Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Transkrypt

1 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018

2 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy i tylko wtedy, gdy: a) Ω M, b) A M A M, c) n N A n M A n M. n=1

3 Przykłady Przykład Przykładami σ-algebr podzbiorów zbioru Ω są następujące rodziny: a) {Ω, } najuboższa σ-algebra zawierająca najmniejszą liczbę podzbiorów zbioru Ω, b) 2 Ω rodzina wszystkich podzbiorów zbioru Ω, c) {Ω, A, A, }, gdzie A Ω i A. Przykład Niech M będzie rodziną takich podzbiorów A zbioru R, że A lub A jest zbiorem przeliczalnym. Rodzina M jest σ-algebrą.

4 Własności σ-algebry Twierdzenie (własności -algebry) Jeśli M jest σ-algebrą, to: a) M, b) A 1, A 2,..., A n M n k=1 c) A, B M A B M, d) A, B M A B M, e) A, B M A B M, f) n N A n M A n M. n=1 A k M,

5 Terminologia W rachunku prawdopodobieństwa elementy ω Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi, a zbiory A M zdarzeniami losowymi; przy czym Ω nazywamy zdarzeniem pewnym, a zbiór pusty zdarzeniem niemożliwym. Mówimy, że zdarzenie elementarne ω sprzyja zajściu zdarzenia losowego A, jeśli ω A. Mówimy, że zdarzenie losowe A pociąga zdarzenie losowe B, jeśli A B. Zdarzenie A 1 A 2... A n nazywamy sumą (lub alternatywą), a zdarzenie A 1 A 2... A n koniunkcją zdarzeń A 1, A 2,..., A n. Zdarzenie A B nazywamy różnicą zdarzeń A i B. W szczególności zdarzenie A = Ω A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A. Mówimy, że zdarzenia A 1, A 2,..., A n są parami rozłączne, jeśli A i A j = dla i j.

6 Definicja prawdopodobieństwa Definicja Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P : M R taką, że: a) P(A) 0 dla każdego A M, b) P(Ω) = 1, c) jeśli (A n ) jest dowolnym ciągiem zdarzeń parami rozłącznych, to ( ) P A n = P(A n ). n=1 n=1 Uporządkowaną trójkę (Ω, M, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

7 Przykład prawdopodobieństwa Przykład (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Niech Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n }, M = 2 Ω. Dla zdarzeń jednoelementowych prawdopodobieństwo P określamy wzorem P ({ω k }) = 1 n (k = 1, 2,..., n) i rozszerzamy na M przyjmując dla A Ω. P(A) = ω k A P ({ω k })

8 Przykład prawdopodobieństwa cd Przykład Niech Ω = {ω 1, ω 2,...} będzie nieskończonym zbiorem przeliczalnym, (p n ) ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych takim, że p n = 1. Dla dowolnego zbioru A Ω określamy n=1 P(A) = n I A p n, gdzie I A = {n N : ω n A}. Funkcja P jest prawdopodobieństwem określonym na σ-algebrze 2 Ω wszystkich podzbiorów zbioru Ω.

9 Przykład prawdopodobieństwa cd Przykład Niech Ω, M = 2 Ω, a ω 0 będzie ustalonym punktem zbioru Ω. Funkcję P : M R określamy wzorem { 0, jeśli ω0 / A, P (A) = 1, jeśli ω 0 A. Funkcja P jest prawdopodobieństwem określonym na 2 Ω.

10 Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie (własności prawdopodobieństwa) Niech P : M R będzie prawdopodobieństwem określonym na σ-algebrze M, wówczas: a) P( ) = 0; b) jeśli zdarzenia A 1, A 2,..., A n są parami rozłączne, to ( n ) P A k = k=1 n P(A k ); k=1 c) A B P(A) P(B); d) A B P(B A) = P(B) P(A); e) P(A ) = 1 P(A); f) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B);

11 Twierdzenie cd g) jeśli (A n ) jest wstępującym ciągiem zdarzeń losowych (tzn. A n A n+1 dla n N) oraz A = A n, to P(A) = lim P(A n); n=1 n h) jeśli (A n ) jest zstępującym ciągiem zdarzeń losowych (tzn. A n A n+1 dla n N) oraz A = A n, to P(A) = lim n P(A n ). n=1

12 warunkowe Definicja Niech B M będzie zdarzeniem losowym spełniającym warunek P(B) > 0. Dla dowolnego zdarzenia losowego A M liczbę P(A B) = P(A B) P(B) nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym zaistnienia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B. Z podanego wzoru wynika, że P (A B) = P (A B) P (B)

13 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Twierdzenie (wzór na prawdopodobieństwo całkowite) Jeśli zdarzenia losowe A, B 1, B 2,..., B n M spełniają warunki: A n k=1 B k ; P(B k ) > 0 dla k = 1, 2,..., n; B k B j = dla k j;k, j = 1, 2,..., n; to P(A) = n P(A B k )P(B k ). k=1 Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite korzystamy przy obliczaniu prawdopodobieństw zdarzeń w doświadczeniach wieloetapowych.

14 Przykłady Przykład Pierwsza urna zawiera 3 kule białe i 4 czarne, druga 5 białych i 8 czarnych. Rzucamy raz kostką do gry. Jeśli wyrzucona liczba oczek jest mniejsza od 3, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny; w przeciwnym przypadku losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wyznaczymy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Przykład W pierwszej urnie znajduje się 5 kul białych i 4 czarne, w drugiej 3 białe i 2 czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny i nie oglądając jej wkładamy do drugiej urny. Następnie losujemy jedną kulę z drugiej urny. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że kula wylosowana z drugiej urny jest czarna.

15 Wzór Bayesa Twierdzenie Jeśli zdarzenia losowe A, B 1, B 2,..., B n M spełniają warunki: A n k=1 B k ; P(B k ) > 0 dla k = 1, 2,..., n; B k B j = dla k j;k, j = 1, 2,..., n; oraz P(A) > 0, to dla każdego j = 1, 2,..., k P(B j A) = P(A B j)p(b j ). n P(A B k )P(B k ) k=1

16 Wzór Bayesa Wzór Bayesa wykorzystujemy w następujących zagadnieniach. Załóżmy, że zdarzenie A może zaistnieć wtedy i tylko wtedy, gdy zaistnieje jedno z możliwych i wykluczających się parami zdarzeń B 1, B 2,..., B n. Zdarzenia B 1, B 2,..., B n nazywamy przyczynami, a zdarzenie A skutkiem. Wiedząc, że zaistniało zdarzenie A chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zaistnienia przyczyny B j.

17 Przykłady Przykład Pierwsza urna zawiera 4 kule białe i 2 czarne, druga 5 białych i 6 czarnych. Rzucamy raz kostką do gry. Jeśli wyrzucona liczba oczek jest równa 2, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny; w przeciwnym przypadku losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wyznaczymy prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowaliśmy z drugiej urny, jeśli wiadomo, że otrzymaliśmy kulę białą. Przykład W sklepie znajduje się 1000 żarówek produkcji zakładu B 1, 1500 zakładu B 2, 2500 zakładu B 3. Wadliwość produkcji w tych zakładach wynosi odpowiednio 3%, 2%, 4%. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że zakupiona jedna żarówka, która jest wadliwa, pochodzi z zakładu B 1, zakładu B 2, zakładu B 1 lub B 3?

18 Zdarzenia niezależne Definicja Mówimy, że zdarzenia losowe A, B M są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy P(A B) = P(A)P(B). W przeciwnym przypadku zdarzenia A i B nazywamy zależnymi. Przykład Rzucamy trzykrotnie monetą. Niech A oznacza zdarzenie: otrzymane wyniki nie są identyczne, B zdarzenie: co najwyżej jedna reszka. Sprawdzimy, czy zdarzenia A i B są niezależne. Twierdzenie Jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to zdarzenia: a) A i B, b) A i B są również niezależne.

19 Łączna niezależność zdarzeń Pojęcie niezależności dwóch zdarzeń uogólnimy na przypadek dowolnego skończonego ciągu zdarzeń A 1, A 2,..., A n. Zbadajmy najpierw przypadek trzech zdarzeń A 1, A 2, A 3. Sprawdzimy, czy z warunków: P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ), P(A 1 A 3 ) = P(A 1 )P(A 3 ), P(A 2 A 3 ) = P(A 2 )P(A 3 ) wynika, że P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ).

20 Przykład Przykład W urnie znajdują się 4 kartki jednakowych rozmiarów. Każda kartka jest oznaczona dokładnie jednym z czterech napisów: 112, 121, 211, 222. Niech A i (i = 1, 2, 3) oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kartki z napisem zawierającym jedynkę na miejscu o numerze i. Wykażemy, że zdarzenia A 1, A 2, A 3, są niezależne parami, ale P(A 1 A 2 A 3 ) P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ).

21 Łączna niezależność zdarzeń Definicja Mówimy, że zdarzenia losowe A 1, A 2,..., A n są łącznie niezależne (niezależne en bloc) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu wskaźników (i 1, i 2,..., i j ) takiego, że 1 i 1 < i 2 <... < i j n spełniony jest warunek P(A i1 A i2... A ij ) = P(A i1 )P(A i2 )... P(A ij ). Twierdzenie Jeśli zdarzenia losowe A 1, A 2,..., A n są łącznie niezależne, to zdarzenia losowe B 1, B 2,..., B n, gdzie B i = A i lub B i = A i są również łącznie niezależne.

22 Przykład Przykład Niech A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 będą łącznie niezależnymi zdarzeniami losowymi takimi, że P (A k ) = 1 k+1 dla k = 1, 2, 3, 4, 5. Obliczymy: a) P (A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ), b) P (A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ).