Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Transkrypt

1 Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci: n P (t) = a n t n + a n t n + + a t + a 0 = a k t k k=0 Taka postać wielomianu nazywamy postacia kanoniczna. drugiego i trzeciego stopnia: W szczególności interesuja nas wielomiany oraz P (t) = at + bt + c Q(t) = at + bt + ct + d Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taka liczbe, że P () = 0. Pierwiastki to zwykle to, co interesuje nas najbardziej, dlatego dużo uwagi poświe ca sie sposobom ich szukania. Znaja c pierwiastki, możemy przedstawić wielomian w postaci: P (t) = a n (t )(t )(t ) (t n ) = a n n k= (t k ) ( ) Dla wielomianów drugiego stopnia istnieja wzory, dzie ki którym potrafimy latwo odnaleźć pierwiastki. Zachodzi poniższy fakt: Pierwiastki równania kwadratowego at + bt + c = 0 można znaleźć dok ladnie wtedy, gdy wyróżnik równania, oznaczany symbolem, jest nieujemny. Sa one równe: = b 4ac 0 = b y = b + a a Gdy wyróżnik jest równy zeru, wtedy = y, co oznacza, że wielomian przecina oś OX dok ladnie w jednym punkcie; gdy wyróżnik jest ujemny, to wielomian ten nie ma punktów wspólnych z osia odcie tych. Dla wielomianów trzeciego stopnia sprawa nie jest już taka latwa. Co prawda istnieja wzory pozwalaja ce policzyć pierwiastki takiego równania, zwane wzorami Cardano, sa one jednak dość skomplikowane i nie daja wymiernych efektów. Maja c do czynienia z równaniem trzeciego stopnia, be dziemy musieli sie zdać na inuicje (przynajmniej w przypadku znajdowania pierwszego pierwiastka: gdy mamy już jeden, możemy znaleźć pozosta le dwa licza c wyróżnik pozosta lej cze ści).

2 Dalej, interesuje nas zagadnienie dzielenia wielomianów: bo jeśli znajdziemy (zgadniemy) jeden pierwiastek równania trzeciego stopnia, to zamiast pisać możemy zapisać to w postaci zbliżonej do (*): P (t) = at + bt + ct + d P (t) = a(t z)(t + et + f) A pierwiastki równania (t + et + f) potrafimy znaleźć licza c wyróżnik. Dla uproszczenia notacji, bedziemy przyjmować, ze wspó lczynnik przy najwyższej pote dze jest równy (zawsze mozemy równanie podzielić przez różna od zera sta la ). Poje cia g lówne Zachodzi bardzo interesuja cy fakt:, y sa pierwiastkami wielomianu P (t) = t + at + b dok ladnie wtedy, gdy: + y = b oraz y = c. Dowód tego prostego faktu pozostawimy czytelnikowi jako nietrudne ćwiczenie (wykorzystuja ce wzory z wyróżnikiem). Zapisujemy to także w postaci: Pierwiastkami równania t ( + y)t + y = 0 sa liczby, y. Fakt ten nazywamy wzorami Viete y. Zachodzi naturalne rozwinie cie wzorów Viete y dla wielomianów wyższych stopni: Pierwiastkami równania t ( + y + z)t + (y + yz + z)t yz = 0 sa liczby, y, z. I analogicznie dla kolejnych wielomianów: wspolczynnik przy najwyższej pote dze to, przy kolejnej: suma pierwiastków ze znakiem minus, przy kolejnej: suma iloczynów par pierwiastków, dalej: suma trójek ze znakiem minus, suma czwórek ze znakiem plus etc, aż dochodzimy do wyrazu wolnego (tj. takiego, który stoi przy t 0 ), który jest równy iloczynowi wszystkich pierwiastków (z odpowiednim znakiem: plus, jeśli mamy parzysta ilość pierwiastków i minus, jeśli nieparzysta ). Fakt ten jest latwo zauważalny, jeśli z postaci (*) przechodzimy do postaci kanonicznej wielomianu. Oznaczmy przez σ n wspó lczynnik stoja cy przy n-tym wyrazie od przodu (za wyja tkiem pierwszego) wielomianu w postaci kanonicznej, przy czym σ be dzie zapominać znak, tj. sigmy be da równe sumom odpowiednich iloczynów. Dla przyk ladu, dla wielomianu trzeciego stopnia be dziemy mieli: I wielomian zapiszemy jako: σ = + y + z σ = y + yz + z σ = yz P (t) = t σ t + σ t σ Oznaczamy oprócz tego sume pote gowa, czyli sume n-tych pote g: S n = n + y n + z n (odpowiednio, s n = n + y n dla wielomianów drugiego stopnia - dla czytelności sume pote gowa trzech zmiennych be dziemy oznaczać dużym S, dwu zmiennych - s). Jeszcze tylko jedna obserwacja i możemy stosować poznana wiedze. Dla wielomianów drugiego stopnia mamy: s n+ = n+ + y n+ = n+ + y n+ + n+ y + y n+ n+ y y n+

3 = n+ ( + y) + y n+ ( + y) n y y n y = ( n+ + y n+ )( + y) y( n y n ) = s n+ σ s n σ Analogiczne przekszta lcenia dla sum pote gowych trzech wyrazów daja nam wyrażenie: S n+ = S n+ σ S n+ σ + S n σ Zauważmy teraz jeszcze tylko, ze dla wielomianów dwu zmiennych: A dla wielomianów trzech zmiennych: σ = + y = s s = + y = + y + y y = ( + y) y = σ σ S = + y + z = σ S = + y + z = + y + z + y + yz + z (y + yz + z) = = ( + y + z) σ = σ σ S 0 = 0 + y 0 + z 0 = Maja c pierwsze wyrazy tego cia gu, możemy zawsze latwo wyznaczyć sigmy: a znaja c sigmy, po lożyć je do wielomianu i znaleźć pierwiastki. Zadania. Liczby, y, z spe lniaja równosci: { + y + z = a + y + z = a Udowodnij, że co najmniej jedna z nich równa sie a.. Suma trzech liczb ca lkowitych, y, z jest równa 0. Udowodnij, że liczba + y + z jest kwadratem liczby ca lkowitej.. Rozwia ż uk lad równań: + y + z = + y + z = 4 + y + z = 0 4. Rozwia ż uk lad równan: + y + z = + y + z = + y + z = 5. Udowodnij, ze dla liczb nieujemnych, y, z, których suma jest równa, zachodzi poniższe szacowanie: 0 y + yz + z yz Rozwia zać uk lad równań. + y + z = y 4 + z 4 = 48 y z =

4 7. Rozwia zać uk lad równań. { + y = 5 y = 6 8. Rozwia zać uk lad równań. { + y = + y = Rozwia zać uk lad równań. { + y = y 4 = 97 4 Rozwia zania. Pomnóżmy drugie wyrażenie przez yz, mamy: oraz oczywiście y + yz + z = yz a σ = aσ σ = a Napiszmy zatem wielomian o pierwiastkach, y, z: P (t) = t at + σ t σ a = t (t a) + σ (t a) = (t a)(t σ ) Jednym z pierwiastków wielomianu P (t) jest a, wie c jedna z liczb, y, z musi byc a, cbdo.. Oczywiście, wprowadźmy wielomian o pierwiastkach, y, z. P (t) = t σ t + σ t σ. Na mocy twierdzenia Viete a: σ = + y + z = 0 Wstawiamy do tego wielomianu, y, z: 0 = + σ σ 0 = y + σ y σ 0 = z + σ z σ Pomnóżmy te równania odpowiednio przez, y, z i dodajmy stronami. Mamy: Ponadto wiemy, że: 4 + σ σ + y 4 + σ y σ y + z 4 + σ z σ z = y 4 + z 4 + σ ( + y + z ) σ ( + y + z) = 0 Wstawiaja c to do poprzedniego równania mamy: 4 + y 4 + z 4 + σ ( + y + z ) = 0 + y + z = ( + y + z) σ = σ 4 + y 4 + z 4 = (σ ). Mamy, że σ = σ = ( + y + z) y z = 4 = 5 σ = + y + z ( + y + z y yz z)( + y + z) = 4

5 Mamy zatem wielomian: = S (S σ )σ 0 (4 + 5) = = 6 P (t) = t t 5t + 6 Nietrudno zauważyć, że pierwiastki tego wielomianu to, - oraz. 4. latwo zauwazyć, ze pierwiastki to, i Lewa strona nierówności jest trywialna: y + yz + z yz = y yz + yz yz + z = y( z) + yz( ) + z = = y( + y) + yz(y + z) + z 0 Prawa natomiast, już ciekawsza, pozwala na wykorzystanie świeżo zdobytej wiedzy. zgodnie ze schematem: y + yz + z = σ Oznaczmy Nasza nierówność przyjmuje zatem postać: yz = σ Zgodnie z treścia zadania mamy: No i nasz ulubiony wielomian ma teraz postać: σ σ 7 7 σ = P (t) = t t + σ t σ = t t + σ t σ Widzimy, ze końcówka tego wyrażenia jest dość podobna do wyrażenia, które mamy szacować. Policzmy P ( ) : P ( ) = σ σ Wystarczy zatem pokazać, że P ( ) 6 I jest to dość jasne: jeśli któraś z liczb, y, z jest wie ksza od, i tylko jedna może taka być, wtedy P ( ) = ( )( y)( z) 0 Jeśli natomiast wszystkie sa mniejsze od, możemy skorzystać z szacowania pomie dzy średnia geometryczna a arytmetyczna : 6.,, Rozwia zanie:,. 8. Rozwia zania:,. 9. Rozwia zanie:,. P ( ) = ( )( y)( z) + y + z = 6 5