Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
|
|
- Sylwester Krzemiński
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję (, ) : V V R przyporządkowującą wektorom u, v V liczbę rzeczywistą (u, v) i spełniającą warunki 1. (u 1 + u 2, v) = (u 1, v) + (u 2, v) dla u 1, u 2, v V, 2. α(u, v) = (αu, v) dla u, v V, α R, 3. (u, v) = (v, u) dla u, v V, 4. (u, u) dla u V, 5. (u, u) = u =. Definicja 2 (Przestrzeń euklidesowa). Rzeczywistą przestrzeń liniową, w której wprowadzono iloczyn skalarny, nazywamy przestrzenią euklidesową. Twierdzenie 1. Niech E będzie przestrzenią euklidesową. Wówczas (a) (u, v 1 + v 2 ) = (u, v 1 ) + (u, v 2 ) dla u, v 1, v 2 E, (b) α(u, v) = (u, αv) dla u, v E, α R, (c) (αu 1 + βu 2, v) = α(u 1, v) + β(u 2, v) dla u 1, u 2, v E, α, β R, (d) (u, ) = dla u E, (e) w E (u, w) = (v, w) u = v dla u, v E. Zadanie 1. Udowodnić powyższe twierdzenie. Zadanie 2. Sprawdzić, czy podane funkcje (, ) są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych: a) (x, y) = 3x 1 y 1 2x 1 y 2 2x 2 y 1 + 4x 2 y 2 dla x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, b) (x, y) = 2x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + x 2 y 2 dla x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, 1
2 [ ] [ ] [ ] 2 1 y1 c) (x, y) = x 1 x 2 dla x = (x 1 1 y 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, 2 ] 2 1 d) (x, y) = [x y 1 x 2 x 3 1 y 2 dla x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3, 1 1 y 3 ] e) (x, y) = [x 3 1 y 1 x 2 x 3 2 y 2 dla x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3, 1 1 y 3 f) (p, q) = p(1)q(1) + 2p(2)q(2) dla p, q R 1 [x], g) (p, q) = h) (f, g) = n+1 i=1 1 1 p(x i )q(x i ) dla p, q R n [x], gdzie x 1 < x 2 <... < x n+1, (x + 1)f(2x)g(2x)dx dla f, g C([ 2; 2]), i) (x, y) = 3x 1 y 1 2x 1 y 2 2x 2 y 1 + x 2 y 2 dla x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, j) (x, y) = 2x 1 y 1 + x 1 y 2 x 2 y 1 + 2x 2 y 2 dla x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, ] k) (x, y) = [x y 1 x 2 x y 2 dla x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3, 3 1 y 3 ] l) (x, y) = [x y 1 x 2 x y 2 dla x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3, m) (p, q) = p()q() + p(1)q(1) dla p, q R 2 [x], n) (p, q) = p(1)q(1) p(2)q(2) dla p, q R 1 [x], n o) (p, q) = p(x i )q(x i ) dla p, q R n [x], gdzie x 1 < x 2 <... < x n, i=1 b p) (f, g) = f(x)g(x) dx dla f, g C([a; b]), a 1 q) (f, g) = f(x)g( x )dx dla f, g C([ 1; 1]). 1 2 y 3 Definicja 3 (Norma wektora). Niech v będzie dowolnym wektorem przestrzeni euklidesowej E. Normą tego wektora nazywamy liczbę v = (v, v). Twierdzenie 2. Niech E będzie przestrzenią euklidesową. Wówczas (a) v dla v E oraz v = v =, 2
3 (b) αv = α v dla v E, α R, (c) (u, v) u v dla u, v E, (d) u + v u + v dla u, v E, (e) u v u v dla u, v E, (f) u + v 2 + u v 2 = 2 ( u 2 + v 2) dla u, v E, (g) (u, v) = 1 ( 4 u + v 2 u v 2) dla u, v E. Zadanie 3. Obliczyć normę wektorów w podanej przestrzeni euklidesowej: a) (1, 3, 2, 1), (1, 1, 1, 1), (, 1,, 2) E 4, b) 1, x, 2x 2 3 z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p()q() + p(1)q(1), p, q R 2 [x], c) 1, x, x cos x, sin x z iloczynem skalarnym (f, g) = 2π f(x)g(x)dx, f, g C([, 2π]), d) x + 3, x 2 3, x 2 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = 1 p(x)q(x)dx, p, q R[x]. Definicja 4 (Odległość wektorów). Niech u, v będą dowolnymi wektorami przestrzeni euklidesowej E. Odległością (metryką) tych wektorów nazywamy liczbę d(u, v) = u v. Twierdzenie 3. Niech E będzie przestrzenią euklidesową. Wówczas (a) d(u, v) dla u, v E, (b) d(u, v) = d(v, u) dla u, v E, (c) d(u, v) = u = v, (d) d(u, v) d(u, w) + d(w, v) dla u, v, w E. Definicja 5 (Miara kąta między wektorami). Niech u, v będą niezerowymi wektorami przestrzeni euklidesowej E. Miarą kąta między wektorami u i v nazywamy liczbę φ [; π] spełniającą równość cos φ = (u, v) u v. Zadanie 4. Obliczyć kąt między wektorami w podanej przestrzeni euklidesowej: a) (1, 3, 2, 1), (1, 1, 1, 1) E 4, b) x 2, 2x + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p(2)q(2), p, q R 1 [x], c) x 2, 2x + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q (), p, q R 1 [x], 3
4 d) x 2, 2x + 1 z iloczynem skalarnym 1 p(x)q(x)dx, p, q R 1[x], e) x + 1, x z iloczynem skalarnym (p, q) = p(1)q(1) + p(2)q(2) + p(3)q(3), p, q R 2 [x], f) x + 1, x z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q () + p ()q (), p, q R 2 [x], g) 1, x, x cos x, sin x z iloczynem skalarnym (f, g) = 2π f(x)g(x)dx, f, g C([, 2π]), h) x + 3, x 2 3, x 2 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = 1 p(x)q(x)dx, p, q R[x]. Definicja 6 (Ortogonalność wektorów). Mówimy, że wektory u, v przestrzeni euklidesowej E są ortogonalne, jeśli spełniają warunek (u, v) =. Wektor jest ortogonalny do każdego wektora. Twierdzenie 4 (Pitagorasa). Wektory u, v przestrzeni euklidesowej są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy Zadanie 5. Udowodnić powyższe twierdzenie. u 2 + v 2 = u + v 2. Zadanie 6. Znaleźć wektory ortogonalne do wektora w podanej przestrzeni: a) (1,, ) w E 3, b) x z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p(2)q(2), p, q R 1 [x], c) 3 z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q (), p, q R 1 [x], d) x + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p(1)q(1) + p(2)q(2) + p(3)q(3), p, q R 2 [x], e) x z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q () + p ()q (), p, q R 2 [x]. Wśród takich wektorów wskazać jeden o normie równej 2. Zadanie 7. Zbadać ortogonalność wektorów w podanej przestrzeni: a) (2, 1, 1), (1,, 3) w E 3, b) (1, 1, 2), ( 2,, 1) w E 3, c) x, 2x 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p(2)q(2), p, q R 1 [x], d) x, 3 z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q (), p, q R 1 [x], e) x 2, x + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p(1)q(1) + p(2)q(2) + p(3)q(3), p, q R 2 [x], f) x 2, 1 + 2x z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q () + p ()q (), p, q R 2 [x], g) x, sin x z iloczynem skalarnym (f, g) = 2π f(x)g(x)dx, f, g C([, 2π]), h) 3, x 2 z iloczynem skalarnym (p, q) = 1 p(x)q(x)dx, p, q R[x]. 4
5 Zadanie 8. Dobrać stałą a R tak, aby podane wektory były ortogonalne w podanej przestrzeni: a) (2a, 1, 1), (1,, 3) w E 3, b) (a, 1, 2a, 3), ( 1,,, 1) w E 4, c) ax + 1, 2x + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p(2)q(2), p, q R 1 [x], d) x 1, x + a z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q (), p, q R 1 [x], e) ax 2, x z iloczynem skalarnym (p, q) = p(1)q(1) + p(2)q(2) + p(3)q(3), p, q R 2 [x], f) x 2 1, ax z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q () + p ()q (), p, q R 2 [x]. Definicja 7 (Układ ortogonalny). Układ wektorów przestrzeni euklidesowej nazywamy ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa wektory z tego zbioru są ortogonalne. Jeżeli wszystkie wektory układu ortogonalnego są unormowane, to układ taki nazywamy ortonormalnym. Definicja 8 (Baza ortogonalna). Bazę przestrzeni euklidesowej, która jest układem ortogonalnym, nazywamy bazą ortogonalną. Analogicznie dla układu ortonormalnego. Stwierdzenie 1. Niech {e 1, e 2,..., e n } będzie bazą ortogonalną przestrzeni euklidesowej E. Wtedy: 1. współrzędne [α 1, α 2,..., α