Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:"

Transkrypt

1 Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: 1 x X x x, (zwrotność) 2 x, y, z X (x y y z) = x z (przechodniość) 3 x, y X (x y y x) = x = y (antysymetryczność) 4 x, y X x y y x (liniowość) 5 A X, A a A x A a x (każdy niepusty podzbiór X ma element najmniejszy) Element ten bȩdziemy oznaczać przez min(a) UWAGA: Bȩdziemy pisać x < y gdy x y x y Parȩ (X, ) nazywamy zbiorem dobrze uporz adkowanym Jeśli X jest zbiorem pustym, to nie można w nim zdefiniować porz adku, mimo to też nazwiemy zbiorem dobrze uporz adkowanym Definicja: Odcinkiem pocz atkowym w porz adku (X, ) nazywamy dowolny podzbiór A X spe lniaj acy warunek (a A x a) = x A (Zbiór pusty jest odcinkiem pocz atkowym, bo poprzednik tej implikacji jest zawsze fa lszywy) Ćwiczenie: Jeśli A jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ), to albo A = X albo A = {x X : x < a} dla pewnego a X Ćwiczenie: Jeśli A jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ), to A jest dobrze uporz adkowany (porz adkiem obciȩtym do A A) Ćwiczenie: Jeśli A jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ) i B jest odcinkiem pocz atkowym w (A, ), to B jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ) Definicja: Dwa dobrze uporz adkowane zbiory (X, ) i (Y, ) nazywamy izomorficznymi jeśli albo oba s a puste, albo oba s a niepuste i istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i na ) f : X Y zachowuj aca porz adek, tzn spe lniaj aca dla dowolnych x, y X warunek x y = f(x) f(y) (Ćwiczenie: wtedy x y f(x) f(y)) Wiadomo, że (przy za lożeniu aksjomatu wyboru (AC)) każdy zbiór można dobrze uporz adkować

2 LICZBY PORZA DKOWE Liczby porz adkowe to pewne ustalone zbiory dobrze uporz adkowane (miȩdzy innymi jest też liczb a porz adkow a) Każdy zbiór dobrze uporz adkowany jest izomorficzny z jedyn a liczb a porz adkow a Liczby porz adkowe oznaczać bȩdziemy przez, (α, ), (β, ), itp Zazwyczaj jednak bȩdziemy pomijać znak porz adku i pisać tylko α, β, itp, a zamiast bȩdziemy pisać 0 W lasności liczb porz adkowych: 1 Dla dowolnych liczb porz adkowych α i β albo α jest izomorficzna z pewnym odcinkiem pocz atkowym w β albo odwrotnie Jeśli zachodz a oba warunki, to α = β Oznacza to, że w klasie liczb porz adkowych można wprowadzić porz adek liniowy α β α jest izomorficzna z pewnym odcinkiem pocz atkowym w β 2 Każda liczba porz adkowa α jest izomorficzna ze zbiorem wszystkich liczb porz adkowych ostro mniejszych od niej De facto, każda liczba porz adkowa JEST zbiorem wszystkich liczb porz adkowych ostro mniejszych od niej To zdanie definiuje liczby porz adkowe Liczbami porz adkowymi s a: oznaczany przez 0 {0} oznaczany przez 1 {0, 1} oznaczany przez 2 {0, 1, 2, } oznaczany przez ω (lub ω 0 ) (tożsamy ze zbiorem N 0 ) {0, 1, 2,, ω} oznaczany przez ω + 1 {0, 1, 2,, ω, ω + 1} oznaczany przez ω + 2 {0, 1, 2,, ω, ω + 1, ω + 2, } oznaczany przez 2ω {0, 1, 2,, ω, ω + 1, ω + 2,, 2ω} oznaczany przez 2ω + 1 {0, 1, 2,, ω, ω + 1, ω + 2,, 2ω, 2ω + 1, 2ω + 2, } oznaczany przez 3ω 3ω + 1 4ω 5ω ωω (oznaczany ω 2 ) ω 3 ω ω itd

3 Widać, że porz adek w klasie wszystkich liczb porz adkowych jest dobry: dowolny niepusty zbiór liczb porz adkowych ma element najmniejszy ich przekrój Każda liczba porz adkowa α ma swój nastȩpnik α + 1 zdefiniowany jako zbiór wszystkich liczb porz adkowych miejszych równych od α Jest to zarazem najmniejsza liczba porz adkowa ostro wiȩksza od α Niektóre liczby porz adkowe α maj a swój poprzednik (najwiȩksz a liczbȩ porz adkow a ostro mniejsz a od α) Jest tak jeśli α = β + 1 dla pewnego β Wtedy poprzednikiem α jest β Jednak nie wszystkie liczby porz adkowe maj a poprzednik Na przyk lad ω nie jest postaci β + 1 Liczby takie nazywamy liczbami porz adkowymi granicznymi Jeśli A jest zbiorem liczb porz adkowych, to β = A jest też liczb a porz adkow a i spe lnia α β dla wszystkich α A Jest to najmniejsza liczba spe lniaj aca taki warunek i dlatego bȩdziemy zamiast A pisać sup A Moc a liczby porz adkowej α nazywamy po prostu jej moc (liczbȩ kardynaln a) Dla nas istotny bȩdzie podzia l na liczby porz adkowe przeliczalne i nieprzeliczlne Wszystkie liczby wypisane na poprzedniej stronie s a przeliczalne 1 Najmniejsz a liczb a porz adkow a nieprzeliczaln a jest ω 1 zdefiniowana jako zbiór wszystkich liczb porz adkowych przeliczalnych Suma dowolnego ci agu (zbioru przeliczalnego) liczb przeliczalnych jest liczb a przeliczaln a (bo suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna) Liczby ω 1 nie można zatem osi agn ać (jako suremum) żadnym ci agiem liczb przeliczalnych Dlatego liczba ω 1 nie pojawi siȩ w diagramie z kropkami jak poprzedniej stronie, gdzie wiadomo co znacz a wszystkie kropki INDUKCJA POZASKOŃCZONA Indukcja pozaskończona pozwala na dwie rzeczy: 1 Definiowanie rodzin zbiorów indeksowanych liczbami porz adkowymi (jest to analogia definiowania ci agów wzorem rekurencyjnym), 2 Dowodzenie w lasności dla elementów zbioru dobrze uporz adkowanego (jest to analogia dowodu przez indukcjȩ) Definiowanie poprzez indukcjȩ pozaskończon a Chcemy zdefiniować rodzinȩ zbiorów A α gdzie α przebiega pewn a liczbȩ porz adkow a α 0 (Przypomnijmy, że elementami liczby porz adkowej s a liczby porz adkowe mniejsze od niej Inaczej można wiȩc powiedzieć,,gdzie α < α 0 ) Postȩpujemy nastȩpuj aco: 1 Najpierw definiujemy A 0 (czasem A 1 ) 2 Bierzemy α < α 0 i zak ladamy, że zdefiniowane zosta ly zbiory A β dla wszystkich β < α Teraz definiujemy A α pos luguj ac siȩ zbiorami A β gdzie β < α Po tych krokach A α jest zdefiniowane dla wszystkich α < α 0 W praktyce czȩsto w kroku 2 rozróżnia siȩ na dwa przypadki: jeśli α ma poprzednik (czyli jest postaci β + 1), to A α = A β+1 definiuje siȩ tylko przy użyciu jednego zbioru A β Jeśli α jest liczb a graniczn a to postȩpuje siȩ jak w pierwotnym opisie w punkcie 2 1 Uwaga: Moc a liczby porz adkowej ω jest ℵ 0, jednak moc a liczby ω ω nie jest ℵ ℵ 0 0 (czyli continuum) Liczba kardynalna ℵ ℵ 0 0 to moc zbioru wszytskich nieskończonych ci agów o wartościach naturalnych, natomiast ω ω to typ porz adkowy zbioru wszystkich skończonych ci agów o wartościach naturalnych (ale bez ograniczenia na ich d lugość)

4 Przyk lad: Niech A bȩdzie niepust a rodzin a zbiorów zawartych w pewnej przestrzeni X Dla liczb porz adkowych α < ω 1 zdefiniujemy rodziny A α podzbiorów X 1 Dla α = 0 k ladziemy A 0 = {A, A c : A A} 2 Weźmy α < ω 1 i za lóżmy, że zdefiniowaliśmy A β dla wszystkich β < α Teraz definiujemy A α nastȩpuj aco: najpierw bierzemy B α = β<α A β, a nastȩpnie niech A α bȩdzie rodzin a wszystkich zbiorów uzyskanych jako przeliczalne sumy zbiorów z B α i ich dope lnienia: A α = { n B n, ( n B n) c : n B n B α } W ten sposób zdefiniowaliśmy A α dla wszystkich α < ω 1 Dowody poprzez indukcjȩ pozaskończon a Dany jest zbiór dobrze uporz adkowany A = {a α : α < α 0 } (najczȩściej bȩdzie to raczej dobrze uporz adkowana rodzina zbiorów A = {A α : α < α 0 }) Dane jest pewne zdanie logiczne Φ(a) z jednym parametrem a, za który można podstawiać elementy zbioru A (czyli w lasność, która ma sens dla tych elementów, choć na razie nie wiadomo, czy i dla których elementów jest ona spe lniona) Chcemy udowodnić, że w lasność Φ jest spe lniona dla wszystkich elementów zbioru A: a A Φ(a) W tym celu wystarczy wykonać dwa kroki: 1 Wykazać Φ(a 0 ) oraz 2 dla dowolnego α < α 0 wykazać, implikacjȩ ( β < α Φ(a β )) = Φ(a α ) W praktyce czȩsto w kroku 2 rozróżnia siȩ na dwa przypadki: jeśli α ma poprzednik (czyli jest postaci β + 1), to sprawdza siȩ tylko implikacjȩ Φ(a β ) = Φ(a α ) Jeśli α jest liczb a graniczn a to postȩpuje siȩ jak w pierwotnym opisie w punkcie 2 Przyk lad: Wracamy do poprzedniego przyk ladu, w którym zdefiniowaliśmy rodziny A α dla wszystkich α < ω 1 Dodatkowo definiujemy B jako α<ω 1 A α Twierdzenie: W laśnie skonstruowaliśmy sigma-cia lo generowane przez rodzinȩ A: B = σ(a) Dowód: Oczywiście A B, bo A A 0, a A 0 jest sk ladnikiem sumy definiuj acej B Przy okazji widać, że rodzina B jest niepusta Teraz pokażemy, że B jest zamkniȩta na dope lnienia Niech B B Wtedy B A α dla pewnego α < ω 1 Rodzina A α jest z definicji zamkniȩta na dope lnienia Zatem B c A α B Teraz pokażemy, że B jest zamkniȩta na przeliczalne sumy Niech B n B (n = 1, 2, ) Wtedy istnieje ci ag α n liczb porz adkowych mniejszych od ω 1, takich, że B n A n Weźmy α = sup α n + 1 Wiemy, że α < ω 1 (do ω 1 nie można dojść ci agiem przeliczalnym) oraz, że dla każdego n, α n sup α n < α St ad B n B α (przypomnijmy, że B α = β<α A β), z czego wynika, że n B n A α B Pokazaliśmy, że B jest sigma-cia lem zawieraj acym A Zosta lo do pokazania, że jest najmniejszym takim sigma-cia lem Niech C bȩdzie sigma-cia lem zawieraj acym A Trzeba pokazać, że B C Wystarczy pokazać, że α < ω 1 A α C Do tego w laśnie użyjemy indukcji pozaskończonej

5 1 A 0 C bowiem z za lożenia C zawiera wszystkie zbiory z A, a jako sigma-cia lo, również ich dope lnienia 2 Dla α < ω 1 za lóżmy, że wiemy już, że A β C o ile β < α Mamy wywnioskować, że A α C Nasze za lożenie jest równoważne temu, że B α C Niech A A α Wtedy A = n B n, gdzie n B n B α lub A jest dope lnieniem takiej sumy W pierwszym przypadku wszystkie zbiory B n s a elementami C, a wiȩc A jako ich przeliczalna suma również (bo C jest sigma-cia lem) W drugim przypadku w laśnie pokazaliśmy, że n B n jest w C, zatem A, jako dope lnienie też

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat

Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna Oznaczenia

Matematyka dyskretna Oznaczenia Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej

Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

OSOBNO ANALITYCZNYCH

OSOBNO ANALITYCZNYCH Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y,

Bardziej szczegółowo

Cia la i wielomiany Javier de Lucas

Cia la i wielomiany Javier de Lucas Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma

Bardziej szczegółowo

Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011

Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej

Bardziej szczegółowo

Szymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka

Szymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych

T O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych Definicja. Przez rodzinȩ skierowan a rozumiemy dowolny zbiór z porz adkiem czȩściowym (K, ), taki

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe

Wyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (4)

Wstęp do Matematyki (4) Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

Wyk lad 2 Podgrupa grupy Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag

Bardziej szczegółowo

ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x

ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy

Bardziej szczegółowo

TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ,

TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, SPÓJNOŚĆ I POJȨCIA BLISKIE (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Abstract. Poniższe notatki do ćwiczeń zbieraj a podstawowe pojȩcia i stwierdzenia

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.

Bardziej szczegółowo

(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach

(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,

Bardziej szczegółowo

Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański

Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gry Nieskończone Krzysztof P lotka Praca Magisterska Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gdańk 1997 Spis treści Wstȩp........................................................... ii Terminologia i oznaczenia........................................

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Przeliczalność, kresy, bijekcje Javier de Lucas

Przeliczalność, kresy, bijekcje Javier de Lucas Przeliczalność, kresy, bijekcje Javier de Lucas Zadanie 1. Wyliczyć: + [ 3 n=1, ] 4 n n. + ] n n=1, 5 + [ n n+1 n 10 t [,3] A t oraz t [,3] A t, gdzie: A t = [t, t] [ t, t]. Zadanie. Pokazać, że funkcja

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?

ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y

Bardziej szczegółowo

Piotr Zakrzewski. Teoria mnogości. (skrypt wykładu) (wersja z )

Piotr Zakrzewski. Teoria mnogości. (skrypt wykładu) (wersja z ) Piotr Zakrzewski Teoria mnogości (skrypt wykładu) (wersja z 22.01.2018) WSTĘP Skrypt obejmuje aktualny program (dostępny na stronie https://usosweb.mimuw. edu.pl/kontroler.php?_action=actionx:katalog2/przedmioty/pokazprzedmiot(kod:

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a

25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a 25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 7. Liczby naturalne

Rozdzia l 7. Liczby naturalne Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności

Bardziej szczegółowo

KOLOKWIUM Z ALGEBRY I R

KOLOKWIUM Z ALGEBRY I R Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych

Bardziej szczegółowo

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową

Bardziej szczegółowo

Liczby naturalne i ca lkowite

Liczby naturalne i ca lkowite Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych

Bardziej szczegółowo

Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany

Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany W. Rytter Dla uproszczenia rozważamy tylko teksty binarne. S lowa Lyndona sa zwartymi reprezentacjami liniowymi s lów cyklicznych. Dla s lowa x niech

Bardziej szczegółowo

ROZDZIA l 13. Zbiór Cantora

ROZDZIA l 13. Zbiór Cantora ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe

Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe 1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej Rozdzia l 6 Wstȩp do statystyki matematycznej 6.1 Cecha populacji generalnej W rozdziale tym zaprezentujemy metodȩ probabilistycznego opisu zaobserwowanego zjawiska. W takim razie (patrz rozdzia l 2.4)zjawiskotobȩdziemy

Bardziej szczegółowo

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się 1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania

Bardziej szczegółowo

Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.

Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta

Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze ściowo uporza dkowane 17 maja 2012 W rozdziale tym omówimy jedno z fundamentalnych poje ć kombinatoryki, jakim jest zbiór cze ściowo uporza dkowany. Pokażemy w jaki

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Normy wektorów i macierzy

Normy wektorów i macierzy Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,

Bardziej szczegółowo

ep do teorii mnogości

ep do teorii mnogości Wst ep do teorii mnogości Materia ly do wyk ladu dla 1 roku informatyki http://www.mimuw.edu.pl/ urzy/wtm.html Pawe l Urzyczyn urzy@mimuw.edu.pl 2001 2006 Po co komu teoria mnogości Fryderyk Engels definiowa

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017 Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo