Wykład 0. W analizie matematycznej szeregiem liczbowym przyjęło się nazywać napis

Transkrypt

1 Wykład 0. Matematyka, semestr leti 00/0 Program poprzediego semestru kończy się badaiem szeregów liczbowych. W tak zwaych dawych czasach ludziom sprawiało trudość zrozumieie, że suma ieskończoej liczby składików może być skończoa. Zastaawiał się ad tym jede z filozofów starożytej Grecji: Zeo zelei. Paradoks Dychotomii: Spriter ma do przebiegięcia skończoy dystas. Zaim jedak pokoa całą odległość musi ajpierw dobiec do / długości, ale zaim dobiegie do / musi ajpierwdobiecdo/4,alezaimdobiegiedo/4musiajpierwdobiecdo/8,itakw ieskończoość. Wyika z tego, że biegacz ma do przebycia ieskończoą liczbę odcików o skończoej długości. Poieważ ie da się pokoać ieskończoej liczby odcików w skończoym czasie, biegacz igdy ie ukończy biegu.(wikipedia) Paradoks Żółwia i Achillesa: Achilles i żółw stają a liii startu wyścigu a dowoly, skończoy dystas. Achilles potrafi biegać razy szybciej od żółwia i dlatego a starcie pozwala oddalić się żółwiowi o / całego dystasu. Achilles, jako biegący razy szybciej od żółwia, dobiegie do / dystasu w momecie, gdy żółw dobiegie do 3/4 dystasu. W momecie gdy Achilles przebiegie 3/4 dystasu, żółw zowu mu uciekie pokoując 7/8 dystasu. Gdy Achillesdotrzewtomiejsce,żółwzowubędzieodiegoo/6dystasudalej,itakdalejw ieskończoość. Wiosek: Achilles igdy ie dogoi żółwia, mimo że biegie od iego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmiejszająca się odległość.(wikipedia) Powyższe(tak zwae) paradoksy opierają się a założeiu, że suma ieskończoej liczby skończoych wielkości ie może być skończoa. O tym, że założeie to ie jest prawdziwe moża się przekoać przyglądając się astępującemu obrazkowi(kwadrat ma pole rówe ): = = W aalizie matematyczej szeregiem liczbowym przyjęło się azywać apis () a. = Ses,jakiadajemytakiemuapisowijestastępujący:Jeśli(a ) jestciągiemliczbowym, tociągs taki,że S =a S =a +a S 3 =a +a +a 3.. S =a +a + +a = k= a k

2 azywamysumączęściowąszeregu().mówimy,żeszereg()jestzbieżyjeśliciąg(s )ma graicę.graicętęazywamysumąszeregu.ociągu(a )mówimy,żejesttociągwyrazów szeregu. Widać więc, że tak aprawdę każdy ciąg liczbowy moża zapisać jako szereg. To, że zajmujemy się imi oddzielie wyika z faktu, iż w wielu zagadieiach fizyczych i matematyczychszeregipowstająwsposóbaturaly.wtakimprzypadkuzazwyczajciąg(a )jestw wygodiejszejpostaciiż(s ).Ozbieżościszeregu(awięcciągu(S ))chcielibyśmywypowiadaćsięraczejwtermiachciągu(a ),iż(s ).Szereg,któregoilustracjęwidzimyaobrazku ma wyraz ogóly a = isumęczęściową S = W tym przypadku sumę częściową łatwo przestawić w powyższej wygodej postaci przeprowadzając rachuek: S = = = =. W rachuku tym użyliśmy wzoru () a b =(a b)(a +a b+a 3 b + +b ) dla a=,b=. Możemy więc apisać = =lim =. Zazwyczaj jedak sytuacja ie jest taka prosta. Musimy zaleźć sposoby jak poradzić sobie z szeregami bez zajomości wygodego wzoru a sumę częściową. Pamiętając, że badaie zbieżości szeregów to tak aprawdę badaie zbieżości specyficzych ciągów, sprawdźmy, co dla szeregów wyika ze zaych twierdzeń i techik dotyczących ciągów. Dla ciągów mamy do dyspozycji a przykład waruek Cauchy ego: Ciąg liczbowy jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy ego, czyli spełia waruek: (3) ε>0 N N:,m>N x x m <ε. Waruek Cauchy ego jest zazwyczaj bardzo trudy do sprawdzaia. Dla szeregów ma jedak iteresującąkosekwecję.zapiszmy(3)dla(s ): Zakładając,że>mdostajemy ε>0 N N:,m>N S S m <ε. S S m = a +a + +a m+ Szeregjestwięczbieżywtedyitylkowtedygdypowyższasumajestdowoliemaładlawystarczająco dużych m i. W szczególości jeśli szereg jest zbieży, to dowolie mała powia byćtasumatakżedla=m+.wtedyskładasięoazjedegotylkowyrazu: Dla zbieżego szeregu możemy więc apisać: S m+ S m = a m+. ε>0 N N: m>n a m <ε, cobardziejpoludzkuozacza,żeciąg(a )jestzbieżydozera.otrzymaliśmywtesposób waruek koieczy zbieżości szeregu liczbowego. Nie jest o wystarczający, tak jak peły waruek Cauchyego, bo kwatyfikator ogóly, m > N zastąpiliśmy słabszą wypowiedzią

3 ,m>n:=m+,rozważamywięctylkoiektórepary(,m)aiewszystkie.zajomość tego waruku jest jedak użytecza, gdyż może zaoszczędzić am pracy. Sformułujmy waruek koieczy jeszcze raz: Twierdzeie.Jeśliszereg = a jestzbieżytolim a =0.Iymisłowy,jeśliciąg (a )iemagraicylubmagraicęróżąod0,szeregzcałąpewościąjestrozbieży. Badaie zbieżości jakiegokolwiek szeregu powio zatem zacząć się od sprawdzeia waruku koieczego. Może to zaoszczędzić badającemu poszukiwaia skomplikowaych kryteriów zbieżościdlaszeregu,któryewidetiejestrozbieży.zdrugiejstroysamazbieżośća do zera ie wystarcza. Zae są przykłady szeregów takich, że waruek koieczy jest spełioy amimotoszeregjestrozbieży.najbardziejzaytoszeregharmoiczy,októrym = wiadomo,żejestrozbieży.zbieżość(a )dozeramusibyćwystarczającoszybka. Koleje twierdzeie zae dla ciągów to twierdzeie o ciągach mootoiczych i ograiczoych(że są zbieże). Jeśli ciąg sum częściowych jest rosący, to zaczy, że wyrazy ciągu (a )sądodatie.jeśliciąg(s )jestmalejący,towyrazyciągua sąujeme.twierdzeieo ciągach mootoiczych i ograiczoych da się więc zastosować do szeregów, których wyrazy są stałego zaku. Skocetrujmy się a szeregach o wyrazach dodatich. Stosowa wersja twierdzeia o ciągach mootoiczych i ograiczoych mogłaby brzmieć: Twierdzeie.Szereg = a owyrazachdodatichjestzbieżywtedyitylkowtedygdyjego ciąg sum częściowych jest ograiczoy. Wtesposóbmożaaprzykładrozstrzygąćozbieżościszeregu S k = k! = k! k =+[ k ]. Wyrażeie w awiasie kwadratowym jest miejsze iż (patrz asz pierwszy szereg), zatem S k +[ k ] 3. Wiemy zatem, że szereg wykładiczy jest zbieży, choć ie zamy jego sumy.(to zaczy zamy oczywiście, ale a razie jeszcze tego elegacko ie policzyliśmy). Poszukiwaie górego ograiczeia w postaci kokretej liczby dla ciągu sum częściowych bywa zadaiem bezadziejym. Jeśli jedak ma się już w głowie(albo w otatkach) stosowy zapas zbieżych szeregów do porówań, moża szukać tego ograiczeia wśród sum szeregów zbieżych.jeśli c jestzbieżyic jestdodatie,tosumartegoszeregu(czyligraica ciągur sumczęściowych)jestograiczeiemgórymdlaciągusumczęściowych.jeśliasz badayszereg a jesttaki,żedlakażdegoa c totakżes R R.TegoR ie musimy awet zać, wystarczy wiedzieć, że istieje. W te sposób otrzymaliśmy kryterium zbieżości szeregów zwae pierwszym kryterium porówawczym. A oto i samo twierdzeie: Twierdzeie3(Pierwszekryteriumporówawcze).Niech(a )i(c )będąciągamiwyrazów dodatichitakich,żedlaprawiewszystkichaturalychzachodziierówośća c.wówczasjeśliszereg c jestzbieżytotakże a jestzbieży.jeśli a jestrozbieży totakże c jestrozbieży Zwrot dla prawie wszystkich jest wygodym skrótem od dla wszystkich poza skończoą liczbą. W przypadku tego twierdzeia chodzi o to, że skończoa liczba początkowych wyrazów iemazaczeiadlazbieżości.jeśliwięcierówośća c iezachodzidlapoczątkowych! : 3

4 4 Nwyrazów,aledla>Nzachodzi,toadalmożemywioskowaćozbieżości a a podstawiezbieżości c alboorozbieżości c apodstawierozbieżości a. Kryterium porówawcze jest bardzo skutecze, jeśli wiemy już dużo o różych szeregach. Warto więc budować sobie taką bazę daych zawierającą róże przykłady. Jak dotąd mamy w iejtylkoszereg i.pierwszyztychprzykładów,szczególyprzypadekszeregu! geometryczego q zilorazemq=.przyjrzyjmysięogólemuprzypadkowi.wyrazyciągusumczęściowych Q k =+q+q + +q k możazapisaćwwygodiejszejpostaciużywającwzoru()dlaa=,b=q: q k+ =( q)(+q+q + +q k )=( q)q k, Q k = qk+ q Założyćtrzebaoczywiście,żeq,aletozałożeieieograiczaaswogóle,bojeśliq=to szeregjestewidetierozbieży.ciąg(q k )maskończoągraicęjedyiegdy q <.Wtedy lim Q q k+ k=lim k k q = q. Wioskujemy więc, że szereg geometryczy jest zbieży jedyie, gdy wartość bezwzględa ilorazu tego szeregu jest miejsza od. W pozostałych przypadkach szereg geometryczy jest rozbieży. Koleje rekordy bazy daych dodamy używając astępującego twierdzeia Twierdzeie4(Lematozagęszczaiu).Niecha będzieierosącymciągiemwyrazówdodatich wówczas szereg a jestzbieżywtedyitylkowtedy,gdyzbieżyjest k a k. = Napierwszyrzutokaiewielepomaga...Spróbujmyjedak.Niecha =,gdziep>0jest p dowolą liczbą rzeczywistą. Na pierwszy rzut oka ic ie wiadomo o szeregu p dlap>0.dlap 0iespełiawarukukoieczego,więcjestewidetierozbieży.Sprawdźmyjakwyglądatedrugiszeregzlematu: ( k ) ) ( ) k ( k ) p=(k kp= kp k=, (p ) czyli jest szeregiem geometryczym ( ) k, (p ) októrymwiadomo,żejestzbieży,gdyjegoilorazq= jestmiejszyod.skorotak,p musi być większe od. Mamy już do porówań całe móstwo (p ) szeregów zbieżych i rozbieżych wzależościodp.naprzykładdlap=otrzymujemyrozbieżyszeregharmoiczy:, dlap=zbieżyszereg. k=

5 Przykładszeregu p pokazuje,żewproblemiezbieżościszeregówchodzitakaprawdę o to, jak szybko wyrazy szeregu dążą do zera. Obserwacja ta zajduje potwierdzeie w astępującym twierdzeiu Twierdzeie5(Drugiekryteriumporówawcze).Niech(a )i(b )będąciągamiwyrazów dodatich. Załóżmy, że istieje graica a α=lim. b Jeśliszereg b jestzbieżyiαjestskończoeto a teżjestzbieży.jeśli b jestrozbieżyiα>0to a teżjestrozbieży. Powyższe sformułowaie ie jest ajogóliejsze z możliwych. Założeie istieia graicy ilorazuciągówjestzbytmoce.takaprawdędodowoduzbieżościwystarczy,abyciąg a b był ograiczoy z góry, atomiast dla dowodu rozbieżości, aby prawie wszystkie wyrazy tego ciągu były ograiczoe przez liczbę dodatią. W zadaiach ajczęściej jedak spotyka się przykłady w których istieje graica. Przykład. Zbadajmy zbieżość + +. Liczikjestrzędu amiaowikrzędu,zatem(a )dążydozeramiejwięcejtakjak Spodziewamy się więc, że szereg będzie zbieży. Moża użyć pierwszego kryterium porówawczego argumetując, że a = = + 3, aszereg,któregowyrazemogólymjest + 3jestzbieży.(Korzystamydodatkowoztego, że suma szeregów zbieżych jest zbieża.) Moża też użyć drugiego kryterium porówawczego dlab = 3,wtedy a b = = (+ ) 3 = ( 3 + ) = ( +) =α Szeregzadayprzezciągb jestzbieży,graicailorazuistiejeijestskończoa,zatema mocy drugiego kryterium porówawczego szereg jest zbieży. Do klasyczego podstawowego zestawu kryteriów wypada dołączyć jeszcze kryterium Cauchy ego i kryterium d Alemberta. Oto pierwsze z ich: Twierdzeie6(KryteriumCauchy ego).niecha będzieciągiemowyrazachdodatich.ozaczmy α=lim a, jeśligraicaistieje.gdyα<szereg = a jestzbieży,jeśliα>szeregjestrozbieży, atomiast jeśli = kryterium ie daje odpowiedzi. Dowód: Uzasadieie powyższego twierdzeia jest dość łatwe, ale pouczające, dlatego przytoczymyjetutaj.zajmijmysięajpierwprzypadkiem,gdyα<.zdefiicjigraicydlaciągu ( a )wyika,żeistiejeliczbaβtaka,że α<β< 5 3.

6 6 spełiająca dodatkowo waruek a <β dlaprawiewszystkich.istotie,jeśliαjestgraicą( a ),tozaczy,żedladowolegoε>0 istiejentakie,żedla>n a α <ε. Weźmydowoląliczbęβspełiającąα<β<iwybierzmyε=β α.wyzaczmydlaiego odpowiedie N. Mamy zatem: a α <β α. Iaczejmówiącdlawszystkichpozapoczątkowymiwyrazyciągu a sąoddaloeodαie więcejiżodległośćodαdoβ.wszystkietewyrazysąwięcmiejszeodβ: >N a <β. Podoszeie do -tej potęgi zachowuje ierówość(obie stoy są dodatie), zatem a <β. Na mocy pierwszego kryterium porówawczego z szeregiem geometryczym o ilorazie β < wioskujemyże a jestzbieży. Gdyα>toozacza,żeieskończeiewielewyrazówciągu( a )jestwiększychod,ato takżezaczy,żeieskończeiewielewyrazówciągu(a )jestwiększychod.niejestspełioy waruek koieczy zbieżości szeregów. Gdyα=kryteriumiedajeodpowiedzi.Wystarczyspojrzećadwaprzykłady:.Pierwszyjestrozbieżyadrugizbieżyiwobuprzypadkach lim ==lim. Kryterium Cauchy ego sprowadza się więc do pierwszego kryterium porówawczego. Dobór szeregu do porówaia jest jedak dość szczególy, wygodie jest więc mieć sformułowae kryterium, a ie za każdym razem kostruować stosowy szereg geometryczy od owa. Przykład. Kryterium Cauchy ego zastosujemy do paskudie wyglądającego szeregu +. ( ++) Wyraz ogóly ie wygląda zachęcająco, ale próbujemy pozbyć się -tych potęg wyzaczając a : a = + ( ++) + = = ( ++) + ( ++) (+ ) ( ++) Przegrupowując ieco czyiki otrzymujemy a = = = i

7 7 Wiadomo, że lim =, podobie lim ++=. Pozostałyułamekmagraicę.Ostatecziewięc α=lim a = < i a mocy kryterium Cauchy ego baday przez as szereg jest zbieży. Ostatim z klasyczych kryteriów zbieżości szeregów o wyrazach dodatich jest kryterium d Alemberta. Przebieg dowodu wskazuje, że także to kryterium opiera się a porówaiu badaego szeregu z odpowiedio dobraym szeregiem geometryczym. Tym razem jedak ie będziemy przytaczać dowodu: Twierdzeie 7(Kryteriumd Alemberta).Niecha będzieciągiemowyrazachdodatich. Ozaczmy a + α=lim, a jeśligraicaistieje.gdyα<szereg = a jestzbieży,jeśliα>szeregjestrozbieży, atomiast jeśli = kryterium ie daje odpowiedzi. Przykład 3. Kryterium d Alemberta dobrze pasuje do szeregów z wyrazami zawierającymi silię. Rozważmy a przykład ( ) 3 7. Wyzaczamy odpowiedi iloraz: a + a = i jego graicę ( ) (+) ( = 3 )7 (3+3)! (+)!(+)! 7 7 (3+3)! (3!) = (3)!!()! 7 (!) (+)!(+)! 7 = (3+3)(3+)(3+) (+)(+)(+) 7 a + (3+3)(3+)(3+) lim =lim a (+)(+)(+) 7 = 7 8 < Na mocy kryterium d Alemberta baday szereg jest zbieży. Do tej pory badaliśmy iemal wyłączie szeregi o wyrazach dodatich. Całkiem ogóly był tylko waruek koieczy zbieżości szeregów. Jest jedak całe móstwo szeregów, których wyrazy ie są jedego zaku(wszystkie dodatie, albo wszystkie ujeme). Zauważmy jedak, że iaczej traktować trzeba tylko te szeregi, których ieskończeie wiele wyrazów jest dodatich i jedocześie ieskończeie wiele jest ujemych. Jeśli tylko skończoa liczba wyrazów ma iy zakiżpozostałeiewpływatoasposóbbadaiazbieżościtegoszereguiawyiktego badaia(choć oczywiście ma zaczeie dla wartości sumy).

8 8 Przykład 4. Stadardowym przykładem szeregu mającego wyrazy różych zaków jest szereg aharmoiczy: ( ) +. = Niech(A )będzieciągiemsumczęściowychtegoszeregu.rozważmydwapodciągi-parzysty (A )iieparzysty(a + ).Najpierwprzyglądamysięciągowiparzystemu(grupujemywyrazy): A = ( ) ( ( ( + 3 4) + 5 6) + + ) = ( ) = k= k(k ). WyrazyciąguA sąsumamiczęściowymipewegoszereguowyrazachdodatich.wszczególoćiozaczato,żeciąg(a )jestrosący.terazbadamypodciągwyrazówieparzystych (także grupujemy wyrazy): ( ( ( A + = 3) 4 5) 6 7) ( ) = (+) = k= k(k+) Ciągwyrazówieparzystych(A + )jestmalejący.różicamiędzyodpowiedimiwyrazami podciągów parzystego i ieparzystego jest astępująca: A + A = +. Z powyższej rówości wyciągamy dwa wioski: Po pierwsze A + A 0 czyli A + A. Nieparzysty ciąg maleje a parzysty rośie. Pierwszy wyraz ieparzystego jest więc ograiczeiem górym dla całego ciągu parzystego a pierwszy wyraz parzystego ograiczeiem dolym dla całego ciągu ieparzytego. Wyika z tego, że oba ciągi są mootoicze i ograiczoe, a więczbieże.poadtoróżicamiędzyodpowiedimiwyrazami(a )i(a + )dążydozera, zatem graica obu podciągów jest jedakowa. Ciągi parzysty i ieparzysty wspólie wyczerpującałyciąg(a ),zatem(a )teżjestzbieżydowspólejgraicypodciągów.wtesposób pokazaliśmy, że szereg aharmoiczy jest zbieży. Z teorii szeregów potęgowych dowiedzieć się moża,żesumategoszeregujestrówalog. Sposób w jaki dowodziliśmy zbieżości szeregu aharmoiczego moża zastosować do dowolego szeregu aprzemieego postaci ( ) a = którypowstałzdodatiegociągu(a )mootoiczego(malejącego)zgraicąrówązero. Twierdzeie dotyczące takich ciągów zae jest jako kryterium Leibiza: Twierdzeie8(KryteriumLeibiza).Jeśli(a )jestdodatimciągiemmalejącymilim a = 0toszereg = ( ) a jestzbieży.

9 Przykład 5. Powyższe twierdzeie możemy zastosować do szeregu: ( ) π si, + = ajpierw jedak musimy pokazać, że jest to szereg aprzemiey. Zajmijmy się fukcją pod siusem π + =(+) π= (+) (+)+ π=( )π π. Aplikujemy sius do wyiku i korzystamy ze wzoru a sius sumy kątów: ( si ( )π+ ) + π = si(( )π)cos si(α+β)=siαcosβ+cosαsiβ, ( ) ( ) + π +cos(( )π)si + π = 0+( ) si ( + π ) Dlawszystkich>wartość + πmieścisięwprzedziale]0,π[azatemtam,gdziesiusjest fukcją rosącą. Ciąg ( ) si + π jest więc malejący, podobie jak ciąg + π. Zciągłościfukcjisiuswyikazato,że ( ) lim si + π =0 Ciąg wyrazów badaego przez as szeregu spełia więc założeia kryterium Leibiza. Szereg aharmoiczy jest także przykładem szeregu, który azywamy zbieżym warukowo. Zbieżość warukową przeciwstawiamy zbieżości bezwzględej. Oto stosowe defiicje: Defiicja.Szereg = a azywamyzbieżymbezwzględiejeślizbieżyjestszereg a. = Jeśliszereg = a jestzbieży,ale = a jestrozbieży,toszeregazywamyzbieżym warukowo. Korzystając z waruku Cauchy ego zbieżości ciągów łatwo jest pokazać, że szereg zbieży bezwzględie jest także zbieży. Istotie: Jeśli szereg jest zbieży bezwzględie, to zaczy, że ciągsumczęściowychszeregu = a jestciągiemcauchye go.biorącwięcwystarczająco dużem,możemyzapewić,że m a k a k ε k= k= 9