n ] wektora u E wyrażają się wzorami: α i = (u,e i) e i 2, 1 i n, 2. iloczyn skalarny wektorów u, v E wyraża się wzorem: (u, v) = (u, e 1)(v, e 1 ) e (u, e 2)(v, e 2 ) e (u, e n)(v, e n ) e n 2. Zadanie 9. Sprawdzić czy podany układ wektorów v i jest bazą ortogonalną lub ortonormalną odpowiedniej przestrzeni liniowej. Znaleźć współrzędne wskazanego wektora u w tej bazie: a) v 1 = (1, 3), v 2 = (3, 1), u = (1, 2) E 2, b) v 1 = ( 8 5, 2 5 ), v 2 = ( 2 5, 8 5 ), u = ( 2 5, 1 5 ) E2, c) v 1 = (1,, 1), v 2 = (2, 2, 2), v 3 = (3, 12, 3), u = (2, 1, 1) E 3, d) v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (3, 1, 1, 1), v 3 = (, 2, 1, 1), v 4 = (,, 1, 1), u = (1, 2,, 1) E 4, e) v 1 = 2, v 2 = x + x 2, v 3 = x + 2x 2, v 4 = 3x 3, u = x + 1 R 3 [x] z iloczynem skalarnym (ax 3 + bx 2 + cx + d, a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x + d 1 ) = aa 1 + (b c)(b 1 c 1 ) + (2c b)(2c 1 b 1 ) + dd 1, f) v 1 = 1, v 2 = 2 x, v 3 = 6 3x x 2, u = x 2 + x, R 2 [x] z iloczynem skalarnym (ax 2 + bx + c, a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) = aa 1 + (3a b)(3a 1 b 1 ) + (2b + c)(2b 1 + c 1 ). 5
6 Twierdzenie 5 (Ortogonalizacja Grama-Schmidta). Niech {u 1, u 2,..., u n } będzie bazą przestrzeni euklidesowej E. Wtedy układ wektorów {v 1, v 2,..., v n } określonych wzorami v 1 = u 1 v 2 = u 2 (u 2,v 1 ) v 1 v [ 2 1 v 3 = u 3 (u3,v 1 ) v 1 v (u ] 3,v 2 ) v 2 v v n = u n [ (un,v 1 ) jest bazą ortogonalną tej przestrzeni. v 1 v (un,v 2) v 2 2 v (un,v n 1) v n 1 2 v n 1 ] Zadanie 1. Stosując metodę Grama-Schmidta zortogonalizować podane wektory we wskazanej przestrzeni euklidesowej: a) u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, 1, 1), u 3 = (1, 1, 2) E 3, b) u 1 = (2, 1, ), u 2 = ( 1, 1, 1), u 3 = (1,, 2) E 3, c) u 1 = (1, 1, 2, ), u 2 = ( 1, 1, 1, 1), u 3 = (1,, 1, 2) E 4, d) u 1 = 1, u 2 = x, u 3 = x 2 R 2 [x] z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p()q() + p(1)q(1), e) u 1 = (2, 1, ), u 2 = ( 1, 1, 1), u 3 = (1,, 2) E 3 z iloczynem skalarnym ] 2 1 (x, y) = [x y 1 x 2 x y 2 wektorów x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ), 2 f) u 1 = 1, u 2 = x + 1, u 3 = x, u 4 = sin(x) C([ 1; 1]) z iloczynem skalarnym (f, g) = 1 1 f(x)g(x)dx. y 3 Zadanie 11. Uzupełnić podany układ wektorów do bazy ortogonalnej odpowiedniej przestrzeni euklidesowej: a) (1,, 1), (2, 1, 2) E 3, b) (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1) E 3, c) x + 2 R 2 [x] z iloczynem skalarnym (ax 2 + bx + c, a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) = aa 1 + bb 1 + cc 1, d) 1 R 2 [x] z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p()q() + p(1)q(1). Zadanie 12. Znaleźć bazy ortonormalne przestrzeni euklidesowej E i podać współrzędne wektora u w tej bazie: a) E = {(x, y, z, t) E 4 : 2y z = 4x z + 2t = }, u = (1, 1, 2, 1), b) E = L ((1, 1,, 1), (1, 2, 1, 1)), u = (, 1, 1, ), c) E = {(x, y, z, t) E 4 : x + y = y + z = t}, u = (1,, 1, 1), d) E = {(x, y, z, t) E 4 : x + y + z =, y = t}, u = (1, 2, 1, 2), 6
7 1 e) E = R 2 [x] z iloczynem skalarnym (p, q) = p(x)q(x)dx, u = x 2, f) E = R 2 [x] z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p(1)q(1) + p(2)q(2), u = x 2, g) E = L ( 1, sin(x), sin 2 (x) ) z iloczynem skalarnym (f, g) = π f(x)g(x)dx, u = 1. Twierdzenie 6 (Macierzowa metoda ortogonalizacji). Niech {u 1, u 2,..., u n } będzie układem wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni euklidesowej E, a kolumny macierzy A (wymiaru m n) są współrzędnymi tych wektorów w bazie standardowej przestrzeni E. Wówczas stosując elementarne operacje na wierszach (tylko W i + αw j, i > j) macierzy blokowej [A T A A T ] można doprowadzić ją do postaci [G A ], gdzie G jest macierzą górnotrójkątną. Wtedy wiersze otrzymanej macierzy A są współrzędnymi wektorów ortogonalnych w przestrzeni E. A = u 1 u 2... u n [ [ A T A A T G ] A v 1 A v 2 =. v n Zadanie 13. Stosując metodę macierzową zortogonalizować podane wektory i porównać wyniki z metodą Grama-Schmidta (zadanie 1). a) u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, 1, 1), u 3 = (1, 1, 2) E 3, b) u 1 = (2, 1, ), u 2 = ( 1, 1, 1), u 3 = (1,, 2) E 3, c) u 1 = (1, 1, 2, ), u 2 = ( 1, 1, 1, 1), u 3 = (1,, 1, 2) E 4, Definicja 9 (Ortogonalność wektora do podprzestrzeni). Niech E będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej E. Mówimy, że wektor v E jest ortogonalny do przestrzeni E jeżeli Zapisujemy to symbolicznie v E. u E (v, u) =. Zadanie 14. Sprawdzić, czy podany wektor v jest ortogonalny do wskazanej podprzestrzeni euklidesowej E: a) E = {(a + 2b + c, a + b c, c + b + a, a + 2b + 3c) : a, b, c R}, v = (2, 2, 2, 2) E 4, b) E = {(a b c, a + b, a c, 2a b c) : a, b, c R}, v = ( 2, 1, 1, 1) E 4, c) E = R 1 [x], v = 6x 2 6x+1 w przestrzeni R 2 [x] z iloczynem skalarnym (p, q) = 1 p(x)q(x)dx. 7
8 Definicja 1 (Rzut ortogonalny wektora na podprzestrzeń). Niech E będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej E. Rzutem ortogonalnym wektora u E na podprzestrzeń E nazywamy wektor u E spełniający warunek u u E. Zadanie 15. Znaleźć rzuty ortogonalne podanego wektora na wskazaną podprzestrzeń E przestrzeni euklidesowej: a) E = {(x, y, z) E 3 : 2x = y = 3z}, u = (1, 2, 3) E 3, b) E = {(x, y, z) E 3 : 2x y + 3z = }, u = (1, 2, 3) E 3, c) E = {(x, y, z, t) E 4 : x + y + z =, y = t}, u = (1,,, 1) E 4, d) E = span((1, 1, 1), (1, 1, )), u = (1,, 1) E 3, e) E = span((1,, 1, ), (1, 1,, )), u = (1, 1, 1, 1) E 4, f) E = span(x + 1, x 1), f = x 2 C([; 1]) z iloczynem skalarnym określonym wzorem (f, g) = 1 f(x)g(x)dx, g) E = span(1, cos(x)), f = x C([; 2π]) z iloczynem skalarnym określonym wzorem (f, g) = 2π f(x)g(x)dx, h) E = span((1,, 1), (1,, )), u = (1, 1, 1) E 3 z iloczynem skalarnym określonym wzorem ((v 1, v 2, v 3 ), (w 1, w 2, w 3 )) = 2v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 v 1 w 3 v 3 w 1. Twierdzenie 7 (o istnieniu i jednoznaczności rzutu ortogonalnego). Niech E będzie skończenie wymiarową podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej E oraz niech {v 1, v 2,..., v k } będzie bazą ortogonalną podprzestrzeni E. Wtedy dla dowolnego wektora u E istnieje jednoznacznie wyznaczony rzut u tego wektora na podprzestrzeń E. Rzut ten jest określony wzorem: u = (u, v 1) v 1 2 v 1 + (u, v 2) v 2 2 v (u, v k) v k 2 v k. Zadanie 16. Znaleźć rzuty ortogonalne podanego wektora na podprzestrzeń E o wskazanej bazie ortogonalnej: a) E = span(( 1, 1, 1), (1, 1, )), u = (1,, 1) E 3, b) E = span((1,, 1, 1), (1, 1,, 1)), u = (1, 1, 1, 1) E 4, c) E = span(x + 1, x 5 9 ), f = x2 C([; 1]) z iloczynem skalarnym określonym wzorem (f, g) = 1 f(x)g(x)dx, d) E = span(1, cos(x)), f = x C([; 2π]) z iloczynem skalarnym określonym wzorem (f, g) = 2π f(x)g(x)dx, e) E = span((1,, 2), (1,, )), u = (1, 1, 1) E 3 z iloczynem skalarnym określonym wzorem ((v 1, v 2, v 3 ), (w 1, w 2, w 3 )) = 2v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 v 1 w 3 v 3 w 1, 8
9 f) E = span(2 3x, x), p = x 2 1 R[x] z iloczynem skalarnym określonym wzorem (p, q) = 1 p(x)q(x)dx. Bibliografia 1. T. S. Blyth, E. F. Robertson: Basic Linear Algebra, 2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa. Przykłady i zadania, 3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa. Definicje, twierdzenia, wzory, 4. A. Romanowski: Algebra liniowa, 5. J. Rutkowski: Algebra liniowa w zadaniach, 6. L. Smith: Linear Algebra. 9
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowo1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowo19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przekształcenia liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowoAproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 6 Własności wielomianów ortogonalnych Wszystkie znane rodziny wielomianów ortogonalnych dzielą pewne wspólne cechy: 1) definicja za pomocą wzoru różniczkowego, jawnej sumy lub funkcji tworzącej;
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M2 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M2 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego
Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x
Bardziej szczegółowoTeresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie ósme zmienione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie ósme zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Projekt okadki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000 2018
Bardziej szczegółowo2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoTeresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie siódme uzupełnione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie siódme uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2013 Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowo, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej (03-M01N-12-WALG)
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe
opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska
Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze, 3 kolokwium
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Algebra z Geometria Analityczna Nazwa w języku angielskim : Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoPRZESTRZENIE z ILOCZYNEM SKALARNYM
V-1 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 2012) Używane oznaczenia: Znak dopuszcza równość zbiorów; piszę gdy ją wykluczam. F ciało skalarów rozważanej przestrzeni wektorowej (=liniowej). V, W, E, B bazy uporządkowane
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoWykład 1. Przestrzeń Hilberta
Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoWydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu
Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu Anna Zamojska-Dzienio Spis treści 1 Liczby zespolone 4 11 Postać kanoniczna liczby zespolonej 4 12 Interpretacja geometryczna
Bardziej szczegółowoWstęp do komputerów kwantowych
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej B (03-MO1S-12-WALGB)
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoWektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk
Algebra Wektory Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wektory Najnowsza wersja
Bardziej szczegółowoSzczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19
Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19 1. Zbiory, zdania i formy zdaniowe. 2. Operacje logiczne i podstawowe prawa rachunku
Bardziej szczegółowoEgzamin z GAL-u (Informatyka) 2. termin 19/02/2019 CzÍúÊ teoretyczna I
ImiÍ i nazwisko: Numer albumu: CzÍúÊ teoretyczna I Instrukcja: Odpowiedzi naleøy pisaê na arkuszu z pytaniami. W zadaniach 1-10 naleøy udzielaê odpowiedzi TAK lub NIE, przy czym nawet jedna niepoprawna
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki XXXI Sesja KNM UŚ Motywacje, intuicje, konstrukcje Szczyrk 10 13 listopada 2011 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowo