nie zależy (z dok ladności a do jednostajnego homeomorfizmu) od wyboru ci agu uzbieżniaj acego c n. 1 min{n : x n y n }.

Transkrypt

1 A N A L I Z A F U N K C J O N A L N A PPI 2r., sem. letni LISTY 5-9 LISTA 5 Wroc law, 14 marca - 25 kwietnia 2006 ZADANIE 1. Niech (X 1,d 1 ), (X 2,d 2 ), (X 3,d 3 ),... bȩdzie ci agiem przestrzeni metrycznych ograniczonych o średnicach nie przekraczaj acych 1. Sprawdź, że w produkcie X 1 X 2 X 3 metryka produktowa d((x n ),(y n )) = n c n d n (x n,y n ), (gdzie c n > 0, n c n ) nie zależy (z dok ladności a do jednostajnego homeomorfizmu) od wyboru ci agu uzbieżniaj acego c n. ZADANIE2. WprodukcieX 1 X 2 X 3 jakwzadaniupoprzednimwprowadźmy metrykȩ,,supremum : d((x n ),(y n )) = sup n {d n (x n,y n )}. Sprawdź, że ta metryka nie jest równoważna z metryk a produktow a. ZADANIE 3. W {0,1} mamy metrykȩ naturaln a d(0,1) = 1, d(0,0) = d(1,1) = 0 (czyli dystkretn a). Sprawdź, że w {0,1} N metryka produktowa jest jednostajnie równoważna z wprowadzon a wcześniej (zwart a) metryk a d((x n ),(y n )) = 1 min{n : x n y n }. ZADANIE 4. Skończony ci ag binarny B = (b 1,b 2,...,b n ) {0,1} n nazwiemy,,blokiem. Sprawdź, że w {0,1} N,,cylinder nad blokiem B, czyli zbiór {x {0,1} N : x 1 = b 1,x 2 = b 2,...,x n = b n } jest otwarty i domkniȩty w metryce produktowej. ZADANIE 5. W przestrzeni C 0 (R) funkcji ci ag lych na R i maj acych granice 0 w plus i minus nieskończoności rozważmy normȩ supremum. Wykaż, że otrzymamy ośrodkow a przestrzeń liniowo-metryczn a. ZADANIE 6. Sprawdź, że przestrzeń z poprzedniego zadania jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzeni a C([0, 1]) sk ladaj ac a siȩ z funkcji f takich, że f(0) = f(1) = 0. ZADANIE 7. Sprawdź, że przestrzeń liniowo-metryczna c ci agów zbieżnych z norm a supremum jest izometrycznie izomorficzna z przestrzeni a C(Ω) funkcji ci ag lych na Ω, gdzie Ω jest przestrzeni a zwart a sk ladaj ac a siȩ z zera i ci agu ( 1 n ).

