Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
|
|
- Wiktoria Czarnecka
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich wyrazach z P f = (f 0, f 1, f 2,...) (1) takich, że 0 = f k = f k+1 = f k+2 =... dla pewnego k N 0. Elementy zbioru P [x] nazywamy wielomianami zmiennej x o wspó lczynnikach z pierścienia P. Przyjmujemy umowe, że jeśli wielomian nazywa sie g, to g = (g 0, g 1,...), czyli g 0, g 1,... sa jego kolejnymi wspó lczynnikami. Przy tych oznaczeniach dla wielomianów f, g P [x] mamy f = g f i = g i dla każdego i = 0, 1, 2,... (2) Wielomian 0 = (0, 0,...) nazywamy zerowym, zaś 1 = (1, 0, 0,...) nazywamy jedynkowym. Jeżeli 0 = f 1 = f 2 =... to wielomian f nazywamy sta lym. Wyrazem wolnym wielomianu f postaci (1) jest wspó lczynnik f 0. Jeżeli f 0, to istnieje najwieksze n takie, że f n 0 i wówczas n nazywamy stopniem wielomianu f i piszemy st(f) = n, zaś f n nazywamy najstarszym wspó lczynnikiem tego wielomianu. Ponadto przyjmujemy, że st(0) = oraz < n dla n N 0 i ( ) + +n = ( ) + ( ) = dla n N 0. Suma wielomianów f, g P [x] nazywamy ciag f + g określony nastepuj aco: f + g = (f 0 + g 0, g 1 + f 1, f 2 + g 2,...). (3) Latwo wykazać, że dla dowolnych f, g P [x] mamy, że f + g P [x] oraz zachodzi wzór: st(f + g) max{st(f), st(g)}. (4) Jeżeli zaś st(f) < st(g), to oczywiście st(f + g) = st(g). Iloczynem wielomianów f, g P [x] nazywamy ciag f g określony wzorem: Zatem dla każdego n = 0, 1,... f g = (f 0 g 0, f 0 g 1 + f 1 g 0, f 0 g 2 + f 1 g 1 + f 2 g 0,...). (5) (f g) n = n f i g n i = f i g j. (6) i=0 i+j=n Zauważmy, że f g P [x]. Rzeczywiście, istnieja k, l N 0 takie, że f i = 0 dla wszystkich i > k oraz g j = 0 dla wszystkich j > l. Weźmy dowolne n > k + l oraz i, j N 0 takie, że i + j = n. 1
2 Jeśli i > k, to f i = 0, wiec f i g j = 0; jeśli zaś i k, to j = n i n k > k + l k = l, wiec g j = 0, czyli f i g j = 0. Stad dla n > k + l jest (f g) n = f i g j = 0 i f g P [x]. Jeżeli f i = 0 dla i = 1, 2,... to ze wzoru (5) mamy i+j=n (f 0, 0, 0,...) (g 0, g 1,...) = (f 0 g 0, f 0 g 1, f 0 g 2,...). (7) Jeżeli zaś f 1 = 1 oraz f i = 0 dla i = 0, 2, 3,... to ze wzoru (5) wynika, że (0, 1, 0, 0,...) (g 0, g 1,...) = (0, g 0, g 1,...). (8) Niech teraz f, g P [x] \ {0} i n = st(f), m = st(g). Wtedy z wcześniejszych wyliczeń mamy, że (f g) k = 0 dla wszystkich k > n + m. Stad i z (6) mamy f,g P [x] st(f g) st(f) + st(g). (9) Można udowodnić nastepuj ace twierdzenie: Twierdzenie 3.1. System algebraiczny (P [x], +,, 0, 1) tworzy pierścień. Ten pierścień nazywamy pierścieniem wielomianów zmiennej x o wspó lczynnikach z pierścienia P. Mówimy, że a P jest elementem regularnym pierścienia P, jeżeli dla dowolnego x P z tego, że a x = 0 wynika, że x = 0. Zauważmy, że każdy niezerowy element cia la K jest elementem regularnym. Natomiast 2 nie jest elementem regularnym pierścienia Z 6, bo 2 63 = 0. Pierścień P, w którym 0 1 i każdy niezerowy element jest regularny nazywamy dziedzina ca lkowitości. Przyk ladem dziedziny ca lkowitości, która nie jest cia lem jest pierścień liczb ca lkowitych Z. Stwierdzenie 3.2. Niech f, g P [x]\{0} bed a takie, że najstarszy wspó lczynnik wielomianu f lub najstarszy wspó lczynnik wielomianu g jest elementem regularnym pierścienia P. Wtedy st(f g) = st(f)+st(g) oraz najstarszy wspó lczynnik wielomianu f g jest iloczynem najstarszych wspó lczynników wielomianów f i g. Dowód. Oznaczmy n = st(f), m=st(g). Weźmy dowolne i, j N 0 takie, że i + j = n + m. Jeśli i < n, to j = n + m i > m, skad g j = 0 oraz f i g j = 0. Jeśli i > n, to f i = 0, wiec f i g j = 0. Zatem ze wzoru (5) mamy, że (f g) n+m = f n g m 0, bo f n 0, g m 0 oraz f n lub g m jest elementem regularnym. Stad ze wzoru (8) wynika teza naszego stwierdzenia. Wniosek 3.3. Jeżeli P jest dziedzina ca lkowitości, to st(f g) = st(f) + st(g) dla dowolnych f, g P [x]. Ze wzorów (3) i (6) wynika od razu, że dla dowolnych a, b P : (a, 0, 0,...) = (b, 0, 0,...) a = b, (a, 0, 0,...) + (b, 0, 0,...) = (a + b, 0, 0,...) 2
