Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

2 losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, tzn. zdarzenie jest pewnym zbiorem możliwych wyników eksperymentu. Z pewnych względów (o których później), aby zawsze można było określić prawdopodobieństwo zdarzenia musimy wprowadzić pewne restrykcje dotyczące zdarzeń losowych. Zdarzenie losowe to taki podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, który należy do interesującego nas σ-ciała F podzbiorów Ω.

3 Przykłady zdarzeń Przykład 1 Wypisz Ω dla eksperymentu i elementy zdarzeń: 1 wypadła liczba parzysta w pojedynczym rzucie kostką;

4 Przykłady zdarzeń Przykład 1 Wypisz Ω dla eksperymentu i elementy zdarzeń: 1 wypadła liczba parzysta w pojedynczym rzucie kostką; 2 nie wypadła jedynka w 10 rzutach kostką;

5 Przykłady zdarzeń Przykład 1 Wypisz Ω dla eksperymentu i elementy zdarzeń: 1 wypadła liczba parzysta w pojedynczym rzucie kostką; 2 nie wypadła jedynka w 10 rzutach kostką; 3 Tola przyszła na przystanek przed 7.24, zakładając, że Tola przychodzi między 7.00 a 8.00.

6 Przykłady zdarzeń Przykład 1 Wypisz Ω dla eksperymentu i elementy zdarzeń: 1 wypadła liczba parzysta w pojedynczym rzucie kostką; 2 nie wypadła jedynka w 10 rzutach kostką; 3 Tola przyszła na przystanek przed 7.24, zakładając, że Tola przychodzi między 7.00 a wykonano nieparzystą liczbę rzutów w rzucie monetą aż do momentu uzyskania pierwszego orła.

7 Zdarzenie losowe Dla zdarzenia A, gdy wynikiem eksperymentu jest ω oraz ω A, to mówimy, że zaszło zdarzenie A. Przykład 2 eksperyment: 10 rzutów monetą; wynik eksperymentu: ω = (O, O, R, O, O, O, R, R, R, R); A wypadło dokładnie 5 orłów; ω A zaszło zdarzenie A.

8 Zdarzenie losowe Dla zdarzenia A, gdy wynikiem eksperymentu jest ω oraz ω A, to mówimy, że zaszło zdarzenie A. Przykład 2 eksperyment: 10 rzutów monetą; wynik eksperymentu: ω = (O, O, R, O, O, O, R, R, R, R); A wypadło dokładnie 5 orłów; ω A zaszło zdarzenie A. eksperyment: pojedynczy rzut kostką; wynik eksperymentu: 3; A wypadła liczba parzysta; ω / A nie zaszło zdarzenie A.

9 losowe Trochę nazewnictwa : zdarzenie niemożliwe;

10 losowe Trochę nazewnictwa : zdarzenie niemożliwe; Ω: zdarzenie pewne;

11 losowe Trochę nazewnictwa : zdarzenie niemożliwe; Ω: zdarzenie pewne; A B = : A i B to zdarzenia wzajemnie wykluczające się;

12 losowe Trochę nazewnictwa : zdarzenie niemożliwe; Ω: zdarzenie pewne; A B = : A i B to zdarzenia wzajemnie wykluczające się; A = Ω \ A: zdarzenie przeciwne do zdarzenia A.

13 losowe Trochę nazewnictwa : zdarzenie niemożliwe; Ω: zdarzenie pewne; A B = : A i B to zdarzenia wzajemnie wykluczające się; A = Ω \ A: zdarzenie przeciwne do zdarzenia A. A B: A pociąga zdarzenie B.

14 losowe Przykład 3 Rzucamy nieskończoną liczbę razy uczciwą monetą (nie radzimy tego robić w domu). Niech A i (A i Ω) będzie zdarzeniem, że za i tym razem wypadł orzeł. Jakie inne zdarzenia chcielibyśmy też zawrzeć w σ ciele zdarzeń?

