Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
|
|
- Paweł Kwiatkowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej (definicja jest dok ladnie taka sama) i rzeczywiście siȩ to robi jest szereg zastosowań przestrzeni metrycznych, gdzie metryki i zbiory s a dziwne my jednak skoncentrujemy siȩ na metryce euklidesowej na prostej, p laszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej. Definicja 1 Kul a (otwart a) o środku x i promieniu r > 0 nazywamy zbiór Zatem K(x, r) := {y : d(x, y) < r}. kula na prostej to odcinek otwarty K(x, r) = (x r, x + r); kula K(x, r) na p laszczyźnie (lub w C) to ko lo o środku x i promieniu r bez brzegu; kula K(x, r) w przestrzeni trójwymiarowej to kula (w sensie geometrii) o środku x i promieniu r. Definicja 2 Zbiór A jest otwarty jeśli wraz z każdym punktem zawiera pewn a kulȩ o środku w tym punkcie i dodatnim promieniu, tj. Przyk lady: x A r > 0 K(x, r) A. każdy odcinek otwarty na prostej (ale na p laszczyźnie odcinki nie s a otwarte); p laszczyzna, pó lp laszczyzna bez brzegu, ko lo bez brzegu, prostok at bez brzegu s a zbiorami otwartymi na p laszczyźnie (ale nie w przestrzeni trójwymiarowej); 1
2 walec bez brzegu, stożek bez podstawy i powierzchni bocznej, kula bez sfery j a ograniczaj acej s a otwarte w przestrzeni trójwymiarowej. Definicja 3 Punktem skupienia zbioru A nazywamy każdy taki punkt x, że każda kula o środku w tym punkcie (i dodatnim promieniu) zawiera inny niż x punkt należ acy do A, tj. r > 0 y x y a K(x, r). Przyk lady: 0 jest punktem skupienia zbiorów (0, 1), [0, 1), R, {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,... }, {z C : i z < 1}. (1, 1) jest punktem skupienia zbiorów: ko lo o środku (0, 0) i promieniu 2, prostok at o wierzcho lkach ( 2, 2), (2, 2), (2, 2), ( 2, 2). Definicja 4 Zbiorem domkniȩtym nazywamy zbiór który zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Przyk lady: zbiorami domkniȩtymi na prostej s a np.: zbiory skończone, odcinki domkniȩte, pó lproste domkniȩte, prosta; zbiorami domkniȩtymi na p laszczyznie s a np.: odcinek z końcami, prosta, pó lp laszczyzna z brzegiem, ca la p laszczyzna, zbiór pusty lub skończony. 2
3 Tablica 3.4 W lasności zbiorów otwartych i domkniȩtych (1) Zbiór A jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dope lnienie jest zbiorem domkniȩtym. (2) Suma teoriomnogościowa dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. (3) Przekrój skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. (4) Zbiór pusty jest zbiorem otwartym. (1 ) Zbiór A jest domkniȩty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dope lnienie jest zbiorem otwartym. (2 ) Przekrój dowolnej rodziny zbiorów domkniȩtych jest zbiorem domkniȩtym. (3 ) Suma teoriomnogościowa skończonej rodziny zbiorów domkniȩtych jest zbiorem domkniȩtym. (4 ) Zbiór pusty jest zbiorem domkniȩtym. 3
4 2. Zbiory zwarte W kombinatoryce znana jest tzw. zasada szufladkowa Dirichleta: Twierdzenie 5 (Zasada szufladkowa Dirichleta) Jeśli w lożymy do k, k N, szufladek n, n N, n > k kul to w którejś szufladce musieliśmy w lożyć conajmniej dwie kule. Oczywiście trudno jest takie twierdzenie przenieść na zbiory nieskończone w przestrzeni metrycznej. Ale s a zbiory nieskończone, w których jeśli wybierzemy nieskończony podzbiór A to bȩdzie istnia la kula o dowolnie ma lym promieniu zawieraj aca nieskończenie wiele elementów A. Definicja 6 Zbiór P R d (albo w dowolnej przestrzeni metrycznej) jest zwarty jeśli każdy jego podzbiór nieskończony A ma punkt skupienia należ acy do P. Oczywiście nie każdy zbiór jest zwarty: zbiór liczb naturalnych nie jest zwarty: wybierzmy jako A zbiór liczb parzystych, nie ma on punktów skupienia; zbiór (0, 1) nie jest zwarty, jego podzbiór {1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... } ma punkt skupienia 0 ale nie należy on do (0, 1). Dwa powyższe przyk lady pokazuj a dwa powody dla których zbiór w R d nie jest zwarty: nieograniczoność i niedomkniȩtość. Twierdzenie 7 Każdy zbiór zwarty jest ograniczony i domkniȩty. Okazuje sie, że implikacja odwrotna jest prawdziwa w R d. Twierdzenie 8 d-wymiarowa kostka domknieta w R d jest zwarta, w szczególności przedzia l domkniȩty, prostok at z brzegiem, prostopad lościan ze ścianami itp. s a zwarte. 4
5 Weżmy podzbiór domkniȩty A zbioru zwartego P, jesli U A jest nieskończonym podzbiorem to ze zwartości P ma punkt skupienia w P ale z domknietości ten punkt skupienia musi być w A zatem uzasadniliśmy, że A jest zwarty: Wniosek 9 (tw. Heine Borela) Podzbiór w R d jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony i domkniȩty. Wniosek 10 (tw. Bolzano-Weierstrassa) Każdy nieskończony i ograniczony podzbiór w R d ma punkt skupienia w R d. Aby udowodnić twierdzenie potrzebny jest interesuj acy sam w sobie lemat: Lemat 11 (Lemat Ascoliego) Zstȩpuj acy ci ag niepustych przedzia lów domkniȩtych ma niepust przekrój. Uwaga: Lemat Ascoliego ma duże znaczenie w teorii aproksymacji oznacza on bowiem, że jeśli aproksymujemy od góry ci agiem (b n ) nie rosn acym a od do lu ci agiem niemalej acym (a n ) i jeśli zawsze a n b n to istnieje liczba wiȩksza lub równa od wszystkich a n i mniejsza lub równa wszystkim b n. a wiȩc istnieje jakaś liczba któr a można traktować jako wartość aproksymowanej wielkości. Dowód: Niech (I n ), I n := [a n, b n ], jest zstȩpuj acym ci agiem niepustych przedzia lów domkniȩtych. Zatem ci ag (a n ) jest niemalej acy a ci ag (b n ) jest nierosn acy. Co wiȩcej ci ag (a n ) jest ograniczony z góry przez b 1, b 2 i dowolne b m : weźmy bowiem dowolne b m, wówczas: a n a n+m b n+m b m Definiujemy: x = sup{a n : n N}. Oczywiście x jest ograniczeniem górnym ci agu (a n ), ale ponieważ każde b m jest ograniczeniem górnym ci agu (a n ), to x b m i x jest ograniczeniem dolnym ci agu (b m ). St ad x należy do każdego odcinka I n. 5
6 Udowodnimy twierdzenie dla odcinka na prostej: Twierdzenie 12 Odcinek domkniȩty [0, 1] jest zwarty. Dowód: Weźmy dowolny podzbiór nieskończony A w I. Dzielimy odcinek I na dwie czȩśći: [0, 1/2], [1/2, 1] (nie s a roz l aczne!). Któraś z po lówek zawiera nieskończenie wiele elementów zbioru A. Tȩ po lówkȩ nazywamy I 1. Dzielimy teraz I 1 na dwie po lówki i któraś z nich znowu zawiera nieskończenie wiele elementów zbioru A. Nazywamy j a I 2 i tak dalej. Dostajemy ci ag zstȩpuj acy niepustych przedzia lów domkniȩtych I n. Z lematu Ascoliego istnieje punkt x należ acy do wszystkich tych przedzia lów. Weźmy teraz kulȩ K(x, r) o środku x i promieniu r > 0 tj. odcinek (x r, x + r). Ponieważ odcinek I n ma d lugość 1/2 n a x należy do tego odcinka wiȩc dla dostatecznie dużego n I n jest zawarty w rozpatrywanej kuli. Ale I n zawiera nieskończenie wiele elementów zbioru A wiȩc też kula K(x, r) zawiera nieskończenie wiele elementów zbioru A. Pokazalismy, że x jest punktem skupienia zbioru A, a x I. 6
7 3. Ci agi Ci ag to po prostu funkcja, której dziedzin a jest zbiór liczb naturalnych. Przyk lady: ci ag arytmetyczny, np.: ci ag geometryczny, np.: a n = 1 + 3n b n = 2 3 n. ci ag rekurencyjny, np. Fibonacciego: a 0 = 1, a 1 = 1, a n+2 = a n+1 + a n. W praktyce czȩsto pewien algorytm obliczania jakiejś wielkości produkuje ci ag kolejnych przybliżeń danej wielkości. Powstaje pytanie czy ta procedura jest poprawna. Aby by la poprawna musimy mieć pewność, że jeśli za lożymy sobie z góry jak aś dok ladność to po dostatecznie wielu krokach dostaniemy przybliżenie szukanej wielkości z za lożon a dok ladności a. Prowadzi to do definicji granicy ci agu (granic a naszego ci agu przybliżeń musi być szukana wielkość) oczywiście w praktyce ważne jest jeszcze oszacowanie b lȩdu pozwalaj ace zdecydować, któy wyraz ci agu jest przybliżeniem z szukan a dok ladności a i informacja o szybkości zbieżności (co pozwala oszacować nak lad obliczeniowy). Definicja 13 (granicy) Liczba g jest granica ci agu liczb (x n ) o ile tzn. w R lub C: ε > 0 N N n > N, n N d(x n, g) < ε. ε N N n > N, n N x n g < ε Oznaczenie: g = lim n x n. Ci ag maj acy granicȩ nazywamy zbieżnym. Ci ag nie zbieżny nazywamy rozbieżny. 7
8 Przyk lad: Szukamy rozwi azania równania: Procedura: cos x = x, x [0, π] x 0 = 0, x n+1 = cos(x n ), czy jest ona poprawna? w tym celu należa loby wiedzieć, czy lim n x n jest równe rowi azaniu. Odpowiedź brzmi TAK i wynika z tw. Banacha o kontrakcji, o którym bȩdziemy mówić poźniej. 8
9 Tablica 4.2 W lasności ci agów zbieżnych (1) Ci ag (x n ) n N w przestrzeni metrycznej X jest zbieżny do punktu x X wtedy i tylko wtedy, gdy każda kula K(x, r), r > 0, zawiera prawie wszystkie wyrazy ci agu (x n ) n N. (2) Zmiana skończenie wielu wyrazów ci agu nie wp lywa na jego zbieżność ani na wartość granicy. (3) Każdy ci ag ma co najwyżej jedn a granicȩ. (4) Każdy ci ag zbieżny jest ograniczony. (5) Punkt x jest punktem skupienia zbioru E w przestrzeni metrycznej X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ci ag (x n ) n N E taki, że x n x dla każdego n N oraz lim n x n = x. 9
10 Tablica 4.3 W lasności arytmetyczne i porz adkowe granic ci agów Niech (z n ) n N i (w n ) n N bȩd a zbieżnymi ci agami liczb zespolonych a c liczb a zespolon a. (1) lim n (z n + w n ) = lim n z n + lim n w n ; (2) lim n c z n = c lim n z n ; (3) lim n (c + z n ) = c + lim n z n ; (4) lim n z n w n = (lim n z n ) (lim n w n ); (5) jeśli z n 0, n = 0, 1,... i lim n z n 0, to lim n 1 1 lim n z n. (6) jeśli x n > 0, m N, to lim m x n = m lim x n. z n = Niech (x n ) n N, (y n ) n N bȩd a ci agami w R k a (α n ) n N bȩdzie ci agiem liczb rzeczywistych. (7) Ci ag (x n ) n N, x n := (ξ 1 n,..., ξ k n), jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla j = 1,..., k ci agi (ξ j n) n N s a zbieżne. Wówczas lim n x n = (lim n ξ 1 n,..., lim n ξ k n). (8) lim n (x n + y n ) = lim n x n + lim n y n ; (9) lim n x n, y n = lim n x n, lim n y n ; (10) lim n α n x n = (lim n α n ) (lim n x n ). (11) jeśli k = 1 oraz x n y n dla prawie wszystkich n N, to lim n x n lim n y n. 10
11 Przyk lady: granica ci agu sta lego x n = a. Hipoteza: lim x n = a. n Dla każdego ε > 0 i każdego n N: Granica ci agu 1/n. Hipoteza: d(x n, a) = x n a = a a = 0 < ε lim 1/n = 0. n Weźmy dowolny ε > 0. Z twierdzenia Eudoksosa istnieje N N takie, że 0 < 1/N < ε zatem dla n > N jest 1/n < 1/N wiȩc 0 < 1/n < ε, czyli 1/n 0 < ε Granica ci agu n p, p > 1. Hipoteza: Weźmy lim n Ze wzoru dwumianowego Newtona czyli Przenosz ac na druga stronȩ: n p = 1. x n := n p 1 > nx n < (1 + x n ) n = ( n p) n = p 1 + n( n p 1) < p 0 < n p 1 < p 1 n. 11
12 Z w lasności arytmetycznych granic ci agów i poprzedniego przyk ladu: ci ag p 1 jest zbieżny do zera. Wiȩc ci ag n p 1 jest wepchniȩty n miȩdzy dwa ci agi zbieżne do zera. Jeśli wiȩc prawie wszystkie wyrazy pierwszego i drugiego s a bliskie zeru to i pośredni ciag musi mieć tȩ w lasność. Uzyskaliśmy, że lim( n p 1) = 0 Zatem z w lasności arytmetycznych: lim n p = lim( n p 1) + lim 1 = = 1 Pomys l stosowany w ostatnim przyk ladzie powinien być sformalizowany: Twierdzenie 14 (twierdzenie o trzech ci agach) Jeśli x n y n z n dla n N oraz lim n = lim z n = x, n n to Przyk lad: Ci ag n 2 n + 3 n. Mamy: lim y n = x. n 3 n 3 n n 2 n + 3 n n 23 n = 3 n 2 Skrajne ci agi d aż a do 3 wiȩc z tw. o 3 ci agach pośredni też d aży do 3. Ci ag n n. Weźmy: x n = n n 1 > 0 Ze wzoru dwumianowego Newtona: ( ) n x 2 n < (x 2 n + 1) n = ( n n ) n = n. Zatem 0 < x n < 2n n(n 1) = 2 n 1. Latwo zobaczyć, że prawy skrajny ci ag d aży do zera. Zatem i pośredni d aży do zera i n n = 1. lim n 12
13 4. Ci agi monotoniczne i granice Twierdzenie 15 Ci ag niemalej acy liczb rzeczywistych (x n ) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z góry i wtedy lim x n = sup{x n : n n N}. Analogiczny wynik zachodzi dla ciagów nierosn acych i kresu dolnego. Dowód: Wiemy, że ci ag zbieżny musi być ograniczony wiȩc koniecznośc warunku wynika z tego. Dostateczność: Za lóżmy, że ci ag niemalej acy (x n ) jest ograniczony z góry zatem zbiór A := {x n : n N} jest ograniczony i ma kres górny x. Dla dowolnego ε > 0 liczba x ε jest mniejsza od najmniejszego ograniczenia górnego wiȩc nie jest ograniczeniem górnym zbioru A. Istnieje N N takie, że x ε < x N x. Dla każdego n > N zachodzi zatem x ε < x N x n x n > N x n x < ε W pliku granica ciagow w4.nb pokazane sa przyk lady wyliczania granic ci agów przy pomocy programu Mathematica. 13
Wyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.
T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoz n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1
3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoCiagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoWykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Bardziej szczegółowoTOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ,
TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, SPÓJNOŚĆ I POJȨCIA BLISKIE (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Abstract. Poniższe notatki do ćwiczeń zbieraj a podstawowe pojȩcia i stwierdzenia
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa
T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa Niech X i Y oznaczaj a przestrzenie topologiczne, zaś C(X,Y) bȩdzie zbiorem
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Stolza i metryki Javier de Lucas. a n = (2n + 1) 1 4 n 5 4
Twierdzenie Stolza i metryki Javier de Lucas Zadanie Zbadać zbieżność ci agu i znaleźć granicȩ: a n 4 + 3 4 + + (2n + ) 4 n 5 4 Rozwi azanie: Żeby obliczyć tak a granicȩ korzystamy z twierdzenia Stolza,
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoSzeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego
Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu jest rosnący. Wynika stąd natychmiast stwierdzenie: są dodatnie, ciąg jego sum
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoEgzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I
Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Czas na rozwiązanie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolno korzystać z notatek, kalkulatorów, telefonów, pomocy sąsiadów,
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych
T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych Definicja. Przez rodzinȩ skierowan a rozumiemy dowolny zbiór z porz adkiem czȩściowym (K, ), taki
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoW poszukiwaniu kszta ltów kulistych
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I
Analiza matematyczna I 1 Spis treści 1 Wstep. Ograniczenia i kresy zbiorów. 4 1.1 Oznaczenia..................................... 4 1.2 Zbiory liczbowe................................... 4 1.3 Kwantyfikatory...................................
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A
Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Szeregi
Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoRozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat
Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02
Scriptiones Geometrica Volumen I (2007), No. Z2, 1 3. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02 1. Odwzorowania w rzucie równoleg lym. Przekroje cd. Konstrukcje p laskie 1.1. Przekszat lcenia na p
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowo3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady
Rozdzia l 3 Model probabilistyczny Ko lmogorowa 3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady Przez model probabilistyczny Ko lmogorowa, zwany też przestrzeni a probabilistyczn a, bȩdziemy rozumieli nastȩpuj
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoZbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Bardziej szczegółowo1 Liczby rzeczywiste. 1.1 Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Liczby rzeczywiste. Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być:.
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowo