Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Transkrypt

1 Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: 1 x X x x, (zwrotność) 2 x, y, z X (x y y z) = x z (przechodniość) 3 x, y X (x y y x) = x = y (antysymetryczność) 4 x, y X x y y x (liniowość) 5 A X, A a A x A a x (każdy niepusty podzbiór X ma element najmniejszy) Element ten bȩdziemy oznaczać przez min(a) UWAGA: Bȩdziemy pisać x < y gdy x y x y Parȩ (X, ) nazywamy zbiorem dobrze uporz adkowanym Jeśli X jest zbiorem pustym, to nie można w nim zdefiniować porz adku, mimo to też nazwiemy zbiorem dobrze uporz adkowanym Definicja: Odcinkiem pocz atkowym w porz adku (X, ) nazywamy dowolny podzbiór A X spe lniaj acy warunek (a A x a) = x A (Zbiór pusty jest odcinkiem pocz atkowym, bo poprzednik tej implikacji jest zawsze fa lszywy) Ćwiczenie: Jeśli A jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ), to albo A = X albo A = {x X : x < a} dla pewnego a X Ćwiczenie: Jeśli A jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ), to A jest dobrze uporz adkowany (porz adkiem obciȩtym do A A) Ćwiczenie: Jeśli A jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ) i B jest odcinkiem pocz atkowym w (A, ), to B jest odcinkiem pocz atkowym w (X, ) Definicja: Dwa dobrze uporz adkowane zbiory (X, ) i (Y, ) nazywamy izomorficznymi jeśli albo oba s a puste, albo oba s a niepuste i istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i na ) f : X Y zachowuj aca porz adek, tzn spe lniaj aca dla dowolnych x, y X warunek x y = f(x) f(y) (Ćwiczenie: wtedy x y f(x) f(y)) Wiadomo, że (przy za lożeniu aksjomatu wyboru (AC)) każdy zbiór można dobrze uporz adkować

2 LICZBY PORZA DKOWE Liczby porz adkowe to pewne ustalone zbiory dobrze uporz adkowane (miȩdzy innymi jest też liczb a porz adkow a) Każdy zbiór dobrze uporz adkowany jest izomorficzny z jedyn a liczb a porz adkow a Liczby porz adkowe oznaczać bȩdziemy przez, (α, ), (β, ), itp Zazwyczaj jednak bȩdziemy pomijać znak porz adku i pisać tylko α, β, itp, a zamiast bȩdziemy pisać 0 W lasności liczb porz adkowych: 1 Dla dowolnych liczb porz adkowych α i β albo α jest izomorficzna z pewnym odcinkiem pocz atkowym w β albo odwrotnie Jeśli zachodz a oba warunki, to α = β Oznacza to, że w klasie liczb porz adkowych można wprowadzić porz adek liniowy α β α jest izomorficzna z pewnym odcinkiem pocz atkowym w β 2 Każda liczba porz adkowa α jest izomorficzna ze zbiorem wszystkich liczb porz adkowych ostro mniejszych od niej De facto, każda liczba porz adkowa JEST zbiorem wszystkich liczb porz adkowych ostro mniejszych od niej To zdanie definiuje liczby porz adkowe Liczbami porz adkowymi s a: oznaczany przez 0 {0} oznaczany przez 1 {0, 1} oznaczany przez 2 {0, 1, 2, } oznaczany przez ω (lub ω 0 ) (tożsamy ze zbiorem N 0 ) {0, 1, 2,, ω} oznaczany przez ω + 1 {0, 1, 2,, ω, ω + 1} oznaczany przez ω + 2 {0, 1, 2,, ω, ω + 1, ω + 2, } oznaczany przez 2ω {0, 1, 2,, ω, ω + 1, ω + 2,, 2ω} oznaczany przez 2ω + 1 {0, 1, 2,, ω, ω + 1, ω + 2,, 2ω, 2ω + 1, 2ω + 2, } oznaczany przez 3ω 3ω + 1 4ω 5ω ωω (oznaczany ω 2 ) ω 3 ω ω itd

3 Widać, że porz adek w klasie wszystkich liczb porz adkowych jest dobry: dowolny niepusty zbiór liczb porz adkowych ma element najmniejszy ich przekrój Każda liczba porz adkowa α ma swój nastȩpnik α + 1 zdefiniowany jako zbiór wszystkich liczb porz adkowych miejszych równych od α Jest to zarazem najmniejsza liczba porz adkowa ostro wiȩksza od α Niektóre liczby porz adkowe α maj a swój poprzednik (najwiȩksz a liczbȩ porz adkow a ostro mniejsz a od α) Jest tak jeśli α = β + 1 dla pewnego β Wtedy poprzednikiem α jest β Jednak nie wszystkie liczby porz adkowe maj a poprzednik Na przyk lad ω nie jest postaci β + 1 Liczby takie nazywamy liczbami porz adkowymi granicznymi Jeśli A jest zbiorem liczb porz adkowych, to β = A jest też liczb a porz adkow a i spe lnia α β dla wszystkich α A Jest to najmniejsza liczba spe lniaj aca taki warunek i dlatego bȩdziemy zamiast A pisać sup A Moc a liczby porz adkowej α nazywamy po prostu jej moc (liczbȩ kardynaln a) Dla nas istotny bȩdzie podzia l na liczby porz adkowe przeliczalne i nieprzeliczlne Wszystkie liczby wypisane na poprzedniej stronie s a przeliczalne 1 Najmniejsz a liczb a porz adkow a nieprzeliczaln a jest ω 1 zdefiniowana jako zbiór wszystkich liczb porz adkowych przeliczalnych Suma dowolnego ci agu (zbioru przeliczalnego) liczb przeliczalnych jest liczb a przeliczaln a (bo suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna) Liczby ω 1 nie można zatem osi agn ać (jako suremum) żadnym ci agiem liczb przeliczalnych Dlatego liczba ω 1 nie pojawi siȩ w diagramie z kropkami jak poprzedniej stronie, gdzie wiadomo co znacz a wszystkie kropki INDUKCJA POZASKOŃCZONA Indukcja pozaskończona pozwala na dwie rzeczy: 1 Definiowanie rodzin zbiorów indeksowanych liczbami porz adkowymi (jest to analogia definiowania ci agów wzorem rekurencyjnym), 2 Dowodzenie w lasności dla elementów zbioru dobrze uporz adkowanego (jest to analogia dowodu przez indukcjȩ) Definiowanie poprzez indukcjȩ pozaskończon a Chcemy zdefiniować rodzinȩ zbiorów A α gdzie α przebiega pewn a liczbȩ porz adkow a α 0 (Przypomnijmy, że elementami liczby porz adkowej s a liczby porz adkowe mniejsze od niej Inaczej można wiȩc powiedzieć,,gdzie α < α 0 ) Postȩpujemy nastȩpuj aco: 1 Najpierw definiujemy A 0 (czasem A 1 ) 2 Bierzemy α < α 0 i zak ladamy, że zdefiniowane zosta ly zbiory A β dla wszystkich β < α Teraz definiujemy A α pos luguj ac siȩ zbiorami A β gdzie β < α Po tych krokach A α jest zdefiniowane dla wszystkich α < α 0 W praktyce czȩsto w kroku 2 rozróżnia siȩ na dwa przypadki: jeśli α ma poprzednik (czyli jest postaci β + 1), to A α = A β+1 definiuje siȩ tylko przy użyciu jednego zbioru A β Jeśli α jest liczb a graniczn a to postȩpuje siȩ jak w pierwotnym opisie w punkcie 2 1 Uwaga: Moc a liczby porz adkowej ω jest ℵ 0, jednak moc a liczby ω ω nie jest ℵ ℵ 0 0 (czyli continuum) Liczba kardynalna ℵ ℵ 0 0 to moc zbioru wszytskich nieskończonych ci agów o wartościach naturalnych, natomiast ω ω to typ porz adkowy zbioru wszystkich skończonych ci agów o wartościach naturalnych (ale bez ograniczenia na ich d lugość)

4 Przyk lad: Niech A bȩdzie niepust a rodzin a zbiorów zawartych w pewnej przestrzeni X Dla liczb porz adkowych α < ω 1 zdefiniujemy rodziny A α podzbiorów X 1 Dla α = 0 k ladziemy A 0 = {A, A c : A A} 2 Weźmy α < ω 1 i za lóżmy, że zdefiniowaliśmy A β dla wszystkich β < α Teraz definiujemy A α nastȩpuj aco: najpierw bierzemy B α = β<α A β, a nastȩpnie niech A α bȩdzie rodzin a wszystkich zbiorów uzyskanych jako przeliczalne sumy zbiorów z B α i ich dope lnienia: A α = { n B n, ( n B n) c : n B n B α } W ten sposób zdefiniowaliśmy A α dla wszystkich α < ω 1 Dowody poprzez indukcjȩ pozaskończon a Dany jest zbiór dobrze uporz adkowany A = {a α : α < α 0 } (najczȩściej bȩdzie to raczej dobrze uporz adkowana rodzina zbiorów A = {A α : α < α 0 }) Dane jest pewne zdanie logiczne Φ(a) z jednym parametrem a, za który można podstawiać elementy zbioru A (czyli w lasność, która ma sens dla tych elementów, choć na razie nie wiadomo, czy i dla których elementów jest ona spe lniona) Chcemy udowodnić, że w lasność Φ jest spe lniona dla wszystkich elementów zbioru A: a A Φ(a) W tym celu wystarczy wykonać dwa kroki: 1 Wykazać Φ(a 0 ) oraz 2 dla dowolnego α < α 0 wykazać, implikacjȩ ( β < α Φ(a β )) = Φ(a α ) W praktyce czȩsto w kroku 2 rozróżnia siȩ na dwa przypadki: jeśli α ma poprzednik (czyli jest postaci β + 1), to sprawdza siȩ tylko implikacjȩ Φ(a β ) = Φ(a α ) Jeśli α jest liczb a graniczn a to postȩpuje siȩ jak w pierwotnym opisie w punkcie 2 Przyk lad: Wracamy do poprzedniego przyk ladu, w którym zdefiniowaliśmy rodziny A α dla wszystkich α < ω 1 Dodatkowo definiujemy B jako α<ω 1 A α Twierdzenie: W laśnie skonstruowaliśmy sigma-cia lo generowane przez rodzinȩ A: B = σ(a) Dowód: Oczywiście A B, bo A A 0, a A 0 jest sk ladnikiem sumy definiuj acej B Przy okazji widać, że rodzina B jest niepusta Teraz pokażemy, że B jest zamkniȩta na dope lnienia Niech B B Wtedy B A α dla pewnego α < ω 1 Rodzina A α jest z definicji zamkniȩta na dope lnienia Zatem B c A α B Teraz pokażemy, że B jest zamkniȩta na przeliczalne sumy Niech B n B (n = 1, 2, ) Wtedy istnieje ci ag α n liczb porz adkowych mniejszych od ω 1, takich, że B n A n Weźmy α = sup α n + 1 Wiemy, że α < ω 1 (do ω 1 nie można dojść ci agiem przeliczalnym) oraz, że dla każdego n, α n sup α n < α St ad B n B α (przypomnijmy, że B α = β<α A β), z czego wynika, że n B n A α B Pokazaliśmy, że B jest sigma-cia lem zawieraj acym A Zosta lo do pokazania, że jest najmniejszym takim sigma-cia lem Niech C bȩdzie sigma-cia lem zawieraj acym A Trzeba pokazać, że B C Wystarczy pokazać, że α < ω 1 A α C Do tego w laśnie użyjemy indukcji pozaskończonej

5 1 A 0 C bowiem z za lożenia C zawiera wszystkie zbiory z A, a jako sigma-cia lo, również ich dope lnienia 2 Dla α < ω 1 za lóżmy, że wiemy już, że A β C o ile β < α Mamy wywnioskować, że A α C Nasze za lożenie jest równoważne temu, że B α C Niech A A α Wtedy A = n B n, gdzie n B n B α lub A jest dope lnieniem takiej sumy W pierwszym przypadku wszystkie zbiory B n s a elementami C, a wiȩc A jako ich przeliczalna suma również (bo C jest sigma-cia lem) W drugim przypadku w laśnie pokazaliśmy, że n B n jest w C, zatem A, jako dope lnienie też