-Schwarza i Höldera) Niech p, q > b d liczbami takimi,»e p + q =. Wówczas dla dowolych dwóch ci gów liczb a a 2,..., a oraz b, b 2,..., b zachodzi ast puj ca ierówo± a i b i p a i p q i= i= i= b i q (.9) zwaa ierówo±ci Höldera. W szczególym przypadku p = q = 2 osi oa azw ierówo±ci Cauchy'ego-Schwarza.

12 2 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI Nierówo± Schwarza podawaa jest ajcz ±ciej w rówowa»ej postaci kwadratowej ( ) 2 ( ) ( ) a i b i a 2 i b 2 i, (.0) i= i= i= bez warto±ci bezwzgl dych wokóª a i i b i. Dla ogólej ierówo±ci Höldera u»ycie warto±ci bezwzgl dych jest istote, poiewa» liczby p i q w iej wyst puj ce przewa»ie ie s caªkowite, a mog by awet iewymiere. Wówczas okre±leie warto±ci a p i, b q i mogªoby by problematycze, gdyby a i b d¹ b i byªy ujeme. O ile dowód ierówo±ci Schwarza jest bardzo prosty, przekoamy si,»e uzasadieie ierówo±ci Höldera wymaga zaczie wi cej wysiªku. Rozwa»my proste wyra»eie (a i x + b i ) 2. i= Jako suma kwadratów jest oo ieujeme dla dowolej warto±ci x. Podosz c koleje skªadiki do kwadratu i grupuj c wyrazy z idetyczymi pot gami x otrzymamy Ax 2 + 2Bx + C 0, gdzie wprowadzili±my ozaczeia A = i a 2 i, B = i a i b i oraz C = i b 2 i. Staªy dodati zak tego trójmiau ozacza,»e musi zachodzi 4B 2 4AC 0 a st d atychmiast odczytujemy ierówo± Cauchy'ego-Schwarza dla ci gów liczb a i oraz b i. Przejdziemy obecie do dowodu ierówo±ci Höldera. Dowód. Skorzystamy tu z uogólioej ierówo±ci Beroulliego dla 0 < α < : ( + x) α + αx. Przyjmijmy +x = a oraz β = α. Poiewa» x > mo»emy przyj,»e obydwie b liczby a i b s dodatie. Przepisuj c ierówo± Beroulliego mamy ( ) a α ( ) a + α b b. Mo» c obie stroy przez b α otrzymujemy a α b α + αab α αb α = b α ( α) + αab α. Nast pie mo»ymy obie stroy przez b β pami taj c,»e β = α : a α b β αa + βb. Wprowad¹my ozaczeia p = i q =. Oczywi±cie mamy wówczas p, q > i α β + =. Je±li teraz apiszemy w miejsce a i b odpowiedio a p i b q, ostatia p q ierówo± zamiei si a a b p ap + q bq. (.)

13 Przypomijmy: ierówo± ta zachodzi dla dowolych liczb ieujemych a i b oraz dla p, q > takich,»e p + q =. We¹my obecie liczby a,..., a i b,..., b. Zaªo»ymy a pocz tek dla wygody,»e liczby te ie s caªkiem dowole, ale»e speªiaj rówo±ci 3 a i p = i= i= b i q =. (.2) Zobaczymy za chwil,»e zaªo»eie to mo»a ªatwo opu±ci. Dla kolejych par a i, b i zapiszmy ierówo±ci (.) a b p a p + q b q a b p a p + q b q. Sumuj c je stroami i uwzgl diaj c zaªo»eie (.2) oraz zwi zek p + q = uzyskujemy i= a i b i. (.3) Zauwa»my,»e przy zaªo»eiu (.2) jest to w istocie kompleta ierówo± Höldera, w której prawa stroa jest iloczyem dwóch jedyek. Przyjmijmy z kolei,»e (.2) ie jest speªioe, tj.»e A = a i p lub B = i= b i q, i= i zmodykujmy asze wyj±ciowe liczby a i oraz b i przeskalowuj c je ast puj co: ã i = a i p A, bi = b i q B Oczywi±cie dla tych liczb waruek (.2) jest automatyczie speªioy, a zatem zachodzi dla ich (.3), czyli ã i bi = i= i= a i p A b i q B. Je±li teraz pomo»ymy obie stroy przez iloczy p A q B, otrzymamy ostateczie ierówo± Höldera w ogólym przypadku. I.5 Nierówo± Mikowskiego Zajmiemy si z kolei wa» w matematyce ierówo±ci Mikowskiego. Herma Mikowski byª iemieckim matematykiem urodzoym w 864 r. w Kowie a Litwie w rodziie polsko-»ydowskiej. Na przeªomie wieków pracowaª w Zurychu, gdzie

14 4 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI byª wykªadowc Eisteia. Zay jest przede wszystkim z wprowadzeia elegackiego j zyka geometrii do zyki, zwªaszcza do szczególej teorii wzgl do±ci. Jak zobaczymy, omawiaa tu ierówo± Mikowskiego posiada bardzo ituicyj geometrycz iterpretacj. Dla ustaloej warto±ci wska¹ika N o ci gach liczb a..., a wygodie jest my±le jako o wektorach a = [a,..., a ] z przestrzei liiowej R lub C wyra»oych w ustaloej ortogoalej bazie. Wprowad¹my ozaczeie a p = p a i p, (.4) gdzie p. Wielko± t azywamy p-orm wektora a i iterpretujemy jako miar jego dªugo±ci. Zauwa»my,»e u»ycie w powy»szym wzorze warto±ci bezwzgl dych (lub moduªów w przypadku zespoloym) zwalia as z obowi zku dbaia o ieujemo± liczb a i. Dla p = prawa stroa wzoru redukuje si do i a i. LEMAT.4 (Nierówo± Mikowskiego) Dla dowolych wektorów a, b w przestrzei R i dowolej liczby p zachodzi i= a + b p a p + b p. (.5) Rówo± zachodzi wyª czie wtedy, gdy wektory a i b s wspóªliiowe, to jest gdy a = λb dla pewego λ R lub C. Y a + b Przyjrzyjmy si tej ierówo±ci w prostym przypadku, gdy = 2 i p = 2 oraz a i R. Wówczas a 2 = a 2 + a 2 2 jest zwykª, za z geometrii aalityczej, euklidesow miar dªugo±ci wektora, a ierówo± Mikowskiego wyra»a oczywist relacj mi dzy dªugo±ciami boków trójk ta, jak a Rys... Posªuguj c si codzieb X a Z Rys..: Ilustracja ierówo±ci trójk ta ym j zykiem wypowiemy to ast puj co: odlegªo± jak pokoujemy poruszaj c si z puktu X do puktu Y jest ajmiejsza je±li przebywamy t drog bezpo±redio (tj. wzdªu» wektora a + b), bez odwiedzaia po drodze jakiegokolwiek puktu po±rediego Z. Tak wi c ierówo± Mikowskiego uogólia ituicyj ierówo± trójk ta z przestrzei euklidesowej, formuªuj c j w kotek±cie bardziej ogólych miar dªugo±ci w R i C. Jej dowód wykorzystuje ierówo± Höldera.

15 Dowód. Je±li p =, ierówo± Mikowskiego przyjmuje szczególie prost posta 5 a i + b i i= a i + i= b i, i= któr uzasadiamy stosuj c zwykª ierówo± dla moduªów, a i + b i a i + b i, do ka»dego ze skªadików. Niech wi c p >. a + b p p = a i + b i p = a i + b i p a i + b i i= i= a i a i + b i p + b i a i + b i p i= i= Do ka»dej z obydwu sum w powy»szym wzorze zastosujemy ierówo± Höldera dobieraj c do p staª q tak aby + =. Mamy zatem p q oraz a i a i + b i p p a i p q ( a i + b i p ) q i= i= i= b i a i + b i p p b i p q ( a i + b i p ) q. i= i= i= Š cz c 3 ostatie ierówo±ci oraz uwzgl diaj c fakt,»e (p )q = p otrzymujemy a + b p p ( a p + b p ) a + b p/q p, a wi c po obustroym podzieleiu przez drugi czyik po prawej stroie a + b p a p + b p. Udowodieie,»e rówo± obydwu stro zachodzi dokªadie wtedy, gdy wektory a i b s liiowo zale»e pozostawiamy jako zadaie a wiczeia. I.6 Nierówo± Jesea Joha Ludvig Jese (858925) byª du«skim i»yierem, dyrektorem techiczym kopehaskiej telefoii. Matematyk zajmowaª si w wolym czasie dla wªasej przyjemo±ci. Zawdzi czamy mu mi dzy iymi bardzo wa» ierówo± opisuj c ogóle wªaso±ci tzw. fukcji wypukªych. Nierówo± Jesea ma charakter fudametaly, mo»a z iej bowiem wyprowadzi wszystkie omówioe przez as wcze±iej ierówo±ci jako jej przypadki szczególe. Dzieje si tak poiewa» ierówo±ci te odosz si do szczególych fukcji wypukªych, a wszystkie oe podlegaj ierówo±ci Jesea. Z wa»ymi zastosowaiami tej ierówo±ci spotkacie si Pa«- stwo tak»e w statystyce i rachuku prawdopodobie«stwa. Rozpoczijmy od deicji wypukªo±ci w ajprostszym przypadku fukcji jedej zmieej rzeczywistej.

16 6 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI DEFINICJA.4 Mówimy,»e fukcja f : R R jest wypukªa a zawartym w jej dziedziie przedziale [a, b], je±li dla dowolych x, y [a, b] oraz dla ka»dej liczby 0 α zachodzi ierówo± f ( αx + ( α)y ) αf(x) + ( α)f(y). (.6) Je±li przy zaªo»eiach jak wy»ej zachodzi ierówo± odwrota, wówczas fukcj tak azywamy wkl sª a [a, b]. Odwoªajmy si do sugestywej iterpretacji geometryczej wypukªo±ci: ierówo± (.6) ozacza,»e ci ciwa poprowadzoa mi dzy puktami P = (x, f(x)) i Q = (y, f(y)) a wykresie fukcji le»y ad tym wykresem (lub pod im w przypadku fukcji wkl sªej), p. Rys. (.2). R Q P a x z y b Rys..2: Przebieg fukcji wypukªej. Pukt z = αx + ( α)y dla ró»ych warto±ci α przesuwa si mi dzy puktami x i y. Warto± f(z) odpowiada lewej stroie ierówo±ci (.6), atomiast warto± rz dej w pukcie R a ci ciwie jej prawej stroie. Przejdziemy teraz do sformuªowaia i udowodieia ierówo±ci Jesea. LEMAT.5 (Nierówo± Jesea) Je±li f jest fukcj wypukª a przedziale [a, b], wówczas dla dowolych liczb 0 α,..., α speªiaj cych waruek α + + α = oraz dla dowolych x,..., x [a, b] zachodzi ierówo± f(α x + + α x ) α f(x ) + + α f(x ). (.7) Dla fukcji wkl sªych ierówo± zachodzi w przeciw stro. Dowód. Nierówo± Jesea udowodimy idukcyjie. Dla = 2 jest ierówo± jest to»sama z deicj wypukªo±ci, zachodzi wi c z zaªo»eia dla f. Zaªó»my idukcyjie,»e (.7) zachodzi dla pewego aturalego i rozwa»my ieujeme liczby α + + α + = oraz dowole x,..., x + [a, b]. Otrzymujemy kolejo f ( ) α x + + α x + α + x x+ ( = f α x + + α x + (α + α + ) ( ) ) α α +α + x + α + α +α + x +