10 0 dla każdego wybraego wcześiej ε > 0. Różica sum częściowych to suma pewej liczby odpowiedio dalekich wyrazów: m a k a k = a k 0, k= k= k=m+ gdy a przykład > m. Wiadomo jedak, że wartość bezwzględa liczby rzeczywistej ma własość wartość bezwzględa sumy jest miejsza iż suma wartości bezwzględych możemy więc apisać prawdziwą ierówość: a k a k ε. k=m+ k=m+ Okazuje się więc, że ciąg sum częściowych szeregu bez wartości bezwzględych też jest ciągiem Cauchy ego, a zatem także ciągiem zbieżym. Szeregi zbieże warukowo mają jedą zaskakującą własość, którą wyraża twierdzeie Riemaa: Twierdzeie9(Riema).Jeśliszereg = a jestzbieżywarukowo,todlakażdejliczby s R {+, }istiejebijekcjaσ s : N Ntaka,że a σs()=s. = Zupełie iaczej rzecz się ma z szeregami zbieżymi bezwzględie: Twierdzeie0.Jeśliszereg = a jestzbieżybezwzględieijegosumajestrówas,to dlakażdejbijekcjiσ: N Nzachodzi a σ() =s. = Nie będziemy prowadzić szczegółowego dowodu powyższych twierdzeń. Przedstawimy jedyie szkic dowodu twierdzeia Riemaa i wskażemy w którym pukcie sytuacja szeregów zbieżych bezwzględie różi się od szeregów zbieżych warukowo. Szkic dowodu tw. Riemaa. Zauważmy, że szereg, który jest zbieży warukowo, a ie bezwzględie musi mieć ieskończeie wiele wyrazów dodatich i ieskończeie wiele ujemych. Gdyby któryś ze zbiorów był skończoy szereg musiałby być albo w ogóle rozbieży, albo zbieżybezwzględie.niechn={a : a <0}iP={a : a >0}.Dodatkowowiadomo,że szereg utworzoy z wyrazów ze zbioru P jest rozbieży, podobie szereg utworzoy z wyrazów ze zbioru N. Oba szeregi są szeregami wyrazów stałego zaku. W tym pukcie sytuacja szeregów zbieżych warukowo różi się od szeregów zbieżych bezwzględie. W przypadku szeregów zbieżych bezwzględie obie sumy są skończoe. Wiemy poadto, że asz wyjściowy szereg spełia waruek koieczy zbieżości szeregów. Jeśli więc uporządkujemy wyrazy ze zbioru P wkolejościmalejącejawyrazyzezbiorunwkolejościrosącejotrzymamydwaciągi(p k ) i(n k ),pierwszymalejącydrugirosący,obazbieżedozera.ustalmyterazliczbęrzeczywistą s. Dla ustaleia uwagi załóżmy, że jest oa dodatia. Kostruujemy szereg zbieży do s wedługastępującegoalgorytmu:()dodajemytylekolejychwyrazówciągup k (zaczyającod pierwszego) aby przekroczyć s,() do poprzediej sumy dodajemy tyle kolejych(ujemych) wyrazówciągu(n k )zaczyającodpierwszegoabysumabyłamiejszaods,(3)douzyskaego wyikudodajemytylewyrazówciągu(p k )zaczyającwmiejscuwktórymskończyliśmykrok

11 (),(4) w kroku czwartym zowu korzystamy z wyrazów ujemych aż suma będzie miejsza iżs,dalejpowtarzamykroki(3)i(4). P P 3 P 4 P 5 P 6 0 P N 3 Zauważmy,żepokażdychdwóchkrokachzajdujemysiębliżejliczbys,poieważciągi(P k ) i(n k )sązbieżedozeraimootoicze.gwaratujeto,żeotrzymayszeregjestistotie zbieży do s. Przyporządkowaie starym umerom wyrazów ciągu ich owego położeia jest szukaąbijekcją.jeśliwyjściowaliczbasjestujemazacząćależyodciągu(n k ).Sądzę,że potrafią państwo samodzielie wymyśleć algorytm budowaia szeregów rozbieżych do + i do. Wróćmy a jakiś czas do problemu badaia zbieżości szeregów o wyrazach dowolych. Jak a razie zamy tylko jedo kryterium dotyczące szeregów aprzemieych, miaowicie kryterium Leibiza. Jego uogólieiem jest astępujące Twierdzeie(KryteriumDirichleta).Niechc =a b gdzieciąg(a )jestdodati,mootoicziemalejącyilim a =0atomiastciąg(b )jesttaki,żeciągsumczęściowych B = jest ograiczoy, wtedy szereg jest zbieży. s b k k= c = KryteriumLeibizauzyskujemyzpowyższegobiorącb =( ).Wzmaciająciecozałożeiedotycząceciągu(b )aosłabiająctodotyczące(a )otrzymujemykoleje Twierdzeie(KryteriumAbela).Niechc =a b gdzieciąg(a )jestmootoiczyi ograiczoyatomiastciąg(b )jesttaki,żeszereg jest zbieży, wówczas także szereg jest zbieży. b k k= c = Przykład 6. Zastosujmy kryterium Dirichleta do szeregu si cos. Ozaczamy c = = si cos, a = N N cos, b =si

12 isprawdzamyzałożeiatwierdzeia.ciąg(a )mabezwątpieiawyrazydodatie.badamy mootoiczość: [(+) cos(+)] [ cos()]=+cos() cos(+). Poieważcos()> icos(+)<to idalej (+) cos(+)> cos(), +cos() cos(+)>0 (+) cos(+) < cos(). Ciąga jestwięcmootoicziemalejący.poieważcosjestfukcjąograiczoąto lim a =lim cos =0. Założeiedotycząceciągu(a )jestspełioe.kolejaciąg(b ): B = b k = sik SumęB możapoliczyćkorzystajączrachukówaliczbachzespoloych. ( ) B = sik=im e ik. k= k= k= Suma k= e ik jestsumąskończoegoszeregugeometryczego.korzystamy,jakzwykle,ze wzoru(): ( e ik = e ik = ei(+) = ei(+)/ e i(+)/ e i(+)/) e i ( = e i e i e ) i k= k=0 e i(+)/ e i B jestróweczęściurojoejpowyższejsumy: k= si((+)/) si(/) B = si(/)si((+)/) si(/) Z własości fukcji sius otrzymujemy si(/) B Założeiedotycząceciągu(b )takżejestspełioe. si(/). =e i/si((+)/) si(/) Do rozważeia pozostał am jeszcze problem możeia szeregów. O ile dodawaie szeregów i możeie szeregu przez liczbę to operacje proste do zdefiiowaia i zbadaia, o tyle możeie szeregów przez siebie astręcza pewe kłopoty. Moża myśleć a trzy(co ajmiej) sposoby: ()Możymywyrazyszeregów,tz.zszeregówowyrazach(a )i(b )tworzymyszerego wyrazachc =a b.jesttosposóbmałosesoy,awkażdymrazietakiejoperacjiie azywałabym raczej możeiem szeregów. W szczególości suma takiego iloczyu ma iewielki związek z iloczyem sum szeregów, które wchodzą jako czyiki.

13 () Patrzymy a szeregi jako a ciągi sum częściowych i możymy sumy częściowe tak jak możymy ciągi: A = a, B = a, C =A B. W takiej sytuacji k= k= C =A B =a b C =A B =a b +a b +a b +a b C 3 =A 3 B 3 =a b +a b +a 3 b +a b +a b +a 3 b +a b 3 +a b 3 +a 3 b 3. C =A B = i,j= a i b j zatem wyrazy szeregu wyglądają astępująco c =a b c =a b +a b +a b c 3 =a 3 b +a 3 b +a b 3 +a b 3 +a 3 b 3. C =A B =a k= b k+b k= a k+a b Teraz mamy pewość, że jeśli szeregi-czyiki są zbieże to iloczy też jest zbieży(stosowe twierdzeia dla ciągów) do iloczyu sum czyików. Wydawałoby się, że sytuacja jest ideala, tym iemiej jest jeszcze jeda waża kocepcja możeia szeregów: (3) Iloczy Cauchy ego, który pochodzi od problemów związaych z szeregami potęgowymi. Załóżmy, że szeregi, które możymy mają szczególą postać: f x, g x = = gdzie(f )i(g )sąpewymiciągami,axjestzmieą(możemymyśleć,żerzeczywistą). Iymisłowya =f x,b =g x.możymyteraz(formalie)ieskończoesumy grupując wyrazy przy kolejych potęgach x: f x g x =(f x+f x +f 3 x )(g x+g x +g 3 x )= = = (f g )x +(f g +f g )x 3 +(f g 3 +f g +f 3 g )x = ( f k g k )x. = k= Patrząc a te formale rachuki defiiujemy Defiicja(IloczyCauchy ego).iloczyemcauchy egoszeregów = a i = b azywamy szereg, którego wyraz ogóly ma postać c =0, c = k= a k b k dla>. Pozostaje oczywiście otwarty problem zbieżości tego szeregu i związek tej zbieżości ze zbieżością szeregów-czyików. 3

14 4 Zauważmy, że sumy ieskończoa rozważaa w() i w(3) mają ostateczie takie same zbiory wyrazów,tzsątosumyjedomiaówpostacia k b l.różiąsięjedakoeistotiekolejością dodawaia, co ma zaczeie dla szeregów zbieżych warukowo. Nikogo więc ie zdziwi astępujące twierdzeie: Twierdzeie3.Jeśliszereg = a jestbezwzględiezbieżydosumya,aszereg = b jestzbieżydosumybtoichiloczycauchy egojestzbieżydosumyab. Mamy dodatkowo także twierdzeie Twierdzeie4.Jeśliszereg = a jestzbieżydoa,szereg = b jestzbieżydoboraz poadtoichiloczycauchy egojestzbieżydoc,toc=ab. Jeśli oba szeregi są zbieże jedyie warukowo mogą powstawać problemy, co pokazuje astępujący przykład: Przykład7.Niecha = ( ).Szereg (+) a jestzbieżywarukowo(kryteriumleibiza). Policzmy iloczy w sesie Cauchy ego a a. Sumujemy od 0, dla uproszczeia wzoru a wyraz ogóly iloczyu, który ma postać c = a k a k. k=0 Przyjrzyjmy się pierwszym kilku wyrazom: c 0 = c = =,4 c = = + 3 3,65. Zatem, przyajmiej początkowo, wartości bezwzględe wyrazów szeregu ie maleją. Zbadajmy dokładiej wyraz ogóly: ( ) k c = a k a k = k=0 k=0 (k+) Szacujemy : (k+)( k+) ( ) ( k+) k = ( ) k=0 (k+)( k+) =( ) k=0 (k+)( k+). (k+)( k+)= (( )(( +) ( k) ) +)+( k) = ( +) ( k) ( +), zatem (k+)( k+) ( +)= ( +).

15 5 Wartośćbezwzględawyrazuogólegoc jestzatemoszacowaazdołupoprzez Wiadomo, że c k=0 ( +)=(+) ( +). (+) lim ( +)= 0. Wyraz ogóly ie może więc być zbieży do zera. Szereg będący iloczyem Cauchy ego szeregu a przezsiebieiespełiawarukukoieczego,atozaczy,żejestrozbieży. Przy rozważaiach dotyczących iloczyu szeregów pojawiły się wyrażeia postaci a x. Wygląda to całkiem jak szereg, ale wyraz ogóly ie jest liczbą, a fukcją jedej zmieej. O x będziemy myśleć a razie, że jest to zmiea rzeczywista. Po podstawieiu pod x kokretej wartości dostajemy zwykły szereg liczbowy. Zależość od x jest też szczególego typu: taki szereg azywamy szeregiem potęgowym. Jest to szczególy przykład szeregu fukcyjego, czylitakiego,któregowyrazogólyjestpewąfukcjązmieej: f (x).podobiejakw przypadku szeregów liczbowych, szereg fukcyjy to tak aprawdę ciąg sum częściowych tego szeregu: F (x)= f k (x). k= Własości tego ciągu mogą być róże dla różych x: dla pewych wartości zmieej ciąg sum częściowych może być zbieży, a dla iych ie. Zbiór tych x dla których szereg fukcyjy jest zbieży azywamy zazwyczaj obszarem zbieżości szeregu. Każdej wartości x z obszaru zmieości możemy przyporządkować wartość sumy szeregu obliczoą w tym pukcie. Otrzymujemy w te sposób fukcję określoą a obszarze zbieżości, którą azywamy sumą szeregu fukcyjego. Pisząc F(x)= f (x) = rozumiemy, że mamy do czyieia z taką właśie sytuacją. Badaie zbieżości szeregów fukcjych w powyższym sesie ie różi się zasadiczo od badaia zbieżości szeregów liczbowych. Po prostu, pukt po pukcie, sprawdzamy, czy suma istieje i budujemy fukcję F. Mówimy wtedy, że badamy zbieżość puktową szeregu. Często jedak iteresuje as ie tylko samo istieie sumy szeregu, ale także własości tej sumy jako fukcji zmieej x. Na przykład ciągłość czy różiczkowalość. Okazuje się, że w ogólości sprawa jest skomplikowaa. Przykład 8. Rozważmy szereg fukcyjy u (x), gdzie u (x)= x (+x ).

16 6 Oto kilka kolejych sum częściowych: U 0 (x)=x, ( ) ( U (x)=x + x x + =x ) +, +x =x (+x ) (+x ) U (x)=x + x x ( x 4 +3x ) +3 +x +, (+x ) =x (+x ). W tym przypadku moża względie łatwo policzyć ogólą postać sumy częściowej: U = k=0 x (+x ) k=x k=0 Jeśliwięctylkox 0mamy Jedakdlax=0 (+x ) k=x U(x)=lim U (x)=lim (+x ) Ostateczie fukcja U ma postać iwykres (+x ) + +x =(+x ( ) ( ) =+x. (+x ) + U (0)=0, zatem U(0)=lim U (0)=0. U(x)= { (+x ) x 0 0 x=0 ). (+x ) + Każdazfukcjiu atakżekażdazsumczęściowychu jestfukcjąciągłą.jedakieskończoa suma jest fukcją ieciągłą. To pokazuje, że w ogólości ie wolo am zamieiać kolejości graic: lim limu (x)= 0=limlimU (x) x 0 x 0 i ie wolo wioskować o ciągłości fukcji graiczej a podstawie ciągłości wyrazów.

17 7 Zobaczmy jeszcze jak wyglądają sumy częściowe:.5 y x Następy przykład dotyczy różiczkowalości. Jest to przykład z dziedziy ciągów fukcyjych, ie szeregów. Przykład 9. Niech f (x)= si(x) będzie ciągiem fukcyjym. Fukcja sius jest ograiczoa, zatem F(x)=lim si(x)=0. Graicąciągufukcyjego(f )jestwięcfukcjastała(wszczególościróżiczkowala).popatrzmy teraz a ciąg pochodych: f (x)= cos(x). Powyższy ciąg ie ma graicy dla większości wartości x, dla iektórych x jego graicą jest. Ciąg pochodych jest więc w ogóle iezbieży, w szczególości ie jest zbieży do pochodej graicyciągu(f ). W obliczu powyższych przykładów szeregi potęgowe okazują się być aprawdę wyjątkowe. Zaczijmy od bezwzględej zbieżości puktowej. Rozpatrujemy więc a x, araczej a x, dla każdego x z osoba. Doświadczeie abyte przy szeregach liczbowych wskazuje, że pomoce może być kryterium Cauchy ego: a x = a x Załóżmy, że istieje graica wtedy lim lim a =A, a x =A x.