2 ZADANIE 8. Jakie zachodz a inkluzje pomiȩdzy zbiorami ci agów tworz acymi przestrzenie c, c 0, l 1, l 2 i l (ci agi ograniczone)? ZADANIE9. Rozważmyprzestrzenie(c,d sup ), (c 0,d sup ), (l 1,d 1 ), (l 1,d sup ), (l 2,d 2 ), (l 1,d 2 ), (l 2,d sup ). i (l,d sup ). Które z nich s a zupe lne? Które z nich s a ośrodkowe? LISTY 6-9 ZADANIE 10. Udowodnij, że w przestrzeni liniowej C(R) nie można wprowadzić normy takiej, że zbieżność punktowa funkcji implikuje zbieżność w normie, ani takiej, że zbieżność w normie implikuje zbieżność jednostajn a. ZADANIE 11. Wykaż, że zbiór ci agów sumowalnych z modu lem i o sumie (bez modu lów) zero jest gȩsty w l 2, ale nie w l 1. ZADANIE 12. Wykaż, że klasa bȩd aca elementem przestrzeni L 1 (R) zawiera co najwyżej jedn a funkcjȩ ci ag l a. To samo dla L 2 (R). ZADANIE 13. Sprawdź zupe lność i ośrodkowość przestrzeni l p i L p (µ). Wskaż bazȩ w l p. ROZWIA ZANIEdot. zupe lnościl p (µ). Zgodnieztwierdzeniemzwyk ladu,wystarczy wykazać, że każdy szereg bezwzglȩdnie zbieżny jest zbieżny. A wiȩc za lóżmy, że dany ci ag (f n ) ma zbieżny szereg norm, to znaczy, że ci ag sum k f p jest zbieżny (po k) do jakiejś liczby M. Oczywiście zbieżność ta jest niemalej aca, wiȩc M jest wiȩksza równa od wszystkich takich sum. Mamy wykazać zbieżność w normie ci agu funkcji k g k = f n. Rozważmy funkcje pomocnicze h k = k f n. Z podaddytywności normy mamy, dla każdego k k h k p fn k p = f p M. Oczywiście funkcje h k tworz a niemaj acy ci ag funkcji nieujemnych, wiȩc maj a one w każdym punkcie granicȩ h (na razie jest to tylko granica punktowa i być może przyjmuj aca wartości nieskończone). Funkcje h p k zbiegaj a niemalej aco (w każdym punkcie) do h p. Można wiȩc stosować twierdzenie Lebesgue a o zbieżności monotonicznej, czyli h p dµ = lim h p k dµ. k

3 Naobiestronynak ladamypotȩgȩ 1 p ipoprawejstronie,zci ag lościfunkcjipotȩgowej, możemy z potȩg a można wejść pod granicȩ. Wyjdzie: h p = lim k h k p M. W ten sposób wykazaliśmy, że funkcja h należy do L p (µ), w szczególności funkcja ta jest skończona na zborze X miary pe lnej i ca lka z h p jest skończona. Funkcjȩ h p zastosujemy za chwilȩ jako majorantȩ w Twierdzeniu Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej. Wracamy do ci agu funkcji f n i ich sum czȩściowych g k. Przed wchwil a wykazaliśmy, że w każdym punkcie x zbioru X szereg f n(x) jest bezwzglȩdnie zbieżny, a wiȩc zbieżny (w R). Zatem na X funkcja graniczna f = f n jest dobrze zdefiniowana. Trzeba wykazać, że sumy skończone g k zbiegaj a do f w normie, tzn, że normy f g k p zbiegaj a po k do zera. Ale f g k to ogon szeregu, czyli trzeba wykazać, że funkcje n=k+1 f n zbiegaj a (po k) do zera w normie. Opuszczaja ac zewnȩtrzn a potȩgȩ (do 1 p ), mamy wykazać, że n=k+1 f n p dµ k 0 Pod ca lk a mamy ci ag funkcji nieujemnych zbieżny prawie wszȩdzie (na X ) do zera (w każdym punkcie s a to ogony szeregu zbieżnego). Wystarczy wiȩc wspólnie oszacować z góry wszystkie funkcje podca lkowe przez jedn a funkcjȩ nieujemn a o ca lce skończonej, aby zbieżność ca lek do zera wynika la z Tw. Lebesgue a. Mamy p ( p ( p f n f n ) f n ) = h p. n=k+1 n=k+1 Już wiemy, że h p ma ca lkȩ skończon a, wiȩc koniec dowodu. ZADANIE 14. Jakie zachodz a inkluzje pomiȩdzy zbiorami klas tworz acymi przestrzeniel 1 (R), L p (R)iL (R). Tosamopytaniedladziedziny[0,1]wmiejsceR(uwaga, bȩd a różnice!). ZADANIE 15. Czy ze zbieżności w L 1 wynika zbieżność prawie wszȩdzie? A na odwrót? ZADANIE 16. Podaj przyk lad ci agu funkcji na R zbieżnego w L 2 ale nie w L 1 oraz przeciwny przyk lad na [0, 1]. Czy s a przyk lady,w których zamienimy role R i [0, 1]? ZADANIE 17. Udowodnij, że normy równoważne s a zawsze lipshitzowsko równoważne. Wykaż, że w R n (lub C n ) wszystkie normy s a równoważne. ZADANIE 18. Czy prawd a jest, że jeśli za lożymy, że ci ag funkcji z L 1 L 2 zbiega do granicy należ acej do L 1 L 2, to zbieżność w normie L 1 jest równoważna ze zbieżności a w L 2. Czy to jest prawd a na R i [0,1]?

4 ZADANIE 19. Udowodnij, że w przestrzeni c 0 nie ma przeliczalnej bazy Hamela. ZADANIE 20. Podaj przyk lad przestrzeni o przeliczalnej bazie Hamela. Udowodnij, że w żadnej przestrzeni Banacha nie ma przeliczalnej bazy Hamela. ROZWIA ZANIE dot. przestrzeni Banacha. Niech B = {e 1,e 2,...} bȩdzie baz a Hamela w przestrzeni Banacha V. Od razu możemy za lożyć, że e n = 1 dla każdego n. Rozważmy podprzestrzenie V 0 = {0} i V n = Lin{e 1,e 2,...,e n } dla n 1. Ponieważ to s a przestrzenie skończenie-wymiarowe, to s a one domnkiȩte. Przypomnijmy, że odleg lość punktu od zbioru domkniȩtego, do którego ten punkt nie należy, jest liczb a dodatni a. Zdefiniujemy teraz ci ag (x n ), który tworzy szereg bezwzglȩdniezbieżnyaleniezbieżny. Niechx 1 = e 1. Niechǫ 0 = d(x 1,V 0 )(odleg lość punktu od zbioru domkniȩtego; w pierwszym kroku to jest akurat tyle samo co x 1 a to jest 1). Niech x 2 = ǫ0 3 e 2 Z niezależności zbioru {e 1,e 2 } wynika, że element x 1 +x 2 = e 1 + ǫ0 3 e 2 nie należy do V 1. Niech ǫ 1 = d(x 1 +x 2,V 1 ). Oczywiście ǫ 1 d(x 1 +x 2,x 1 ) = x 2 = ǫ0 3. I dalej indukcyjnie. Przypuśćmy, że dla i = 1,2,...,n zdefiniowaliśmy elementy x i w taki sposób, że odleg lość spe lnia (za lożenie indukcyjne) ǫ n 1 = d(x 1 +x 2 + +x n,v n 1 ) ǫ n 1 ǫ n 2 3. Niech x n+1 = ǫn 1 3 e n+1. Z niezależności zbioru {e 1,...,e n,e n+1 } wynika, że elementx 1 + +x n +x n+1 nienależydov n. Określmyǫ n = d(x 1 + +x n +x n+1,v n ) i zauważmy, że ǫ n d(x 1 + +x n +x n+1,x 1 + +x n ) = x n+1 = ǫ n 1 3, czyli, że za lożenie indukcyjne jest spe lnione dla n+1. W ten sposób skonstruowaliśmy ci ag x n (i liczby ǫ n ) o w lasności ǫ n ǫn 1 3 dla wszystklich n. Teraz zauważmy, że ci ag ǫ n tworzy szereg zbieżny, gdyż rekurencyjnie mamy ǫ n 1 3. Ale co najistotniejsze, mamy n również n=n 0+1 ǫ n ǫ n0 i=1 1 3 i = ǫ 1 n 0 2. Zatem ci ag x n tworzy szereg bezwzglȩdnie zbieżny, gdyż x n = ǫn 2 3 (dla n 2). Za lóżmy, że szereg ten jest zbieżny do pewnego x = x n. Z za lożenia o bazie Hamela, x musi należeć, do którejś podprzestrzeni V n0. Ale zauważmy, że odleg lość x 1 + +x n0 +x n0+1 od V n0 wynosi ǫ n0, zatem d(x,x 1 + +x n0 +x n0+1) nie może być mniejsza. Ale ta odleg lość to norma ogona szeregu n=n x 0+2 n, która nie przekracza ogona szeregu norm ǫ n3 n=n 0, a to nie przekracza ǫn ǫ 1 n 0 6 = ǫn 0 2. Sprzeczność. ZADANIE 21. Wskaż bazy topologiczne w c 0, c i l 2.

5 ZADANIE 22. Podaj przyk lad na to, że zbiór niezależny liniowo gȩsty nie musi być baz a topologiczn a (np. gdy jakiś element przestrzeni daje siȩ przybliżać kombinacjami liniowymi z tego zbioru, ale nie sumami czȩściowymi szeregu). Podaj inny przyk lad, gdzie nie ma jednoznaczności reprezentacji (na przyk lad dla zera). ZADANIE 23. Wykonaj rachunek pokazuj acy, że do sprawdzenia jednoznaczności przedstawienia wektora v jako szeregu w bazie B wystarczy to zrobić dla v = 0. ZADANIE 24. Wskaż bazȩ w przestrzeni funkcji ci ag lych na [0, 1] zeruj acych siȩ w ustalonym punkcie p. ZADANIE 26. W przestrzeni z iloczynem skalarnym wyprowadź warunek równoleg loboku: x+y 2 + x y 2 = 2 x 2 +2 y 2. ZADANIE 27. Przy za lożeniu warunku równoleg loboku wyprowadź wzór na iloczyn skalarny wyrażony wy l acznie za pomoc a normy. Sprawdź poprawność definicji. **************************************************************************** W zadaniach {e 1,e 2,...} jest uk ladem ortonormalnym w przestrzeni unitarnej V i x V. ZADANIE28. Sprawdź,żerzutortogonalnyx W napodprzestrzeńw = Lin{e 1,e 2,...,e n } jest jednoznaczny. ZADANIE 29. Sprawdź, że n x e i 2 x 2. i=1 ZADANIE 30. Niech x = n i=1 c ie i. Sprawdź, że x 2 = n i=1 c2 i. ZADANIE 31. Niech (c i ) l 2. Wykaż, że wtedy elementy x n = n i=1 c ie i tworz a ci ag podstawowy. ZADANIE 32. Wylicz, że jeśli istnieje granica x ci agu x n z poprzedniego zadania, to x 2 = c 2 i. i=1 **************************************************************************** ZADANIE33. Czywktórejśzprzestrzenic,c 0,l 1,l,L 1 (R),L (R),L 1 ([0,1]),L ([0,1]) da siȩ wprowadzić iloczyn skalarny zgodny z norm a?

6 ZADANIE 34. W przestrzeni L 2 (T) funkcji zespolonych ca lkowalnych z kwadratem modu lu na kole jednostkowym T = {z : z = 1}. iloczyn skalarny (zespolony) zadajemy wzorem f g = 1 2π f(z)g(z)dz. Udowodnij, żeuk ladfunkcji{γ n (z) = z n : n Z}jestbaz aortonormaln azespolonej przestrzeni Hilberta L 2 (T). ZADANIE 35. Czy L 2 ([0,1]) jest ośrodkow a przestrzeni a Hilberta? ZADANIE 36. Wykaż, że w przestrzeni Hilberta uk lad ortonormalny jest baz a wtedy i tylko wtedy gdy jedynym wektorem ortogonalnym do wszystkich wektorów bazy jest zero. ZADANIE 38. Wykaż, że każda rzeczywista ośrodkowa przestrzeń Hilberta jest izometrycznie izomorficzna z l 2. ZADANIE 39. Uk lad wielomianów 1,x,x 2,... jest liniowo niezależny w L 2 ([0,1]). Co otrzymamy po dokonaniu ortogonalizacji Gramma-Schmidta? Czy otrzymamy bazȩ? CZȨŚĆ ROZWIA ZANIA: Czȩści a rozwi azania jest wykazanie, że funkcje ci ag le leż a gȩsto w L 2 ([0,1]). Dan a funkcjȩ f L 2 ([0,1]) przybliżamy najpierw funkcj a ograniczon a. Uzyskujemytoobcinaj acf napoziomach M im: f M = min{ M,max{f,M}}. Ca lki f f M 2 dx zbiegaj a (przy M ) do zera, gdyż funkcje podca lkowe s a nieujemne i zbiegaj a punktowo do zera poniżej ca lkowalnej fukcji f 2. Nastȩpnie dowoln a funkcjȩ mierzaln a ograniczon a (np. f M ) można przybliżać jednostajnie funkcjami prostymi g n (to wiemy z teorii miary). Zbieżność jednostajna implikuje zbieżność w L 2 ([0,1]). Dalej, każda funkcja prosta g jest postaci k i=1 c i1 Ai, gdzie {A i } jest rozbiciem na zbiory mierzalne. Z regularności miary Lebesgue a, każdy ze zbiorów A i można przybliżyć z dok ladności a do ǫ kc i (w sensie miary) zawartym w nimzbioremdomkniȩtymf i izawieraj acymgozbioremotwartymu i. Ztwierdzenia Urysohnaistniejefunkcjaci ag laf i zeruj acasiȩpozazbioremu i irówna1naf i. Wtedy f i 1 Ai dx < ǫ kc i, a zatem, k lad ac f = k i=1 f i otrzymujemy g f dx < ǫ. W ten sposób przybliżyliśmy dowoln a funkcjȩ prost a funkcj a ci ag l a w L 1 ([0,1]), a ponieważ funkcja przybliżana i wszystkie przybliżaj ace funkcje s a wspólnie ograniczone, przybliżanie jest w L 2 ([0,1]). Koniec. ZADANIE 40. Niech f n = 2 1 [0, 1 2 n] [ 2 2 n, 3 2 n] [2n 1 2n,1] 1. Sprawdź, że uk lad {f n : n = 1,2,...} jest ortonormalny w L 2 ([0,1]). Czy jest on baz a? (Uk lad ten nazywa siȩ uk ladem Rademachera.)

7 ZADANIE 41. Sprawdź, że uk lad {sin(nx),cos(nx) : n = 1,2,...} jest baz a w L 2 ([ π,π]). CZȨŚĆROZWIA ZANIA:Gdzieśpodrodzetrzebapokazać,żewośrodkowejprzestrzeni Hilberta uk lad wektorów B = {v 1,v 2,...} ortonormalny i liniowo gȩsty jest baz a. To jest latwe. Wiemy, że rzut każdego wektora na przestrzeń domkniȩt a rozpiȩt a przez przeliczalny uk lad ortonormalny zapisuje siȩ jako szereg Fouriera nad tym uk ladem i jest to zapis jednoznaczny. Ale skoro lin(b) jest z za lożenia ca l a przestrzeni a, to rzut każdego wektora jest tymże wektorem. Czyli każdy wektor zapsiuje siȩ jednoznacznie jako szereg Fouriera nad B. Koniec. ZADANIE 42. Niech {x 1,x 2,...} bȩdzie uk ladem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta V rozpinaj acym podprzestrzeń w laściw a W i niech x V. Wykaż, że rzut ortogonalny x W = n x n x x n jest najbliższym x-owi punktem podprzestrzeni W i jest to jedyny tak bliski punkt. ZADANIE 43. Rozwiń funkcjȩ y = x na [ π,π] w szereg Fouriera w bazie {1,sinnx,cosnx,n = 1,2,...}. ZADANIE 44. Dlaczego można powiedzieć, że ucho ludzkie to miȩdzy innymi przyrz ad do rozwijania funkcji w szereg Fouriera? Tomasz Downarowicz