T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

Transkrypt

1 T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla każdego ɛ > 0 X jest zawarta w skończonej sumie kul o promieniu ɛ. Definicja. (X, d) jest metrycznie zwarta jeśli jest ca lkowicie ograniczona i zupe lna. Definicja 3. (X, d) jest ci agowo zwarta gdy każdy ci ag zawiera podci ag zbieżny. Definicja 4. Przez rodzinȩ scentrowan a rozumiemy rodzinȩ domkniȩtych podzbiorów {F α : α A} przestrzeni X takich, że każdy uk lad skończony {F α1, F α,..., F αk } ma przekrój niepusty. Na przyk lad każdy zstȩpuj acy ci ag (F n ) niepustych zbiorów domkniȩtych jest rodzin a scentrowan a. Definicja 5. Pokryciem (otwartym) nazywamy rodzinȩ zbiorów otwartych {U α : α A} tak a, że α U α = X. Definicja 6. (X, d) jest toplogicznie zwarta jeśli każde pokrycie zawiera pokrycie (czyli tzw. podpokrycie) skończone. Definicja 7. (X, d) jest przeliczalnie zwarta jeśli każde pokrycie przeliczalne zawiera podpokrycie skończone. Definicja 8. (X, d) jest uniwersalnie zupe lna jeśli każda przestrzeń homeomorficzna z (X, d) jest zupe lna. Definicja 9. (X, d) ma w lasność Lindelöfa jeśli każde pokrycie zawiera podpokrycie przeliczalne. T W I E R D Z E N I A Twierdzenie 0. Ci ag ly obraz zbioru ci agowo zwartego jest ci agowo zwarty. Twierdzenie 1. Metryczna i ci agowa zwartość s a równoważne. Twierdzenie. Przestrzeń metrycznie zwarta jest ograniczona, ośrodkowa, uniwersalnie zupe lna. Twierdzenie 3. Przestrzeń metryczna (X, d) uniwersalnie zupe lna jest metrycznie zwarta. Twierdzenie 4. Przestrzeń jest topologicznie zwarta wtedy i tylko wtedy gdy każda rodzina scentrowana ma przekrój niepusty. Twierdzenie 5. Przestrzeń metryczna, w której każdy zstȩpuj acy ci ag niepustych zbiorów domkniȩtych ma przekrój niepusty (w szczególności jest tak gdy każda rodzina scentrownana ma przekrój niepusty), jest metrycznie zwarta. Twierdzenie 6. Każda przestrzeń metryczna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy gdy ma w lasność Lindelöfa. Twierdzenie 7. Przestrzeń metrycznie zwarta jest przeliczalnie zwarta.

2 WNIOSEK, Twierdzenie 8. Dla przestrzeni metrycznej (X, d) NWSR 1) metryczna zwartość, ) ci agowa zwartość, 3) uniwersalna zupe lność. 4) topologiczna zwartość, 5) warunek, że każda rodzina scentrowana ma przekrój niepusty, 6) warunek, że każdy zstȩpuj acy ci ag niepustych zbiorów domkniȩtych ma przekrój niepusty, 7) przeliczalna zwartość, DOWODY: Dowód Tw 0. Niech f : X Y bȩdzie ci ag la, a X zwarta. Weźmy dowolny ci ag (y n ) w obrazie f(x). Mamy y n = f(x n ) dla odpowiednio dobranych punktów x n X. Jeśli teraz (x nk ) jest podci agiem zbieżnym do pewnego x X (a istnieje taki ze zwartości ci agowej X), to (f(x nk )) jest ci agiem zbieżnym do f(x) (z ci ag lości funkcji f). Ale to jest ci ag (y nk ), czyli podci ag ci agu (y n ) i zbiega do elementu zbioru f(x). Czyli f(x) jest ci agowo zwarta. Dowód Tw 1. Niech (X, d) bȩdzie ci agowo zwarta i niech (x n ) bȩdzie ci agiem podstawowym. Ponieważ (z ci agowej zwarości) ma on podci ag zbieżny, sam jest zbieżny (do tej samej granicy to jest w lasność ci agów podstawowych). Zatem (X, d) jest zupe lna. Za lóżmy, że X nie jest ca lkowicie ograniczona. Wtedy istnieje ɛ > 0 taki, że żaden skończony uk lad kul o promieniu ɛ nie pokrywa X. Wtedy bior ac indukcyjnie za x n+1 punkt spoza sumy kul wokó l punktów x 1, x,..., x n konstruujemy ci ag punktów, w ktorym każde dwa elementy s a w odleg lości co najmniej ɛ. Taki ci ag nie ma podci agu podstawowego, co przeczy ci agowej zwartości. Zatem wykazaliśmy, że X jest ca lkowicie ograniczona. Teraz na odwrót. Niech X bȩdzie ca lkowicie ograniczona i zupe lna i weźmy dowolny ci ag (x n ). Ustalamy ci ag ɛ n malej acy do zera. Jedna ze skończenie wielu kul o promieniu ɛ 1 pokrywajcych X zawiera nieskończenie wiele wyrazów ci agu (x n ), a wiec podci ag (x nk ). Pierwszy wyraz tego ci agu bȩdzie pierwszym wyrazem y 1 przysz lego podci agu zbieżnego ci agu (x n ). Dalej, jedna ze skończenie wielu kul o promieniu ɛ zawiera nieskończenie wiele wyrazów ci agu (x nk ), a wiec podci ag (x nki ). Drugi wyraz tego ci agu bȩdzie naszym y (dlatego drugi, że pierwszy może mieć ten sam indeks w ci agu (x n ) co y 1, natomiast drugi z pewności a bȩdzie mieć indeks wyższy). I tak dalej, skonstruujemy ci ag y n bȩd acy podci agiem ci agu (x n ) o tej w lasności, że wyrazy od n-tego wzwyż s a w jednej kuli o promieniu ɛ n. Taki ci ag jest oczywiście podstawowy, a z zupe lności zbieżny. Dowód Tw. Ograniczoność wynika z tego, że skończenie wiele kul o promieniu ɛ, powiedzmy K(x 1, ɛ),..., K(x n, ɛ) zawieraj a siȩ w kuli o promieniu ɛ + M wokó l punktu x 1, gdzie M = max{d(x 1, x i ), i =,..., n}. Ośrodkowość: ośrodkiem jest zbiór środków kul pokrywaj acych o promieniach ɛ n, gdzie (ɛ n ) jest pewnym ci agiem zbieżnym do zera. Uniwersalna zupe lność wynika z Twierdzeń 0 i 1. Dowód Tw 3. Najpierw definicje pomocnicze: funkcja f : X X [0, ) nazywa siȩ funkcj a kosztów przejazdu jeśli f(x, y) = f(y, x) i f(x, x) = 0. Maj ac funkcjȩ kosztów przejazdu f definiujemy,,metrykȩ najtańszego po l aczenia wzorem d f (x, y) = inf{f(x 0, x 1 ) + f(x 1, x ) + + f(x n 1, x n )} po wszystkich skończonych uk ladach punktów x 0, x 1,..., x n takich, że x 0 = x i x n = y. Latwo sprawdza siȩ, że jest to pesudometryka (spe lnia wszystkie aksjomaty

3 metryki oprócz tego, że d f (x, y) = 0 = x = y). Oczywiście d f (x, y) f(x, y) (f(x, y) reprezentuje,,po l aczenie bezpośrednie ). W sytuacji Tw. 3 weźmy przestrzeń niezwart a i w niej ci ag (x n ) nie maj acy podci agu zbieżnego. Wybieraj ac podci ag można uzyskać ci ag (x n ) różnowartościowy (czyli o wyrazach parami różnych). Zadajemy funkcjȩ kosztu { d(x, y), gdy przynajmniej jeden z punktów x, y nie należy do cia,gu (xn ) f(x, y) = min{d(x, y), 1 n 1 m }, gdy x = x n, y = y m. (Interpretacja: punkty x n to,,lotniska, ceny przelotów z lotniska x n do lotniska x m s a takie jak odleg lości w ci agu 1 n. Z punku x do y możemy jechać,,po l adzie, albo korzystać z po l aczeń lotniczych, ale wtedy trzeba dojechać l adem do jakiegoś lotniska). Widać, że f(x, y) d(x, y), zatem d f (x, y) d(x, y), z czego wynika natychmiast, że zbieżność w d implikuje zbieżność w d f. Pokażemy, że jest też na odwrót. W tym celu wprowadzamy oznaczenie { min{d(x, xn ) : n 1} gdy x nie jest wyrazem cia,gu (x n ) r(x) = min{ 1 n+1, d(x n, x m ) : m n} gdy x = x n. Jest istotne, że dla każdego x, r(x) > 0. (Liczba ta interpretuje siȩ jako odleg lość (w nowej metryce) do najbliższego (innego niż x) lotniska). Nietrudno zauważyć, że dla każdego x i y mamy d f (x, y) min{d(x, y), r(x)} (najtańsze po l aczenie, jeśli nie jest,,po l adzie, to albo zawiera dojazd do najbliższego lotniska, albo, jeśli już jesteśmy na lotnisku najtańszy przelot do innego lotniska). Zatem jeśli d f (x, y) < r(x) to d f (x, y) = d(x, y). Z tego natychmiast wynika, że jeśli y n x w d f to y n x również w d. Zatem metryki d i d f s a równoważne i (X, d) oraz (X, d f ) s a homeomorficzne poprzez identyczność. Ostatnia rzecz, to spostrzeżenie, że ci ag (x n ) jest podstawowy w metryce d f (dla n m, d f (x n, x m ) 1 n ) ale nie jest zbieżny (bo nie by l zbieżny w równoważnej metryce d). Zatem (X, d f ) nie jest zupe lna. Dowód Tw 4. Niech F = {F α : α A} bȩdzie rodzin a zbiorów domkniȩtych o pustym przekroju. Wtedy U α = Fα c jest pokryciem. Z za lożenia o topologicznej zwartości istnieje podpokrycie skończone {U αi : i = 1,,..., n}. Wtedy przekrój skończony n i=1 F α i jest pusty, czyli rodzina F nie jest scentrowana. A zatem rodziny scentrowane maj a przekrój niepusty. Na odwrót. Niech U = {U α : α A} bȩdzie pokryciem nie posiadaj acym podpokrycia skończonego. Wtedy F = {F α : α A}, gdzie F α = Uα, c jest rodzin a scentrowan a o przekroju pustym. Dowód Tw 5. Niech X posiada w lasność, że każdy zstȩpuj acy ci ag niepustych zbiorów ma przekrój niepusty. Pokażemy ci agow a zwartość. Przypuśćmy, że (x n ) jest ci agiem bez podci agów zbieżnych. Znowu możemy za lożyć, że jest to ci ag różnowartościowy. Wtedy zbiory F n = {x n, x n+1,... } s a niepuste, zstȩpuj ace, domkniȩte (gdyby w domkniȩciu dochodzi l jakiś punkt, to by lby on granic a podci agu) i maj a przekrój pusty. Sprzeczność. Dowód Tw 6. Jeśli (X, d) jest metryczna i ośrodkowa, o ośrodku {x n : n N}, to rodzina kul K = {K(x n, 1 k ) : n, k N} jest przeliczalna. Nietrudno pokazać (z gȩstości ośrodka i elementarnych nierówności trójk ata), że jeśli U jest zbiorem otwartym i x U to istnieje K K taka, że x K U. Jeśli U jest pokryciem, to najpierw dla każdego x X wybieramy jakiś U x U taki, że x U x, a nastȩpnie wybieramy kulȩ K x K tak a, że x K x U x. Rodzina kul K 0 = {K x : x X} jest co prawda indeksowana zbiorem być może nieprzeliczalnym (x X), ale de 3

4 4 facto jest to podrodzina rodziny K, a wiec jako zbiór jest przeliczalna (wyrazy K x dla różnych x mog a siȩ powtarzać). Wystraczy teraz dla każdej kuli K K 0 wybrać jedn a jej postać jako K x(k), wtedy wybrane indexy x(k) stanowi a zbiór przeliczalny i rodzina {U xk : K K 0 } jest podpokryciem przeliczalnym (bo dla dowolnego x X mamy x K x = K x(k) U x(k) ). Czyli mamy w lasność Lindelöfa. Na odwrót: jeśli (X, d) ma w lasność Lindelöfa, to dla każdego n N bierzemy pokrycie wszystkimi kulami o promieniu 1 n, z niego wybieramy podpokrycie przeliczalne {K n,i ) : i N}. Zbiór wszystkich środków tak wybranych kul (oznaczmy go przez {x n,i : n N, i N}) jest, jak latwo widać, przeliczlnym zbiorem gȩstym, czyli ośrodkiem. Dowód Tw 7. Weźmy pokrycie przeliczalne U = {U n : n N}, które nie ma podpokrycia skończonego. Gdyby dla pewnego n 0 wszystkie,,uroz l acznienia n 1 V n = U n \ z n n 0 by ly puste oznacza loby to, że suma do n 0 1 jest ca lym X, czyli że {U 1,..., U n0 1} jest pokryciem skończonym, a za lożyliśmy, że takiego nie ma. Zatem istnieje ci ag nieskończony indeksów n k takich, że V nk. Wybierzmy po jednym punkcie x k V nk. Z ciagowej zbieżności można (wybieraj ac jeszcze raz podci ag) za lożyć, że x k zbiega do jakiegoś x X. Istnieje n 0 takie, że x U n0 (bo zbiory U n pokrywaj a X). Wtedy x k U n0 dla dużych k. Ale dla dostatecznie dużego k, n k > n 0 i wtedy V nk jest roz l aczne z U n0 (z def. V n ). Sprzeczność, bo x k V nk i jednocześnie x k V n0. i=1 Dowód Tw 8. Wynika to wprost z poprzednich twierdzeń. W lasności funkcji ci ag lych. Niech f : X Y bȩdzie funkcj a ci ag l a, gdzie (X, d) jest zwarta, a (Y, e) dowolna metryczna. Wtedy 1) f(x) jest zwarty (to już wiemy); ) f jest jednostajnie ci ag la; 3) Jeśli f jest różnowartościowa to f : X f(x) jest homeomorfizmem. 4) Jeśli f n i f s a ci ag lymi funkcjami rzeczywistymi (czyli teraz zak ladamy, że (Y, e) = (R, )) i f n zbiegaj a monotonicznie do f w każdym punkcie x X, to zbieżność ta jest jednostajna. Dowody. ) Ustalmy ɛ > 0. Dla każdego x X istnieje δ = δ(x, ɛ ) > 0 taka, że Jeśli teraz d(x, z) < δ to U i d(x, y) < δ = e(f(x), f(y)) < ɛ. d(z, y) < δ = e(f(z), f(y)) < ɛ. Innymi s lowy δ(z, ɛ) δ(x, ɛ ) dla z w pewnej kuli K x = K(x, δ(x, ɛ ) ). Te kule pokrywaj a X, zatem ze zwartości istnieje pokrycie skończone {K xi : i = 1,..., n}. Niech δ(ɛ) = min{ δ(x i, ɛ ) : i = 1,,..., n}. Twierdzimy, że d(z, y) < δ(ɛ) = e(f(z), f(y)) < ɛ niezależnie od wyboru z i y. Faktycznie, istnieje x i taki, że z K xi. Wtedy δ(z, ɛ) δ(x i, ɛ ) δ(ɛ).

5 Zatem d(z, y) < δ(ɛ) implikuje d(z, y) δ(z, ɛ) a to rzeczywiście implikuje ż adan a nierówność e(f(z), f(y)) < ɛ. 3) Trzeba pokazać, że odwzorowanie odwrotne f 1 jest ci ag le na f(x). Niech y n y w f(x). Istniej a (jedyne) punkty x n i x takie, że y n = f(x n ) i y = f(x). Musimy pokazać, że x n x. Weźmy dowolny podci ag x nk. Ma on pod-podci ag x nki zbieżny do jakiegoś x. Z ci ag lości f, ci ag f(x nki ) = y nki zbiega do f(x ). Ale jako podci ag ci agu (y n ) zbiega on również do y. St ad y = f(x ) Z różnowartościowości funkcji f mamy x = x. Pokazaliśmy, że z każdego podci agu ci agu (x n ) można wybrać pod-podci ag zbieżny do x. To oznacza zbieżność ca lego ci agu (x n ) do x. 4) Ustalmy ɛ > 0. Niech F n = {x : f(x) f n (x) ɛ}. Oczywiście jest to zbiór domkniȩty. Ponieważ f n zbiegaj a monotonicznie do f, zbiory te malej a (czyli tworz a ci ag zstȩpuj acy). Ponieważ zbieżność funkcji zachodzi w każdym punkcie x, przekrój wszystkich zbiorów F n jest pusty. Zatem, ze zwartości, nie mog a wszystkie zbiory F n być niepuste. A to oznacza, że od pewnego n 0 funkcje f n s a od funkcji f oddalone mniej niż ɛ w metryce supremum. Czyli jest zbieżność jednostajna. 5 Tomasz Downarowicz