Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
|
|
- Seweryna Lewicka
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem wielomianów, oraz mnożeniem wielomianu przez liczbę. V = C, z działaniami: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, r (a + bi) = ra + rbi. V = C[R], zbiór funkcji ciągłych ze zbioru liczb rzeczywistych w liczby rzeczywiate, oraz dla f, g C[R] oraz r, x R niech (f + g)(x) = f(x) + g(x), (r f)(x) = r(f(x)) V = C 1 [R], zbiór funkcji ciągłych, różniczkowalnych ze zbioru liczb rzeczywistych w liczby rzeczywiate, oraz dla f, g C[R] oraz r, x R niech (f + g)(x) = f(x) + g(x), (r f)(x) = r(f(x)) V = Z[X] zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych, wraz ze standardowym dodawaniem wielomianów, oraz mnożeniem wielomianu przez liczbę. Zadanie 2 Czy zbiór A jest podprzestrzenią przestrzeni V : A = {(x, y, z) R 3 : x = z}, V = R 3 A = {(x, y, z) R 3 : x + 2y + z = 0}, V = R 3 A = {(x, y, z) R 3 : x > 0}, V = R 3 A = C 1 [R], V = C[R] A = R 7 [X], V = R[X] Zadanie 3 Czy wektor (2, 3, 6) jest kombinacją liniową wektorów (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)? Czy wektor (5, 3, 1) jest kombinacją liniową wektorów (1, 2, 1), (3, 1, 4), (2, 7, 1)? Czy wielomian 5x 2 +3x 1 jest kombinacją liniową wielomianów 1x 2 +2x+1, 3x 2 +1x+4, 2x 2 + 7x + 1? Zadanie 4 Sprawdź liniową niezależność wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (2, 2, 3, 3), (2, 2, 4, 4), (3, 3, 5, 5) 1, x, x 3, x 2 sin 2 (x), cos 2 (x), I(x), gdzie xi(x) = 1 Zadanie 5 Uzasadnij, że wektory (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) tworzą bazę przestrzeni R 3 Zadanie 6 Podaj bazę przestrzeni R 7 [X] wielomianów stopnia nie większego niż 7 o współczynnikach rzeczywistych. 1
2 Zadanie 7 1. Czy przestrzeń liniowa R[X] może mieć skończoną bazę? 2. Czy przestrzeń liniowa funkcji ciągłych może mieć skończoną bazę? Zadanie 8 Czy podane funkcje f : R n R m są funkcjami liniowymi: f((x, y)) = (2x + 3y, 4x + y) f((x, y, x)) = (x, y) f((x, y, x)) = (xyz) f((x, y, x)) = (x 2 + y 2 + z 2 ) Zadanie 9 Podaj macierz funkcji liniowej w bazach standardowych: f((x, y)) = (2x + 3y, 4x + y) f((x, y, x)) = (x, y) f((x, y, x)) = (2x + 4y + z, x + y + z, z) Zadanie 10 Czy operacja brania pochodnej jest funkcją liniową z przestrzeni C 1 [R] w nią samą? Współrzędne wektora w bazie, macierz zmiany bazy. Zadanie 11 Zadanie 12 Niech B baza przestrzeni liniowej V. Wyjaćnij czym jest wektor współrzęsnych wektora v V w bazie B. Zadanie 13 Pokaż, że zbiór wielomianów x 2 + 2x + 1, x + 1, 3 jest bazą przestrzeni liniowej wielomianów stopnia nie większego niż 2, R 2 [X]. Podaj wspórzędne wielomianów x 2, x, 2x 2 + 5x + 3 w bazie z poprzedniego punktu. Zadanie 14 Podaj macierz przejścia z bazy: {(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} do bazy standardowej: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0 Zadanie 15 R 3. Pokaż, że zbiór wektorów {(1, 2, 3), (0, 4, 5), (0, 0, 7)} jest bazą przestrzeni liniowej Podaj macierz przejścia z bazy: {(1, 2, 3), (0, 4, 5), (0, 0, 7)} do bazy syandardowej. Zadanie 16 Niech B, B, B bazy przestrzeni liniowej V, P macierz przejścia z bazy B do B, Q macierz przejścia z bazy B do B. Czym są macierze P 1, P Q Zadanie 17 Niech B, B bazy przestrzeni liniowej V, P macierz przejścia z bazy B do B, f : V V funkcja liniowa oraz A macierz funkcji f w bazie B. Uzasadnij, P 1 AP jest macierzą funkcji w f w bazie B Zadanie 18 Podaj macierz funkcji f(x, y, z) = (2x + 3y + 4z, x y + z, x + 3y z) Podaj macierz funkcji f w bazie {(1, 2, 3), (0, 4, 5), (0, 0, 7)} Jądro, obraz funkcji liniowej. Zadanie 19 Podaj definicję jądra i obrazu funkcji liniowej. 2
3 Czy zbiór {(x, y, z) R 3 : x 0, y 2} może być jądrem pewnej funkcji liniowej f : R 3 R 3? Czy obraz i jądro są podprzestrzeniami liniowymi? Zadanie 20 Wyznacz jądro i obraz funkcji liniowej: f(x, y, z) = (x, y) : R 3 R 3 f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + 2y + z) : R 3 R 3 : R 2 [X] R 2 [X] (funkcja brania drugiej pochodnej na wielomianach stopnia nie większego niż 2) Zadanie 21 Niech f : V W funkcja liniowa. Wyjaśnij wzór: dimim(f) + dimker(f) = dim(v ). Zadanie 22 Wyznacz wymiar jądra funkcji liniowej g(x, y, z) = (x, y), f(x, y, z, t) = 2x 5y + 7z t Przypomnij czym jest funkcja różnowartościowa i co to znaczy że funkcja jest bi- Zadanie 23 jekcją. czy funkcja f(x) = x 2 : R R jest różnowartościowa, czy jest bijekcją. podaj przykład nieróżnowartościowej funkcji z f : R R, której obraz jest całym zbiorem liczb rzeczywistych. Zadanie 24 Udowodnij, że funkcja liniowa f : V W jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dimker(f) = 0. Udowodnij, że funkcja liniowa f : V W jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dimker(f) = 0 i dimim(f) = dim(w ). Wartości własne, wektory własne. Zadanie 25 Podaj wektory własne i wartości własne macierzy: Podaj macierz wymiaru 3 3 o wartościach własnych 4, 6, 8 Zadanie 26 Wyznacz wektory własne i wartości własne macierzy: [ ] Zadanie 27 Podaj macierz obrotu o kąt α 0, sprawdź czy posiada wartości własne. 3
4 Zadanie 28 Niech λ wartość własna macierzy A. Co wiemy o watrościach własnych macierzy: A 2, A 3, A 1, A Id, A 3Id? Zadanie 29 Wektor v jest wektorem własnym zarówno macierzy A i macierzy B. Uzasadnij, że macierze A + B, A B, 3A 2B posiadają wektory własne. Zadanie 30 Przeprowadź diagonalizację macierzy: [ ] oblicz [ Zadanie 31 Podaj macierz A funkcji liniowej f(x, y) = (y, 3x + 2y) przeprowadź diagonalizację macierzy A zauważając, że f n (x, y) = A n (x, y), wyprowadź wzór na f n (1, 1) wyprowadź wzór na n-ty wyraz ciągu a n zdefiniowanego rekurencyjnie: { ] 10 a 1 = a 2 = 1 a n+2 = 3a n + 2a n+1, n 1 (wsk: wypisz f n (1, 1) oraz a n dla n = 1, 2, 3, 4, 5, zauważ podobieństwo.) Przestrzenie Euklidesowe. Zadanie 32 Uzasadnij podane własności standardowego iloczynu skalarnego w R 3. Niech v, w R 3, kl R: v w = w v kv lw = kl(v w) v w = 0 gdy wektory v, w są prostopadłe. Zadanie 33 Wyznacz rzut wektora (7, 2, 5) na wektor (2, 1, 5) w przestrzeni euklidesowej R 3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Wyraź rzut wektora v na wektor w za pomocą iloczynu skalarnego. Zadanie 34 Oblicz kąt między wektorami (3, 7, 1), (5, 2, 3) względem standardowego iloczynu skalarnego. Zadanie 35 Niech e 1, e 2, e 3 baza standardowa przestrzeni R 3. Uzasadnij, że dla dowolnego wektora v R 3 zachodzi: v = Σ 3 i=1(v e i )e i 4
5 Zadanie 36 Niech B = { 1 2 (1, 1, 0), 1 3 (1, 1, 1), 1 6 ( 1, 1, 2)}. Wyznacz współrzędne wektorów (3, 7, 1), (5, 2, 3) w bazie B. Zadanie 37 Wyaź iloczyn skalarny 7v + 3w 5v 2w za pomacą v w, v v, w w. Zadanie 38 Przypomnij definicję funkcji dwuliniowej Przypomnij czym jest macierz formy dwuliniowej Podaj przykład funkcji dwuliniowej i jej macierzy Zadanie 39 Podaj macierze funkcji dwuliniowych. f((x 1, y 1, z 1 )(x 2, y 2, z 2 )) = x 1 z 2 + y 1 y 2 + z 1 x f((x 1, y 1, z 1 )(x 2, y 2, z 2 )) = x 1 x 2 + y1 y 2 + z 1 z 2 + x 1 y 2 Zadanie 40 Podaj wzór funkcji dwuliniowej zadanej przez macierz: Zadanie 41 Przypomnij definicję iloczynu skalarnego i przestrzeni euklidesowej. Wyraź odległość w przestrzeni euklidesowej