WPPT 2r., sem. letni KOLOKWIUM 1 Wroc law, 19 kwietnia 2011

Transkrypt

1 A N A L I Z A F U N K C J O N A L N A WPPT r, sem letni KOLOKWIUM Wroc law, 9 kwietnia 0 ZADANIE ab W pewnej przestrzeni mamy wie metryki i przy czym czyni nasz a przestrzeń zwart a a jest s labsza o (tzn x n x = xn x) ) Uowonij, że metryki te s a równoważne ) Czy s a one jenostajnie równoważne? ) Brakuje implikacji przeciwnej la zbieżności Niech x n x Ze zwartości, każy poci ag tego ci agu ma poci ag zbieżny w Do zbieżności x n x wystarczy teraz pokazać, że każy poci ag zbieżny w ma granicȩ x Niech y oznacza granicȩ takiego poci agu Skoro jest s labsza, to poci ag ten zbiega o y również w Ale my wiemy, że w każy poci ag zbiega o x St a y = x Koniec ) Tak, to wynika z tego, że (X, ) jako homeomorficzna z (X, ) jest też zwarta Ientyczność jest teraz funkcj a ci ag l a miȩzy przestrzeniami zwartymi (X, ) i (X, ) (i owrotnie), a taka funkcja jest jenostajnie ci ag la (w obie strony) ZADANIE a Niech C ([0, ]) oznacza zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych na [0, ] maj acych ci ag l a pochon a Wykaż,że f = f(0) + f sup jest norm a zupe ln a w C ([0, ]) Norma funkcji zerowej jest oczywiście zero Normȩ zero ma tylko funkcja o pochonej zero (czyli sta la) i wartości zero w zerze, czyli ta sta la jest zero Jenoroność i poaytywność: af = af(0) + (af) sup = a f(0) + a f sup = a f, f + g = f(0) + g(0) + (f + g) sup f(0) + g(0) + f sup + g sup = f + g Zupe lność: Niech f n bȩzie postawowy w tej normie Z tego wynika, że f n (0) jest ci agiem postawowym w R i f n jest ci agiem postawowym w normie supremum funkcji ci ag lych W obu przypakach jesteśmy w przestrzeniach zupe lnych, wiȩc istniej a y = lim n f n (0) i funkcja ci ag la g = lim n f Niech f oznacza taki wybór funkcji pierwotnej la g, że f(0) = y Twierzimy, że f n zbiega o f w naszej normie Do tego trzeba sprawzić wie rzeczy: f n (0) f(0), i to jest prawa, bo f(0) = y, oraz f n f jenostajnie, co też jest praw a, bo f = g Koniec ZADANIE b W zbiorze c 0 ci agów zbieżnych o zera wprowazamy normȩ za pomoc a,,szeregu uzbieżniaj acego : (x n ) = c n x n, n=

2 gzie n c n > 0 i n c n < przestrzeni a Banacha? Czy tak uzyskana przestrzeń unormowana jest Nie Rozważmy nastȩpuj acy,,ci ag ci agów : x k = (x k n) = (,,,,, 0, 0, 0, ), gzie na pocz atku jest k jeynek Ci agi x k należ a o c 0 Zbieżność w normie z szeregiem uzbieżniaj acym jest równoważna zbieżności po wspó lrzȩnych (na ćwiczeniach owoziliśmy równoważność takich zbieżności), zatem granic a ci agu x k (przy k ) jest ci ag samych jeynek x = (,,, ), który nie należy o c 0 Zatem w przestrzeni c 0 z tak a norm a ci ag x k po prostu nie jest zbieżny Teraz sprawzimy, że jenak jest on postawowy Ale to jest oczywiste, gyż, jak zauważyliśmy, w wiȩkszej przestrzeni (ci agów zbieżnych albo ci agów ograniczonych) x k jest zbieżny po wspó lrzȩnych, czyli w normie z szergiem uzbieżniaj acym A ci ag zbieżny w normie jest postawowy w tej normie Ta postawowość nie zależy już o tego w jakiej przestrzeni rozważamy any ci ag, o ile stosujemy t a sam a normȩ Zatem x k jest postawowy w c 0 z rozważan a norm a (z szeregiem uzbieżniaj acym) W rozważanej przestrzeni unormowanej wskazaliśmy ci ag postawowy ale nie zbieżny, czyli nie ma zupe lności ZADANIE 3a Czy ci ag {, x, x, x 3, } jest baz a topologiczn a w C([0, ]) (z norm a supremum)? Wskazówka: Rozważ funkcjȩ f(x) = +x i sprawź czy zbieżność szeregu Taylora jest jenostajna Wykaż, że nie ma innego szeregu potȩgowego zbieżnego jenostajnie o tej funkcji Za lóżmy, że istnieje szereg potȩgowy n= a nx n zbieżny jenostajnie o funkcji f na [0, ] Wtey możne taki szereg różniczkować wyraz po wyrazie i w latwy sposób ostaniemy f (n) (0) = n!a n, czyli a n = f (n) (0) n!, co oznacza, że nasz szereg to szereg Taylora tej funkcji Ale szereg Taylora funkcji f jest znany: to n=0 ( x)n Ten szereg zbiega o funkcji f na [0, ), a w nie ma nawet zwyk lej zbieżności (sumy czȩściowe w wynosz a na przemian i 0), wiȩc tym barziej nie ma zbieżności jenostajnej na [0, ] Czyli szeregu jenostajnie zbieżnego ż aanej postaci nie ma ZADANIE 3b Weźmy zbiór funkcji zespolonych (określonych na C) {f n : n Z}, gzie f n (z) = z n Sprawź, że jest to uk la liniowo niezależny na C w C(C) Wskazówka: skorzystaj z zasaniczego twierzenia algebry (o ilości pierwiastków wielomianu) UWAGA, trzeba najpierw coś zrobić z wyk lanikami ujemnymi!!!

3 Weźmy owoln a (skończon a) kombinacjȩ liniow a funkcji z tej roziny ze wspó lczynnikami zespolonymi Zawsze można j a zapisać tak (najwyżej niektóre wspó lczynniki bȩ a zerami): N f(z) = a n z n n= N Niestety, nie jest to wielomian, ze wzglȩu na wystȩpowanie potȩg ujemnych Ale można to naprawić mnoż ac f przez z N : g(z) = f(z)z N = N n= N a n z n+n To już jest wielomian, gyż wyk laniki n + N s a ca lkowite i nieujemne (przebiegaj a wartości o 0 o N) Gyby f by la funkcj a tożsamościowo równ a zero (zero w przestrzeni funkcji), to również funkcja g by laby tożsamościowo równa zero Wielomian stopnia skończonego ma co najwyżej tyle pierwiastków jakiego jest stopnia, a wielomian g (tożsamościowo równa zeru) ma nieskończenie wiele pierwiastków To oznacza, że jest to wielomian zerowy i wszystkie wspó lczynniki a n s a zerami Ale to by ly też wspó lczynniki zeruj acej siȩ kombinacji liniowej funkcji f n = z n To oznacza niezależność liniow a tych funkcji ZADANIE 4ab Czy ci ag (a n ) n, gzie a n = log(n n ) należy o l? A o l? UWAGA: Ci ag ten startuje o n = ze wzglȩów czysto formalnych (bo w jeynce wychozi zero w mianowniku) Wsk Skorzystaj z kryterium ca lkowego zbieżności szeregu Zauważmy, że log(n n ) = n log n Trzeba sprawzić zbieżność ca lek x log x x i x log x x W pierwszej ca lce zapisuj ac x log x jako x log x wizimy, że licznik jest pochon a mianownika Zatem funkcj a pierwotn a jest logarytm mianownika, czyli log(log x) Ta funkcja zmierza o nieskończoności przy x, zatem ca lka jest rozbieżna i (a n ) / l Druga ca lka jest oczywiście zbieżna, bo zbieżna jest ca lka z x, a nasza funkcja poca lkowa już la x > e jest mniejsza (i naal nieujemna) Czyli (a n ) l ZADANIE 5a Niech W bȩzie poprzestrzeni a omkniȩt a przestrzeni Hilberta V Wykaż, że zbór wszystkich wektorów ortogonalnych o wszystkich elementów W jest poprzestrzeni a liniow a omkniȩta (Przestrzeń t a oznaczamy przez W ) Wykaż, że (W ) = W

4 ROZWIA ZANIE (powininno sk laać siȩ z czterech czȩści) ) Niech x, y W, α, β R Niech w W Wtey αx + βy, w = α x, w + β y, w = 0 Zatem αx + βy W, czyli W jest p liniow a ) Niech x n W, x = lim n x n w normie Wtey la każego w W, z ci ag lości iloczynu skalarnego w normie, mamy x, w = lim n x n, w = lim n 0 = 0 St a x W co owozi omkniȩtości W 3) Niech x W, y W Wtey z efinicji W, x, y = 0, a zatem x (W ) Czyli W W 4) Na owrót, niech x W Ponieważ W jest przestrzeni a omkniȩt a, to x ma jenoznaczny rozk la na u+v = x W +(x x W ), u = x W W i v = x x W W Ponieważ v W, a x W to x, v = 0 Czyli 0 = x, v = u, v + v, v Ponieważ u W i v W to pierwszy iloczyn wynosi zero Zatem ostatni też musi być zero, a to jest kwarat normy v Zatem v = 0, st a x = u W ZADANIE 5b S a trzy ważne w lasności przeliczalnego uk lau wektorów przestrzeni Hilberta: ortogonalność, normalność i zupe lność (rozpinanie ca lej przestrzeni) W przestrzeni l rozważmy nastȩpuj acy uk la wektorów {e, e, } (zapisanych jeen po rugim, jako wiersze): (, 0,, 0,, 0, 4, 0, 4, 0, 8, 0, ( 0,, 0, 0, 0,, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 8, 0, ) 4, ), 0, 0, ) ( 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ) (w każej kolumnie jest ok lannie jeen wspó lczynnik niezerowy) Sprawź, które z trzech postawowych w lasności spe lnia ten uk la, a których nie W każym mierszu wyrazy niezerowe przebiegaj a ci ag ( ) n Zatem norma takiego wiersze wynosi e k = (( ) n ) = n = n= Po spierwiastkowaniu ostajemy, że jest to uk la wektorów unormowanych Ortogonalność: iloczyn skalarny wóch różnych wektorów e k, e j w można wyliczać w stanarowej bazie i wtey jest to po prostu suma iloczynów po wspó lrzȩnych n=

5 Ale na każej wspó lrzȩnej co najwyżej jeen z ci agów ma element niezerowy, wiȩc na każej wspó lrzȩnej nasz iloczyn wynosi zero St a jest to uk la ortonormalny 3 Nie jest to uk la zupe lny w l, bo nie można nim wygenerować na przyk la elementu maj acego niezerow a pierwsz a i zerow a trzeci a wspó lrzȩn a (na przyk la v = (, 0, 0, ) l ) Tomasz Downarowicz