Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Literatura i waruki zaliczeia Literatura Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza w zadaiach, W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Waruki zaliczeia wykładu Zaliczoe ćwiczeia (iekoieczie laboratoria) Egzami testowy (powyżej 25 osób) Pytaia otwarte (co ajwyżej 25 osób) Termiy podstawowe (do wyboru) 23 czerwca 2008r., godzia 10.00 25 czerwca 2008r., godzia 10.00 Termi poprawkowy 27 czerwca 2008r., godzia 10.00 lub wrzesień
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Rachuek prawdopodobieństwa Rachuek prawdopodobieństwa bada prawa dotyczące zdarzeń losowych Pojęcia pierwote aksjomatyki zdarzeie elemetare (każdy możliwy wyik doświadczeia losowego) przestrzeń zdarzeń elemetarych Ω
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 σ-ciało zdarzeń 2 Ω zbiór wszystkich podzbiorów zbioru Ω Niepustą klasę Z 2 Ω azywamy σ-ciałem (σ-algebrą) zdarzeń, jeśli: (1.1) (1.2) A Z A = Ω \ A Z A, A,..., A,... Z 1 2 A 1 = A1 A2... A... = Z W szczególości A, B Z A B Z
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Własości σ-ciała zdarzeń (1.3) Własości a) b) c) W szczególości Z 1 2, Ω Z A, A,..., A,... Z A 1 = A1 A2... A... = A, B Z A B Z A, B Z A \ B Z Z
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe Zdarzeie losowe każdy elemet σ-ciała Określeia Ω zdarzeie pewe zdarzeie iemożliwe A B zdarzeie A pociąga zdarzeie B A, B Z A B = zdarzeia A i B wykluczają się A, A,..., A,... Z A A = zdarzeia 1 2 i j i j wykluczają się parami ω A ω jest zdarzeiem sprzyjającym zdarzeiu A
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Przestrzeń mierzala (1.4) Uwaga Ω zbiór przeliczaly (skończoy lub rówoliczy ze zbiorem liczb aturalych) Z = 2 Ω (każdy podzbiór przestrzei Ω jest zdarzeiem losowym) Para (Ω, Z ) przestrzeń mierzala
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Przykłady (1.5) Przykłady a) Rzut moetą Ω = { ωo, ω R} Z = {, ωo, ωr, Ω} b) Rzut sześcieą kostką Ω = { ω1, ω2,..., ω6} card Z = c) Dwukroty rzut moetą Ω = { ωoo, ωor, ωro, ωrr} card Z = d) Rzuty moetą do mometu wyrzuceia reszki Ω = { ω, ω1, ω2,..., ω,...} gdzie ω 1 wyrzuceie R ω 2 wyrzuceie OR ω 3 wyrzuceie OOR ω wyrzuceie OO e) Losowy wybór puktu z odcika 0,1 Ω ieprzeliczaly Ω Z = przeliczaly 2 Ω Z 2 Ω 6 2 = 64 4 2 = 16
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Przykłady (1.5) Przykłady cd. f) Ω = R, ε rodzia wszystkich ograiczoych przedziałów otwartych B (R) σ-ciało zbiorów borelowskich ar(ajmiejsze σ-ciało zdarzeń zawierające klasę ε) g) 2 B ( R ) σ-ciało zdarzeń geerowae przez ograiczoe i otwarte koła h) 3 B ( R ) σ-ciało zdarzeń geerowae przez ograiczoe i otwarte kule (1.6) Uwaga Zbiory borelowskie a prostej ( a, ) (, a) (,a { a} a, b a, b) (moża je wyzaczyć z klasy ε przez waruki (1.1) (1.3))
2. Aksjomatycza defiicja prawdopodobieństwa (Kołmogorow, 1931) (Ω, Z ) przestrzeń mierzala Prawdopodobieństwo dowola miara probabilistycza P określoa a przestrzei mierzalej, tj. fukcja P : Z R taka, że: (2.1) P( A) 0 dla każdego (2.2) P( Ω ) = 1 (2.3) ( ) = = 1 = 1 P A P ( A ) dla każdego ciągu zdarzeń parami wykluczających się A Z (Ω, Z, P) przestrzeń probabilistycza A1, A2,..., A,...