15 losowe Ω, (zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe); A i = Ω \ A i za i tym razem NIE wypadł orzeł (zdarzenia przeciwne/dopełnienia zdarzeń); A 1 A 2 za pierwszym lub za drugim razem wypadł orzeł (skończone sumy zdarzeń); i=1 A i co najmniej raz wypadł orzeł (przeliczalne sumy zdarzeń); A 1 A 2 za pierwszym i za drugim razem wypadł orzeł (skończone przekroje zdarzeń); i=1 A i za każdym razem wypadł orzeł (przeliczalne przekroje zdarzeń); A 1 \ A 2 zaczęliśmy od orła ale w drugim rzucie nie było orła (różnice zdarzeń).

16 σ ciało σ-ciało (σ-algebra) Definicja (σ-ciało (σ-algebra)) Niech F będzie zbiorem pewnych podzbiorów zbioru Ω. Mówimy że F jest σ-ciałem, jeśli: C1 Ω F; C2 jeśli A F, to również A = Ω \ A F; C3 jeśli A 1, A 2,... F, to również A n F. n=1

17 σ ciało Twierdzenie (własności σ ciała) Niech F będzie σ ciałem, wtedy następujące stwierdzenia są prawdziwe. W1 F. W2 Jeśli A, B F, to A B F. W3 Jeśli A, B F, to A B F. W4 Jeśli A, B F, to A \ B F. W5 Jeśli A 1, A 2,... F, to n=1 A n F. tzn. dowolne σ ciało jest zamknięte na standardowe operacje teoriomnogościowe. Dowód

18 Przykłady σ ciał Ω co najwyżej przeliczalny Przykład 4 Rodzina F wszystkich podzbiorów zbioru Ω jest σ ciałem, F = 2 Ω. Takie σ ciało będziemy wykorzystywać w przypadku, gdy Ω jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.

19 Przykłady σ ciał Ω = R - intro Definicja Niech A będzie pewną rodziną podzbiorów zbioru Ω, wtedy przez σ(a) będziemy oznaczać najmniejsze (w sensie zawierania) σ ciało zawierające rodzinę A. Uwaga σ(a) = F. F σ ciało w Ω, A F Dowód, że dowolny przekrój σ ciał w Ω jest σ ciałem w Ω pozostawiamy jako ćwiczenie.

20 Przykłady σ ciał Ω = R σ ciało zbiorów borelowskich B(R) σ ciałem zbiorów borelowskich na R nazywamy najmniejsze (w sensie zawierania) σ ciało podzbiorów R, które zawiera wszystkie przedziały otwarte (a, b), a, b R. B(R) = F σ ciało na R, a<b, a,b R (a,b) F Takie σ ciało będziemy między innymi wykorzystywać dla miary probabilistycznej wyznaczonej przez zmienną losową (to dopiero w drugiej części kursu). F

21 Dowód: 1, 4, 5, 8 Przykłady σ ciał Zbiory borelowskie Przykład 5 Pokaż, że dla dowolnych a, b R (a < b) poniższe zbiory należą do rodziny zbiorów borelowskich: 1 {a}; 2 (a, b] 3 [a, b]; 4 (a, ); 5 (, a]; 6 {a, b}; 7 N zbiór liczb naturalnych; Przypomnienie: Jeśli A, B, C 1, C 2,... B, to C1 R B C2 A = R \ A B C3 Cn B; n=1 W2 A B B. W3 A B B. W4 A \ B B. W5 Cn B; n=1 8 Q zbiór liczb wymiernych.

22 Przykłady σ ciał Zbiory borelowskie Przykład 6 Pokaż, że w definicji zbiorów borelowskich rodzina zbiorów {(a, b) : a, b R, a < b} może być zastąpiona rodziną zbiorów {(, a] : a R}. Przypomnienie: Jeśli A, B, C 1, C 2,... B, to C1 R B C2 A = R \ A B C3 Cn B; n=1 W2 A B B. W3 A B B. W4 A \ B B. W5 Cn B; n=1

23 Przykłady σ ciał Ω R n σ ciało zbiorów borelowskich B w R n, B(R n ) σ ciałem zbiorów borelowskich w R n nazywamy najmniejsze (w sensie zawierania) σ ciało podzbiorów R n, które zawiera wszystkie podzbiory otwarte w R n. σ ciało zbiorów borelowskich w Ω R n σ ciałem zbiorów borelowskich w Ω R n nazywamy rodzinę zbiorów {A : B B A = Ω B}.