Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Transkrypt

1 Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem domkniętym w R m nazywamy zbiór postaci = [a 1, b 1 ] [a m, b m ]. Przypomnijmy, że podziałem odcinka I = [a, b] nazywamy rodzinę (P i ) n i=1 odcinków domkniętych takich, że (1) n π i=1 P i = I, (2) Int P i Int P j = dla i j. Niech π i Π([a i, b i ]) będzie podziałem odcinka [a i, b i ] dla i = 1,..., m. Ciąg π = (π 1,..., π m ) określa podział przedziału, którego elementami są przedziały P 1 P m, gdzie P i π i. Oznaczmy przez Π() rodzinę takich podziałów. W Π() wprowadzamy relację skierowania Miarą m() przedziału nazywamy liczbę π π jeżeli π i π i dla każdego i = 1,... m. m() = m b i a i. i=1 la ograniczonej funkcji f : R i dla podziału π = ( k ) definiujemy sumę górną i sumę dolną S(π, f) = m( k ) sup f(x) x k k S(π, f) = k m( k ) inf x k f(x). Ciąg uogólniony π S(π, f) jest malejący i ograniczony (podobnie jak w przypadku jednowymiarowym), więc zbieżny. Podobnie ciąg sum dolnych jest zbieżny. Granice tych ciągów f = lim S(π, f) = inf S(π, f) π Π() f = lim S(π, f) = sup S(π, f), π Π() nazywamy odpowiednio całką górną i całką dolną. Funkcję ograniczoną na nazywamy całkowalną w sensie Riemanna, jeżeli f = f =: f. Zbiór funkcji całkowalnych na oznaczamy R(). Twierdzenie 1. Podstawowe własności całki Riemanna, wynikające bezpośrednio z definicji: (1) Funkcja stała jest całkowalna i jeśli f(x) = c, to f = c m(). (2) Jeśli f R() i c R, to cf R() i (cf) = c (3) Jeśli f, g R(), to f + g R() i (f + g) = 1 f. f +

2 2 (4) Jeśli f, g R() i f g, to f OWÓ. owody tych własności całki są powtórzeniem dowodów odpowiednich własności w przypadku całki na I R. Użyteczna jest inna, równoważna definicjae całki Riemanna (odnosi się to także do przypadku m = 1). Zamiast sumy górnej i sumy dolnej bierzemy sumę S(π, (ξ i ), f) = m( k )f(ξ k ), k gdzie ξ i i jest dowolnym wyborem punktu. W zbiorze par (π, (ξ i )) wprowadzamy relację (π, (ξ i )) (π, (ξ j)) jeżeli π π. Całka jest granicą sum ze względu na tą relację. Istnienie tej granicy możemy przyjąć jako definicję całkowalności, a samą granicę jako definicję wartości całki. Taka definicja nie wymaga operowania supremum i infimum w zbiorze wartości funkcji podcałkowej, więc nadaje sie do definicji całki z funkcji o wartościach w przestrzeni Banacha. TWIERZENIE LEBESGUE W dalszym ciągu będzie mowa o własnościach całki, które można by dowodzić analogicznie jak w przypadku jednowymiarowym. Jednak zamiast tego, posłużymy się ważnym twierdzeniem Lebesque a o kryterium całkowalności. efinicja 1. Zbiór E R m ma miarę Lebesque a zero, jeżeli dla każdego ɛ > 0 istnieje ciąg przedziałów ( i ) i N taki, że E i i i i m( i) < ɛ. Wnioski. (1) Jeżeli E jest miary Lebesgue a zero i E, to jest też miary Lebesque a zero. (2) Jeżeli E i, i = 1, 2,... są miary Lebesgue a zero i = i=1e i, to jest też miary Lebesque a zero. OWÓ. owodu wymaga tylko punkt drugi. Zbiór E i jest miary Lebesgue a zero, więc dla każdego ɛ > 0 istnieją przedziały i,j takie, że E i j i,j i j m( i,j) < ɛ 2 i. Oczywiście mamy i,j i,j i m( i,j ) = i,j i jest miary Lebesgue a zero. m( i,j ) < j i ɛ 2 i = ɛ. Przykład. Brzeg przedziału domkniętego jest miary Lebesgue a zero. Twierdzenie 2. (Lebesgue a) Niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale domkniętym. f R() wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór punktów nieciągłości funkcji f jest miary Lebesgue a zero. CŁK PO OWOLNYM ZBIORZE OGRNICZONYM Przypomnijmy definicję funkcji charakterystycznej χ zbioru R m : { 1, dla x χ (x) = 0, dla x. efinicja 2. Niech R m i niech f : R. Całkę f z funkcji f po zbiorze definiujemy wzorem (o ile prawa strona ma sens) f = χ f. Jeżeli całka ma sens, to mówimy, że f jest całkowalna na i piszemy f R().

3 Uwaga. Funkcja f nie musi być określona na całym. Wystarczy, jeżeli jest określona na. Wówczas kładziemy f = f, gdzie { f(x) dla x f(x) = 0 dla x. Oczywiście χ f = f. Twierdzenie 3. Niech. Całka f istnieje dla każdej funkcji f R() wtedy i tylko wtedy, gdy brzeg = Ā \ Int jest miary Lebesgue a zero. OWÓ. Z definicji brzegu wynika, że zbiór jest równy zbiorowi punktów nieciągłości funkcji χ więc z istnienia całki z jedności wynika, że brzeg ma miarę Lebesgue a zero. Z kolei zbiór punktów nieciągłości iloczynu fχ zawarty jest w sumie zbioru punktów nieciągłości f i zbioru punktów nieciągłosci χ. Suma dwóch zbiorów miary Lebesgue a zero jest miary Lebesgue a zero, więc zbiór punktów nieciągłości iloczynu fχ jest miary Lebesgue a zero i z Twierdzenia Lebesgue a wynika całkowalność fχ. Powyższe twierdzenie usprawiedliwia następującą definicję: efinicja 3. Zbiór R m nazywamy jordanowsko mierzalnym (J-mierzalnym), jeżeli jego brzeg jest miary Lebesgue a zero lub równoważnie, jeżeli jego funkcja charakterystyczna χ jest całkowalna na w sensie Riemanna. Całkę χ nazywamy miarą Jordana zbioru i oznaczamy m(). Twierdzenie 4. Jeżeli zbiory 1, 2 są J-mierzalne, to (1) 1 2 jest J-mierzalny, (2) 1 2 jest J-mierzalny i jeśli 1 2 =, to m( 1 2 ) = m( 1 ) + m( 2 ), (3) 1 \ 2 jest J-mierzalny i m( 1 \ 2 ) = m( 1 ) m( 1 2 ). OWÓ. Z definicji wnętrza zbioru (Int jest największym zbiorem otwartym, zawartym w ) mamy Int( 1 2 ) Int ( 1 ) Int ( 2 ) oraz Int ( 1 2 ) = Int ( 1 ) Int ( 2 ). Z kolei dla domknięć mamy relacje 1 2 = 1 2 oraz Z definicji brzegu mamy więc Podobnie ( 1 2 ) ( 1 2 ) \ (Int ( 1 ) Int ( 2 )) ( 1 ) ( 2 ). ( 1 2 ) ( 1 2 ) \ (Int ( 1 ) Int ( 2 )) = = ( ( 1 2 ) \ Int ( 1 ) ) ( ( 1 2 ) \ Int ( 2 ) ) ( 1 ) ( 2 ). Brzegi zbiorów 1 2 i 1 2 są więc miary Lebesgue a zero. Udowodniliśmy dwa pierwsze punkty. Podobnie dostajemy mierzalność 1 \ 2. la dowolnych zbiorów 1 i 2 mamy χ 1 + χ 2 = χ χ 1 2. Jeżeli więc 1 2 =, to χ 1 2 = χ 1 + χ 2 i m( 1 2 ) = (χ 1 + χ 2 ) = χ 1 + χ 2 = m( 1 ) + m( 2 ), gdzie 1 2. W szczególności dostajemy m( 1 \ 2 ) = m( 1 ) m( 1 2 ). 3 Twierdzenie 5. Jeżeli brzeg zbioru jest lokalnie wykresem odwzorowania ciągłego, to jest J-mierzalny.

4 4 OWÓ. Wystarczy pokazać, że jeżeli mamy odwzorowanie ciągłe F : R m n R n, gdzie jest przedziałem domkniętym, to jego wykres jest miary Lebesgue a zero. (zbiór domknięty i ograniczony w R m n ) jest zbiorem zwartym, więc odwzorowanie F jest jednostajnie ciągłe. la każdego ɛ > 0 istnieje zatem δ > 0 takie, że dla każdego x = (x 1,..., x n m ) mamy F ([x δ, x + δ]) [F (x) ɛ, F (x) + ɛ], gdzie [x δ, x + δ] = [x 1 δ, x 1 + δ] [x n m δ, x n m + δ]. Zatem wykres F nad przedziałem [x δ, x + δ] jest zawarty w przedziale [x δ, x+δ] [F (x) ɛ, F (x)+ɛ], którego miara wynosi (2δ) m n (2ɛ) n. Stąd wykres F zawarty jest w sumie przedziałów, których suma miar jest mniejsza od m( ) (2ɛ) n. Możemy teraz wymienić najważniejsze własności całki Riemanna na zbiorach J-mierzalnych. Twierdzenie 6. Niech zbiory, 1, 2 R m będą J-mierzalne i niech f, g R(). Wówczas (1) Jeżeli 1, to f R( 1 ). (2) Jeżeli m() = 0, to f = 0. (3) Jeżeli = 1 2 i wnętrza 1 oraz 2 nie mają wspólnego punktu, to f = f + f. 1 2 (4) la c R mamy (f + g) = (5) f g R(). (6) Jeżeli f g, to f f + g, (cf) = c (7) f R() i f f. (8) Jeżeli g 0, m = inf x f(x) i M = sup x f(x), to dla pewnego µ [m, M] mamy fg = µ Jeżeli ponadto funkcja f jest ciągła na i zbiór jest spójny, to istnieje punkt ξ Ā taki, że fg = f(ξ) OWÓ. Niech tak jak poprzednio, { f(x), dla x f(x) = 0, dla x. (1) Punkty nieciągłości funkcji f i χ 1 tworzą zbiory miary Lebesgue a zero. To samo można więc powiedzieć o ich iloczynie. (2) Mamy inf x f(x)χ χ f supx f(x)χ, a stąd 0 = inf f(x)χ x f f. sup f(x)χ = 0. x (3) Z założeń wynika, że m( 1 2 ) = 0, więc z poprzedniego punktu i z Twierdzenia 1 f + f = f(χ 1 + χ 2 ) = fχ fχ 1 2 = fχ (4) (f + g) = ( f + g) = Podobnie dowodzimy drugą równość. f + g = f +

5 (5) Punkty nieciągłości funkcji f i g tworzą zbiory miary Lebesgue a zero. To samo można więc powiedzieć o ich iloczynie. (6) Jeżeli f g, to również f g i korzystamy z Twierdzenia 1. (7) f = f, więc f jest całkowalna na, a ponieważ f f f, dostajemy z poprzedniego punktu żądaną nierówność. (8) Mamy mg fg Mg, więc z poprzednio udowodnionych własności wynika, że m g fg M Jeżeli c = g = 0, to z nierówności tej fg = 0 i żądana równość zachodzi dla dowolnego µ. Jeżeli c 0, to kładąc µ = 1 fg dostajemy tezę. W przypadku funkcji c ciągłej (na całym ) jej kresy są osiągane w Ā. Ze spójności (więc i Ā) oraz z własności arboux wynika istnienie ξ. TWIERZENIE FUBINIEGO I O ZMINIE ZMIENNYCH Rozpatrywane dotychczas własności całki Riemanna nie przybliżają nas do praktyki liczenia całek wielokrotnych. Można z powodzeniem przyjąć tezę, że potrafimy liczyć jedynie całki na R 1 oraz sprowadzające się do nich. owodzone poniżej twierdzenie pokazuje, jak liczenie całek wielokrotnych sprowadza się do liczenia wielokrotnego całek jednokrotnych (mówi się o całce iterowanej). Twierdzenie 7. (Fubiniego) Niech 1 R m, 2 R n będą przedziałami i niech = 1 2. la funkcji f R() zdefiniujmy funkcje ϕ: 1 R i ψ : 1 R wzorami ϕ(x) = f(x, ), ψ(x) = 2 f(x, ). 2 Wówczas ϕ, ψ R( 1 ) i f = ϕ = 1 ψ. 1 W ten sposób liczenie całek wielokrotnych sprowadza się do liczenia całek iterowanych. Musimy jednak z góry wiedzieć, że całka istnieje, tzn. że funkcja f jest całkowalna. Twierdzenie 8. (o zamianie zmiennych) Niech O, O będą ograniczonymi obszarami w R m, niech K O będzie dziedziną skończoną a odwzorowanie Ψ: O O diffeomorfizmem klasy C 1. Wówczas dla funkcji ciągłej f : K R mamy f = f Ψ det Ψ, K K gdzie K = Ψ 1 (K). CŁKI NIEWŁŚCIWE Całka niewłaściwa (na zbiorze niezwartym) w przypadku wielowymiarowym różni się istotnie od omawianego w semestrze pierwszym przypadku jednowymiarowego. Niech U będzie obszarem niezwartym. Rodzina obszarów zwartych K, zawartych w U jest skierowana relacją zawierania. Przypuśćmy, że funkcja f : U R jest całkowalna na każdym K. Możemy zdefiniować całkę po U jako granicę ciągu uogólnionego K f. Różnica między przypadkiem jedno- i wielowymiarowym polega na tym, że w przypadku jednowymiarowym ograniczaliśmy się do specjalnych zbiorów zwartych przedziałów domkniętych. Rezultatem takiego ograniczenia ciągu uogólnionego jest istnienie funkcji całkowalnych na przedziale niezwartym, których wartości bezwzględne nie są całkowalne. W przypadku K 5

6 6 wielowymiarowym ograniczenie ciągu do przedziałów zwartych nie jest możliwe (nie można nimi na ogół wyczerpać obszaru niezwartego). W efekcie całkowalność funkcji pociąga za sobą jej bezwzględną całkowalność. To samo mielibyśmy w przypadku jednowymiarowym, gdyby brać granicę całek ze wzgledu nie tylko na przedziały zwarte, ale i na sumy skończone przedziałów zwartych.