Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór: π { π e ix(n k) 2π, dla n = k; dx = (cos(n k)x + i sin(n k)x) dx = 0, dla n k. Definiuj ac: poprzedni wzór można zapisać: f, g := 1 π f(x)g(x)dx 2π e inx, e ikx = { 1, dla n = k; 0, dla n k. Oznaczenie, nie przypadkiem jest podobne do oznaczenia iloczynu skalarnego, w lasności s a takie same: W lasności iloczynu ortogonalnego: liniowy ze wzglȩdu na pierwsz a zmienn a; zamiana kolejności zmiennych to sprzȩżenie wartości; f, f 0 i jest równe zeru tylko jeśli f = 0 (dla funkcji ci ag lych). W poprzednich dowodach wykorzystywaliśmy tak naprawde tylko te w lasności i dalej też to bȩdziemy robić. Wprowadzony iloczyn nazywamy iloczynem ortogonalnym i mówimy, że dwie funkcje s a ortogonalne jeśli ich iloczyn ortogonalny jest równy zeru. Normȩ funkcji ( d lugość ) definiujemy: f 2 := f, f Wprowadziliśmy d lugość funkcji (normȩ) wiȩc możemy liczyć odleg lość dwóch funkcji: d 2 (f, g) := f g 2. 1
Wniosek 1 Uk lad funkcji e inx gdy n Z jest ortonormalny tj. każde dwie różne funkcje s a ortogonalne i wszystkie maj a norme 1. Wzory Eulera-Fouriera można zapisać: c n = f, e inx Warto zauważyć, że jeśli funkcja f jest równa jednostajnie zbieżnej sumie szeregu ortogonalnego d n g n n= gdzie (g n ) jest uk ladem ortonormalnym to wówczas d n = f, g n Dowód jest identyczny jak wzorów Eulera-Fouriera. Ta obserwacja jest wykorzystywana w metodach numerycznych wielokrotnie stosuj ac różne uk lady ortonormalne (wielomiany Hermite a, Czebyszewa, Lagrange a itp. itd.) i wzglȩdem różnie zdefiniowanych iloczynów ortogonalnych. Nie bȩdziemy wyjasniać szczegó lów. Ta metoda jest wykorzystywana np. w przetwarzaniu danych, obrazów itp. Rozwija siȩ sygna l, obraz itp. wzglȩdem odpowiednio dobranego uk ladu ortonormalnego i zastȩpuje dany sygna l skończenie wieloma wspó lczynnikami rozwiniȩcia. 2
2. Geometryczne spojrzenie na szereg Fouriera Wielomian trygonometryczny ma postać: T (x) := w n e inx Najmniejsza liczba N nazywana jest stopniem wielomianu T. Lemat 2 Funkcja f s N, gdzie f jest ca lkowalna a s N jest N-t a suma czȩsciow a jej szeregu Fouriera jest ortogonalna do wszystkich wielomianów trygonometrycznych stopnia N. Dowód: Niech N k N, wówczas f s N, e ikx = f, e ikx c n e inx, e ikx = f, e ikx c n e inx, e ikx = c k c k = 0. Zatem z w lasności iloczynu ortogonalnego mamy lemat. Wniosek 3 (w lasność minimum wspó lczynników Fouriera) N-ta suma czȩściowa s N szeregu Fouriera funkcji ca lkowalnej f jest najbliższym funkcji f (w sensie odleg lości d 2 ) wielomianem trygonometrycznym stopnia N. Dowód: Niech T = n w ne inx bȩdzie dowolnym wielomianem trygonometrycznym stopnia N. Policzmy d 2 (f, T ) 2 = f T 2 2 = f T, f T = (f s N ) + (s N T ), (f s N ) + (s N T ) = f s N, f s N + f s N, s N T + s N T, f s N + s N T, s N T Z lematu drugi i trzeci sk ladnik ostatniej sumy znika wiȩc otrzymujemy wzór Pitagorasa : d 2 (f, T ) 2 = d 2 (f, s N ) 2 + d 2 (s N, T ) 2 Drugi sk ladnik jest równy (jak latwo sprawdzić) sumie kwadratów z modu lów wspólczynników wielomianu trygonometrycznego s N T zatem jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy s N = T. Pokazaliśmy, że d 2 (f, T ) d 2 (f, s N ) 3
Wniosek 4 (nierówność Bessela) Dla dowolnej funkcji ca lkowalnej f na [, π] zachodzi: a 0 2 2 + + n= c n 2 1 2π ( a n 2 + b n 2 ) 1 π π π f(x) 2 dx; f(x) 2 dx. Dowód: Obliczmy: 1 π f(x) 2 dx = f, f = (f s N ) + s N, (f s N ) + s N 2π = f s N, f s N + f s N, s N + s N, f s N + s N, s N Z lematu drugi i trzeci cz lon ostatniej linii jest równy zeru a pierwszy jest dodatni, zatem: 1 π 2π f(x) 2 dx s N, s N = = c n e inx, c n e inx, c n e inx = c n e inx c n 2. Uwaga: Z powyższego dowodu wynika, że różnica miȩdzy stronami nierówności Bessela wynosi: f s N, f s N = d 2 (f, s N ) 2 zatem jeśli szereg Fouriera jest zbieżny do f w metryce d 2, to w nierówności Bessela mamy równość! W przysz lości zobaczymy, że tak rzeczywiście jest. 4
3. W lasność lokalizacji szeregów Fouriera Jest to jedna z najdziwniejszych w lasności szeregów Fouriera. Pamiȩtamy, że obliczenie wspó lczynników Fouriera wymaga znajomości ca lej funkcji na przedziale o d lugości równej okresowi. Tym nie mniej zachodzi: Twierdzenie 5 (twierdzenie Riemanna o lokalizacji) Niech f, g bed a dwiema 2π-okresowymi funkcjami ca lkowalnymi w sensie Riemanna pokrywaj acymi sie na odcinku (x δ, x + δ) dla pewnego ustalonego x R i δ > 0. Wówczas szereg Fouriera funkcji f jest zbieżny w punkcie x do liczby a wtedy i tylko wtedy, gdy szereg Fouriera funkcji g jest zbieżny w punkcie x do tej samej granicy. Dowód w ksi ażce So ltysiaka. 5
4. Zbieżność szeregów Fouriera Problem zbieżności szeregu Fouriera jest trudny i wiele podstawowych zagadnień zosta lo rozstrzygniȩtych dopiero w drugiej po lowie XX wieku (i nadal jest to żywy obszar badań naukowych). Poniższe twierdzenie zestawia g lówne wyniki: Twierdzenie 6 (o zbieżności szeregu Fouriera) (Du Bois-Reymond) Istnieje funkcja ci ag la 2π-okresowa, której szereg Fouriera w pewnym punkcie nie jest zbieżny. (Carleson) Dla każdej 2π-okresowej funkcji ci ag lej f zbiór punktów, w których jej szereg Fouriera nie jest zbieżny punktowo do f jest miary zero Lebesgue a tj. dla każdego ε > 0 może być pokryty sum a ci agu odcinków, których l aczna d lugość nie przekracza ε. (o zbieżności punktowej) Dla każdej 2π-okresowej funkcji f przedzia lami różniczkowalnej (tj. rózniczkowalnej za wyj atkiem skończenie wielu punktów i maj acej w tych punktach skończone granice jednostronne i skończone pochodne jednostronne) szereg Fouriera jest zbieżny punktowo do f(x) w punktach ci ag lości i jest zbieżny do średniej arytmetycznej granic jednostronnych w punktach nieci ag lości. (tożsamość Parsevala) Jeśli funkcja f jest 2π-okresowa i ci ag la (albo ca lkowalna z kwadratem), to jej szereg Fouriera jest zbieżny do f wzglȩdem metryki d 2 i ponadto mamy równość w nierówności Bessela (czyli zachodzi tożsamość Parsevala): a 0 2 2 + + n= c n 2 = 1 2π ( a n 2 + b n 2 ) = 1 π π π f(x) 2 dx; f(x) 2 dx. (twierdzenie Fejéra) Jeśli f jest ci ag la i 2π-okresowa, to ci ag średnich arytmetycznych sum czȩściowych szeregu Fouriera jest zbieżny jednostajnie do f. 6
W tym miejscu warto wrócić do pliku rozwiniecia fouriera w4.nb i przypomnieć jak zbiegaj a szeregi Fouriera konkretnych funkcji. W pliku: twierdzenie fejera w5.nb porównano przybliżenia danej funkcji jej sumami czȩściowymi szeregu Fouriera i średnimi arytmetycznymi jej sum czȩściowych (por. tw. Fejéra). 7
Dowód twierdzenia Du Bois-Reymond i twierdzenia Carlesona (bardzo trudny) s a poza możliwościami tego wyk ladu. Dowód twierdzenia o zbieżności punktowej jestw ksiażce So ltysiaka. Tam też udowodnione jest tw. Fejéra. Zauważmy, że średnie arytmetyczne sum czȩściowych s a wielomianami trygonometrycznymi zatem mamy: Wniosek 7 (twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji wielomianami trygonometrycznymi) Każda 2π-okresowa funkcja ci ag la może być dowolnie dobrze jednostajnie przybliżona wielomianem trygonometrycznym. Niech f bedzie ciag l a funkcj a 2π-okresow a. Weźmy ε > 0 wówczas istnieje wielomian trygonometryczny T stopnia N taki, że sup f(x) T (x) ε. x [,π] Z w lasności minimum wspó lczynników Fouriera wynika, że 1 π d 2 (f, s N ) d 2 (f, T ) = f(x) T (x) 2π 2 dx ε czyli sumy czȩściowe szeregu Fouriera d aż a do f w metryce d 2. St ad (patrz uwaga po dowodzie nierówności Bessela) wynika tożsamość Parsevala. Ponieważ, każda funkcja ci ag l a f na przedziale [a, b] może być przed lużona do funkcji ci ag lej o okresie 2(b a) wiȩc skaluj ac można z twierdzenia Weierstrassa o aproksymacji wielomianami trygonometrycznymi uzyskać jednostajne przybliżenie f wielomianami trygonometrycznymi o okresie 2(b a). Zauważmy jeszcze, że funkcje wyk ladnicze s a na każdym kole jednostajn a granic a sum czȩściowych szeregu Taylora, a wiȩc mog a być jednostajnie przybliżane na dowolnym przedziale skończonym wielomianami algebraicznymi. Zatem można to zrobić także dla wielomianów trygonometrycznych. St ad: Wniosek 8 (twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji wielomianami) Każda funkcja ci ag la na przedziale [a, b] może być jednostajnie dowolnie dobrze przybliżona wielomianem (algebraicznym). Twierdzenie Fejéra ma jeszcze jeden ważny wniosek: ze wspó lczynników Fouriera funkcji ci ag lej 2π-okresowej można z powrotem odtworzyć wyjściow a funkcjȩ zatem: 8
Wniosek 9 (o jednoznaczności szeregu Fouriera) Jeśli dwie 2π-okresowe funkcje ci ag le maj a te same wspó lczynniki Fouriera, to s a one równe. Wniosek 10 Jeśli szereg Fouriera 2π-okresowej funkcji ci ag lej f jest zbieżny jednostajnie, to jego granica jest równa f. Dowód: Granica g ma te same wspó lczynniki Fouriera ze wzorów Eulera- Fouriera. 9
5. Zastosowania do sumowania szeregów Funkcja 2π-okresowa ci ag la: f(x) := x 2 dla x [, π]. Funkcja f jest parzysta wiȩc wspó lczynniki b n = 0. Dla n 0: c 0 := 1 2π π x 2 dx = π2 3. c n := 1 π x 2 e inx dx 2π Stosuj ac dwa razy ca lkowanie przez czȩści otrzymujemy: Szereg Fouriera wynosi: c n = ( 1) n 2 n 2 f π2 3 + + n=,n 0 ( 1) n 2 n 2 einx Szereg po prawej stronie jest zbieżny jednostajnie z kryterium porównawczego Weierstrassa bo ( 1) n 2 2 n 2 n 2 einx a szereg + 2 n=,n 0 jest zbieżny z kryterium o zagȩszczaniu. n 2 Zatem skoro szereg Fouriera jest jednostajnie zbieżny, to musi być zbieżny do f. Podstawiaj ac x = π mamy: π 2 = π2 3 + + n=,n 0 2 n = π2 2 3 + 4 n 2 Zatem: 1 n = π2 2 6 10
Teraz zastosujemy do tego szeregu tożsamość Parsevala: 1 π x 4 dx = π4 + 2π 9 + 4 n 4 n=,n 0 czyli Ostatecznie mamy: π 4 5 π4 + 9 = 8 n 4 1 n 4 = π4 90 W pliku: sumy szeregu w5.nb porównano na jednym wykresie szybkość zbieżności różnych szeregów zbieżnych do π 2 zgodnie z powyższymi przyk ladami a także szeregu zbieżnego do π. 11
Szeregi Fouriera: x 2 sin nx ( 1)n+1, dla x [, π]; x π 2 + π 2 + 2 π sin x 2 π + n ( 4 ) cos(2n 1)x π (2n 1) 2 + n= 1 (2n + 1) 2ei(2n+1)x, dla x [, π]; ( ) 4 π cos 2nx (2n 1)(2n+1), dla x [, π]; x 2 π3 3 + ( 1) n4 cos nx n 2 = π3 3 + + n=,n 0 ( 1) n 2 n 2einx, dla x [, π]; sgn x 4 π sin(2n 1)x 2n 1 2 sin πa π ( 1) n+1 n n 2 a 2, dla x [, π]; sin ax sin nx, dla x [, π], a Z; e x eπ e 1 in 2π + n= ( 1)n (n 2 +1) einx, dla x [, π]; 12
x 2 4π2 3 + = 4π2 3 + + x 2 ( 4 n cos nx 4π 2 n ( 2 n + 2πi ) e inx, 2 n n=,n 0 ( 2π n ( 1)n + 4 ) sin nx dla x [0, 2π]; [ ]) ( 1) n 1 sin nx, dla x n 3 π [0, π] wzgledem sinusów (tj. funkcja przed lużona na [, π] jako nieparzysta). 13