P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
|
|
- Tadeusz Kasprzak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca lki równania dawa la możliwość wyznaczania rozwia zań danego równania. Analogiczne poje cie ca lki (ca lki pierwszej) można wprowadzić dla równania y = f(x, y), gdzie funkcja f : G R jest funkcja cia g la w obszarze G R 2. Nie zawsze takie ca lki istnieja, a jeśli istnieja, to ich wyznaczenie może okazać sie dość skomplikowane, ba dź nawet niemożliwe (por. ćwiczenie 5.3). Niech dany be dzie uk lad równań różniczkowych normalny (1) y = F (x, y), gdzie F : G R n, F = (f 1,..., f n ) jest odwzorowaniem cia g lym w obszrze G R n+1. Funkcje u : G 0 R klasy C 1 określona w obszarze G 0 G nazywamy ca lka pierwsza uk ladu równań (1), gdy jest ona sta la wzd luż każdego rozwia zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja cym w obszarze G 0. Dok ladniej, dla każdego rozwia zania Φ : I R n uk ladu równań (1) takiego, że (x, Φ(x)) G 0 dla x I istnieje sta la γ taka, że (2) u(x, Φ(x)) = γ, x I. Twierdzenie 1. Niech u : G 0 R be dzie funkcja klasy C 1 określona w obszarze G 0 G. Funkcja u jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona rozwia zaniem równania o pochodnych cza stkowych postaci (3) u x(x, y 1,..., y n ) + (x, y 1,..., y n )f k (x, y 1,..., y n ) = 0. Dowód. Za lóżmy najpierw, że funkcja u : G 0 R klasy C 1 jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1). Weźmy dowolny punkt (ξ, η) = (ξ, η 1,..., η n ) G 0. Pokażemy, że w tym punkcie zachodzi równość (3). Istotnie, niech Φ : I R n, Φ = (ϕ 1,..., ϕ n ) be dzie dowolnym rozwia zaniem uk ladu równań (1) o wykresie przebiegaja cym w G 0 i takim, że Φ(ξ) = η. Istnieje wtedy sta la γ taka, że u(x, Φ(x)) = γ, x I. Sta d po zróżniczkowaniu wynikaja równości u x(x, Φ(x)) + (x, Φ(x))ϕ k(x) = 0, x I. W szczególności, po uwzgle dnieniu faktu Φ (ξ) = F (ξ, Φ(ξ)) = F (ξ, η) 1
2 2 zachodzi równość u x(ξ, η)) + (ξ, η)f k (ξ, η) = 0, czyli równość (3) w punkcie (ξ, η) G 0. Odwrotnie, niech dana be dzie funkcja u : G 0 R, klasy C 1, dla której zachodza równości (3) w G 0. Weźmy dowolne rozwia zanie Φ : I R n uk ladu równań (1) o wykresie przebiegaja cym w G 0. Wówczas funkcja u(x, Φ(x)), x I jest funkcja różniczkowalna na I oraz zachodza równości d dx u(x, Φ(x)) = u x(x, Φ(x)) + Sta d, z uwagi na (3) mamy Istnieje wie c liczba γ taka, że (x, Φ(x))f k (x, Φ(x)), x I. d u(x, Φ(x)) = 0, x I. dx u(x, Φ(x)) = γ, x I. To oznacza, że funkcja u jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1). To kończy dowód. Niech dane be da funkcje u 1,..., u n : G 0 R klasy C 1 i niech be da one ca lkami pierwszymi uk ladu równań (1). Po lóżmy U = (u 1,..., u n ) i za lóżmy, że jakobian det( U y ) jest stale różny od 0. W myśl twierdzenia o funkcji odwrotnej dla każdego (ξ, η) = (ξ, η 1,... η n ) G 0 jeżeli ζ = U(ξ, η), to istnieja liczby dodatnie ε i δ takie, że dla (x, z) R n+1, x ξ < δ, z ζ < δ istnieje dok ladnie jedno y R n, y η < ε takie, że U(x, y) = z. Przy oznaczeniu y = Φ(x, z) oczywiście zachodza tożsamości (4) U(x, Φ(x, z)) = z oraz Φ(x, U(x, y)) = y odpowiednio w dostatecznie ma lych otoczeniach punktu (ξ, ζ) oraz (ξ, η). Przy powyższych oznaczeniach i za lożeniach mamy Twierdzenie 2. Przy każdym ustalonym z dostatecznie bliskim ζ odwzorowanie Φ(x, z) jest rozwia zaniem uk ladu równań (1) w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu ξ. Co wie cej, jeżeli funkcja u : G 0 R jest klasy C 1, to jest ona ca lka pierwsza uk ladu równań (1) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja w określona w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu ζ, klasy C 1 taka, że zachodzi tożsamość (5) u(x, y) = w(u(x, y)) w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η). Dowód. Ponieważ funkcje u 1,..., u n klasy C 1 sa ca lkami pierwszymi uk ladu równań (1), to spe lniaja one równania o pochodnych cza stkowych postaci (3) i w konsekwencji dla odwzorowania U mamy tożsamość U U (x, y) + (x, y)f (x, y) = 0, x y
3 3 ska d (6) ( U U ) 1 (x, y) + F (x, y) = 0 y x w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η). Ponieważ Φ jest odwzorowaniem odwrotnym do U, to z (4) otrzymujemy (7) 0 = Φ x + Φ U z x = Φ x + ( U U ) 1 y x. Z (6) i (7) otrzymujemy, że przy każdym ustalonym z dostatecznie bliskim ζ odwzorowanie Φ w pewnym otoczeeniu ξ jest rozwia zaniem uk ladu równań (1). Za lóżmy teraz, że funkcja u : G 0 R klasy C 1 jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1). Weźmy pod uwage funkcje v(x, z) = u(x, Φ(x, z)) określona w pewnym otoczeniu punktu (ξ, ζ). Ponieważ funkcja v jest klasy C 1, wie c z wykazanej pierwszej cze ści twierdzenia otrzymujemy v x = u x + f k, co z uwagi na twierdzenie 1 daje v x = 0. W konsekwencji funkcja v nie zależy od zmiennej x i za szukana funkcje w wystarczy przyja ć funkcje v. Odwrotnie, za lóżmy, ze istnieje funkcja w klasy C 1 taka, że zachodzi równość (5) w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η). Wówczas z (5) wynika równość u x + f k = j=1 w z j ( u n j x + u j f k ) = 0 y k w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η), gdyż każdy sk ladnik ostatniej sumy na mocy twierdzenia 1 jest równy 0. To kończy dowód. Przy dodatkowym za lożeniu o odwzorowaniu F zachodzi twierdzenie o istnieniu n ca lek pierwszych uk ladu równań (1) jakobianowo niezależnych. Twierdzenie 3. Jeżeli prawa strona F uk ladu równań (1) jest odwzorowaniem cia g lym w obszarze G R n+1 i posiada cia g le pochodne cza stkowe F y j, j = 1,..., n, to w otoczeniu każdego punktu (ξ, η) G istnieje n ca lek pierwszych u 1,..., u n klasy C 1 takich że jakobian det( U y ) odwzorowania U = (u 1,..., u n ) jest różny od zera. Dowód. Z przyje tych za lożeń dla odwzorowania F wynika, że istnieje odwzorowanie ogólne φ : V R n uk ladu równań (1) posiadaja ce cia g le pochodne cza stkowe φ ξ, φ η j, które spe lniaja uk lad równań Bendixona (8) φ ξ(ξ, η, x) + φ η j (ξ, η, x)f j (ξ, η) = 0, (ξ, η, x) V. j=1
4 4 Ustalmy punkt (ξ, η) G i rozważmy w pewnym otoczeniu G 0 punktu (ξ, η) odwzorowanie U(x, y) = φ(x, y, ξ), (x, y) G 0. Korzystaja c ba dź z prostej w lasności odwzorowania ogólnego otrzymujemy dla dowolnego rozwia zania Φ : I R n, ξ I uk ladu równań (1) równość (9) U(x, Φ(x)) = φ(x, Φ(x), ξ) = Φ(ξ), x I, ba dź korzystaja c z (8) otrzymujemy równość (10) U x(x, y) + U y J (x, y)f j (x, y) = 0, (x, y) G 0 j=1 Każda z tożsamości (9), ba dź (10) po uwzgle dnieniu ba dź definicji ca lki pierwszej, ba dź po uwzgle dnieniu twierdzenia 1 oznacza, że każda sk ladowa odwzorowania U jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1). Z tożsamości φ(ξ, η, ξ) = η (por. w lasność 17.1) wynika, że macierz φ η (ξ, η, ξ) jest jednostkowa, wie c z uwagi na twierdzenie 17.4 w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η) jakobian det( U y ) jest różny od zera (por. również ćwiczenie 17.2). To kończy dowód. Ćwiczenia 1. Wyznaczyć ca lki pierwsze równania o rozdzielonych zmiennych, równania jednorodnego, zupe lnego oraz równania liniowego. 2. Wyznaczyć dwie ca lki pierwsze jakobianowo niezależne uk ladu równań { y 1 = x y 2 y 2 y 1 y 2 = y 1 x y 2 y 1. Wyznaczyć rozwia zanie danego uk ladu równań przechodza ce przez punkt (ξ, η 1, η 2 ) R 3, η 1 η O uk ladach autonomicznych równań różniczkowych. Uk lady dynamiczne. Niech dany be dzie uk lad równań różniczkowych normalny (1) y = F (y), gdzie F : G R n jest odwzorowaniem cia g lym w obszarze G R n. Prawa strona uk ladu równań (1) nie zależy tutaj od zmiennej x. Uk lad równań (1) nazywać be dziemy uk ladem autonomicznym. Jeżeli F = (f 1,..., f n ) i funkcja f 1 nie przyjmuje wartości 0 w żadnym punkcie obszaru G. Wówczas
5 5 Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja u : G 0 R klasy C 1 w obszarze G 0 G jest ca lka pierwsza uk ladu równań dy 2 = f 2(y 1,..., y n ) dy 1 f 1 (y 1,..., y n )... dy n = f n(y 1,..., y n ) dy 1 f 1 (y 1,..., y n ), to jest ona też ca lka pierwsza uk ladu równań (1). Dowód. Na mocy twierdzenia 1 z poprzedniego paragrafu dla funkcji u w obszarze G 0 zachodzi równość u y 1 (y 1,... y n ) + (y 1,..., y n ) fk(y 1,..., y n ) f 1 (y 1,..., y n ) = 0. Sta d u x(y 1,... y n ) + k=2 (y 1,..., y n ) f k (y 1,..., y n ) = 0. To oznacza znów, w myśl twierdzenia 1 z poprzedniego paragrafu, że funkcja u jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1). W dalszym cia gu za lożymy, że G = R n. Za lóżmy, że przez każdy punkt (ξ, η) R R n przechodzi dok ladnie jedno rozwia zanie integralne uk ladu równań (1), które jest określone na ca lej prostej R. Przy tych za lożeniach rozwia zanie charakterystyczne φ : V R n uk ladu równań (1) jest określone na zbiorze V = R R n R. W 17 pokazano, że dla rozwia zania charakterystecznego φ zachodza równości: (2) φ(ξ, η, ξ) = η, (ξ, η) R R n oraz dla każdych ustalonych ξ, ξ 1 R, η R n (3) φ(ξ, η, x) = φ(ξ 1, φ(ξ, η, ξ 1 ), x), x R (por. w lasność 17.1). Równości (2) i (3) wykorzystamy dalej przy badaniu uk ladu równań (1). W lasność 1. Przy przyje tych oznaczeniach i za lożeniach dla uk ladu równań (1), dla każdego punktu (ξ, η) R R n oraz dla każdego t R odwzorowanie Λ : R R n dane wzorem Λ(x) = φ(ξ + t, η, x + t), x R jest rozwia zaniem uk ladu równań (1) identycznym z rozwia zaniem φ(ξ, η, x), R, to znaczy zachodzi równość (4) φ(ξ + t, η, x + t) = φ(ξ, η, x), x R. Dowód. Odwzorowanie Λ jest rozwia zaniem uk ladu równań (1). Istotnie, na mocy określenia rozwia zania charakterystycznego mamy Λ (x) = φ(ξ + t, η, x + t) = F (φ(ξ + t, η, x + t)) = F (Λ(x)), x R. x Ponadto, z równości (2), mamy Λ(ξ) = η, co z uwagi na za lożona jednoznaczność rozwia zań uk ladu równań (1) daje równość (4). Dla uk ladu równań (1) i jego rozwia zania charakterystycznego utwórzmy odwzorowanie Ψ : R R n R n określone wzorem (5) Ψ(x, y) = φ(0, y, x). x
6 6 W lasność 2. Odwzorowanie Ψ jest cia g le, ponadto dla każdego t R zachodzi równość (6) Ψ(x + t, y) = Ψ(x, Ψ(t, y)), (x, y) R R n. Dowód. Cia g lość odwzorowania Ψ wynika bezpośrednio z cia g lości odwzorowania charakterystycznego φ. W myśl określenia odwzorowania (5) i równości (3) otrzymujemy, przy każdym ustalonym t R Ψ(x + t, y) = φ(0, y, x + t) = φ(t, φ(0, y, t), x + t), ska d z uwagi na (4) i określenie (5) otrzymujemy Ψ(x + t, y) = φ(0, φ(0, y, t), x) = φ(0, Ψ(t, y), x) = Ψ(x, Ψ(t, y)). To kończy dowód. Niech X be dzie dowolna przestrzenia topologiczna. Niech dane be dzie odwzorowanie cia g le Ψ : R X X. Pare (X, Ψ) nazywamy uk ladem dynamicznym jeżeli dla każdego y X oraz dowolnych x, t R zachodza równości (7) Ψ(0, y) = y, (8) Ψ(x + t, y) = Ψ(x, Ψ(t, y)). Twierdzenie 2. Niech odwzorowanie F : R n R n be dzie odwzorowaniem cia g lym i takim, że przez każdy punkt (ξ, η) R R n przechodzi dok ladnie jedno rozwia zanie integralne uk ladu równań (1) określone na ca lej prostej R. Niech φ : R R n R R n be dzie rozwia zaniem charakterystycznym uk ladu równań (1). Wówczas uk lad równań (1) wyznacza uk lad dynamiczny (R n, Ψ), gdzie Ψ(x, y) = φ(0, y, x), (x, y) R R n. Dowód. Wynika bezpośrednio z w lasności 2 i równości (2). Ćwiczenia 1. Wyznaczyć ca lke pierwsza uk ladu równań Volterry - Lotki y 1 = (by 2 a)y 1 y 2 = (c dy 1 )y 2, gdzie a, b, c, d sa sta lymi dodatnimi. 2. Wyznaczyć uk lady dynamiczne generowane przez równania różniczkowe y = 1 e y + e y,
7 y = 1 3y Niech A = [a k,l ] 1 k,l n, gdzie a k,l R be dzie macierza kwadratowa, I = [δ k,l ] 1 k,l n, gdzie δ k,l = 1, gdy k = l, zaś δ k,l = 0, gdy k l, macierza jednostkowa. Określmy macierz e A jako sume szeregu I + A + 1 2! A ! A = k=0 1 k! Ak. Sume te rozumiemy jako granice cia gu sum cze ściowych (która zawsze istnieje) w przestrzeni macierzy R n2. W teorii równań różniczkowych dowodzi sie, że jeżeli wektory η 1,..., η n R n tworza baze w przestrzeni R n, to wektory 7 e xa η 1,..., e xa η n, x R tworza uk lad fundamentalny rozwia zań uk ladu równań y = Ay. Niech dana be dzie macierz A = Wykazać, że uk lad równań różniczkowych y = Ay indukuje uk lad dynamiczny (R 3, Ψ), gdzie Ψ(x, y) = e xa y, x R, y R Równania różniczkowe o pochodnych cza stkowych rze du pierwszego. Równaniem różniczkowym o pochodnych cza stkowych rze du pierwszego nazywamy równanie postaci F (z, x 1,..., x n, z z,..., ) = 0 gdzie F : D R jest zadana funkcja w pewnym obszarze D R 2n+1. Rozwia - zaniem tego równania nazywamy każda funkcje ϕ : G R określona w jakimś obszarze G R n taka, że dla każdego (x 1,..., x n ) G zachodza relacje i (x 1,..., x n, ϕ(x 1,..., x n ), ϕ (x 1,..., x n ),..., ϕ (x 1,..., x n )) D F (x 1,..., x n, ϕ(x 1,..., x n ), ϕ (x 1,..., x n ),..., ϕ (x 1,..., x n )) = 0. Rozważać tutaj be dziemy równania postaci (1) f 1 (x 1,..., x n ) z + + f n (x 1,..., x n ) z = 0,
8 8 gdzie f 1,..., f n : G R sa danymi funkcjami klasy C 1 w obszarze G R n, które nie znikaja jednocześnie w żadnym punkcie zbioru G. Równanie (1) nazywać be dziemy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym o pochodnych cza stkowych. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że f 1 (x 1,..., x n ) 0 dla (x 1,..., x n ) G. Rozważmy uk lad równań zwyczajnych dy 2 dx = f 2(x, y 2,..., y n ) f 1 (x, y 2,..., y n ) (2)... dy n dx = f n(x, y 2,..., y n ) f 1 (x, y 2,..., y n ) w obszarze G. Niech P 0 = (ξ 1, ξ 2,... ξ n ) be dzie dowolnym punktem obszaru G. Niech funkcje u 2 = u 2 (x, y 2,..., y n ),..., u n = u n (x, y 2,..., y n ), klasy C 1 be da ca lkami pierwszymi uk ladu równań (1) w pewnym otoczeniu punktu P 0 takimi, że jakobian (3) det (u 2,..., u n ) (y 2,..., y n ) nie znika w tym otoczeniu. Wówczas zachodzi Twierdzenie 1. Ogó l rozwia zań równania (1) w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu P 0 jest postaci (4) ϕ(x 1, x 2,..., x n ) = w(u 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., u n (x 1, x 2,..., x n )), gdzie w jest dowolna funkcja o cia g lych pochodnych cza stkowych w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu Q 0 = (ζ 2,..., ζn) = (u 2 (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ),..., u n (ξ 1, ξ 2,..., ξ n )) R n 1 Dowód. Ponieważ funkcje u 2,..., u n sa ca lkami pierwszymi uk ladu równań (2), to w pewnym otoczeniu punktu P 0 zachodza równości u k x + n l=1 u k y l fl f 1 = 0 k = 2,..., n, czyli równości u n k (5) f 1 x + u k f l = 0 k = 2,..., n. y l l=1 Widać wie c, że ca lki pierwsze u 2,..., u n uk ladu równań (1) sa jednocześnie rozwia - zaniami równania (1) w pewnym otoczeniu punktu P 0.
9 Weźmy dowolna funkcje w o pochodnych cza stkowych cia g lych w otoczeniu punktu Q 0 i utwórzmy w pewnym otoczeniu punktu P 0 funkcje postaci (4). Funkcja ta posiada cia g le pochodne cza stkowe w otoczeniu puktu P 0 i z uwagi na (5), zachodza w tym otoczeniu równości f 1 ϕ + + f n ϕ = f 1 w z j u j x + f 2 w u j (f 1 z j x + f 2 w z j u j y f n u j u j + f n ) = 0. y 2 y n 9 w z j u j y n = To oznacza, że każda funkcja postaci (4) jest rozwia zaniem równania (1) w otoczeniu punktu P 0. Odwrotnie, weźmy dowolne rozwia zanie ϕ równania (1) w otoczeniu punktu P 0. Wtedy w tym otoczeniu zachodza równości (6) f 1 ϕ + + f n ϕ = 0. W myśl przyje tych za lożeń dla odwzorowania U = (u 2,..., u n ) w otoczeniu punktu P 0 = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) istnieje odwzorowanie odwrotne Λ = (λ 2,..., λ n ) w otoczeniu punktu (ξ 1, ζ 2,..., ζ n ) i zachodzi tożsamość w otoczeniu punktu P 0 (7) (Λ U)(x, y 2,..., y n ) = (y 2,..., y n ), ska d wynikaja tożsamości (8) λ k z j { u j 1, k = m = y m 0, k m, k, m = 2,..., n, (9) λ k x + n λ k u j z j x = 0, k = 2,..., n. Weźmy pod uwage funkcje (10) ω(x 1, z 2,..., z n ) = ϕ(x 1, λ 2 (x 1, z 2,..., z n ),..., λ n (x 1, z 2,..., z n )) w pewnym otoczeniu (ξ 1, ζ 2,..., ζ n ). Posiada ona cia g le pochodne cza stkowe. Z tożsamości (9) i faktu, że funkcje u 2,..., u n spe lniaja równanie (1) w otoczeniu punktu P 0 otrzymujemy równości (11) f 1 λ k = f k k = 2,..., n. Dla funkcji (10), z uwagi na równości (11) i fakt, że funkcja ϕ spe lnia równanie (1) mamy ω ϕ f 1 = f 1 + ϕ λ 2 f ϕ λ n f 1 = 0, x 2
10 10 co przy za lożeniu, że funkcja f 1 nigdzie nie znika, daje, że funkcja ω nie zależy od zmiennej x 1. Przyjmuja c w otoczeniu punktu Q 0 otrzymujemy, z uwagi na (7) i (10) w(z 2,..., z n ) = ω(x 1, z 2,..., z n ) w(u 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., u n (x 1, x 2,..., x n )) = ϕ(x 1, x 2,..., x n ) w pewnym otoczeniu punktu P 0. To kończy dowód. Tak jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych, aby wyróżnić jakieś rozwia zanie szczególne równania o pochodnych cza stkowych (1) należy przyja ć jakieś dodatkowe warunki, na przyk lad warunki Cauchy ego. Warunki Cauchy ego polegaja na wyznaczeniu takiego rozwia zania ϕ równania (1) w otoczeniu punktu P 0 = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) G takiego, że (12) ϕ(ξ 1, x 2,..., x n ) = ψ(x 2,..., x n ), gdzie ψ jest zadana funkcja klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu (ξ 2,..., ξ n ). Przyjmijmy, jak poprzednio za lożenia, że funkcje f 1,..., f n sa klasy C 1 w obszarze G R n i funkcja f 1 nie znika w żadnym punkcie obszaru G. Niech P 0 = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) be dzie dowolnym punktem obszaru G. Niech funkcja ψ be dzie funkcja klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu (ξ 2,..., ξ n ) R n 1. Niech funkcje u 2,..., u n klasy C 1 be da ca lkami pierwszymi uk ladu równań (2) w otoczeniu puktu P 0 takim, że jakobian (3) nie znika w tym otoczeniu. Po lóżmy U = (u 2,..., u n ) oraz U(ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) = (ζ 2,..., ζ n ). Niech Λ = (λ 2,..., λ n ) be dzie odwzorowaniem odwrotnym do U w otoczeniu punktu (ξ 1, ζ 2,..., ζ n ). Wówczas mamy Twierdzenie 2. W otoczeniu punktu P 0 istnieje rozwia zanie równania (1) spe lniaja ce warunek pocza tkowy (12) i jest ono postaci (13) ϕ(x 1, x 2,..., x n ) = ψ(λ 2 (ξ 1, U(x 1,..., x n )),..., λ n (ξ 1, U(x 1,..., x n ))). Dowód. Na mocy twierdzenia 1 mamy, że funkcja postaci (13) jest rozwia zaniem równania (1), bo prawa strona (13) jest postaci (4). Co wie cej, z uwagi na (7) mamy równość ϕ(ξ 1, x 2,..., x n ) = ψ((λ U)(ξ 1, x 2,..., x n )) = ψ(x 2,..., x n ), co oznacza, że funkcja (13) spe lnia warunek Cauchy ego (12) w pewnym otoczeniu punktu (ξ 2,..., ξ n ) Uwaga 1. Można pokazać, że funkcja (13) w otoczeniu punktu P 0 jest jedynym rozwia zaniem równania (1) spe lniaja cym warunek (12).
