Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Transkrypt

1 Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma oczek jest liczbą nieparzystą, a B niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że choćby na jednej kostce wypadła jedynka. Opisać zdarzenia A, B, A B, A\B, A B, B\A. Zadanie 2 Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie dwa razy pod rząd na tę samą stronę. Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych? Opisać zdarzenia: a) gra skończy się przed piątym rzutem, b) będzie potrzebna parzysta liczba rzutów, c) moneta nigdy nie upadnie dwa razy pod rząd na tę samą stronę. Zadanie 3 Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie dwa razy z rzędu na tę samą stronę. Każdemu z możliwych wyników składającemu się z n rzutów przypisujemy jednakowe prawdopodobieństwo 2 n. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych. Znaleźć prawdopodobieństwo następujących zdarzeń: a) doświadczenie zakończy się nie później niż przy szóstym rzucie, b) będzie potrzeba parzystej ilości rzutów. Zadanie 4 Sześcian, którego wszystkie ściany są pomalowane, rozpiłowano na tysiąc sześcianików jednakowej wielkości. Sześcianiki te wymieszano dokładnie. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany sześcianik a) nie będzie miał pomalowanej żadnej ściany, b) będzie miał pomalowana jedną ścianę, c) będzie miał pomalowane dwie ściany, d) będzie miał pomalowane trzy ściany. Zadanie 5 Niech Ω = {1,..., 10}, A = {1, 2, 3, 4} oraz B = {3, 4, 5, 6}. Wyznacz najmniejsze σ-ciało podzbiorów przestrzeni Ω zawierające zbiory A, B? Zadanie 6 Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania szóstki w totolotku? 1

2 Zadanie 7 Niech P = (Ω, S, Pr) będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech A, B, C S. Pokaż, że 1. Pr(A B C) = Pr(A)+Pr(B)+Pr(C) (Pr(A B)+Pr(A C)+Pr(B C))+Pr(A B C). 2. Uogólnij poprzedni wzór na Pr( n A i). Answer (Zadanie 7) 1. Pr(A B C) = Pr((A B) C) = Pr(A B) + Pr(C) Pr((A B) C) Pr((A B) C) = Pr((A C) (B C)) = Pr(A C)+Pr(B C) Pr(A B C) 2. Pr( n A i ) = Pr(( n 1 A i ) A n ) = Pr( n 1 A i ) + Pr(A n ) Pr(( n 1 A i ) A n ) Pr(( n 1 A i ) A n ) = Pr( n 1 (A i A n )). Do obliczenia Pr( n 1 A i ) i Pr( n 1 (A i A n )) stosujemy założenie indukcyjne. Zadanie 8 Ustalmy przestrzeń probabilistyczną P = (Ω, S, Pr). Niech (A n ) n N będzie ciągiem elementów z σ-ciała S. 1. Pokaż, że ( i N A i) c = i N Ac i oraz ( i N A i) c = i N Ac i. 2. Pokaż, że i N A i S. 3. Pokaż, że jeśli A 0 A 1 A 2... to Pr( i N A i) = lim n Pr(A n ). 4. Pokaż, że jeśli A 0 A 1 A 2... to Pr( i N A i) = lim n Pr(A n ). Zadanie 9 Partię 100 wyprodukowanych przedmiotów poddaje się wyrywkowej kontroli. Warunkiem odrzucenia całej partii jest znalezienie chociażby jednego wadliwego przedmiotu wśród pięciu sprawdzonych. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia danej partii, jeśli zawiera ona 5% przedmiotów wadliwych? Zadanie 10 W magazynie znajduje się 15 kineskopów, w tym 10 jest wyprodukowanych przez zakład X. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wśród losowo wybranych (bez zwracania) 5 kineskopów będą 3 kineskopy z zakładu X. Zadanie 11 Na kartce egzaminacyjnej jest 5 pytań i 3 możliwe odpowiedzi na każde z nich. Należy wybrać jedną poprawną odpowiedź na każde pytanie. Ile wynosi prawdopodobieństwo otrzymania 4 poprawnych odpowiedzi, jeżeli egzaminowany zgaduje odpowiedzi? Answer (Zadanie 11) ω - udzielone odpowiedzi przez studenta. Zdarzenie elementarne można utożsamić z funkcją f : {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3}, ω f = f. Żadne zdarzenie nie jest wyróżnione, tzn. Pr({ω 1 }) = Pr({ω 2 }), dla dowolnych ω 1, ω 2 Ω. W ten sposób przyjmujemy prawdopodobieństwo klasyczne. Zdarzenie losowe nas interesujące A = {ω f : 4 odpowiedzi były prawidłowe}, A = ( 5 4) (3 1), Ω = 3 5, Pr(A) = A Ω.