17 a wi c a podstawie zaªo»eia idukcyjego... α f(x ) + + α f(x ) + (α + α + )f ( α α +α + x + α + α +α + x + ) i dalej, z deicji wypukªo±ci f w zastosowaiu do ostatiego skªadika [ ]... α f(x )+ +α f(x ) + (α +α + ) α α +α + f(x ) + α + α +α + f(x + ). Otwieraj c kwadratowy awias otrzymujemy praw stro ierówo±ci Jesea. I.7 Zadaia do rozdziaªu I 7 Zadaie Udowodi podwój ierówo±! + 2 Rozwi zaie. Druga z ierówo±ci wyika wprost z formuªy Cauchy'ego G A dla ci gu x k = k, k =,...,. Pierwsz udowodimy przez idukcj. Dla = 2 mamy po prostu 2 2. Poka»emy rówowa»ie,»e ( + ) + ( ( + )! ) 2, zakªadaj c,»e powy»sza ierówo± zachodzi dla. Mamy wi c ( + ) (+) = ( + ) ( + ) = ( + i st d a podstawie zaªo»eia idukcyjego. ) ( + ) = ( + ) ( + )... (!) 2 ( + ) ( + ). (.8) Wyka»emy teraz pomociczo rówie» przez idukcj,»e ( + ) +. Nierówo± ta jest trywialie prawdziwa dla =. Dalej, zakªadaj c jej prawdziwo± dla pewego, ( + ) + = + ( + )( + ( + + Wracaj c do (.8), mamy ostateczie + + ) ( + ) = + 2. ) ( + )( + ) + ( + ) (+) (!) 2 ( + ) 2 = ( ( + )! ) 2.

18 8 ROZDZIAŠ I. KILKA U YTECZNYCH NIERÓWNO CI Zadaie 2 Udowodi,»e dla dodatich liczb a,..., a speªiaj cych waruek a a 2 a = zachodzi a + a a. Zadaie 3 Pokaza,»e je±li liczby dodatie a,..., a speªiaj waruek a + + a, wówczas a + a 2. Zadaie 4 Pokaza,»e dla dowolej liczby aturalej zachodz ast puj ce ierówo±ci: (a) > 2 3 ; (b) > ; (c) 2 < < 2 3. Zadaie 5 Je±li a k > 0, k =,..., speªiaj waruek a a 2 a =, wówczas ( + a )( + a 2 ) ( + a ) 2. Wskazówka: skorzysta z ierówo±ci Cauchy'ego Zadaie 6 ak +a k 2. Pokaza,»e rówo± lewej i prawej stroy w ierówo±ci Mikowskiego (.5) zachodzi dokªadie wtedy, gdy wektory a i b s liiowo zale»e. Zadaie 7 Wyprowadzi ierówo± Cauchyego G A z ierówo±ci Jesea. Rozwi zaie. Wykorzystamy fakt,»e fukcja wykªadicza f(x) = 2 x jest wypukªa a R. Niech a a 2,..., a > 0. Ozaczmy b k = log 2 a k, st d f(b k ) = a k. Przyjmijmy poadto α = = α =. Na podstawie ierówo±ci Jesea dla f 2 b + + b 2b + + 2b. Przeksztaªcaj c lew stro tej ierówo±ci otrzymujemy 2 b + + b = 2 k log 2 a k = ( 2 log 2 k k) a / = a a = G, za± prawa stroa jest rówa ±rediej arytmetyczej liczb a k.

19 Rozdziaª II Ci gi i szeregi W tym rozdziale zajmiemy si teori graic ci gów i szeregów liczbowych oraz praktyczymi metodami ich wyzaczaia. Graica i przechodzeie do graicy s bardzo wa»ymi, elemetarymi poj ciami w aalizie matematyczej: wystarczy wspomie,»e wi kszo± obiektów i kostrukcji matematyczych wykorzystuje w swoich deicjach przej±cia graicze. W pierwszym podrozdziale postaramy si przedstawi poj cie zbie»o±ci i graicy ci gu przez odwoªaie si do ituicji geometryczych. Nasz dyskusj poprowadzimy w abstrakcyjym j zyku przestrzei metryczych, wydaje si bowiem,»e ªatwiej jest zrozumie w te sposób istot poj cia zbie»o±ci i graicy oraz auczy si operowa imi w ró»ych kotekstach, ogóliejszych i» raczej specycza zbie»o± w zbiorze liczb rzeczywistych. Podrozdziaª drugi po±wi coy b dzie twierdzeiom o zbie»o- ±ci ci gów w ogólych przestrzeiach metryczych. Dopiero w podrozdziale trzecim zajmiemy si ci gami liczb rzeczywistych i zobaczymy, jak specycza struktura algebraicza i porz dkowa tej przestrzei pozwala a sformuªowaie bardziej szczegóªowych twierdze«i techik badaia zbie»o±ci ci gów. Szczególej uwadze czytelika polecamy metody obliczaia graic ci gów zadaych rekurecyjie, opisae w podrozdziale czwartym. Ci gi takie powstaj bardzo cz sto w procesach obliczeiowych opartych o iteracyje metody wyzaczaia rozwi za«iektórych rówa«. Aaliza poprawo±ci algorytmów tego typu powia zawiera werykacj zbie»o- ±ci metody do oczekiwaego rozwi zaia. Dalsza cz ± rozdziaªu po±wi coa b dzie teorii szeregów liczbowych. Pod poj ciem ci gu w zbiorze X rozumie b dziemy od tej chwili iesko«czoy i uporz dkoway zbiór elemetów z X, {x, x 2, x 3,...}, przy czym uporz dkowaie zadae jest przez jedozacz umeracj elemetów ci gu liczbami =, 2, 3,... Iymi sªowy, ci g jest po prostu fukcj okre±lo a zbiorze liczb aturalych o warto±ciach w zbiorze X, a wi c x : N X, gdzie dla prostoty u»ywamy zapisu x zamiast tradycyjej fukcyjej otacji x(). W roli zbioru X ajcz ±ciej wyst powa b dzie zbiór liczb rzeczywistych R lub zespoloych C, ale a wst pie zajmiemy si bardziej ogólym przypadkiem. W szczególo±ci X mo»e by zbiorem puktów pªaszczyzy R 2 lub 3-wymiarowej przestrzei euklidesowej R 3, a awet w bardziej zaawasowaych zastosowaiach zbiorem fukcji, p. ci gªych a odciku [a, b]. W umeryczych zastosowaiach cz sto kostruuje si wªa±ie ci gi wielomiaów przybli»aj cych pew iteresuj c, ale kªopotliw w bezpo±redim obliczaiu fukcj. 9

20 20 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI II. Zbie»o± w przestrzeiach metryczych Wyobra¹my sobie iesko«czoy ci g puktów P, P 2,... rozrzucoych a pªaszczy¹ie. Je±li ci g taki mieliby±my okre±li jako zbie»y, ituicja podpowiada am,»e koleje jego pukty powiy stopiowo skupia si w jedym miejscu. Spróbujmy ada temu ostatiemu poj ciu bardziej precyzyje zaczeie. Miejsce a pªaszczy¹ie wyzaczoe jest przez pukt, azwijmy go Q. Odwoªuj c si do tego puktu (p. przez wspóªrz de, je±li zostaªy ustaloe) okre±lamy dokªade poªo»eie miejsca, a ogóª jedak my±limy ie o samym pukcie, lecz tak»e o iewielkim jego otoczeiu. Samo skupiaie si elemetów P i aszego ci gu w otoczeiu puktu Q abiera precyzyjego zaczeia, je±li opiszemy je jako proces zbli»aia si, a wi c zmiejszaia odlegªo±ci mi dzy kolejymi puktami P i a puktem Q (zauwa»my przy okazji,»e odlegªo±ci mi dzy samymi puktami P i tak»e b d malaªy). Chc c zatem opisa poj cie zbie»o±ci w sposób matematyczie precyzyjy a zarazem dostateczie ogóly, musimy okre±li w zbiorze puktów, gdzie ta zbie»o± ma zachodzi sposób mierzeia odlegªo±ci, a wi c ocey, co to zaczy blisko b d¹ daleko. Nasz zbiór puktów albo iaczej przestrze«, w której realizowa si b dzie zbie»o±, ie musi by pªaszczyz, a wi c tak»e mówi c odlegªo± ie powii±my my±le o»adej kokretej jej mierze. Deicja przestrzei metryczej, do sformuªowaia której zmierzamy, ie arzuca kokretego sposobu pomiaru odlegªo±ci, atomiast postuluje trzy elemetare wªaso±ci, które ka»da rozs da miara odlegªo±ci posiada powia. S to ajprostsze wªaso±ci takiej miary zakorzeioe w aszej ituicji geometryczej. DEFINICJA 2. Przestrzei metrycz (X, d) azywamy zbiór X wraz fukcj d: X X R + zwa metryk (lub odlegªo±ci ), która ka»dej parze puktów z X przyporz dkowuje ieujem liczb rzeczywist i posiada przy tym ast puj ce wªaso±ci: (i) Dla dowolego x X d(x, x) = 0; poadto je±li d(x, y) = 0, wówczas x = y. (ii) Dla ka»dej pary puktów x, y X zachodzi d(x, y) = d(y, x). (iii) Dla dowolych puktów x, y, z X zachodzi d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Wªaso± (i) stwierdza,»e odlegªo± puktu od samego siebie jest zawsze zerowa. Dalsza jej cz ± orzeka,»e zerowa odlegªo± mo»liwa jest wyª czie mi dzy puktem x a im samym, a wi c»e odlegªo± dwóch ró»ych puktów ie mo»e wyosi 0. Wªaso± (ii) zwaa symetri fukcji d stwierdza,»e kieruek pomiaru odlegªo±ci jest ieistoty. Nie dziwi as przecie»,»e p. z Toruia do Bydgoszczy jest tak samo daleko jak z Bydgoszczy do Toruia. Wªaso± (iii) to tzw. ierówo± trójk ta. Mówi oa,»e odlegªo± liczoa z puktu x do z bezpo±redio jest ajmiejsza. Jej pomiar przez jakikolwiek pukt po±redi y zawsze zwróci wyik iemiejszy i» d(x, z). W zadaiach a ko«cu tego rozdziaªu podamy przykªady ciekawych przestrzei metryczych. Powtórzmy: deicja ta charakteryzuje miimale wªaso±ci, jakie musi posiada sesowa miara odlegªo±ci mi dzy puktami przestrzei. Dzi ki iej b dziemy za chwil mogli zdeiowa poj cie zbie»o±ci i graicy ci gu w sposób ogóly, abstrahuj cy od tego, czy b dziemy mieli a my±li zbie»o± ci gów liczb rzeczywistych,

21 zbie»o± a pªaszczy¹ie zespoloej, w R 3, czy te» p. zbie»o± ci gów fukcji. W ka»dym z tych przypadków ia jest przestrze«x, a wi c iy jest te» sposób mierzeia w iej odlegªo±ci, lecz charakteryzacja ci gów zbie»ych jest podoba. Przykªad 2. Przestrzeie liiowe R i C, s klasyczymi przykªadami przestrzei metryczych z miar odlegªo±ci da przez dowol p-orm (.4), d(x, y) = x y p = p x k y k p. Fukcja d posiada oczywi±cie wymagae wªaso±ci (i) oraz (ii) metryki. Speªia tak»e ierówo± trójk ta (iii) jest to bªyskawicza kosekwecja ierówo±ci Mikowskigo. Deicja ci gu zbie»ego i jego graicy, któr obecie sformuªujemy, pochodzi od A. Cauchy'ego. DEFINICJA 2.2 Niech day b dzie iesko«czoy ci g puktów x, x 2,... w przestrzei metryczej (X, d). Je±li istieje pukt g X taki,»e k= ε > 0 N N > N d(x, g) < ε, (2.) wówczas mówimy,»e ci g x jest zbie»y do graicy g, co zapisujemy symboliczie lim x = g lub x g. Gdy ie prowadzi to do iejaso±ci, opuszczamy cz sto ideks pod symbolem lim pisz c po prostu lim x = g. Zauwa»my jeszcze,»e ka»dy zbie»y ci g {x } w przestrzei metryczej (X, d) deiuje zbie»y do 0 ci g liczb rzeczywistych: r = d(x, g). Tak wi c zbie»o± lim x = g zapisujemy czasem rówowa»ie jako lim d(x, g) = 0. Dla iewprawioego czytelika otacja z kwatykatorami mo»e staowi pewe utrudieie w zrozumieiu sesu deicji. Spróbujmy wi c ziterpretowa (2.). Nierówo± d(x, g) < ε ozacza,»e w aszej przestrzei metryczej x zajduje si w pobli»u puktu g, przy czym blisko± t charakteryzuje parametr ε. Zbiór wszystkich puktów w X le» cych w odlegªo±ci miejszej i» ε od g opisay podob ierówo±ci, K ε (g) = { x X : d(x, g) < ε }, jest wªa±ie takim iewielkim s siedztwem (lub otoczeiem) g. Przez aalogi z geometri przestrzei euklidesowej R 3 te zbiór azywamy kul otwart o ±rodku w pukcie g i promieiu ε. W zadaiach a ko«cu rozdziaªu przekoamy si,»e ksztaªt kuli zale»y od sposobu mierzeia odlegªo±ci w X, a wi c od postaci fukcji d. Wracaj c do aszej deicji, kwatykatory w (2.) pozwalaj am zwi ¹le wysªowi wªaso± zbie»ego ci gu x polegaj c a tym,»e w dowolie maªej kuli wokóª g (wyzaczoej przez swobody wybór promieia ε) zajdziemy wszystkie bez wyj tku wyrazy ci gu x o dostateczie wysokich umerach, a kokretie wy»szych i» 2

22 22 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI pewa liczba N. Je±li wi c jakie± elemety aszego ci gu ie mieszcz si w wybraej kuli, wówczas ich umery ie mog przekracza N, a zatem jest ich sko«czeie wiele ie wi cej i» N. Sama liczba N zale»y a ogóª od wyboru ε: im miejsza kula wokóª g, tym wi cej elemetów ci gu le»e mo»e poza i, a wi c tym wi ksza jest liczba N. Wa»e jest jedak to,»e w ka»dym wypadku jest to liczba sko«czoa. W matematyce cz sto operujemy iesko«czoymi zbiorami obiektów posiadaj - cych pew wspól wªaso±. Je±li porzucaj c drobiazgowo± dopuszczamy ielicze wyj tki od tej wspólej reguªy, a precyzyjiej sko«czeie wiele takich wyj tków, mówimy wówczas krótko,»e prawie wszystkie elemety zbioru posiadaj postulowa cech. Np. prawdziwe jest stwierdzeie,»e prawie wszystkie liczby pierwsze s ieparzyste (bo jedyie liczba 2 arusza t zasad ) lub,»e prawie wszystkie liczby aturale speªiaj relacj 2 < 2 (ie speªiaj jej bowiem liczby = 2, 3, 4). Natomiast ieprawdziwe jest stwierdzeie,»e pierwiastki kwadratowe z prawie wszystkich liczb aturalych s iewymiere, poiewa» ie jest to prawd dla iesko«czeie wielu liczb b d cych kwadratami, =, 4, 9, 6, 25,... U»ywaj c powy»szej termiologii mo»emy zwi ¹le wysªowi deicj zbie»o±ci ast puj co: lim x = g, gdy w ka»dej, iewa»e jak maªej, kuli wokóª g le» prawie wszystkie wyrazy ci gu x. Przykªad 2.2 Przeaalizujmy jak ogóla metrycza deicja graicy ci gu realizuje si w ajprostszym przypadku, gdy X = R oraz d(x, y) = x y. Przekoamy si,»e graic ci gu x = jest 0. Niech wi c ε > 0 b dzie dowole. Kul K ε(0) jest w tym wypadku przedziaª otwarty ( ε, ε), a badaie czy elemet ci gu x le»y w tej kuli sprowadza si do ierówo±ci x 0 < ε czyli rówowa»ie < ε. Zero jest graic ci gu x, je±li ierówo± ta zachodzi dla wszystkich bez wyj tku powy»ej pewej warto±ci N. Dla odwroto±ci otrzymujemy rówowa»ie >, a ε wi c poszukiwae N = [ ] ε, gdzie [x] ozacza cz ± caªkowit x. Wszystkie wyrazy ci gu pocz wszy od = N + le» wi c w kuli K ε(0), a zatem 0. Dla odmiay podamy teraz prosty przykªad ci gu, który ie posiada graicy. Obierzmy w przestrzei metryczej X dwa ró»e pukty A i B. Jako»e A B, mamy wi c d(a, B) = r > 0. Nasz ci g utworzymy teraz ast puj co: P k = A, gdy k jest ieparzyste oraz P k = B, gdy k jest parzyste, a wi c ci g te ma posta A, B, A, B,... Twierdzimy, i» ie jest to ci g zbie»y, a wi c ie istieje dla iego pukt graiczy g. Sprawd¹my ajpierw,»e A ie mo»e by jego graic. W tym celu wybierzmy ε < r i rozwa»my kul K 2 ε(a). Oczywi±cie B K ε (A). Poiewa» wszystkie wyrazy ci gu o umerach parzystych P k = B le» a zew trz tej kuli, ieprawd jest, jakoby zawieraªa oa prawie wszystkie jego wyrazy. Idetycze rozumowaie pokazuje,»e B rówie» ie mo»e by t graic. Czy jakikolwiek iy pukt C mógªby i by? Wybieraj c ε < mi{d(a, C), d(b, C)} przekoujemy si atychmiast,»e kula K ε (C) ie zawieraªaby w ogóle elemetów ci gu, wi c C graic by ie mo»e. W bardzo podoby sposób dowodzi si ast puj cego prostego faktu.

23 23 LEMAT 2. Ci g mo»e posiada co ajwy»ej jed graic. Gdyby bowiem g g 2 miaªy by dwoma graicami tego samego ci gu, wówczas wystarczyªoby wybra ε miejszy i» poªowa odlegªo±ci mi dzy g a g 2, dla którego ka»da z rozª czych kul K ε (g ) i K ε (g 2 ) musiaªaby zawiera prawie wszystkie wyrazy ci gu, a to oczywi±cie ie jest mo»liwe. Zako«czymy te podrozdziaª deicj tzw. puktu skupieia zbioru w przestrzei metryczej. Poj cie to ma wiele wspólego z poj ciem graicy ci gu. DEFINICJA 2.3 Niech A b dzie podzbiorem przestrzei metryczej (X, d). Mówimy,»e p X jest puktem skupieia zbioru A, je±li ε > 0 q A taki,»e q p oraz d(q, p) < ε. Mówi c pro±ciej, w dowolie maªej odlegªo±ci od puktu skupieia p zajduj si zawsze jakie± pukty zbioru A ie i» p. Sam pukt p mo»e, lecz ie musi, ale»e do A. Oto prosty przykªad: je±li A = (0, ) R, ka»da z liczb p [0, ] jest jego puktem skupieia. O ile graica ci gu jest zawsze puktem skupieia zbioru jego elemetów (z wyª czeiem ci gów staªych), to jedak pukt skupieia ci gu ie musi by jego graic, por. zadaie 4. Prawd jest atomiast,»e je±li p jest puktem skupieia zbioru A, wówczas z elemetów A mo»a zbudowa ci g zbie»y do p. II.2 Ci gi i ich graice: podstawowe wªaso±ci W tym podrozdziale opiszemy ajprostsze wªaso±ci ci gów w ogólych przestrzeiach metryczych. Cz sto z powodów praktyczych ie iteresujemy si caªym ci giem {x }, a jedyie pewym jego iesko«czoym podci giem. Przykªadem podci gu {x } mo»e by ci g zªo»oy wyª czie z wyrazów o umerach parzystych, {x 2k : k =, 2,...} lub ci g zªo»oy z tych elemetów x, których umery s liczbami pierwszymi, = p k, k =, 2,... Istote jest, aby podci g, jakkolwiek go wybierzemy, zawieraª iesko«czeie wiele wyrazów. O ci gu {x } (zbie»ym lub ie) powiemy,»e jest ograiczoy, je±li istieje kula K r (S) w przestrzei metryczej X zawieraj ca wszystkie bez wyj tku wyrazy tego ci gu. Zaczijmy od dwóch prostych stwierdze«dotycz cych ci gów zbie»ych. LEMAT 2.2 (i) Ka»dy ci g zbie»y jest ograiczoy. (ii) Ka»dy podci g ci gu zbie»ego jest zbie»y do tej samej graicy. Uzasadiaj c prawdziwo± stwierdzeia (i), we¹my dowol kul otaczaj c graic g aszego ci gu, K ε (g). Kula ta zawiera z zaªo»eia prawie wszystkie elemety ci gu. Na zew trz pozostaje wi c sko«czoa ich liczba, w ajgorszym razie s to wszystkie elemety x,..., x N. Wybierzmy r = max{d(x, g),..., d(x N, g)} +. Wówczas kula K r (g) zawiera wszystkie elemety ci gu, a wi c jest o ograiczoy. Przykªad ci gu A, B, A, B... z poprzediego podrozdziaªu pokazuje,»e stwierdzeie odwrote ie

24 24 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI jest a ogóª prawdziwe ci g ograiczoy ie musi by zbie»y cho, jak si za chwil przekoamy, w ieskomplikowaych sytuacjach mo»a z iego wyodr bi podci g zbie»y. Uzasadieie wªaso±ci (ii) jest tak»e bardzo proste: skoro ka»da kula otaczaj ca graic g ci gu x zawiera prawie wszystkie jego wyrazy, zawiera oa automatyczie prawie wszystkie wyrazy dowolego jego podci gu, a wi c ka»dy taki podci g zbiega tak»e do g. To z pozoru baale stwierdzeie ma zaczeie praktycze: zdarza si,»e wiemy o ci gu, i» ma o graic, ale ie umiemy jej wyliczy, gdy p. wyrazy ci gu zawieraj iepor cze arytmetyczie fukcje typu. Czasem mo»a omi t trudo± obliczaj c graic pewego podci gu, p. zªo»oego z wyrazów o umerach = k 2, dla których obliczaie pierwiastka jest ªatwe. Przejdziemy teraz do bardzo wa»ej charakteryzacji ci gów zbie»ych podaej przez Cauchy'ego. Chodzi w iej o to, aby uwoli si od koieczo±ci jawego u»ycia graicy g, która mo»e by iezaa lub truda do obliczeia. Pomysª Cauchy'ego polegaª a wykorzystaiu obserwacji,»e je±li wyrazy ci gu skupiaj si wokóª warto±ci graiczej, to zbli»aj si tak»e wzgl dem siebie. DEFINICJA 2.4 (Wªaso± Cauchyego) Mówimy,»e ci g {x } w przestrzei metryczej (X, d) jest ci giem Cauchy'ego, je±li speªia o ast puj cy waruek ε > 0 N N m, > N d(x m, x ) < ε. (2.2) Podobie jak w przypadku deicji graicy (2.), dostateczie dalekie wyrazu ci gu le» wzgl dem siebie w odlegªo±ci miejszej i» dowolie wybrae ε lub, iymi sªowy, prawie wszystkie wyrazy takiego ci gu zmieszcz si w dowolie maªej kuli. Mo»a ªatwo uzasadi,»e ka»dy ci g zbie»y posiada wªaso± Cauchy'ego. Wybierzmy w tym celu dowolie maªe ε. Skoro ci g jest zbie»y, istieje N takie,»e wszystkie elemety ci gu o umerach wy»szych i» N speªiaj ierówo± d(x, g) < ε. Bior c dowole dwie liczby m, > N i korzystaj c z ierówo±ci 2 trójk ta mamy wówczas d(x m, x ) d(x m, g) + d(x, g) < ε 2 + ε 2 = ε, a wi c jest to ci g Cauchy'ego. Niestety ie wszystkie ci gi posiadaj ce wªaso± Cauchy'ego s automatyczie zbie»e. Jest to jedak defekt ie tyle samych ci gów tego typu, co pewych przestrzei metryczych. Chodzi o to,»e potecjaly pukt graiczy ci gu Cauchy'ego mo»e le»e poza przestrzei X. Oto dwa typowe przykªady. Przykªad 2.3 Niech X = (0, ), przy czym jako metryk wybieramy zwykª odlegªo± puktów a prostej d(x, y) = x y. Rozwa»my ajprostszy ci g x =. Jest to ci g zbie»y do zera w R, a wi c ma wªaso± Cauchy'ego wzgl dem (tej samej) metryki d. Jedak poiewa» 0 X ci g te ie jest zbie»y w X jest zbie»y poza X.

25 Przykªad 2.4 Niech z kolei asz przestrzei b dzie zbiór liczb wymierych X = Q z odlegªo±ci d(x, y) = x y. Rozwa»my ast puj cy ci g: x =.4 x 2 =.4 x 0 = w którym rozpozajemy ci g kolejych dziesi tych a wi c wymierych przybli»e«liczby 2. Jest to ci g Cauchy'ego w X, bo dla m, > N mamy x m x < 0 N. Jedak poiewa» jego graica 2 Q (por. zadaie 5), ie jest o zbie»y w X. Przestrze«Q jest iezwykle dziurawa, brakuje w iej bowiem wszystkich iewymierych graic ci gów zbudowaych z ich kolejych wymierych przybli»e«. W obydwu przytoczoych wy»ej przykªadach przestrzeie metrycze s iezupeªe. Defekt iezupeªo±ci polega wªa±ie a ieobeco±ci w X iektórych puktów graiczych ci gów Cauchy'ego. Ka»d iezupeª przestrze«metrycz X mo»a jedak rozszerzy do przestrzei zupeªej ajmiejszej przestrzei metryczej z d zgodym ze star metryk, zawieraj cej X oraz graice wszystkich ci gów Cauchy'ego w X. Dla aszych przykªadów s to odpowiedio przedziaª domki ty [0, ] i zbór liczb rzeczywistych R. Sformuªujemy teraz stosow deicj. DEFINICJA 2.5 Przestrze«metrycz (X, d) azywamy zupeª, je±li wszystkie zawarte w iej ci gi Cauchy'ego s zbie»e. Dla wielu ci gów kostruowaych w praktyce stosukowo ªatwo jest udowodi wªaso± Cauchy'ego. Je±li pracujemy w przestrzei zupeªej, takiej jak R lub C, mamy wówczas pewo± co do zbie»o±ci takiego ci gu. Np. ci gi Cauchy'ego powstaj cz sto w efekcie dziaªaia iteracyjych procedur umeryczych. Wªaso± Cauchy'ego jest wówczas gwaracj zbie»o±ci takich procesów obliczeiowych. Wrócimy obecie do ci gów ograiczoych w zupeªej przestrzei metryczej X. Jak ju» stwierdzili±my, ie wszystkie ci gi ograiczoe s zbie»e, jedak a ogóª zawieraj oe zbie»e podci gi. Ituicja geometrycza zwi zaa z tym faktem jest ast puj ca: je±li w ograiczoym obszarze przestrzei metryczej (a wi c p. w pewej kuli) mieliby±my pomie±ci iesko«czeie wiele puktów, iemo»liwe jest zachowaie ustaloej separacji miedzy imi to jest z góry ustaloej miimalej, dodatiej odlegªo±ci mi dzy ka»d par puktów. Skoro obszar jest ograiczoy a liczba puktów iesko«czoa, je±li podzielimy go a 2 miejsze podobszary, przyajmiej w jedym z ich musi si zale¹ iesko«czeie wiele puktów. Powtórzmy ast pie to rozumowaie dla tego podobszaru i kolejo dla coraz to miejszych jego cz ±ci, za ka»dym razem wybieraj c te kawaªek, w którym le»y iesko«czeie wiele puktów. Jak wida te pukty powiy si gdzie± kumulowa. Je±li w ka»- dym kroku wybiera b dziemy po jedym pukcie z kolejych coraz to miejszych podobszarów, zbudujemy zbie»y podci g. 25

26 26 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI O ile ituicje te s poprawe w odiesieiu do prostych przestrzei metryczych, takich jak p. R 3, okazuj si jedak zawode w przypadku przestrzei iesko«czeie wymiarowych. Nale» do ich w szczególo±ci przestrzeie zawieraj ce fukcje okre±loej klasy. Przestrzeie te zajmuj wa»e miejsce w zaawasowaych zastosowaiach matematyki, p. w zyce matematyczej, w modelowaiu procesów stochastyczych lub w teorii cz stkowych rówa«ró»iczkowych. Z oczywistych wzgl dów ie b dziemy si imi zajmowa podczas aszego kursu aalizy. Poprzestaiemy a uwadze,»e przestrzeie, w których zgodie z asz ituicj ka»dy ci g ograiczoy zawiera podci g zbie»y, s to tzw. przestrzeie lokalie zwarte. S imi w szczególo±ci przestrzeie R i C, a tak»e przestrzeie sko«czeie wymiarowe R i C. Orzeka o tym tzw. twierdzeie Bolzao-Weierstrassa. Poadto lokalie zwarte przestrzeie metrycze s automatyczie zupeªe. II.3 Arytmetycze i porz dkowe wªaso±ci graic Zajmiemy si teraz ci gami liczb rzeczywistych. Wiele stwierdze«o takich ci gach ma ses tak»e dla ogóliejszych ci gów liczb zespoloych. Zarówo R jak i C s zupeªymi, lokalie zwartymi przestrzeiami metryczymi z metryk d(x, y) = x y (dla liczb rzeczywistych jest to zwykªa warto± bezwzgl da, dla liczb zespoloych jest to moduª z = (Re z) 2 + (Im z) 2 ), tak wi c ci gi Cauchy'ego s w ich automatyczie zbie»e, a ci gi ograiczoe zawieraj zbie»e podci gi. Jedak oprócz struktury metryczej zbiory R i C posiadaj tak»e bogat struktur algebraicz ciaªa liczbowego. Przeaalizujemy jak arytmetyka liczb przeosi si a ci gi. Zbiór liczb rzeczywistych posiada poadto struktur porz dkow relacj x y (ie posiada jej atomiast zbiór C). Zobaczymy,»e ta struktura rówie» bywa pomoca przy poszukiwaiu graic ci gów. Operacje arytmetycze a ci gach Rozpocziemy od sformuªowaia twierdzeia o arytmetyczych wªaso±ciach ci - gów. TWIERDZENIE 2. Niech {x } oraz {y } b d ci gami liczbowymi (w R lub w C) posiadaj cymi sko«czoe graice, lim x = x, lim y = y. Wówczas (i) lim (x ± y ) = lim x ± lim y = x ± y (ii) lim x y = lim x lim y = x y x (iii) lim y = lim x = x, o ile y 0. lim y y Dowód. Udowodimy twierdzeie dla sumy i iloczyu dwóch ci gów pozostawiaj c przypadki ró»icy i ilorazu jako zadaia. Dowód dla sumy ci gów jest ast puj cy. Wybierzmy ε > 0. Skoro lim x = x oraz lim y = y, istiej wska¹iki N i N 2 (a ogóª ró»e dla ró»ych ci gów) takie,»e x x < ε 2 dla wszelkich > N oraz y y < ε 2, gdy tylko > N 2. St d dla

27 > max{n, N 2 }, korzystaj c z ierówo±ci trójk ta (wszak a b jest metryk ) otrzymujemy (x + y ) (x + y) = (x x) + (y y) x x + y y < ε 2 + ε 2 = ε, a wi c lim(x + y ) = x + y. Przejd¹my teraz do dowodu twierdzeia dla iloczyu ci gów. Rozpoczijmy od ast puj cej ierówo±ci wyikaj cej z zastosowaia ierówo±ci trójk ta oraz oczywistej to»samo±ci ab = a b : x y xy = x y + xy xy xy = (x x)y + (y y)x x x y + y y x. Poiewa» ci g y jest zbie»y, jest wi c ograiczoy. Istieje zatem liczba M > 0 taka,»e y < M dla wszystkich. Zwi kszaj c w razie potrzeby M mo»emy rówocze±ie zaªo»y,»e tak»e x < M, a zatem x y xy x x M + y y M. Wybierzmy dowole ε > 0. Podobie jak poprzedio, z zaªo»eia o zbie»o±ci x i y, istiej wska¹iki N i N 2 takie,»e x x < ε oraz y 2M y < ε, je±li tylko 2M > max{n, N 2 }. Š cz c to z ostati ierówo±ci mamy a wi c x y xy. x y xy < ε 2M M + ε 2M M = ε, Je±li jede z ci gów jest staªy, p. x = C dla =, 2,..., otrzymujemy atychmiast i u»ytecz to»samo± : lim C y = C lim y = C y. Okazuje si,»e podobe twierdzeie ªatwo jest udowodi tak»e dla ci gów wektorów w przestrzeiach liiowych, a wi c p. w R 3 i C 3, przy czym zbie»o± w ich jest oczywi±cie rozumiaa jako zbie»o± w przestrzeiach metryczych z odlegªo±ci d(x, y) = x y 2 = x y 2 + x 2 y x 3 y 3 2. lub z odlegªo±ci zada przez p-orm, d(x, y) = x y p, p. (.4). Operacjami okre±lymi dla wektorów s dodawaie i mo»eie przez skalary (odejmowaie rozumiae jest jako dodawaie wektora pomo»oego przez ). Je±li wi c ci gi wektórów {x } i {y } maj sko«czoe graice x i y, wówczas, podobie jak dla ci gów liczbowych, lim (x + y ) = x + y oraz lim λx = λx, dla λ R lub C. Je±li za± tak»e λ jest ci giem skalarów o sko«czoej graicy, wówczas podobie lim λ x = λx. Prócz tego uzasadi mo»a ªatwo ast puj ce to»samo±ci lim x y = x y oraz lim x y = x y, 27

28 28 ROZDZIAŠ II. CI GI I SZEREGI gdzie i s odpowiedio iloczyami skalarym i wektorowym w R m lub C m. Zauwa»my jeszcze,»e zbie»o± w przestrzeiach wektorowych R m i C m w sesie metryki deiowaej przez dowol p-orm jest rówowa»a jedoczesej zbie»o- ±ci w R lub C wszystkich wspóªrz dych z osoba, a wi c lim x x p = 0 k =,..., m lim x (k) = x (k), gdzie x = [ ] [ x (), x (2),..., x (m) oraz x = x (), x (2),..., x (m)]. Przykªad 2.5 Przyjrzyjmy si jak w praktyce dziaªa udowodioe przez as twierdzeie. Rozwa»my w tym celu ci g liczbowy x = , =, 2,... ( + )(2 + 3) Przeksztaªcimy wyrazy aszego ci gu wyª czaj c w licziku i miaowiku 2 przed awias, ( x = ) 2 ), 2 ( + )( sk d po skróceiu 2 i u»yciu stosowych reguª arytmetyczych z Twierdzeia 2. mamy kolejo lim ( )( 2 ) = lim( lim ( )( ) = lim 3 lim 2 + lim lim ( ) ( ) + lim = = 3 2. Istote jest,»e graica w miaowiku ie wyosiªa 0. Rozszerzymy obecie zakres Twierdzeia 2. tak by obejmowaªo oo rówie» przypadki iesko«czoych graic. U±ci±lijmy ajpierw poj cie takiej graicy: o ci gu liczbowym x R mówimy,»e jest rozbie»y do iesko«czoo±ci lub»e jego graic jest, gdy speªia o waruek ) M > 0 N > N x > M. (2.3) Dla ci gów zespoloych z rozbie»o± do ozacza,»e ci g z speªia waruek (2.3). Je±li zezwolimy w Twierdzeiu 2. by p. lim y =, graic ci gu x + y byªoby wyra»eie x +. Poiewa» jedak symbol ie jest liczb, ie mo»a traktowa dodawaia w tym wyra»eiu dosªowie. By ada podobym formuªom precyzyjy ses, ale»aªoby odczytywa jako ieograiczeie du»e wielko±ci. A wi c, je±li do sko«czoego x dodajemy ieograiczeie du»e wielko±ci, wyik staje si tak»e ieograiczeie du»y: przy takiej iterpretacji abiera sesu zapis x + =. Podobie, poiewa» suma dwóch ieograiczeie du»ych wielko±ci jest ieograiczeie du»a, dobrze okre±loa jest formuªa + =.