Wyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe

Transkrypt

1 Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do jeśli Oznaczenia: lim n x n = ± c R N n > N x n < c. Wszystkie w lasności arytmetyczne i porz adkowe granic zachowuj a siȩ dla granic niew laściwych. Przyk lad: Ci ag (2 n ) jest rozbieżny do + a ci ag (( 2) n ) nie jest rozbieżny ani do + ani do. 1

2 2. Podci agi i ich zbieżność Podci ag to czȩść ci agu bardziej formalnie jeśli (a n ) n N to ci ag, to dla każdego ci agu rosn acego liczb naturalnych (n k ) k N ci ag (a nk ) k N nazywamy podci agiem ci agu (a n ). Przyk lady: Ci ag (a n ), a n := n ma podci agi np.: liczb parzystych (2n) n N, liczb nieparzystych (2n + 1) n N, liczb podzielnych przez 7: (7n) n N itp.; Ci ag (b n ), b n := n 2 zawiera np. podci ag (c n ), c n := 4n 2, ale nie zawiera podci agu (d n ), d n := 3n 2. Ci ag geometryczny (g n ), g n := 2 n, zawiera podci ag (g 2 n), tj. (2 2n ). Ci ag Fibonacciego (a n ): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, 19, 30, 49, 79, 128, 207, 335, 542, 877, 1419,... zawiera podci ag (a n 2), tj. 1, 1, 3, 30, 877,... Definicja 2 Punktem skupienia ci agu nazywamy każd a granicȩ jego podci agu. Punktem skupienia może być też punkt + lub jeśli siȩ tak umówimy. Przyk lad: Ci ag (( 1) n ) zawiera podci ag o indeksach parzystych (to ci ag samych jedynek) i podci ag o indeksach nieparzystych (to ci ag samych liczb 1). Oba te podci agi s a zbieżne. Wszystkie inne podci agi albo maj a prawie wszystkie wyrazy z jednego albo z drugiego podci agu powyżej (wtedy s a zbieżne do granicy 1 lub 1 odpowiednio) albo maj a nieskończenie wiele wyrazów z obu podci agów powyżej wiȩc nie s a zbieżne. Zatem wszystkimi punktami skupienia naszego ci agu s a 1 i 1. Twierdzenie 3 Ci ag jest zbieżny do x wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podci ag jest zbieżny do x, tj. ci ag ma dok ladnie jeden punkt skupienia (wliczaj ac w to nieskończone) i ten punkt jest skończony. 2

3 Zatem ci agi rozbieżne mog a mieć podci agi zbieżne do różnych granic. Weźmy teraz ci ag (x n ) w zbiorze zwartym A. Zbiór jest albo E := {x n : n N} skończony, wtedy któraś z wartości w zbiorze E jest przyjmowana nieskończenie wiele razy ci ag (x n ) zawiera podci ag sta ly, wiȩc zbieżny do elementu zbioru A. nieskończony, wtedy zbiór E ma punkt skupienia x. Pokażemy, że x jest punktem skupienia ci agu (x n ) (uwaga! punkt skupienia zbioru to co innego niż punkt skupienia ci agu). Weźmy r 0 = 1 i x n0 K(x, r 0 ). Za lóżmy, że mamy już zdefiniowany ci ag oraz takie, że Zdefiniujemy r 0 > r 1 > r 2 > > r k > 0 n 0 < n 1 < n 2 < n 3 < < n k x j K(x, r j ) \ {x}, dla j = 0, 1, 2,..., k r k+1 = min (d(x, x k ); 1/k + 1) zatem w zbiorze K(x, r k+1 ) jest nieskończenie wiele elementów zbioru E zatem istnieje n k+1 > n k takie, że x nk+1 K(x, r k+1 ). Skonstruowaliśmy indukcyjnie podci ag (x nk ) zbieżny do x. Udowodniliśmy konieczność warunku w nastȩpuj acym twierdzeniu: Twierdzenie 4 Zbiór A jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ci ag w tym zbiorze zawiera podci ag zbieżny do elementu tego zbioru. Wniosek 5 Każdy ograniczony ci ag w R d ma podci ag zbieżny. Np. każdy ci ag zawarty w odcinku ma podci ag zbieżny. 3

4 Istnieje specyficzna metoda znajdywania najwiȩkszego punktu skupienia ci agu: Definicja 6 Granic a górn a ci agu (x n ) nazywamy inf j sup x n n j Oznaczenie: lim sup n x n. Granic a dolna ci agu (x n ) nazywamy: Oznaczenie: lim inf n x n. sup j inf n j x n Zauważmy, że: sup n j x n może nie istnieć dla żadnego j N (gdy ci ag (x n ) jest nieograniczony z góry) wtedy piszemy, że wynosi +. Po tej konwencji ci ag liczb sup x n n j jest nierosn acym ci agiem liczb rzeczywistych lub +. Ma wiȩc zawsze infimum (w najgorszym razie ± ). Podobnie granica dolna jest albo liczb a lub + (gdy ci ag jest ograniczony z do lu) albo symbolem w przeciwnym wypadku. Uwaga: dla ci agu ograniczonego z góry granica górna to najwiȩkszy punkt skupienia. Ponieważ dla ci agu nieograniczonego z góry przyjmuje siȩ, że + jest też punktem skupienia wiȩc również wtedy granica górna jest najwiȩkszym punktem skupienia ci agu. Podobnie jest dla granicy dolnej i najmniejszego punktu skupienia. Wniosek 7 Ci ag (x n ) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy lim sup x n = lim inf x n. W pliku ciagi limsup w5.nb pokazane s a liczne przyk lady. 4

5 Tablica 5.1 W lasności granic górnych Niech (x n ) n N bȩdzie ci agiem liczb rzeczywistych i niech a R. (1) lim inf n s n lim sup n s n ; (2) jeśli a < lim sup n s n, to a < s n dla nieskończenie wielu indeksów n N; (3) jeśli a s n dla nieskończenie wielu indeksów n N, to a lim sup n s n ; (4) jeśli a > lim sup n s n, to a > s n dla prawie wszystkich n N; (5) jeśli a s n dla prawie wszystkich n N, to a lim sup n s n. 5

6 3. Wewnȩtrzny warunek zbieżności ci agi Cauchy ego Niestety definicja ci agu zbieżnego odwo luje siȩ do obiektu zewnȩtrznego : granicy. Jak wiȩc zdecydować o zbieżności nie znaj ac granicy? Definicja 8 Ci ag (x n ) nazywamy ci agiem Cauchy ego wtedy gdy: ε > 0 N n, m > N d(x n, x m ) < ε lub w R i C: ε > 0 N n, m > N x n x m < ε Definicja powyższa jest wewnȩtrzna i intuicyjnie mówi o skupianiu sie elementów ci agu (x n ). Latwo widać, że Twierdzenie 9 Każdy ci ag zbieżny jest Cauchy ego. Teoretycznie ci ag Cuachy ego móg lby siȩ skupiać wokó l dziury ale dla liczb rzeczywistych, zespolonych czy w R d tak nie jest: Twierdzenie 10 Każdy ci ag Cauchy ego w R, C lub R d, d N, jest zbieżny, tj. wymienione przestrzenie s a zupe lne. Szkic dowodu (szczególy w ksi ażce So ltysiaka): Każdy ci ag Cauchy ego jest ograniczony. Zatem zawiera podci ag zbieżny (z tw. o ci agach w zbiorach zwartych). Każdy ci ag Cauchy ego maj acy podci ag zbieżny jest zbieżny do tej samej granicy. 6

7 4. Szeregi liczbowe W starożytności znane by ly s lawne paradoksy Zenona z Elei (ok. 490 p.chr. paradoksy, które zdaniem ich twórcy (czy twórców) zaprzecza ly istnieniu ruchu, pokazywa ly, że pojȩcie ruchu jest sprzeczne z logik a). Achilles i żó lw: W pewnym momencie Achilles startuje by dogonić żó lwia odleg lego o np. 100 metrów. Jednak, gdy Achilles dotrze do miejsca gdzie żó lw znajdowa l siȩ na poczatku to żó lw znowu siȩ oddali l o kawa lek. Achilles biegnie dalej i już dociera do tego drugiego punktu ale wtedy żó lw jest znowu dalej w punkcie trzecim, itd. Za każdym razem gdy Achilles dociera do punktu n-tego to żó lw jest w punkcie n + 1. Zenon wyci aga l st ad wniosek, że Achilles nigdy nie dogoni żó lwia a przecież doświadczenie uczy, że jednak dogoni. Rozwi azanie jest oparte o teoriȩ szeregów: choć liczba odcinków czasowych powyżej w okresie od pocz atku gonitwy do momentu dogonienia żó lwia jest nieskończona ale odcinki te s a coraz krótsze i ich suma jest skończona. Czyli po skończonym czasie Achilles dogoni żó lwia. Powstaje pytanie co to jest suma nieskończenie wielu wielkości. Dany jest ci ag liczb (x n ) i aby je zsumować najpierw definiujemy sumȩ czȩściow a: s n := x 0 + x 1 + x x n Przez sumȩ wszystkich wyrazów ci agu (x n ) rozumiemy lim s n. n Oznaczenie: j=0 x j, nazywamy to sum a szeregu j=0 x j. Mówimy, że szereg jest zbieżny jeśli suma istnieje i jest skończona. Przyk lad: Liczba y = 0, Oznacza to: Obliczmy sumȩ czȩściow a: y = s n = n = n

8 czyli suma szeregu y = lim n s n = lim n n = = 1 9. Szereg geometryczny j=0 a qn. Suma czȩściowa dla q 1: s n = a 1 qn+1 1 q Gdy q 1 to ci ag ten nie jest zbieżny do liczby. Gdy q < 1 to ci ag ten jest zbieżny a q n 1 = a 1 q j=0 wzór na sumȩ zbieżnego szeregu geometrycznego. Gdy q = 1 to s n = a (n + 1) wiȩc ci ag jest rozbieżny 8

9 Ponieważ wiemy, że ci ag liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest Cauchy ego wiȩc: Twierdzenie 11 Szereg j=0 x j jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnia warunek Cauchy ego dla szeregów: n ε N n m > N x j < ε. j=m Bior ac n = m mamy tzw. warunek konieczny zbieżności szeregu : Wniosek 12 Jeśli szereg j=0 x j jest zbieżny to wyraz ogólny szeregu x j d aży do zera gdy j. 9

10 Tablica 6.1 W lasności arytmetyczne szeregów Niech n=0 x n oraz n=0 y n bȩd a szeregami zbieżnymi liczb zespolonych, a c liczb a zespolon a. (1) n=0 (x n +y n ) = n=0 x n + n=0 y n ; (2) n=0 c x n = c n=0 x n. 10

11 Tablica 6.3 Kryteria zbieżności szeregów I Kryterium porównawcze Niech (a n ) n N i (b n ) n N bȩda dwoma ci agami o wyrazach nieujemnych. Jeśli dla prawie wszystkich n N zachodzi a n b n, to ze zbieżności szeregu n=0 b n wynika zbieżność szeregu n=0 a n, a rozbieżność szeregu n=0 a n poci aga za sob a rozbieżność szeregu n=0 b n. Zasada zagȩszczania Cauchy ego Niech (a n ) n N bedzie nierosn acym ci agiem o wyrazach nieujemnych. Wówczas szereg n=0 a n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg n=0 2n a 2 n = a 1 + 2a 2 + 4a 4 + 8a Kryterium Dirichleta Za lóżmy, że (a) sumy czȩściowe s n szeregu o wyrazach rzeczywistych n=0 a n tworz a ci ag ograniczony; (b) ciag liczb rzeczywistych (b n ) n N jest nierosn acy i zbieżny do zera. Wówczas szereg n=0 a n b n jest zbieżny. Kryterium Leibniza Jeśli ci ag liczb rzeczywistych (a n ) n N jest nierosn acy i zbieżny do zera, to szereg n=0 ( 1)n 1 a n jest zbieżny. 11

12 W wielu wypadkach ważne jest stwierdzenie zbieżności szeregu a nie koniecznie wartość jego sumy. Temu s luż a powyższe kryteria. Przyk lady: Szereg 1 n=1 szereg harmoniczny. Stosujemy kryterium o zagȩszczaniu. n Badamy szereg: 2 n 1 2 = 1 n n=0 rozbieżny!! Bo warunek konieczny nie spe lniony wyraz ogólny nie d aży do zera! Szereg ( 1) n n=1 szereg anharmoniczny. Stosujemy kryterium Leibniza: szereg jest n zbieżny. Szereg 1 n=1, p > 0. Stosujemy kryterium o zagȩszczaniu. Badamy n p szereg: 2 n 1 2 = ( ) 2 (1 p) n pn n=0 Jest to szereg geometryczny z ilorazem 2 (1 p) wiȩc jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy p > 1. ( 1) n Szereg n=1, p > 0. Stosujemy kryterium Leibniza. Szereg jest n p zawsze zbieżny dla dowolnego p > 0. Spróbujmy teraz zbadać zbieżność szeregu przy pomocy programu komputerowego: Badamy szereg harmoniczny: plik harmoniczny w5.nb. n=0 n=0 UWAGA: Zbieżność szeregu i jego suma zależ a od kolejności wyrazów szeregu!!!!! Jak juz wiemy, że szereg jest zbieżny możemy próbować go zsumować wykorzystuj ac programy matematyki symbolicznej np. Mathematica: por. plik sumy szeregow w5.nb 12