11 Uwaga 2. Metody rozwia zywania równania (1) podane w twierdzeniach 1 i 2 można zastosować też do równania liniowego o pochodnych cza stkowych postaci 11 (14) f 1 (x 1,..., x n, z) z + + f n (x 1,..., x n, z) z = g(x 1,..., x n, z). Mianowicie, budujemy równanie liniowe jednorodne postaci (15) f 1 (x 1,..., x n, z) u + + f n (x 1,..., x n, z) u + g(x 1,..., x n, z) u z = 0. Jeżeli dla równania (15) można zastosować twierdzenie 1 w otoczeniu pewnego punktu (ξ 1,..., ξ n, z 0 ) R n+1 i wyznaczyć n ca lek pierwszych jakobianowo niezależnych u 1 = u 1 (x 1,..., x n, z),..., u n = u n (x 1,..., x n, z) odpowiedniego uk ladu równań zwyczajnych (analogicznego do (2)) tak, że funkcja (16) v(u 1,..., x n, z),..., u n (x 1,..., x n, z)) jest rozwia zaniem równania (15) przy pewnej funkcji v określonej w pewnym otoczeniu punktu (u 1 (ξ 1,..., ξ n, z 0 ),..., u n (ξ 1,..., ξ n, z 0 )) i potrafimy rozwia zać równanie (17) v(u 1,..., x n, z),..., u n (x 1,..., x n, z)) = 0 wzgle dem z, to tak otrzymana funkcja zmiennych x 1,..., x n równania (14). Ćwiczenia 1. Wyznaczyć ogó l rozwia zań równania jest rozwia zaniem (1 + x 2 1) z + x 1 x 2 z x 2 = 0 oraz wyznaczyć rozwia zanie spe lniaja ce warunek Cauchy ego ϕ(0, x 2 ) = x 2 2.
Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowo2. Równania nieliniowe i ich uk lady
Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
I Newton sformu lowa l podstawowe zasady dynamiki Druga zasada dynamiki ma postać wzoru F = m a F oznacza tu si le dzia laja ca na cia lo o masie m, a oznacza przyspieszenie tego cia la Przyspieszenie
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.
Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem
Bardziej szczegółowoczastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda
Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowo5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoTekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda
Tekst poprawiony 27 XII, godz. 7:56. Być może dojda naste pne zadania Definicja 7. krzywej) Niech P oznacza dowolny przedzia l niezdegenerowany. Przekszta lcenie r: P IR k nazywamy krzywa. Jeśli r jest
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowo2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias
Wielomiany kwadratowe Wielomian a + + c nazywamy kwadratowym lu wielomianem drugiego stopnia, jeśli a jest licza różna od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a i a 0. Możemy napisać a + + c = a ( + a )
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoMatematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 00 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu dla matematyki
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe wste
3 grudnia 2007 orawi lem dowód twierdzenia o rzybliżeniach dziesie tnych Zajmiemy sie teraz cia gami nieskończonym, ale zaisywanymi w ostaci sum. Definicja 2. (szeregu) Niech (a n ) be dzie dowolnym cia
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ
RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe drugiego rze
Przyk lad 14.1 Omówimy jeszcze jeden przyk lad zagadnienia prowadza cego do równania pierwszego rze. Za lóżmy, że spadochroniarz wyskoczy l z samolotu na wysokości 1500 m i że spada swobodnie aż do wysokości
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2, cze ść dziesia ta
Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada
Bardziej szczegółowoZadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2
Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoFunkcja może mieć lokalne ekstrema jedynie w punktach, w których jej gradient, czyli wektor f = grad f = [ f
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 005 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie jest bardzo trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoV. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach
V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat 1 potrzebny w
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoWersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.
1. Czy prawda jest, że a) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; b) y R x R y 2 > 1 1+x 2 ; c) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; d) x R y R y 2 > 1 1+x 2? 2. Czy naste puja ca relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja
Bardziej szczegółowo4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że
4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio
Bardziej szczegółowostkowych Toruń, 12 22.11.2002 równaniu Poissona
Warsztaty z równań różniczkowych cza stkowych Toruń, 12 22.11.2002 Centrum Badań Nieliniowych im. J. Schaudera Równanie Poissona Tadeusz NADZIEJA Instytut Matematyki, Uniwersytet Zielonogórski ul. Podgórna
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoZastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia
Zastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia 1 Metoda ι Grama Schmidta zortogonalizować uk lad funkcji {x n } n= a) na odcinku 1; 1 z waga ι ρx) = 1, b) na prostej ; ) z waga ι ρx)
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoMatematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia
Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowodkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste dziemy z liczba
1. Liczby zespolone Cia lo liczb rzeczywistych be dziemy oznaczać symbolem R, pierścień liczb ca lkowitych symbolem Z, a zbiór liczb naturalnych symbolem N. Przyjmujemy, że 0 / N. Rozważmy zbiór C = R
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.
Bardziej szczegółowocie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia
8. UK LADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. DIAGONALIZACJA MACIERZY. W porzednim paragrafie zdefiniowaliśmy poje cie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia zania go, w przypadku, gdy uk lad jest uk ladem
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowo