Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Transkrypt

1 Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1 danych par (x i, f i ) dla i = 0, 1,..., n liczb rzeczywistych lub zespolonych (x i x k dla i k) zachodziło φ(x i ; a 0,..., a n ) = f i dla i = 0,..., n. Pary (x i, f i ) nazywamy punktami węzłowymi, a x i nazywamy węzłem. Zadanie interpolacji liniowej, gdy φ zależy liniowo od parametrów a i φ (x; a 0,..., a n ) a 0 φ 0 (x) + a 1 φ 1 (x) a n φ n (x) (1) Przypadek szczególny interpolacja wielomianowa, gdy φ (x; a 0,..., a n ) a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n (2) Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna φ (x; a 0,..., a n ) a 0 + a 1 e xi + a 2 e 2xi a n e nxi (3) Przykład interpolacji nieliniowej, interpolacja funkcjami wymiernymi φ (x; a 0,..., a n, b 0,..., b m ) a 0 + a 1 x a n x n b 0 + b 1 x b m x m (4) Inny przykład interpolacji nieliniowej to interpolacja wielomianami wykładniczymi φ (x; a 0,..., a n, λ 0,..., λ n ) a 0 e λ 0x + a 1 e λ 1x a n e λnx (5) Mamy dany zbiór punktów na płaszczyźnie, interpolacja polega na znalezieniu funkcji, która przechodzi przez zadane punkty. Zamiast zbioru punktów na płaszczyźnie może być dana skomplikowana funkcja. Wtedy interpolacja polega na wyborze określonej liczby punktów tej funkcji i znalezieniu prostszej funkcji interpolującej przechodzącej przez te punkty. 1

2 1.1 Interpolacja wielomianowa Znajdujemy wielomian stopnia maksymalnie n 1, gdzie n to liczba punktów, taki, który przechodzi przez punkty węzłowe. Stopień wielomianu jest maksymalnie równy n 1, a więc może być mniejszy w przypadku szczególnego ułożenia punktów, np. w przypadku 3 punktów stopień może być równy 1, jeśli wszystkie 3 punkty są współliniowe. Przykład interpolacja liniowa: Dane dwa punkty A i B, A (, y 0 ), B (x 1, y 1 ). Wielomian stopnia pierwszego przechodzący przez te punkty: W (x) = ax + b. Zadanie polega na znalezieniu wartości współczynników a i b. Jako, że wielomian powinien przechodzić przez punkty A i B otrzymujemy następujący układ równań: y 0 = a + b (6) Rozwiązanie to: A więc wielomian interpolujący to y 1 = ax 1 + b (7) a = y 1 y 0 (8) b = y 0x 1 y 1 (9) W (x) = y 1 y 0 x + y 0x 1 y 1 (10) Możemy to zapisać jako = y 1 y 0 x + y 0 ( ) y 1 + y 0 = y 0 + (x ) y 1 y 0 = (11) y 0 ( 1 x ) + y 1 ( x x0 ) = y 0 ( 1 x ) + y 1 ( 1 x 1 x Zauważmy, że jest to średnia ważona, wyrażenia w nawiasach sumują się do 1. Wagami są odległości odciętej x od odciętej w stosunku do odległości między odciętymi i x 1 odjęta od 1, oraz podobnie druga waga to odległość odciętej x od x 1 w stosunku do odległości między odciętymi i x 1 odjęta od 1. Zauważmy, że gdy x jest bliższe, to wtedy waga przy y 0 jest większa. Możemy także zapisać powyższe jako ( ) ( ) x1 x x x0 y 0 + y 1 (13) Możemy oznaczyć drugi ułamek jako t i otrzymujemy ) (12) y 0 (1 t) + y 1 t (14) Zauważmy, że x = ( ) t + (15) 2

3 Interpolacja liniowa polega na tym, że szukamy funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty. Jesli mamy dwa punkty w większej liczbie wymiarów, możemy również znaleźć linię przechodzącą przez te punkty. Możemy ją znaleźć następująco. Linia prosta przechodząca przez punkt R 1 w kierunku a może być zapisana jako R = R 1 + t a (16) gdzie R jest punktem, który należy do tej linii. Jest to postać parametryczna. Jeśli mamy drugi punkt R 2 to możemy wyznaczyć a jako Równanie możemy zapisać wtedy w postaci a = R 2 R 1 (17) R = R 1 + t (R 2 R 1 ) (18) R = (1 t) R 1 + tr 2 (19) Jest to równanie w postaci parametrycznej linii przechodzącej przez punkty R 1 i R 2, a więc jest to wielomian interpolujący W (t) w postaci parametrycznej. Uogólniając na n punktów, możemy za pomocą układu równań liniowych wyznaczyć współczynniki wielomianu w postaci ogólnej W (x) = a n x n + a n 1 x n a 0. (20) Twierdzenie 1.1. Dla dowolnych n + 1 punktów węzłowych (x i, f i ) dla i = 0,..., n, x i x k dla i k istnieje dokładnie jeden wielomian P Π n taki, że W (x i ) = f i dla i = 0,..., n. Zbiór Π n oznacza zbiór wszystkich rzeczywistych lub zespolonych wielomianów P stopnia n Wzór interpolacyjny Newtona Dane dwa punkty A (, y 0 ) i B (x 1, y 1 ). Przykład wielomianu liniowego. Postać ogólna wielomianu liniowego: W (x) = a 1 x + a 0 (21) Wielomian Newtona Zauważmy, że możemy dobrać W (x) = a 1x + a 0 a 1 = a 0 + a 1 (x ) (22) a 0 = a 0 + a 1 (23) a 1 = a 1 (24) i otrzymamy postać ogólną. Jak znaleźć wielomian Newtona? Konieczne jest znalezienie współczynników a 0 oraz a 1. W ( ) = y 0 (25) 3

4 a 0 = y 0 (26) W (x 1 ) = y 1 (27) a 0 + a 1 ( ) = y 1 (28) a 1 = y 1 a 0 = y 1 y 0 (29) Jeśli chcemy uzyskać postać ogólną, to musimy skorzystać ze wzoru (23) i (24), aby obliczyć a 0 i a 1, lub z (22). Dla wielomianu n-tego stopnia. Dane n + 1 punktów: (, y 0 ), (x 1, y 1 )... (x n, y n ). Postać Newtona wygląda następująco: W (x) = a 0 + a 1 (x ) + a 2 (x ) (x x 1 ) a n (x ) (x x 1 )... (x x n 1 ) (30) lub n i 1 W (x) = a i x x j. (31) i=0 j=0 Wartość tego wielomianu dla x = ξ możemy wyznaczyć ze schematu Hornera W (ξ) = (... ( a n (ξ x n 1 ) + a n 1) (ξ xn 2 ) a 1) (ξ x0 ) + a 0 (32) Podstawiając do (30) dane punkty otrzymujemy następujący układ równań: y 0 = W ( ) = a 0 (33) y 1 = W (x 1 ) = a 0 + a 1 ( ) (34) y 2 = W (x 2 ) = a 0 + a 1 (x 2 ) + a 2 (x 2 ) (x 2 x 1 ) (35)... (36) Z powyższego układu łatwo wyznaczymy współczynniki wielomianu Newtona, a 0 = y 0 (37) a 1 = y 1 y 0 (38)... (39) Jak otrzymać współczynniki postaci ogólnej? Jeśli sprowadzimy wzór (30) do postaci ogólnej wyrażenia przy kolejnych potęgach zmiennej x będą szukanymi współczynnikami: a 0 = a 0 a 1 + a 2 x 1 a 3 x 1 x ± a n x 1 x 2... x n 1 (40) Możemy zdefiniować wielomian obcięty: a 1 =... (41) Q k (x) : a 0 + a 1 (x ) a k (x )... (x x k 1 ) (42) 4

5 dla k = 0, 1,..., n. Zdefiniujmy również W 01...k (x) jako taki, że dla i = 0, 1..., k dla punktów węzłowych (x i, f i ). Zachodzą W 01...k (x) Π k (43) W 01...k (x i ) = f i (44) Q k (x) W 01...k (x) (45) Wynika, to z tego, że wielomian obcięty Q k (x) jest tak naprawdę wielomianem w postaci Newtona, oraz z tego, że wielomian w postaci Newtona ma tak dobrane współczynniki aby przechodził przez punkty węzłowe oraz z unikalności wielomianu danego stopnia. W 01...k+1 (x) W 01...k (x) + a k+1 (x )... (x x k ) (46) Dodanie nowego punktu węzłowego sprowadza się do obliczenia jednego dodatkowego współczynnika. 3. a k jest współczynnikiem przy xk w wielomianie W 01...k (x). Przykład 1. Przykład: znaleźć wielomian stopnia co najwyżej trzeciego, który w punktach -1, 1, 3, 5 przyjmuje odpowiednio wartości 3, -1, 19, 111. Odpowiedź: x 3 3x + 1. Wielomian interpolacyjny Newtona: 3 + ( 2) (x + 1) + 3 (x + 1) (x 1) + 1 (x + 1) (x 1) (x 3). (47) Uogólnijmy definicję W 01...k (x) na wielomian W i0 i 1...i k (x), który jest zdefiniowany jako wielomian, dla którego zachodzi W i0 i 1...i k ( x ij ) = f ij (48) dla j = 0, 1,..., k dla punktów węzłowych (x i, f i ). Inny sposób wyznaczania współczynników. Można zauważyć, że współczynniki a k zależą tylko od punktów i = 0 do i = k. Współczynniki a i wyznaczamy za pomocą ilorazów różnicowych zdefiniowanych jako f [x i ] := y i (49) f [x i, x i+1,..., x i+j ] := f [x i+1, x i+2,..., x i+j ] f [x i, x i+1,..., x i+j 1 ] x i+j x i (50) f [x i, x i+1,..., x i+j ] nazywamy j-tym ilorazem różnicowym. Przykładowo f [, x 1 ] = f [x 1] f [ ] (51) 5

6 Zauważmy przypadek szczególny f [x 1, x 2 ] = f [x 2] f [x 1 ] x 2 x 1 (52) f [, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [, x 1 ] x 2 (53) f [, x 1,..., x k ] = f [x 1, x 2,..., x k ] f [, x 1,..., x k 1 ] x k (54) Twierdzenie 1.2. Iloraz różnicowy f[,..., x k ] jest funkcją symetryczną zmiennych x i. Jeśli x i0,..., x ik jest dowolną permutacją liczb,..., x k, to f [x i0,..., x ik ] = f [,..., x k ] (55) Twierdzenie 1.3. Jeśli f(x) jest wielomianem stopnia n i y i = f(x i ) dla i = 0, 1,..., n to f [,..., x k ] = 0 (56) dla k > n. Twierdzenie 1.4. Zachodzi równość W i,i+1,...,i+k (x) = f [x i ] + f [x i, x i+1 ] (x x i ) +... (57) + f [x i, x i+1,..., x i+k ] (x x i ) (x x i+1 )... (x x i+k 1 ) (58) A zatem widzimy, że współczynniki Newtona mogą być wyznaczone za pomocą ilorazów różnicowych. Możemy zweryfikować przykładowo a 0 = f [ ] = y 0 (59) a 1 = f [, x 1 ] = y 1 y 0 (60) Możemy utworzyć tablicę ilorazów. Pierwsza kolumna to wartości x i punktów, druga kolumna to wartości y i punktów, kolejne kolumny to wartości ilorazów różnicowych. Dla poprzedniego przykładu f [ ] f [, x 1 ] f [, x 1, x 2 ] f [, x 1, x 2, x 3 ] (61) x 1 f [x 1 ] f [x 1, x 2 ] f [x 1, x 2, x 3 ] (62) x 2 f [x 2 ] f [x 2, x 3 ] (63) x 3 f [x 3 ] (64) Zauważmy, że wartości w pierwszym wierszu będą szukanymi współczynnikami. 6

7 f [, x 1, x 2, x 3 ] = f [x 1, x 2, x 3 ] f [, x 1, x 2 ] x 3 (65) Przykład 2. Dla poprzedniego przykładu f [, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [, x 1 ] x 2 (66) f [x 1, x 2, x 3 ] = f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2 ] x 3 x 1 (67) (68) Wzór interpolacyjny Lagrange a Chcemy wyrazić wielomian w postaci sumy iloczynów wartości y i w węzłach i funkcji niezależnej od wartości y i, a więc wielomian ma zależeć liniowo of wartości y i w węzłach. Możemy to zrobić następująco n W (x) = y i L i (x) (69) i=0 gdzie L i (x) - wielomiany Lagrange a. Każdy wielomian Lagrange a jest stopnia n. L i (x) = nk=0 i k nk=0 i k x x k x i x k = n k=0 i k x x k x i x k. (70) Możemy zauważyć, że zachodzi L i (x k ) = δ ik = { 1 dla i = k 0 dla i k. (71) Przykład: Dla dwóch punktów: A (, y 0 ), B (x 1, y 1 ) wielomian stopnia maksymalnie pierwszego: W (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) (72) W (x) = y 0 x x 1 x 1 + y 1 x. (73) Można sprawdzić, że rzeczywiście W ( ) = y 0 oraz W (x 1 ) = y 1. 7

8 Przykład 3. Dla przykładu z wielomianem Newtona znaleźć wielomian Lagrange a oraz na jego podstawie wartość wielomianu dla x = 1. (x 1) (x 3) (x 5) W 3 (x) = 3 ( 1 1) ( 1 3) ( 1 5) + ( 1) (x + 1) (x 3) (x 5) (1 + 1) (1 3) (1 5) (x + 1) (x 1) (x 5) + 1) (x 1) (x 3) (x (3 + 1) (3 1) (3 5) (5 + 1) (5 1) (5 3) (74) (75) Oszacowanie błędu dla punktów, które nie są punktami węzłowymi. Twierdzenie 1.5. Jeśli funkcja f jest (n + 1) krotnie różniczkowalna, to dla każdego x istnieje ξ z najmniejszego przedziału I [,..., x n, x], który zawiera wszystkie x i i x, taka, że f ( x) W 01...n ( x) = ω ( x) f (n+1) (ξ) (76) (n + 1)! przy czym ω (x) = (x ) (x x 1 )... (x x n ). Zauważmy, że jeśli x jest węzłem, to otrzymujemy ograniczenie równe 0, czyli dokładną wartość. Przykład 4. f (x) = sin x (77) x i = π 10 i (78) gdzie i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, n = 5. sin x W (x) = (x ) (x x 1 )... (x x 5 ) sin ξ 720 (79) gdzie ξ = ξ(x), = sin x W (x) (x x ω (x) 0) (x x 1 )... (x x 5 ) = 720 (80) co wynika z ograniczenia wartości dla funkcji sin do 1. Zauważmy, że ω(x) wzrasta bardzo szybko poza przedziałem I[,..., x n ]. Możemy sprawdzić jak będzie dobrane ξ np. gdy x = π/20. Najmniejszy przedział zawierający wszystkie węzły i π/20 to jest [0, π/2], w tym przedziale funkcja sin maksymalną wartość przyjmuje dla x = π/2, gdzie wartość funkcji wynosi 1, a więc błąd względny będzie ograniczony przez ω (x) = = (81) 720 Zbieżność. Mamy funkcję f określoną na przedziale [a, b] i dowolnie wiele razy różniczkowalną. Dla każdego podziału przedziału = {a = < x 1 <... < x n = b} 8

9 istnieje wielomian interpolacyjny P Π n taki, że P (x i ) = f i dla x i. Ciąg m podziałów przedziału { m = a = x (m) 0 < x (m) } 1 <... < x (m) n m (82) implikuje ciąg wielomianów interpolacyjnych P m. Zbieżność maksymalnej odległości między węzłami nie wystarcza do tego aby wielomiany P m były zbieżne do funkcji f. Twierdzenie 1.6. Dla każdego ciągu podziałów m przedziału [a, b] można znaleźć funkcję f ciągłą na [a, b], taką, że wielomiany P m dla m nie są zbieżne jednostajnie do f(x). Dla przypomnienia zbieżność jednostajna ciągu funkcji {f n } do f jest zdefiniowana jako lim sup { f n (x) f (x) : x D} = 0 (83) n Zbieżność punktowa ciągu funkcji {f n } do f jest zdefiniowana jako lim f n (x) = f (x) (84) n dla każdego x D. Zachodzi, że każdy ciąg zbieżny jednostajnie jest zbieżny punktowo do tej samej funkcji. Dla niecałkowitych funkcji równoodległy podział przedziału x (m) i = a + i b a m dla i = 0,..., m nie gwarantuje punktowej zbieżności dla niecałkowitych funkcji. Przykład: (85) Przykład 5. na przedziale [a, b] = [ 5, 5], lub na przedziale [a, b] = [0, 1]. f (x) = x 2 (86) f (x) = x (87) Zjawisko Rungego Czasami zwiększenie liczbę węzłów prowadzi do pogorszenia wyników interpolacji. Dokonać interpolacji funkcji y = x (88) na przedziale 1, 1, dla n = 2, 4, 10 dla węzłów równoodległych, pierwszy punkt = 1. Odpowiedź: dla n = 2, krok h = 1 W 2 (x) = x 2 (89) 9

10 Dla n = 4, krok h = 1/2 W 4 (x) = 4 3 x x2 (90) Dla n = 10, krok h = 1/5 W 10 (x) = x x x x x2 (91) Sprawdzić wartość wielomianu dla 0.9, prawidłowa wartość 0.9, W 2 (x) = 0.81, błąd bezwzględny 0.09, W 4 (x) = , błąd bezwględny , W 10 (x) = Można poprawić wyniki interpolacji wybierając optymalnie węzły do interpolacji. Można np. wybrać węzły Czebyszewa, które dla przedziału [ 1, 1] są zdefiniowane następująco. Mamy wielomiany Czebyszewa T 0 (x) = 1 (92) T 1 (x) = x (93) T n (x) = 2xT n 1 (x) T n 2 (x) (94) dla n 2. Przykładowo Pierwiastki: 1/ 2, 1/ 2. Pierwiastki: 0, 3/2, 3/2. T 2 (x) = 2x 2 1 (95) T 3 (x) = 4x 3 3x (96) T 4 (x) = 8x 4 8x (97) T 5 (x) = 16x 5 20x 3 + 5x (98) T 6 (x) = 32x 6 48x x 2 1 (99) Wybieramy węzły, które są zerami wielomianu Czebyszewa T n+1. Węzły mogą być obliczone ze wzoru (2i + 1) π x i = cos (100) 2n + 2 dla i = 0,..., n, i przedziału [ 1, 1]. Dla węzłów Czebyszewa otrzymamy dla poprzedniego przykładu W 2 (x) = 2x2 3 (101) Obliczenie interpolacji na wolframalpha, interpolating+polynomial+{0%2c0}%2c{-sqrt%283%29%2f2%2csqrt%283%29%2f2}%2c{sqrt% 283%29%2F2%2Csqrt%283%29%2F2}. Wartość dla 0.9 wynosi 0.94, błąd bezwzględny

11 1.2 Interpolacja przedziałowa (interpolacja za pomocą funkcji sklejających) Interpoluje się części funkcji, najczęściej wielomianem stopnia trzeciego. Jeśli kawałki interpolujemy funkcjami liniowymi, to funkcja interpolująca ma "kanty".przykład: interpolacja kawałków wielomianami drugiego stopnia. Wariant pierwszy. Funkcję dzielimy na kawałki w ten sposób, że do każdego kawałka należą dokładnie 3 punkty, w tym 2 punkty na końcach. Wtenczas funkcja sklejająca w każdym kawałku może być wyznaczona z układu równań: W i (x 1 ) = y 1 (102) W i (x 2 ) = y 2 (103) W i (x 3 ) = y 3 (104) Wadą tego wariantu jest to, że na łączeniach funkcji sklejających pojawiają się "kanty". Wariant drugi. Funkcję dzielimy na kawałki w ten sposób, że do kawałka należą dokładnie 2 punkty leżące na końcach przedziału. Zakładamy, że mamy dany kawałek po lewej stronie określony następująco: Mamy znaleźć kawałek: W 0 (x) = a 0 x 2 + b 0 x + c 0 (105) W 1 (x) = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 (106) A zatem a 0, b 0, c 0 są znane, szukane a 1, b 1, c 1. Dwa pierwsze warunki wynikają z warunku interpolacji. W 1 (x 1 ) = y 1 (107) W 1 (x 2 ) = y 2 (108) Konieczny jest jeszcze jeden warunek, ponieważ liczba zmiennych wynosi 3. Zapewnienie gładkiego przejścia pomiędzy przedziałami => pochodna lewa i prawa w każdym punkcie powinny być równe W 0 (x 1 ) = W 1 (x 1 ) (109) A zatem mamy 3 równania oraz 3 niewiadome. Rozwiązując układ równań wyznaczymy niewiadome. Warunki na przedziałach krańcowych: Na przedziale ostatnim mamy 3 warunki wynikające z powyższego algorytmu, więc nie ma konieczności osobnego rozpatrywania tego przedziału, natomiast na przedziale pierwszym nie możemy zastosować warunku (109), bo nie ma lewego przedziału, dlatego stosujemy np. warunek: S ( ) = 0, oznaczający łagodne rozpoczęcie funkcji interpolującej w tym punkcie lub możemy obliczyć pierwszą funkcję dla pierwszych 3 punktów. Dla sześciennych funkcji sklejających możemy rozważać wariant, w którym w każdym przedziale znajdują się 3 punkty, w tym 2 punkty na końcach przedziału. Wtedy wyznaczanie funkcji sklejających przebiega podobnie jak w wariancie drugim dla kwadratowych funkcji sklejających. 11

12 Dokonać interpolacji funkcjami kwadratowymi z gładkimi przejściami dla wcześniejszego przykładu. Odpowiedź: 1.3 Interpolacja dla liczb zespolonych W 0 (x) = x 2 2x + 2, (110) W 1 (x) = 7x 2 18x (111) Interpolacja w liczbach zespolonych. Mamy węzły rzeczywiste, x 1. Definiujemy wartości zespolone np. wg funkcji v(x) = 5x + x 2 i. Wyświetlić część rzeczywistą i urojoną na wykresie. Jak wykonać interpolację? Możemy wziąść pod uwagę dwie osobne interpolacje, dla każdego węzła obliczamy część rzeczywistą wartości zespolonej, następnie wykonujemy interpolację dla punktów (, Rv( )), (x 1, Rv(x 1 )). Następnie dla każdego węzła obliczamy część urojoną wartości zespolonej i wykonujemy interpolację dla punktów (, Iv( )), (x 1, Iv(x 1 )). 1.4 Ekstrapolacja Przewidywanie wartości poza wyznaczonym przedziałem I[, x 1,..., x n ]. Jak zamienić problem ekstrapolacji na problem interpolacji w wyznaczonym przedziale? Gdy mamy dany problem ekstrapolacji gdy węzły są liczbami zespolonymi, to to zamiast wykonywać interpolację dla węzła zespolonego z, wykonujemy interpolację dla węzła 1/z. Gdy z = a + bi (112) to 1 z = a a 2 + b 2 ib a 2 + b 2 (113) Operacja ta wymienia część poza okręgiem jednostkowym z częścią wewnątrz okręgu jednostkowego. Zauważmy, że gdy a 2 +b 2 = 1, to transformacja ta nic nie zmienia. Przykład. Wykonać ekstrapolację dla dwóch podanych punktów ( 1 2i, 4), (2 + 3i, 1), dla wartości 3+4i. Wartość 3+4i wykracza poza prostokąt wyznaczony przez dwa dane punkty, więc mamy do czynienia z ekstrapolacją. Konstruujemy punkty 1/z, ( 1/5 + 2/5i), (2/13 3/13i). Dla poszukiwanego punktu mamy 3/25 4/25i. Uzyskaliśmy problem interpolacji, po interpolacji dla części rzeczywistej i urojonej należy obliczyć z powrotem 1/z. Zauważmy, że punkty początkowe są tak dobrane, że w jednym z nich mamy wartości ujemne, gdyby nie były ujemne mógłby być problem z uzyskaniem interpolacji. 2 Dodatki 2.1 Interpolacja wielomianowa Wyprowadzenie wzoru na interpolację liniową dla dwóch punktów Układ równań y 0 = a + b (114) 12

13 Rozwiązanie tego układu równań: 3 Zadania 3.1 Zadania na 3.0 y 1 = ax 1 + b (115) a = y 0 b (116) y 1 = x 1 (y 0 b) + b (117) y 1 = y 0x 1 bx 1 + b (118) ( b 1 x ) 1 = y 1 y 0x 1 (119) a = b = y 1 y 0x 1 1 x (120) 1 b = y 1 y 0 x 1 x 1 (121) b = y 1 y 0 x 1 x 1 (122) a = y 0 y 1 y 0 x 1 x 1 (123) y 0 y 0 x 1 y 1 +y 0 x 1 x 1 (124) a = y 0 y 1 ( x 1 ) (125) a = y 0 y 1 x 1 (126) Wyznaczyć wielomian interpolacyjny Newtona i Lagrange a oraz w postaci ogólnej dla punktów: dla grup 1,2, Wskazówki dla grup 3 i 4, ( 2, 1), (0, 1), (1, 0), (3, 2), (5, 0) (127) (1, 2), (2, 1), (3, 1), (5, 0), (6, 1). (128) Naszkicować wykres wielomianu wraz z punktami. Do naszkicowania wykresu można wykorzystać wolframalpha.com. 13

14 3.2 Zadania na 4.0 Pokazać istnienie efektu Rungego w interpolacji wielomianowej, to znaczy znaleźć wartość wielomianu interpolacyjnego dla odpowiednio dobranego punktu dla wielomianów stopnia 2, 3, 4 dla funkcji: dla grup 1 i 2 na przedziale ( 1, 1). Dla grupy 3 na przedziale ( 1, 1). Dla grupy 4 y = x 2 (129) y = x (130) y = 1 x (131) na przedziale ( 1, 1). Naszkicować wykres z powyższą funkcją, wielomianami interpolacyjnymi oraz wybranym punktem. Zastosować węzły Czebyszewa do pokazania, że zapobiegają one efektowi Rungego dla wielomianów stopnia 2, 3, 4 dla wybranego wcześniej punktu. Znaleźć wielomian interpolacyjny Newtona za pomocą tablicy ilorazów różnicowych dla punktów z zadania na Zadania na 5.0 Dokonać interpolacji przedziałowej z 3 przedziałami, dla pierwszego przedziału wybierane są 3 punkty, wielomianami stopnia 2 tak aby funkcja interpolująca była różniczkowalna dla funkcji: dla grup 1 i 2 na przedziale ( 1, 1). Dla grupy 3 na przedziale ( 1, 1). Dla grupy 4 y = x 2 (132) y = x (133) y = 1 x (134) na przedziale ( 1, 1). Naszkicować wykres z powyższą funkcją, wielomianami interpolacyjnymi oraz wybranym punktem. 14