Uwagi do aksjomatów (2.4) Uwagi a) Waruki (2.1) i (2.3) defiiują dowolą miarę b) Ω - skończoy, to waruek (2.3) moża zastąpić przez P( A A... A ) = P( A ) + P( A ) +... + P( A ) 1 2 1 2 dla każdego ciągu zdarzeń parami wykluczających się W szczególości A1, A2,..., A A B = P( A B) = P( A) + P( B)
Własości prawdopodobieństwa (2.5) Własości (Ω, Z, P) przestrzeń probabilistycza a) P( A) = 1 P( A ) dla każdego A Z b) dla dowolych A, B Z P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) c) dla dowolych A1, A2,..., A Z P( A... A ) = P( A ) P( A A ) 1 1 i < i < i 1 2 3 i= 1 i 1 i < i i i 1 2 3 1 2 1 2 + P A A A + + P A A + 1 ( i i i )... ( 1) ( 1... )
Obliczaie prawdopodobieństwa Ω skończoy Obliczaie prawdopodobieństwa dowolego zdarzeia losowego zależy od mocy zbioru Ω Przypadek (A): Ω skończoy (2.6) Twierdzeie Jeżeli w przestrzei Ω = { ω1,..., ω } zostały określoe prawdopodobieństwa zdarzeń elemetarych P({ ω 1}) = p1,..., P({ ω }) = p w taki sposób, że pi 0 dla i = 1,..., i p1 +... + p = 1, to prawdopodobieństwo dowolego zdarzeia A = { ω, ω,..., ω } jest rówe i1 i2 i k ( ) = i +... 1 i + + 2 ik P A p p p
Obliczaie prawdopodobieństwa defiicja Laplace a (2.7) Wiosek (klasycza defiicja prawdopodobieństwa Laplace a, 1812) Jeżeli Ω = { ω1,..., ω } oraz prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elemetarych są jedakowe, tz. P({ ω }) =... = P({ ω }) = 1 to prawdopodobieństwo dowolego zdarzeia A złożoego z k zdarzeń elemetarych jest rówe 1, P( A ) = k
Obliczaie prawdopodobieństwa Ω ieskończoy, przeliczaly Przypadek (B): Ω ieskończoy, ale przeliczaly (2.8) Twierdzeie Jeżeli w przestrzei Ω = { ω1, ω2,...} zostały określoe prawdopodobieństwa zdarzeń elemetarych P({ ω 1}) = p1, P({ ω 2}) = p2,... w taki sposób, że pi 0 dla i = 1,2,... i p1 + p2 +... = 1, to prawdopodobieństwo dowolego zdarzeia A = { ω, ω,...} jest rówe (2.9) Przykład i i 1 2 P( A) = p + p +... i i 1 2 Rozważmy doświadczeie polegające a rzucaiu moetą do mometu wypadięcia reszki. Wiadomo, że Ω = { ω, ω1, ω2,...}, gdzie: ω 1 wyrzuceie R, ω 2 wyrzuceie OR, ω 3 wyrzuceie OOR,, ω wyrzuceie OO. a) Ile wyosi P({ ω }) =? b) Czy zdarzeia: rzucamy ieparzystą liczbę razy i rzucamy parzystą liczbę razy są jedakowo prawdopodobe?
Obliczaie prawdopodobieństwa Ω ieprzeliczaly Przypadek (C): Ω ieprzeliczaly (2.10) Uwagi Ω R iepusty i ograiczoy zbiór borelowski a) σ-ciało zdarzeń: Z = B ( Ω ) = { A B ( R ) : A Ω} b) Przykład miary borelowskiej miara Lebesgue a m a prostej długość przedziału a płaszczyźie pole obszaru w przestrzei objętość
Prawdopodobieństwo geometrycze Przypadek (C): Ω ieprzeliczaly cd. (2.11) Twierdzeie (prawdopodobieństwo geometrycze) Jeśli m jest miarą Lebesgue a w R, to wzór m( A) P( A) = dla A Z = B ( Ω) m( Ω) defiiuje prawdopodobieństwo (geometrycze) w przestrzei mierzalej (Ω, Z ) (2.12) Uwaga Dla każdego ω R zachodzi P({ ω }) = 0, gdyż m({ ω }) = 0 (prawdopodobieństwo geometrycze jest miarą bezatomową) (2.13) Przykład Odciek o długości a dzielimy losowo a 3 części. Obliczyć prawdopodobieństwo, że z tych części moża zbudować trójkąt.
3. Zmiee losowe (Ω, Z, P) przestrzeń probabilistycza Zmiea losowa dowola fukcja mierzala a przestrzei (Ω, Z ), tj. fukcja X : Ω R taka, że: (3.1) { ω Ω : X ( ω) B} Z dla każdego B B ( R) (3.2) Własość Waruek (3.1) rówoważy jest warukowi { ω Ω : X ( ω ) < x} Z dla każdego x R (3.3) Uwaga Ω zbiór przeliczaly każda fukcja X jest zmieą losową (waruek (3.1) jest zawsze spełioy)
Ozaczeia P({ ω Ω : X ( ω) B}) P( X B) dla B B ( R) P({ ω Ω : X ( ω ) < x}) P( X < x) dla x R P({ ω Ω : X ( ω ) = x}) P( X = x) dla x R P({ ω Ω : a X ( ω ) < b}) P( a X < b) dla a, b R, a < b
Dystrybuata i jej własości (Ω, Z, P) przestrzeń probabilistycza Dystrybuata zmieej losowej X fukcja F : R R określoa wzorem: (3.4) (3.5) Własości F dystrybuata zmieej losowej X a) mootoiczość F fukcja iemalejąca, tz. b) ciągłość c) F ( x) = P( X < x) dla każdego x R X F fukcja lewostroie ciągła, tz. lim F( x) = 0, lim F( x) = 1 x x X x, y R x < y F( x) F( y) lim F( x) = F( x ) x 0 R x x 0 0 d) P( a X < b) = F( b) F( a) dla a, b R, a < b
Dystrybuata i jej własości (3.5) Własości cd. e) P( X = x ) = lim F( x) F( x ) (3.6) Wioski 0 0 x x + 0 Dystrybuata F zmieej losowej X jest ciągła w pukcie x0 R P( X = x0) = 0 F ma skok w pukcie x P( X = x ) > 0 0 0
4. Typy zmieych losowych X zmiea losowa określoa a przestrzei probabilistyczej (Ω, Z, P) Zmiea losowa X jest typu skokowego (dyskretego), jeśli rozkład tej zmieej jest miarą atomową, tz. istieje przeliczaly zbiór S = { x1, x2,...} R taki, że (4.1) P( X = x ) = p > 0 dla i = 1,2,... i p = 1 i i i i
Zmiea typu skokowego (4.2) Własość P ( X B ) = p { : } i dla dowolego B B ( R) i xi B W szczególości F ( x ) = P ( X < x ) = p dla x { i: xi x} i R < (4.3) Przykład W przestrzei zdarzeń elemetarych Ω = { ω1, ω2} określoe jest prawdopodobieństwo 1 3 P({ ω }) = i P({ ω }) = oraz zmiea losowa X: Wyzaczyć: 1 4 2 4 X ( ω ) = 0 i X ( ω ) = 1 1 2 rozkład zmieej losowej X i jego wykres wykres histogramu dystrybuatę zmieej losowej X i jej wykres
Zmiea typu ciągłego X zmiea losowa określoa a przestrzei probabilistyczej (Ω, Z, P) Zmiea losowa X jest typu ciągłego jeśli dystrybuata F tej zmieej losowej jest postaci (4.4) gdzie f jest ieujemą fukcją całkowalą taką, że (4.5) F( x) f ( u) du f gęstość rozkładu zmieej losowej X x = f ( x) dx = 1
Własości zmieej typu ciągłego (4.6) Własości f gęstość rozkładu zmieej losowej X, F jej dystrybuata a) F (absolutie) ciągła w R b) f jest ciągła w pukcie x R Fjest różiczkowala w pukcie x i F ( x) = f ( x) c) d) x R P( X = x ) = 0 0 0 P( X B) = f ( x) dx dla dowolego B B ( R) W szczególości B P( a X < b) = P( a < X b) = P( a X b) = P( a < X < b) = f ( x) dx dla a, b R, a < b (por. rys.4.1) b a
Własości zmieej typu ciągłego f ( x) F( x) P( a X < b) 0 x a b Rys.4.1. Pewe własości gęstości zmieej losowej X (4.7) Uwaga Nie każdą fukcję ciągłą F moża przedstawić w postaci (4.4) (4.8) Przykład Fukcja gęstości zmieej losowej X określoa jest wzorem x 1 dla x 1, 2) f ( x) = 3 x dla x (2,3 0 dla x 1,3 Wyzaczyć dystrybuatę zmieej losowej X i jej wykres
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Dziękuję za uwagę