3 Zadanie 12 Mamy N kopert i N listów ponumerowanych od 1 do N. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, które polega na tym, że chociaż jeden list będzie we właściwej kopercie? Answer (Zadanie 12) Niech A i oznacza zdarzenie, że i-ty list został właściwie zaadresowany. Wtedy zdarzenie, że chociaż jeden list został właściwie zaadresowany A = N A i. Obliczamy Pr(A) = N Pr(A i ) N i,j=1 Pr(A i A j ) + N i,j,k=1 Pr(A i A j A k )..., Pr(A i ) = (N 1)!, Pr(A i A j ) = (N 2)!, Pr(A i A j A k ) = (N 3)!,... Pr(A) = ( ) N (N 1)! 1 ( ) N (N 2)! 2 + ( ) N (N 3)! 3 = 1 1! 1 2! + 1 3!... * Zadanie 13 Niech Ω = [0, 1], S = σ-ciało borelowskich podzbiorów [0, 1] oraz Pr(A) = λ(a). Niech B = Q [0, 1]. Pokaż, że Pr(B) = 0 oraz Pr(B c ) = 1. Zadanie 14 Z przedziału [0, 1] wybieramy losowo zgodnie z rozkładem jednostajnym trzy liczby x, y, z. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich suma jest większa od 1? Zadanie 15 Niech Ω = [0, 1], S = σ-ciało borelowskich podzbiorów [0, 1] oraz gdzie Pr(A) = A (x) = 2(1 x) 1 A (x) dx, { 1 dla x A 0 dla x A 1. Sprawdź, że funkcja Pr jest prawdopodobieństwem 2. Oblicz Pr([0, 1 2 ]), Pr((0, 1 2 )), Pr([ 1 2, 1]). Zadanie 16 Niech Ω = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}, S = ciało borelowskich podzbiorów Ω oraz Pr(A) = m(a)/π, gdzie m() jest miarą Lebesgue a na płaszczyźnie (polem powierzchni). Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: 1. A = {(x, y) Ω : x > 0} 2. B = {(x, y) Ω : 1 3 < x 2 + y } 3. C = {(x, x) Ω : 2 2 x 2 2 } Zadanie 17 Ze zbioru {1,..., 10} wybieramy zgodnie z rozkładem jednostajnym podzbiór 5 elementowy. Eksperyment ten modelujemy następująco: rozważamy kombinatoryczną przestrzeń probabilistyczną na zbiorze Ω = {A {1,..., 10} : A = 5}. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia środkowym elementem jest 5? Inaczej mówiąc, oblicz prawdopodobieństwa zdarzenia A = {X Ω : 5 X X {1, 2, 3, 4} = {X {6, 7, 8, 9, 10} = 2}.

4 Zadanie 18 Niech Ω = N, S = P (Ω) oraz Pr(A) = n A 1 2 n+1 dla A N. 1. Sprawdź, że funkcja Pr jest prawdopodobieństwem. 2. Oblicz Pr({n N : n 5}) oraz Pr({2n : n N}). Zadanie 19 Rozważamy kombinatoryczną przestrzeń probabilistyczną na zbiorze Ω = {1,..., 1000}. Wyznacz prawdopodobieństwa zdarzeń A = {k Ω : 2 k 3 k} oraz B = {k Ω : 2 k 3 k 5 k}. 2 Niezależność zdarzeń Zadanie 20 Załóżmy, że p jest liczbą pierwszą. Na przestrzeni Ω = {1,..., p} rozważamy prawdopodobieństwo kombinatoryczne. Pokaż, że jeśli A, B Ω są niezależne, to co najmniej jeden z tych zbiorów jest równy lub Ω. Zadanie 21 Na odcinku [0, 1] umieszczamy losowo i niezależnie punkty x i y. Niech A będzie zdarzeniem polegający na tym, że x 2 + y 2 < 1, natomiast B zdarzeniem polegającym na tym, że x < y. Czy A i B są niezależne? Zadanie 22 Załóżmy, że zdarzenia A, B, C są niezależne. Pokaż, że zdarzenia A c, B, C są również niezależne. Wywnioskuj z tego, że również A c, B c, C c są niezalezne. Uogólnij ten fakt na dowolną rodzinę zdarzeń. Zadanie 23 (Kostka Kołmogorowa) Rozważamy czworościenną kostkę do gry ze ścianami pomalowanymi kolorami R, G, B oraz {R, G, B}. Rzucamy tę kostką. Niech R X oznacza zdarzenie, że kostka upadnie na ścianę zawierającą kolor X. Pokaż, że zdarzenia {R R, R B, R G } są parami niezależne ale nie są niezależne. Zadanie 24 Rzucamy monetą n razy. Niech A ij oznacza zdarzenie i-ty oraz j-ty rzut dały takie same wyniki. Pokaż, że zdarzenia {A ij : 1 i < j n} są parami niezależne, ale nie są niezależne. 3 Prawdopodobieństwo warunkowe Zadanie 25 Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w wśród losowo wybranych 13 spośród 52 kart znajdują się dokładnie dwa króle i jeden as. Jakie jest prawdopodobieństwo posiadania dokładnie jednego asa jeśli wiadomo, że ma się dokładnie dwa króle? Zadanie 26 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia 6 oczek na kostce numer 1, jeśli wiadomo, że suma liczby oczek na obu kostkach jest parzysta. Zadanie 27 Z odcinka [ 1, 1] wybrano losowo i niezależnie od siebie dwie liczby x i y. Obliczyć prawdopodobieństwo, że x 2 + y 2 > 1, jeśli wiadomo, że x 2 + y 2 > 0.25.

5 Zadanie 28 Z badań genealogicznych wynika, że kobieta jest nośnikiem hemofilii z prawdopodobieństwem p. Jeżeli kobieta jest nośnikiem hemofilii, to każdy jej syn dziedziczy tę chorobę z prawdopodobieństwem 0.5. Kobieta, która nie jest nośnikiem hemofilii rodzi zdrowych synów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że a) pierwszy syn będzie zdrowy, b) drugi syn będzie zdrowy, jeśli pierwszy syn jest zdrowy, c) kobieta nie jest nośnikiem hemofilii, jeśli dwaj pierwsi synowie są zdrowi.