3 oraz (a, 0, 0,...) (b, 0, 0,...) = (a b, 0, 0,...). Z tego powodu można dokonać utożsamienia (a, 0, 0,...) a dla a P. (10) Przy takim utożsamieniu P P [x], a nawet P jest podpierścieniem pierścienia P [x]. Wprowadźmy teraz oznaczenie: x = (0, 1, 0, 0,...). (11) Wówczas ze wzoru (8) przez prosta indukcje uzyskamy, że x n = (0, 0,..., 0, n 1, 0,...) dla n = 0, 1,... (12) Niech f P [x] bedzie wielomianem stopnia n 1. Wtedy f n 0 oraz f i = 0 dla każdego i n + 1. Ponadto ze wzorów (6) i (12) mamy, że (f k, 0, 0,...) x k = (0,..., 0, f k k, 0,...) dla k = 1, 2,... wiec f = (f 0, 0, 0,...)+(0, f 1, 0,...)+...+(0, 0,..., f n, 0,...) f 0 +f 1 x++f 2 x f n x n. Ponieważ dla wielomianu sta lego f jest f f 0, wiec dla dowolnego wielomianu f P [x] stopnia n 0 mamy utożsamienie: f f 0 + f 1 x + f 2 x f n x n. (13) Otrzymujemy w ten sposób naturalna notacje dla wielomianów z pierścienia P [x]. Przy tej notacji możemy powiedzieć, że wielomiany f, g P [x] sa równe wtedy i tylko wtedy, gdy st(f) = st(g) oraz f i = g i dla każdego i. Z wniosku 3.3 i tego, że pierścień P jest podpierścieniem pierścienia P [x] wynika od razu nastepuj ace Twierdzenie 3.4. Jeżeli pierścień P jest dziedzina ca lkowitości, to P [x] też jest dziedzina ca lkowitości. Definicja 3.5. Wartościa wielomianu f = f 0 + f 1 x f n x n P [x] w punkcie a P nazywamy f(a) = f 0 + f 1 a f n a n. Definicja 3.6. Pierwiastkiem wielomianu f P [x] nazywamy takie a P, że f(a) = 0. Definicja 3.7. Wielomiany f, g P [x] nazywamy równymi funkcyjnie, jeżeli f(a) = g(a) dla każdego a P. Przyk lad 3.8. Niech P bedzie niezerowym pierścieniem skończonym o n elementach oraz P = {a 1,..., a n }. Ponieważ 0 1 w P, wiec 1 jest elementem regularnym w P i na mocy stwierdzenia 1 mamy, że wielomian f = (x a 1 ) (x a 2 )... (x a n ) P [x] ma stopień n. Ponadto f(a) = 0 dla każdego a P, wiec wielomiany f i 0 sa równe funkcyjnie, chociaż f 0. Z tego powodu wielomiany nad dowolnym pierścieniem P nie moga być traktowane jako funkcje wielomianowe z pierścienia P w pierścień P. Twierdzenie 3.9. Jeżeli P jest nieskończona dziedzina ca lkowitości oraz wielomiany f, g P [x] sa równe funkcyjnie, to f = g. 3
4 2 Dzielenie wielomianów Definicja Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z reszta przez wielomian f P [x], jeżeli dla każdego wielomianu g P [x] istnieje dok ladnie jedna para (q, r) wielomianów q, r P [x] taka, że g = q f + r oraz st(r) < st(f). Uwaga Ponieważ st(0) =, wi ec dla powyższych f jest f 0. Uwaga Wielomian r nazywamy reszta, zaś q nazywamy niepe lnym ilorazem z dzielenia wielomianu g przez wielomian f. Twierdzenie Dla dowolnego pierścienia P i dla dowolnego wielomianu f P [x] równo-ważne sa warunki: (i) w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z reszta przez wielomian f; (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Uwaga lgorytm dzielenia wielomianów z reszta znany ze szko ly średniej jest dobry dla dowolnego pierścienia wielomianów. Uwaga Wielomian f P [x] o najstarszym wspó lczynniku równym 1 nazywamy wielomianem unormowanym. Z twierdzenia 3.1 w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z reszta przez wielomiany unormowane. Twierdzenie (Bezout). Dla dowolnego wielomianu g P [x] i dla dowolnego a P reszta z dzielenia wielomianu g przez dwumian x a jest równa g(a), tzn. istnieje wielomian q P [x] taki, że g = q (x a) + g(a). Dowód. Z uwagi 3.15 istnieja q, r P [x] takie, że g = q (x a) + r i st(r) < 1 = st(x a). Stad r P i g(a) = q(a) (a a) + r = r, czyli r = g(a) i g = q (x a) + g(a). Definicja Niech f, g P [x]. Powiemy, że wielomian f dzieli wielomian g w pierścieniu P [x] i piszemy f g, jeżeli istnieje wielomian h P [x] taki, że g = f h. Wniosek Dla dowolnego wielomianu f P [x] i dla dowolnego a P mamy x a g w pierścieniu P [x] g(a) = 0. Dowód. Jeżeli x a g w pierścieniu P [x], to istnieje q P [x] takie, że g = q (x a), skad g(a) = q(a) (a a) = 0. Na odwrót, niech g(a) = 0. Wtedy z twierdzenia Bezout istnieje q P [x] takie, że g = q (x a), czyli x a g. Stwierdzenie Niech a 1,..., a n bed a parami różnymi elementami dziedziny ca lkowitości P. Wówczas dla dowolnego wielomianu f P [x] równoważne sa warunki: (i) (x a 1 )... (x a n ) f w pierścieniu P [x]; (ii) f(a 1 ) =... = f(a n ) = 0. Dowód. (i) (ii) Z za lożenia istnieje h P [x] taki, że f = h (x a 1 )... (x a n ), skad f(a i ) = h(a i ) (a i a 1 )... (a i a i )... (a i a n ) = 0 dla i = 1,..., n. 4
5 (ii) (i) Stosujemy indukcje wzgledem n. Dla n = 1 teza wynika od razu z wniosku Za lóżmy, że teza zachodzi dla pewnego naturalnego n i niech a 1,..., a n+1 bed a parami różnymi elementami pierścienia P takimi, że f(a 1 ) =... = f(a n+1 ) = 0. Wtedy z za lożenia indukcyjnego istnieje g P [x] takie, że f = g (x a 1 )... (x a n ). le 0 = f(a n+1 ) = g(a n+1 ) (a n+1 a 1 )... (a n+1 a n ), wiec ponieważ P jest dziedzina ca lkowitości, to g(a n+1 ) = 0 i z wniosku 3.3 istnieje h P [x] taki, że g = h (x a n+1 ). Zatem f = (x a 1 )... (x a n ) (x a n+1 ), czyli (x a 1 )... (x a n+1 ) f. Wniosek Niech P bedzie dziedzina ca lkowitości i niech n N. Wówczas każdy wielomian f P [x] stopnia n posiada co najwyżej n różnych pierwiastków w pierścieniu P. Twierdzenie (Wzory Viety). Niech K bedzie cia lem i niech f = c 0 + c 1 x c n x n K[x], gdzie c n 0. Jeżeli a 1, a 2,..., a n sa wszystkimi (niekoniecznie różnymi) pierwiastkami wielomianu f w ciele K, to zachodza nastepuj ace wzory zwane wzorami Viety: a i1... a ik = ( 1) k cn k dla k = 1, 2,..., n. (14) c n 1 i 1 <...,<i k n. Definicja Niech P bedzie dziedzina ca lkowitości i k N. Mówimy, że a P jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu f P [x], jeżeli istnieje g P [x] takie, że g(a) 0 oraz f = (x a) k g. Z zasadniczego twierdzenia algebry oraz z twierdzeń podanych na tym wyk ladzie można w prosty sposób wyprowadzić nastepuj ace twierdzenia: Twierdzenie Niech f C[x] bedzie wielomianem stopnia n N o najstarszym wspó lczynniku a. Wówczas istnieja s, k 1,..., k s N i istnieja różne liczby zespolone a 1,..., a s takie, że f = a(x a 1 ) k 1 (x a 2 ) k 2... (x a s ) ks. Twierdzenie Każdy wielomian dodatniego stopnia o wspó lczynnikach rzeczywistych jest iloczynem skończonej liczby wielomianów stopnia 1 lub 2 o wspó lczynnikach rzeczywistych. Uwaga Wielomian f = ax 2 + bx + c R[x] stopnia 2 nie jest iloczynem wielomianów stopnia 1 o wspó lczynnikach rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy < 0, gdzie = b 2 4ac. Twierdzenie Niech f = a 0 + a 1 x a n x n Z[x]. Jeżeli liczba wymierna q = k m, gdzie k, m Z i NW D(k, m) = 1, jest pierwiastkiem f, to k a 0 i m a n. 3 U lamki proste Definicja Funkcja wymierna rzeczywista nazywamy iloraz dwóch wielomianów rzeczywistych, przy czym dzielnik nie jest wielomianem zerowym. Funkcja wymierna zespolona nazywamy iloraz dwóch wielomianów zespolonych, przy czym dzielnik nie jest wielomia- 5
6 nem zerowym. Funkcje wymierna nazywamy w laściwa, jeżeli stopień wielomianu w liczniku u lamka określajacego te funkcje jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Uwaga Z twierdzenia o dzieleniu z reszta wynika, że każda funkcja wymierna jest suma wielomianu oraz funkcji wymiernej w laściwej. Definicja Zespolonym u lamkiem prostym nazywamy funkcje zespolona wymierna postaci, gdzie, a C, 0 oraz k N. (z+a) k Definicja Rzeczywistym u lamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcje rzeczywista wymierna postaci, gdzie, a R, 0 oraz k N. (x+a) k Definicja Rzeczywistym u lamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy x+b funkcje rzeczywista wymierna postaci, gdzie, B, p, q R, 0 lub B 0 oraz (x 2 +px+q) k k N, przy czym = p 2 4q < 0. Twierdzenie Każda zespolona funkcja wymierna w laściwa jest suma zespolonych u lam-ków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne. Jeżeli mianownik zespolonej funkcji wymiernej w laściwej w rozk ladzie na czynniki liniowe posiada czynnik (z a) k i a jest k-krotnym pierwiastkiem tego mianownika, to w rozk ladzie tej funkcji na u lamki proste wystepuje suma 1 z a (z a) 2 k dla pewnych (jednoznacznie wyznaczonych) sta lych (z a) k 1, 2,..., k C. Ponadto, jeżeli u lamek prosty zespolony, gdzie, b C, 0, l N, wystepuje (z b) l w rozk ladzie tej funkcji wymiernej na sume u lamków prostych, to b jest pierwiastkiem mianownika tej funkcji. Twierdzenie Każda rzeczywista funkcja wymierna w laściwa jest suma rzeczywistych u lamków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne. Jeżeli mianownik rzeczywistej funkcji wymiernej w laściwej w rozk ladzie na czynniki liniowe posiada czynnik (x a) k i a jest k-krotnym pierwiastkiem tego mianownika, to w rozk ladzie tej funkcji na u lamki proste wystepuje suma 1 z a + 2 k (z a) k dla pewnych (jednoznacznie wyznaczonych) sta lych (z a) 2 1, 2,..., k R. Ponadto, jeżeli u lamek prosty rzeczywisty, gdzie, b R, 0, l N, wystepuje (z b) l w rozk ladzie tej funkcji wymiernej na sume u lamków prostych, to b jest pierwiastkiem mianownika tej funkcji. Dalej, jeżeli dla pewnych p, q R takich, że = p 2 4q < 0 wielomian (x 2 +px+q) k dzieli mianownik tej funkcji wymiernej, ale wielomian (x 2 + px + q) k+1 już nie dzieli tego mianownika, to w rozk ladzie tej funkcji wymiernej na rzeczywiste u lamki proste wystepuje suma 1 x+b 1 x 2 +px+q + 2x+B kx+b k. Ponadto, jeżeli rzeczywisty u lamek prosty drugiego (x 2 +px+p) 2 (x 2 +px+q) k x+b rodzaju, gdzie 0 lub B 0 wystepuje (x 2 +ax+b) l w rozk ladzie tej funkcji wymiernej na u lamki proste, to (x 2 + ax + b) l dzieli mianownik tej funkcji wymiernej. Przyk lad W oparciu o twierdzenie 3.33 znajdziemy teoretyczny rozk lad na rzeczywiste u lamki proste rzeczywistej funkcji wymiernej f(x) = 2 +x 2 x. Zauważmy, że x 3 (x 2 +4x+4)(x 2 +x+1) 2 x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 oraz wielomian x 2 + x + 1 ma ujemny wyróżnik = 1 4 = 3, wiec x 3 (x 2 + 4x + 4)(x 2 + x + 1) 2 = x 3 (x + 2) 2 (x 2 + x + 1) 2 i wobec tego: f(x) = 1 x + 2 x x 3 + B 1 x B 2 (x + 2) 2 + C 1x + D 1 x 2 + x C 2x + D 2 (x 2 + x + 1) 2 6
7 dla pewnych jednoznacznie wyznaczonych sta lych 1, 2, 3, B 1, B 2, C 1, C 2, D 1, D 2 R. 4 Zadania do samodzielnego rozwiazania Zadanie Wyznacz iloraz i reszt e z dzielenia wielomianu f przez g, gdy (a) f = 5x 3 + 2x 2 x 7, g = x 2 + 3x 1 w Z[x], (b) f = 5x 3 + 2x 2 x 7, g = x 2 + 3x 1 w Z 8 [x], (c) f = 3x 6 2x + 4, g = x w Z 5 [x]. Zadanie Czy istnieje wielomian f R[x] stopnia 4 taki, że f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 1 i f(5) = 5? Zadanie Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu (a) f = x 5 2x w pierścieniu Z 6, (b) g = x 2 1 w pierścieniu Z 8. Zadanie Wielomian f R[x] daje przy dzieleniu przez x 2 reszte 1, przy dzieleniu przez x 1 reszte 2. Jaka reszte daje f przy dzieleniu przez (x 1)(x 2)? Zadanie Wyznacz wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu f = 6x 4 +19x 3 7x 2 26x Zadanie Nastepuj ace funkcje wymierne roz lóż na rzeczywiste u lamki proste: (a) 2x3 x 2 +4x 3 x, (b) 2 2x 7 x 4 +2x 2 +9 (x 2 2x+1)(x 2 +2x+5), (c) x6 6x 5 +10x 4 17x 3 +8x 2 5x+1 (x 4 +2x 2 +1)(x 4 3x 3 +3x 2 x), (d) 1 3x (e) 2 +x 2 (x 1) 3 (x 2 +1), (f) x3 2x 2 +5x 8 x 4 +8x 2 +16, (g) 5x3 +3x 2 +12x 12, (h) 4x3 2x 2 +6x 13 17x, (i) 2 x 26 x 4 16 x 4 +3x 2 4 (x 2 1)(x 2 4). x 3 (x 1) 2 (x+1), 7
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoUdowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k
WIELOMIANY STOPNIA WYŻSZEGO NIŻ DWA Przypominamy, że wielomianem k tego stopnia nazywamy funkcje f postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k, gdzie wspó lczynnik a k jest liczba różna od 0. Piszemy
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoPisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8
EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja
Bardziej szczegółowoWielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoRównania wielomianowe
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoWersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?
1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoWielomiany i rozszerzenia ciał
Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo
Bardziej szczegółowoWersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.
1. Czy prawda jest, że a) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; b) y R x R y 2 > 1 1+x 2 ; c) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; d) x R y R y 2 > 1 1+x 2? 2. Czy naste puja ca relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY. Poziom podstawowy
WIELOMIANY Poziom podstawowy Zadanie (5 pkt) Liczba 7 jest miejscem zerowym W(x) Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) = x + 54, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoz n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1
3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowow(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą.
5 Funkcjewymierne. Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci w(x)= P(x) Q(x), () gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany te są rzeczywiste, to
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoSZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ
RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowoAsymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoWielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0, 1) gdzie n N, a i R i = 0,,n), 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,,n)
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoRachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Bardziej szczegółowo25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoWielomiany. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt. 17 marca 2006
Wielomiany Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt 17 marca 2006 Spis treści 1 Podstawowe pojęcia 1 2 Wykresy i własności 2 2.1 Wielomian trzeciego stopnia....................
Bardziej szczegółowo