Funkcje wielu zmiennych

Transkrypt

1 Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R 2 = { (x, y) : x R y R }. Elementy (x, y) tego zbioru nazywamy punktami p laszczyzny i oznaczamy P = (x, y). Liczby x, y nazywamy wspó lrzȩdnymi punktu P. Odleg lość punktów P, P 2 p laszczyzny oznaczamy symbolem d(p, P 2 ) i określamy : d(p, P 2 ) = (x 2 x ) 2 + (y 2 y ) 2, gdy P = (x, y ), P 2 = (x 2, y 2 ) R 2. Uwaga Zamiast symbolu d(p, P 2 ), używa siȩ także oznaczenia P P 2. Odleg lość punktów P = (3, 4), Q = (4, 3) wynosi d(p, Q) = (4 3) 2 + ( 3 ( 4)) 2 = 2. Otoczeniem punktu P 0 R 2 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór: U(P 0, r) = { P R 2 : d(p 0, P ) < r }. Otoczeniem punktu na p laszczyźnie jest ko lo otwarte o środku w punkcie P 0 i promieniu r. Uwaga Jeżeli promień otoczenia nie bȩdzie istotny w rozważaniach, to zamiast U(P 0, r) bȩdziemy pisać U(P 0 ). S asiedztwem punktu P 0 R 2 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór: S(P 0, r) = { P R 2 : 0 < d(p 0, P ) < r }. Latwo zauważyć, że S(P 0, r) = U(P 0, r) \ { P 0 }. Uwaga Jeżeli promień s asiedztwa nie bȩdzie istotny w rozważaniach, to zamiast S(P 0, r) bȩdziemy pisać S(P 0 ).

2 2 Funkcje dwóch zmiennych Funkcj a f dwóch zmiennych określon a na zbiorze D R 2 o wartościach w R nazywamy przyporz adkowanie każdemu punktowi (x, y) D dok ladnie jednej liczby z = f(x, y) R. a) f(x, y) = ln( x 2 y 2 ), b) g(x, y) = xy, c) F (x, y) = (x 2)(y+) Dziedzin a funkcji f nazywamy zbiór: D f = { (x, y) R 2 : z R z = f(x, y) }. (x 2) 2 +(y+) 2. Dziedziny funkcji podanych w poprzednim przyk ladzie s a nastȩpuj ace: a) D f = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 < }, b) D g = { (x, y) R 2 : xy 0 }, c) D F = R 2 \ { (2, )}. Wykresem funkcji f nazywamy zbiór: W f = { (x, y, z) : (x, y) D f z = f(x, y) }. Poziomic a wykresu funkcji f odpowiadaj ac a poziomowi h R nazywamy zbiór: { (x, y) D f : f(x, y) = h }. Wykresem funkcji f(x, y) = x y jest p laszczyzna o wektorze normalnym n = [,, ], a poziomic a odpowiadaj ac a poziomowi h jest prosta określona równaniem krawȩdziowym { x + y + z =, z = h. Wykresem funkcji f(x, y) = x 2 +y 2 jest paraboloida o wierzcho lku w punkcie (0, 0, 0), a poziomic a odpowiadaj ac a poziomowi h, gdzie h 0 jest okr ag x 2 + y 2 = h po lożony na p laszczyźnie z = h. 3 Granica funkcji dwóch zmiennych Ci agiem punktów na p laszczyźnie nazywamy przyporz adkowanie każdej liczbie naturalnej punktu p laszczyzny R 2. Wartość tego przyporz adkowania dla n N nazywamy n-tym wyrazem ci agu i oznaczamy przez P n = (x n, y n ). Ci ag taki oznaczamy symbolem {P n } lub {(x n, y n )}. a) (x n, y n ) = (, n ), b) (x n, y n ) = (( ) n, ( ) n+ ), c) (x n, y n ) = (2 n, 3 n ), n N. Ci ag {P n } = {(x n, y n )} jest zbieżny do punktu P 0 = (x 0, y 0 ), co zapisujemy P n = P 0 lub (x n, y n ) = (x 0, y 0 ), 2

3 wtedy i tylko wtedy, gdy a) (x n, y n ) = (, n ), n N x n = x 0 oraz y n = y 0. x n =, x n =, y n = n, y n = 0, b) (x n, y n ) = (( ) n, ( ) n+ ), n N (x n, y n ) = (, 0), (x n, y n ) nie istnieje, c) (x n, y n ) = (2 n, 3 n ), n N. (x n, y n ) = (0, 0). Niech P 0 = (x 0, y 0 ) R 2 oraz niech funkcja f bȩdzie określona w s asiedztwie S(P 0 ). Liczba A jest granic a funkcji f w punkcie P 0, co zapisujemy wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ci agu {(x n, y n )} S(P 0 ). Uwaga f(x, y) = A, (x,y) (x 0,y 0 ) (x n, y n ) = (x 0, y 0 ) = f(x n, y n ) = A Granicȩ funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) zapisujemy także w postaci x x 0 y y 0 f(x, y). Można też pisać f(x, y) A, gdy (x, y) (x 0, y 0 ). x2 + y 2 = 0, x 4 + y 4 =, x x + y nie istnieje. 4 Ci ag lość funkcji dwóch zmiennych Niech P 0 = (x 0, y 0 ) R 2 oraz niech funkcja f bȩdzie określona w otoczeniu U(P 0 ). Funkcja f jest ci ag la w punkcie (x 0, y 0 ) wtedy i tylko wtedy, gdy f(x, y) = f(x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 ) Funkcja f(x, y) = x 2 + y 2 jest ci ag la w punkcie (0, 0). Funkcje f(x, y) = x 4 +y 4 i f(x, y) = x x+y nie s a ci ag le w punkcie (0, 0). 3

4 5 Pochodne cz astkowe funkcji dwóch zmiennych Niech P 0 = (x 0, y 0 ) R 2 oraz niech funkcja f bȩdzie określona w otoczeniu U(P 0 ). Pochodn a cz astkow a pierwszego rzȩdu funkcji f wzglȩdem zmiennej x w punkcie P 0 określamy x (x f(x 0 +, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) 0 Pochodn a cz astkow a pierwszego rzȩdu funkcji f wzglȩdem zmiennej y w punkcie P 0 określamy y (x 0, y 0 ) 0 f(x 0, y 0 + ) f(x 0, y 0 ) Pochodne cz astkowe oznacza siȩ także symbolami f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ), f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), D f(x 0, y 0 ), D 2 f(x 0, y 0 ). Pochodne cz astkowe funkcji f(x, y) = (x y) 3 w punkcie (0, 0) s a w laściwe (skończone) (0, 0) x 0 f(0 +, 0) f(0, 0) 0 () 3 0 = 0 (0, 0) y 0 f(0, 0 + ) f(0, 0) 0 Pochodne funkcji f(x, y) = 3 x y w punkcie (0, 0) s a niew laściwe ( ) 3 0 = 0 (0, 0) x 0 f(0 +, 0) f(0, 0) = + (0, 0) y 0 f(0, 0 + ) f(0, 0) 0 Pochodne funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 w punkcie (0, 0) nie istniej a 3 0 = (0, 0) x 0 (0, 0) y 0 f(0 +, 0) f(0, 0) f(0, 0 + ) f(0, 0) 0 0 nie istnieje nie istnieje Niech P = (x, y) R 2 oraz niech funkcja f bȩdzie określona w otoczeniu U(P ). Pochodn a cz astkow a pierwszego rzȩdu funkcji f wzglȩdem zmiennej x w punkcie P określamy (x, y) x 0 f(x +, y) f(x, y) Pochodn a cz astkow a pierwszego rzȩdu funkcji f wzglȩdem zmiennej y w punkcie P określamy (x, y) x 0 f(x, y + ) f(x, y) 4

5 Funkcja f(x, y) = (x y) 3 = x 3 3x 2 y + 3xy 2 y 3 ma pochodne cz astkowe f x = 3x 2 6xy + 3y 2 = 3(x y) 2, f y = 3x 2 + 6xy 3y 2 = 3(x y) 2 Funkcja f(x, y) = 3 x y ma pochodne cz astkowe f x = 3 3 (x y) 2, f y = Funkcja f(x, y) = x 2 + y 2 ma pochodne cz astkowe f x = x x2 + y 2, f y = 3 3 (x y) 2 y x2 + y 2 6 Gradient funkcji dwóch zmiennych Gradientem funkcji f w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) nazywamy wektor określony gradf(x 0, y 0 ) = [ ] f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ) Gradient funkcji f oznacza siȩ także symbolem f(x 0, y 0 ). Gradient funkcji f(x, y) = x 3 y 3 w punkcie P 0 = (, ) jest równy gradf(, ) = [ 3, 3 ] Gradient funkcji f(x, y) = x 3 y 3 w punkcie P = (x, y) jest równy gradf = [ 3x 2, 3y ] 2 7 P laszczyzna styczna do wykresu funkcji dwóch zmiennych Niech funkcja f ma ci ag le pochodne cz astkowe f x i f y w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ). P laszczyznȩ styczn a do wykresu z = f(x, y) funkcji f w punkcie P 0 określamy z z 0 = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ), gdzie z 0 = f(x 0, y 0 ). P laszczyznȩ styczn a oznacza siȩ symbolem π. P laszczyzna styczna do wykresu funkcji f(x, y) = x 3 y 3 w punkcie P 0 = (, ) jest postaci π : z = 3(x ) 3(y ) lub po przekszta lceniach π : 3x 3y z = 0 5