18 8 WedługkryteriumCauchy ego,gdya x <szereg a x jestzbieży,gdya x =ie wiadomo,agdya x >szeregjestrozbieży.warueka x <możazapisać x < A. LiczbęR= A azywamypromieiemzbieżościszeregu.kryteriumcauchy egomówiam,że dlaxspełiającychwaruek x <Rszereg a x jestzbieżybezwzględie.dla x > R bez wątpieia ie jest zbieży, awet warukowo, gdyż ie spełia waruku koieczego zbieżości.nagraicy,czylidlax=rlubx= Rbywaróżie. Jest pewie problem z poprawym sformułowaiem defiicji promieia zbieżości. Weźmy aprzykładszeregdefiiującyfukcjęf(x)= x (4) x. Szereg te zawiera jedyie parzyste potęgi x, to zaczy, że odpowiedi ciąg współczyków jestpostaci:a k =,a k+ =0.Zatemgraicaciągu( a )ieistieje:ciągtezawieradwa podciągizróżymigraicami.jestjedakjase,żewtymprzypadkur=.okazujesię,że przydowodzeiukryteriumcauchy egowymagaieistieiagraicylim a miejszej odjestzbytmoce.wystarczy,abyprawiewszystkiewyrazyciągu( a )byłyograiczoe z góry przez liczbę miejszą od. Zazwyczaj formułuje się to używając pojęcia tzw graicy górej(lim sup) ciągu. Graica góra jest to, ajkrócej mówiąc, kres góry zbioru puktów skupieia ciągu. Pojęcie ie jest proste, dlatego ie wchodzi w zakres programu auczaia aszego przedmiotu. Ciąg współczyików szeregu potęgowego(4) ma dwa podciągi zbieże doróżychgraic0i.podobieciąg( a ).Zbiórpuktówskupieiategociąguto{0,}, awięcjegokresgóry R =.Zapiszmyformalądefiicję: Defiicja3.Niech a x będzieszeregiempotęgowym.niechtakże R =limsup a. LiczbęRazywamypromieiemzbieżościszeregu a x.jeśli promień zbieżości jest ieskończoy. limsup a =0 A teraz stosowe twierdzeie, które pokazuje jak wyjątkowe są szeregi potęgowe: Twierdzeie5.NiechRbędziepromieiemzbieżościszeregupotęgowego a x.szereg tejestbezwzględiezbieżydlax ] R,R[.Poadtofukcjaf(x)= a x będącasumą tegoszeregujestciągłairóżiczkowalawx ] R,R[.Zachodzitakżerówość f (x)= a x, = a powyższy szereg ma promień zbieżości rówy R Na mocy powyższego twierdzeia szeregi potęgowe defiiują fukcje, które są ciągłe i różiczkowale. Skoro pochoda jest też zadaa szeregiem o tym samym promieiu zbieżości, to zaczy że pochoda także jest(w tym samym obszarze) ciągła i różiczkowala. Idukcyjie

19 okazuje się, że fukcja zadaa szeregiem potęgowym jest ieskończeie wiele razy różiczkowala(iaczej gładka). Powyższe twierdzeie daje szerokie możliwości sumowaia rozmaitych szeregów potęgowych(zakładając, że w głowie mamy bazę daych szeregów opisujących zae fukcje elemetare). Szeregi te otrzymuje się p. stosując rozwiięcie Taylora i badając promień zbieżości otrzymaego szeregu. Obowiązuje Państwa astępująca wiedza: exp(x) = x!, R=, si(x) = ( ) x + (+)!, R=, cos(x) = ( ) +x ()!, R=, x = x, Przykład 0. Obliczmy sumę szeregu potęgowego x f(x)=. = R=. Zaczijmy od promieia zbieżości: a =, a = =. Otrzymaliśmy R =. Łatwiej będzie dać sobie radę z pochodą: f x (x)= = x = x = = = x. Fukcja f ma więc pochodą f (x)= x. Szukamy fukcji pierwotej x dx= log( x)+c Stałącałkowaiawyzaczamyzwarukuf(0)=0: Ostateczie 0= log( 0)+C=C. f(x)= log( x). Do tabelki zaych rozwiięć fukcji elemetarych ależy dołączyć szereg, który łatwo otrzymać z powyższego zamieiając x a x i porządkując zaki: ( ) + x (5) log(+x)=, R=. = 9

20 0 Powyższyszeregjestzbieżydlax ],[.Byłobyjedakfajie,gdybyśmydowzoru (5) mogli podstawić także wartość x = a graicy obszaru zbieżości. Po prawej stroie otrzymujemy wtedy szereg aharmoiczy, co do którego wiadomo, że jest zbieży warukowo. Jego sumy jedak jeszcze ie obliczyliśmy. Dotychczasowe twierdzeia ie pozwalają jedak użyć wzoru(5) do stwierdzeia, że suma szeregu aharmoiczego jest rówa log (a jest!). W tej sytuacji zastosować ależy raczej astępujący wiosek z twierdzeia Abela(pełego twierdzeia ie przytaczamy, gdyż dotyczy szeregów zespoloych i jest zbyt ogóle jak a asze potrzeby): Twierdzeie 6(Abel). Jeżeli szereg potęgowy jest zbieży w pukcie będącym brzegiem obszaruzbieżości,tzdlax=r(lubx= R),tofukcjazdefiiowaatymszeregiemjestciągła prawostroiewpukciex=r(lublewostoiewpukciex= R). Korzystając z powyższego twierdzeia możemy wstawić x = do wzoru(5) i uzyskać wymarzoą rówość ( ) + =log. =