za pomocą iloczynu skalarnego. Wyraź kąt między wektorami v, w za pomocą iloczynu skalarnego. Zadanie 42 Pokaż, że w dowolnej przestrzeni euklidesowej V wektor v v jest równoległy do wektora v i ma długość 1. Zadanie 43 Które z poniższych wyrażeń definiują iloczyn skalarny w przestrzeni R 2 1. f((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = 3x 1 y 1 x 2 y 2 2. g((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = x x h((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 3x 2 y 2 4. i((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = x 1 y 1 + 2x 1 y 2 + 2x 2 y 1 + x 2 y 2 5. j((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = 3x 1 y 1 + 4x 2 y 2 Zadanie 44 Wyznacz macierze funkcji dwuliniowych z poprzedniego zadania. Zadanie 45 Udowodnij, że macierz iloczynu skalarnego jest symetryczna i dodatnio określona. Zadanie Podaj definicję przestrzeni metrycznej 2. Udowodnij, że odległość w przestrzeni euklidesowej zadana przez iloczyn skalarny jest metryką. Zadanie 47 Pokaż, że jeśli wektory x, y są prostopadłe to x + y 2 = x 2 + y 2. 5
6 Zadanie 48 Oblicz odległość punktów (1, 2), (7, 8) względem iloczynów skalarnych z poprzedniego zadania. Podaj przykłady wektorów prostopadłych względem tych iloczynów. Zadanie 49 Czy wektory (1, 2), (2, 1) są prostopadłe względem rozważanych iloczynów skalarnych. Zadanie 50 Wyznacz rzut wektora (1, 2, 3) na podprzestrzeń generowaną przez wektory: (1, 3, 4), (1, 1, 1) względem standardowego iloczynu skalarnego. (1, 2, 1), (3, 2, 1) względem iloczynu z zadania poprzedniego. Zadanie 51 Na C[a, b], przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku [a, b] w liczby rzeczywiste zadana jest funkcja f(x) g(x) = b a f(x)g(x)dx. Czy podana funkcja jest iloczynem skalarnym? Zadanie 52 Oblicz odległość między funkcjami względem iloczynu skalarnego f(x) g(x) = f(x) = sin(x), g(x) = cos(x), a = 0, b = 2π f(x) = x, g(x) = x 2, a = 0, b = 4 b a f(x)g(x)dx: Zadanie 53 Podaj długości f(x) następujących wektorów: 1, x, x 2, x 3, sin(x), cos(x), e x 2π iloczynu f(x) g(x) = f(x)g(x)dx: 0 względem Zadanie 54 Wyznacz rzut wektora f(x) = x 2 na wektory sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x) Zadanie 55 Pokaż, że zbiór {sin(nx) : n N} {cos(nx) : n N} jest ortogonalny w przestrzeni euklidesowej C[0, 2π] z iloczynem skalarnym określonym w poprzednim zadaniu. Zadanie 56 Przypomnij wzór na rzut wektora na podprzestrzeń generowaną przez zbiór ortonormalny {b 1, b 2,..., b n }. Wyznacz rzut wektora (7, 6, 5, 4) na podprzestrzeń generowaną przez wektory ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ), ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ). Zadanie 57 Oblicz odległość punktów: (0, 0, 0, 0), (1, 2, 3, 4) od podprzestrzeni generowanej przez wektory ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ), ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ).. Zadanie 58 Przypomnij algorytm ortogonalizacji Grama-Schmidta. Zadanie 59 Znajdź bazę ortonormalną względem standardowego iloczynu skalarnego podprzestrzeni generowanej przez wektory: (1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1), (1, 4, 1, 3). (Wykonaj ortogonalizację) Zadanie 60 Znajdź bazę ortonormalną przestrzeni wielomianów stopnie nie większego niż 2 względem iloczynu skalarnego f(x) g(x) = 1 0 f(x)g(x)dx. Zadanie 61 Niech f(x) C[0, 2π]. Podaj wzór na rzut f(x) na podprzestrzeń generowaną przez zbiór {sin(nx), cos(nx) : n < 5}, porównaj z szeregiem Fouriera funkcji f. 6
7 Zadanie 62 Funkcja f(x) g(x) = π π f(x)g(x)dx jest iloczynem skalarnym na przestrzeni funkcji z odcinka [ π, π] w liczby rzeczywiste o skończenie wielu punktach nieciągłości. Wyznacz kilka pierwszych współczynników szeregu Fouriera funkcji: { 1 x [ π, 0] f(x) = 1 x [0, π] Zadanie 63 Zapisz układ równań w postaci odpowiedniego równania wektorowego w R 3 : 10a + b = 19 20a + b = 31 30a + b = 39 Sprawdź, czy wektor (19, 31, 39) należy do przestrzeni generowanej przez wektory (10, 20, 30), (1, 1, 1)? Wyznacz v 0 wektor przestrzeni (10, 20, 30), (1, 1, 1), który leży najbliżej wektora (19, 31, 39). (v 0 jest rzutem wektora (19, 31, 39) na podprzestrzeń). Wyznacz przybliżone rozwiązanie układu równań przedstawiając wektor v 0 liniową wektorów (10, 20, 30), (1, 1, 1). Podaj interpretację geometryczną układu równań oraz rozwązania. jako kombinację Krzysztof Majcher 7
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Geometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Przestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Lista 1. (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę. (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę
MATEMATYKA Lista 1 1. Zbadać liniową niezależność wektorów. (a) (1, 2, 3), (3, 4, 5), V = R 3 ; (b) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), V = R 3 ; (c) (1, 0, 0, 0), ( 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), ( 1, 1 1, 1),
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Przekształcenia liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przekształcenia liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
Informacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Przestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
spis treści 1 Zbiory i zdania... 5
wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów
Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu
Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu Anna Zamojska-Dzienio Spis treści 1 Liczby zespolone 4 11 Postać kanoniczna liczby zespolonej 4 12 Interpretacja geometryczna
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej A (03-M01S-12-WALGA)
R n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19
Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19 1. Zbiory, zdania i formy zdaniowe. 2. Operacje logiczne i podstawowe prawa rachunku
Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =
Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M2 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M2 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli
ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie siódme uzupełnione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie siódme uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2013 Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 6 Własności wielomianów ortogonalnych Wszystkie znane rodziny wielomianów ortogonalnych dzielą pewne wspólne cechy: 1) definicja za pomocą wzoru różniczkowego, jawnej sumy lub funkcji tworzącej;
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Pytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
a) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012.
Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 9 CZĘŚĆ I. WSTĘP DO MATEMATYKI 11 Wykład 1. Rachunek
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Endomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie ósme zmienione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie ósme zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Projekt okadki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000 2018
FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz